Mecánica cuántica en español, con las cuentas hechas. Un electrón encerrado en un átomo se mueve a 2 200 km/s porque no le queda otra; un microscopio de efecto túnel distingue un escalón de un átomo de altura porque la corriente cae diez veces por cada ångström. Eso es la cuántica: una teoría que da números y acierta con once cifras. Tres niveles de profundidad — primero las ideas con números de verdad, luego la cuántica de la carrera, y al final el segundo ciclo en serio — con visualizaciones, ejemplos por todas partes y ejercicios resueltos.
Sitio del programa Fisicario — la Licenciatura en Física, sitio a sitio. Hermano de Fotonario, Particulario, Mecanario y Termario.
La cuántica con números de verdad y aritmética de instituto: electronvoltios, nanómetros, kilómetros por segundo. Nada de cálculo, pero tampoco analogías que haya que desaprender en el Nivel II — ni una sola frase sobre observadores conscientes, energías vibracionales o el poder de la intención. Cinco módulos previstos y los cinco publicados: el nivel está completo, del cuerpo negro de 1900 a la desigualdad de Bell medida sin escapatoria en 2015.
Los cuatro hechos experimentales que rompieron la física clásica entre 1900 y 1914 — el cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, los espectros de rayas y el átomo de Bohr — y cómo de cada uno sale el mismo número: h = 6,626 × 10⁻³⁴ J·s. Con la constante de Planck medida de cuatro maneras independientes.
λ = h/p sin excepciones: 332,5 pm para el electrón del hidrógeno —justo el perímetro de la órbita de Bohr, con lo que el postulado de 1913 pasa a ser una onda que se cierra— y 2,06 × 10⁻³⁴ m para una pelota de tenis, que cruzando el universo observable se desviaría 0,23 µm. Davisson y Germer difractando electrones en níquel al 1 % de lo predicho, la doble rendija hecha de electrón en electrón con 124 km entre uno y el siguiente, el microscopio electrónico como aplicación que depende de que la materia sea onda, y qué borra las franjas de verdad: la información de camino disponible, con su desigualdad D² + V² ≤ 1.
Δx·Δp ≥ ħ/2 sale de estrechar una onda por una rendija, y con ella el tamaño del átomo como mínimo de una curva —52,918 pm y −13,606 eV, buscados sin postular ninguna órbita—, la energía de punto cero que impide al helio congelarse a presión ambiente (14,1 K contra un pozo de 10,2 K), la anchura natural de una raya y el radio de una enana blanca. Y lo que el principio NO dice: el microscopio de Heisenberg es una explicación falsa, la relación error-perturbación se midió violada con neutrones en 2012, LIGO mide desplazamientos de 4 × 10⁻¹⁸ m en espejos de 40 kg, y toda la energía de vacío extraíble de un centímetro cuadrado de placas son 4,3 × 10⁻¹¹ J — que además hay que devolver.
El estado fundamental del hidrógeno tiene momento angular cero, y no ħ como decía Bohr: los orbitales sustituyen a las órbitas y de sus tres números cuánticos sale la contabilidad 2n² que lo decide todo. Con ella y el principio de exclusión —que no es una fuerza, sino una prohibición sobre los estados— salen contadas las longitudes de los periodos de la tabla periódica: 2, 8, 8, 18, 18, 32. Por qué el plomo, con 82 protones, mide 154 pm en vez de 0,645; por qué la raya del sodio cae en 589 nm y viene partida en 2,13 meV; y por qué no metes la mano en una mesa — con la dureza del cesio calculada al 8 % sin más dato que su densidad, y la estabilidad de la materia como teorema de 1967.
Dos polarizadores cruzados dejan pasar cero fotones; con un tercero en medio pasa el 25 %, y con sesenta, el 96 % — y ese experimento de sobremesa mata la idea de que la partícula trae puesta su respuesta. Con la prueba que separa una superposición de una mezcla (cien fotones y diez desviaciones típicas), el reloj de 42 picosegundos del amoníaco, el entrelazamiento como correlación sin señal —la marginal vale 0,500 exactamente, y la cancelación es algebraica—, la desigualdad de Bell demostrada en cinco renglones con su frontera en 2,000 frente a los 2,8284 de la cuántica, los experimentos sin escapatoria de 2015 y el problema de la medida presentado como lo que es: abierto, con la decoherencia resolviendo la mitad —10⁻¹⁸ segundos para un grano de polvo en aire— y los modelos de colapso como única lectura refutable.
La cuántica del primer ciclo: Física Cuántica I y II del plan de la UCM, calibrado contra Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics. Entra el cálculo — ecuaciones en derivadas parciales, separación de variables, álgebra lineal — y cada resultado sale con su ejemplo numérico y su hoja de problemas. El salto desde el Nivel I es brusco a propósito: allí no hay una sola derivada y aquí se dan por sabidas, junto con integrales, números complejos y series. Ocho módulos previstos y los ocho publicados, cada uno con su hoja de problemas: el nivel está completo. Seis de ellos —del II.3 al II.8— se escribieron en una sola tanda el 17 de agosto de 2026, no cumplían el contrato editorial de este sitio —ejemplos resueltos sin desarrollo, paneles que no dibujan nada, solucionarios de ochenta palabras—, se bajaron el mismo día y han vuelto reescritos enteros, de uno en uno. Preferimos un hueco declarado a un módulo que parece completo y no lo está.
La ecuación no se deduce: se postula, y el argumento de la onda plana que suele venderse como su deducción sólo vale con V = 0 — aquí se muestra exactamente dónde se rompe. Con |Ψ|² como densidad de probabilidad y la conservación de la norma demostrada como teorema, no impuesta: de esa demostración salen la corriente j y la ecuación de continuidad, y basta con poner el potencial complejo V = V_R − iW de la física nuclear para verla fallar a propósito (un neutrón de 20 MeV recorre 4,01 fm antes de desaparecer del canal). El operador momento se deduce de m·d⟨x⟩/dt, el teorema de Ehrenfest da las ecuaciones de Newton para los valores esperados —y se dice dónde deja de ser Newton—, y σ_xσ_p ≥ ħ/2 se demuestra con Cauchy-Schwarz y [x̂, p̂] = iħ, sin mencionar ningún aparato de medida. Termina en la solución general Ψ = Σ cₙψₙe^(−iEₙt/ħ), con el batido de dos niveles del pozo de 1 nm latiendo cada 3,666 fs. Primer módulo con hoja de problemas: seis problemas graduados, sólo pistas.
La ecuación de Schrödinger no contiene ningún número entero: los pone la pared. Aquí se resuelve el pozo infinito para ver en qué renglón exacto aparece n —y luego se cambia la condición de contorno por una periódica para ver aparecer el nivel cero y la degeneración—; el pozo finito con su ecuación trascendente, su recuento N = ⌈2z₀/π⌉ y el resultado que no tiene versión clásica: en una dimensión SIEMPRE hay un estado ligado, mientras que en tres hay umbral y el deuterón vive un 45 % por encima de él con el 62,8 % de su función de onda fuera del alcance de la fuerza que lo ata. El escalón refleja el 2,944 % donde la física clásica dice cero, con la fórmula de Fresnel y el factor de flujo que casi todo el mundo olvida, y un neutrón ultrafrío rebota entero en el níquel por debajo de 6,85 m/s… metiéndose 9,20 nm en la pared. Y la barrera, con el efecto túnel entero: la corriente de un microscopio de efecto túnel cayendo un factor 10 por ångström —barrera efectiva de 5,05 eV, resolución vertical de 0,43 picómetros—, la desintegración alfa de Gamow reproduciendo 24 órdenes de magnitud de vida media con un factor 2,2 de energía, y el efecto isotópico del amoníaco, que separa el túnel de cualquier mecanismo clásico por un factor once.
Cualquier potencial con un mínimo es una parábola si no te alejas mucho, y la pregunta del módulo es cuánto es «mucho»: en el ¹²C¹⁶O la parábola se rompe a 43,0 pm y el estado fundamental ocupa 4,761 pm, el 4,22 % de un enlace de 112,8 pm. Los dos caminos hasta el mismo espectro, sin que ninguno se dé por supuesto: el analítico, donde el entero aparece en el único renglón en que una serie de potencias puede terminar antes de que ψ se vaya como e^(+ξ²/2), y el algebraico, donde aparece al parar una escalera que no puede bajar de una norma cero — y el ½ que no se negocia resulta ser, literalmente, el conmutador [a, a†] = 1 dividido por dos. Con el virial nivel a nivel, el 15,73 % de probabilidad que el fundamental tiene más allá del retorno clásico (erfc(1) exacto, no un dibujo), todos los elementos de matriz sin integrar un solo Hermite, y la regla de selección Δn = ±1 que convierte un espectro entero en una sola raya. Y el laboratorio al final: la banda del CO medida en 2143,27 cm⁻¹ = 4,666 µm —no en los 4,609 µm que da invertir la frecuencia armónica, que no es ninguna transición—, un termómetro hecho con dos rayas, un calor específico vibracional de 0,003109 R a temperatura ambiente y una energía de punto cero de 134,1 meV que se cobra en la energía con la que se rompe el enlace más fuerte que se conoce. Con hoja de problemas: seis problemas graduados, sólo pistas.
El producto escalar deja de ser una integral que se calcula y pasa a ser tres axiomas, y de ellos salen Cauchy-Schwarz y Parseval sin tocar ninguna integral: «conjunto completo» se convierte en una suma que se mide, y cuando no da 1 se sabe cuánto se ha perdido y por qué —la gaussiana desplazada un x₀ tiene sus pesos en una Poisson exacta, |c₀|² = e^(−1/2) = 0,6065, y retirar un solo vector de la base infinita cuesta el 60,65 % de la probabilidad—. Un observable es un operador hermítico, y aquí se demuestra a qué equivale eso exactamente: ⟨A⟩ real en todo estado, ni más ni menos. Espectro real no basta, con tres contraejemplos medidos —una triangular cuyos autovectores forman 45° y con la que la regla de Born recorre de 0,293 a 1,707; una familia PT-simétrica con espectro real que se derrumba en un punto excepcional; una unitaria con base perfecta y ni un autovalor real—, y de paso se tapa el agujero que la receta de cuantización dejó abierto en xp: Im⟨x̂p̂⟩ = ħ/2 en todo estado, medido en 400 al azar. La relación de Robertson sale en cinco líneas de Cauchy-Schwarz, con el término del anticonmutador que la versión de manual tira y que en la peor de 3000 tercias vale el 99 % de lo que había que acotar; Kennard es el caso [x̂, p̂] = iħ —el fundamental del CO la satura y el del pozo de 1 nm se pasa un 13,6 %—, y Mandelstam-Tamm el caso A = H, con el signo de Ehrenfest escrito con todos sus pasos porque es el único sitio donde equivocarse no cambia el resultado. Y los cinco postulados, escritos seguidos, con el que no se deduce señalado y medido: la pureza pasa de 1 a 0,5 al medir y 200 evoluciones unitarias la dejan donde estaba con un error de 3 × 10⁻¹⁵. Con hoja de problemas: seis problemas graduados, sólo pistas.
El átomo de hidrógeno resuelto entero, y ninguno de sus números postulado. La separación ψ = R(r)Y(θ,φ) no se supone: se comprueba contando sumandos, y vale para cualquier potencial central —por eso el ángulo del hidrógeno es el mismo que el del pozo esférico y el del modelo de capas del núcleo—. De la separación sale un término que nadie puso, la barrera centrífuga ħ²ℓ(ℓ+1)/2mr², que en r = a₀ con ℓ = 1 vale 27,2114 eV, tanto como el Coulomb en ese mismo punto. Los tres números cuánticos nacen de tres condiciones de regularidad distintas y se miden una a una: m es entero porque la esfera se cierra —y en un cono de apertura 4π saldría m = 1/2—; ℓ es entero porque la solución de Legendre revienta en el segundo polo con una pendiente medible, |sen ℓπ|/π, que vale 0,31831 con ℓ = 0,5 y cero exacto en todo entero; y n aparece en el único renglón donde la serie radial puede terminar. Con eso, E_n = −13,6057 eV/n² y a₀ = 52,9177 pm dejan de ser datos de tabla, y la rejilla lo confirma sin fórmula cerrada: extrapolada con Richardson devuelve −13,605693 eV, a 3,7 × 10⁻¹⁰ de la forma cerrada. La degeneración n² se cuenta en la diagonalización y la parte que es accidental se demuestra rompiéndola: apantallar el 1/r con un Yukawa separa el 2s del 2p de 0,054 a 92,4 meV según D⁻². Y la quinta cifra se persigue hasta el final: Schrödinger con masa reducida se queda a 0,147 meV de la ionización medida, y ese hueco tiene nombres —Dirac y Lamb— en vez de disculpas. Con dos paneles y hoja de problemas: seis problemas graduados, sólo pistas.
Todo el módulo sale de tres conmutadores. De [J_i, J_j] = iħ ε_ijk J_k, y de nada más, salen el autovalor ħ²ℓ(ℓ+1) del Casimir, la escalera L± y los 2ℓ+1 peldaños del multiplete — la misma maquinaria que el II.3 usó para el oscilador, con [N, a] = −a convertido literalmente en [L_z, L₋]/ħ = −L₋, y con la diferencia que lo cambia todo: el multiplete tiene techo y la torre del oscilador no. Y el álgebra admite lo que la esfera prohíbe: las matrices 2 × 2 de j = ½ cumplen el conmutador y J² = ¾ħ² con desviación cero exacto, mientras e^(i2πm) vale −1 para m = ½ y Legendre revienta con pendiente 0,3183 = 1/π. Ahí entra el espín. Stern-Gerlach se monta entero y se invierte: el haz no es un gas —va como v³, 543 m/s en vez de 443—, la separación no depende de la masa (plata e hidrógeno dan las mismas 0,0539 · 0,108 · 0,162 mm), y la placa de 1922 leída al revés devuelve 0,928 μ_B. El espinor tiene periodo 4π, U(2π) = −1, y SU(2) cubre SO(3) dos veces, medido sobre 300 ejes al azar. El factor g con su signo, que casi ningún texto de este nivel escribe: CODATA publica g_e = −2,002 319 304 360 92, y de ahí que el espín arriba se desvíe hacia abajo. El magnetón en sus cuatro monedas —9,274 010 066 × 10⁻²⁴ J/T, 57,9 µeV/T, 0,672 K/T, 14,0 GHz/T—, y la resta que hace física: Larmor 28 024,95 MHz/T menos ciclotrón 27 992,49 MHz/T son 32,5 MHz/T que no son un residuo, son la anomalía entera, y α/2π = 1,161 41 × 10⁻³ la reproduce al 0,15 % sin un solo parámetro ajustable. Acaba sumando: ½ ⊗ ½ da triplete y singlete separados por exactamente 1 ħ² de ⟨S₁·S₂⟩, ℓ ⊗ ½ sale bajando con J₋ y sin abrir ninguna tabla, y el término de contacto de Fermi con el radio de Bohr al cubo deja la raya de 21 cm a 56 ppm de los 1420,405 751 7667 MHz medidos. Con dos paneles y hoja de problemas: seis problemas graduados, sólo pistas.
El signo del intercambio no es una fuerza y aun así mueve las distancias: dos electrones en un pozo de 1 nm con n = 1 y n = 2 separan 0,410 nm si la parte espacial es antisimétrica y 0,196 nm si es simétrica, frente a los 0,321 nm de dos partículas distinguibles — con el mismo hamiltoniano en los tres casos, sin un solo término nuevo. De ahí salen el determinante de Slater, construido y cruzado contra la suma sobre permutaciones en 300 configuraciones de N = 2 a 6, y el agujero de intercambio, que en el contacto es total: la amplitud del par antisimétrico se anula exactamente en x₁ = x₂ mientras la del simétrico se dobla justo ahí. Después el helio a primer orden, donde la repulsión no se estima —vale exactamente 5Z/8 hartree, y deja el fundamental en −74,83 eV frente a los −79,005 medidos—: faltan 4,17 eV —4,183 contra el fundamental no relativista, que es el ancla que acota una cuenta de Schrödinger— y se reparten en tres trozos y no en dos, que es donde casi todo el mundo se deja uno: 2,657 eV de relajación del orbital, 0,382 que todavía se cobran sin meter r₁₂ y sólo 1,144 de energía de correlación. Y la integral de intercambio se lee del espectro sin calcular nada, K = 0,398 eV, que es la tercera parte de lo que predicen los orbitales hidrogenoides. Luego el enlace, con el H₂⁺ resuelto de verdad en coordenadas esferoidales prolatas —2,7928 eV a 105,7 pm— contra el LCAO de primer curso, que acierta el signo y se pasa un 24,8 % en la distancia y se deja un 36,8 % de la profundidad: esa barra es el resultado, no un defecto que disculpar. Y el gas de Fermi de un metal, donde la exclusión no empuja sino que encarece —4,67 eV por electrón en el cobre, dos tercios de su energía de Fermi, con un agujero de 134 pm alrededor de cada uno—, y donde el rango de validez se mide en vez de afirmarse: la ley lineal del calor específico aguanta al 1 % hasta T/T_F = 0,0573 y el cobre a 300 K está en 0,003 68. Con dos paneles y hoja de problemas: seis problemas graduados, sólo pistas.
Cuatro métodos que devuelven siempre un número, se les dé lo que se les dé, y la condición que cada uno lleva pegada para que ese número signifique algo. Perturbaciones a primer y segundo orden deducidas orden a orden: en el oscilador cuártico el primer orden acierta al 1 % hasta λ = 0,0528 y el segundo hasta 0,0779 —un 47,6 % más de rango, no un orden de magnitud—, a partir de λ = 0,161 el segundo es peor que el primero, y en λ = 1 devuelve −1,375 para un potencial positivo en todo punto, porque la serie tiene radio de convergencia cero. Con Dalgarno-Lewis, que cambia la suma sobre estados por una ecuación diferencial y da la polarizabilidad exacta 9/2 a₀³ donde la suma sobre ligados se queda en el 81,4 %. Después el n = 2 del hidrógeno, ocho estados con la misma energía rotos tres veces: el Stark, con su bloque 4×4 y dos estados que no se mueven, pero sólo por encima de 493 V/cm —según se mida el desdoblamiento o el corrimiento—; la estructura fina montada de sus tres términos —relativista, espín-órbita con la precesión de Thomas, y Darwin— que da 10 949,28 MHz entre 2p₃/₂ y 2p₁/₂ frente a los 10 969,0415 tabulados, un hueco que el presupuesto no cierra del todo; y el Zeeman con su factor de Landé, que con el g_e medido no vale 4/3 y 2/3 sino 1,334 106 y 0,665 894, y con sus dos fronteras calculadas en vez de supuestas: entre 0,161 T y 17,6 T no vale ni el campo débil ni el Paschen-Back, y esa tierra de nadie son imanes de resonancia magnética que se compran. Del hiperfino estrena sólo el tamaño, que no lo fija la masa del protón: 1/30,8 de la estructura fina y no 1/1836. El variacional como teorema y no como receta —1500 estados de prueba al azar con cinco semillas y ninguno baja del fundamental—, con la ley de segundo orden que explica por qué una ψ mediocre da una energía buena: la parábola x(L−x) se pasa un 1,32 % en el pozo y un solo parámetro lo baja al 0,298 %, mientras la gaussiana del hidrógeno se queda un 15,1 % arriba por no tener cúspide. Y la condición que se olvida siempre: para un estado excitado, sin ortogonalidad al fundamental exacto, la cota no acota nada y la fórmula sigue devolviendo un número creíble. Cierra con WKB, que paga entera la deuda del II.2: el desarrollo asintótico en ħ, la condición |dλ̄/dx| ≪ 1 —de la que sale que el método falla siempre en el punto de retorno— y el prefactor que la receta no lleva, 16E(V₀−E)/V₀², que vale 4 en E = V₀/2 y hace que el exponencial desnudo no converja nunca al exacto. Con los dos «medios» que parecen el mismo truco y no lo son: el índice de Maslov, que se cuenta —y da el oscilador y el pozo infinito exactos, mientras que inventárselo multiplica el fundamental del pozo por 2,25—, y la corrección de Langer, que se sustituye a mano y da el hidrógeno exacto cuando sin ella el 2p se va un 9,16 %. Con dos paneles y hoja de problemas: seis problemas graduados, sólo pistas.
El segundo ciclo: Mecánica Cuántica de 4º y Mecánica Cuántica Avanzada de 5º, con el canon de la UCM — Galindo & Pascual— y con Sakurai y Cohen-Tannoudji al lado. Aquí el formalismo se toma en serio: dominios de operadores, teoría de grupos, dispersión, matriz densidad y segunda cuantización. Siete módulos previstos y uno publicado, el III.1, que estrena el nivel con su hoja de problemas. Los siete se escribieron el 17 de agosto de 2026, en la misma tanda que los seis del Nivel II, y se retiraron el mismo día por el mismo motivo; el III.1 ha vuelto reescrito entero, de la primera línea a la última, y los seis que quedan volverán por ese camino o no volverán. El mapa de abajo es el compromiso, no el inventario.
Por qué «hermítico» no basta, medido: el adjunto de p = −iħ d/dx en un intervalo de 1 nm con paredes duras tiene por autovalor todo número complejo —200 probados, residuo relativo 2,3 × 10⁻¹¹, cruzado contra álgebra simbólica— mientras que p, el mismo operador, no tiene ni uno; lo que los separa es el dominio, y contarlo son los índices de defecto: (1,1) en el intervalo, que deja un círculo entero de extensiones autoadjuntas con p_n = ħ(2πn+α)/L, y (1,0) en la semirrecta, que no deja ninguna. Después el espectro continuo, que resulta tener un valor numérico: el hueco entre los dos primeros modos de un anillo de 1 nm vale 4,5124 eV por tres caminos y la regla de andar por casa ΔE ≈ v·Δp da 3,0082, un tercio corto, porque su error es exactamente 1/(2n+1) — estirada la misma caja a 1 µm el estado de 1,5 eV pasa a ser el modo n = 999 y el error cae al 0,0500 %. «Continuo» no es un sitio al que se llega, es un valor de n. Con el teorema espectral en su versión integral —una medida de proyectores, no una suma de kets—, y con la caída al centro del −λ/r², donde el umbral λ = ¼ se mide por los dos lados y por encima de él el espectro es una torre log-periódica de razón 1415,35 contra los 1415,44 de la forma cerrada, mientras el Coulomb, que tampoco tiene suelo como función, converge a −13,592 eV. Luego Fourier como el cambio de base que es: Plancherel por cuadratura y por FFT hasta 6,8 × 10⁻¹³, el recorte que está en L² y fuera del dominio de p, el término que Robertson tira —la gaussiana con chirp satura la desigualdad de Schrödinger y deja a Robertson √5 = 2,2361 veces corto— y la cota entrópica que no mira el estado: 1 bit exacto para σ_z y σ_x, mínimo 1,0000 sobre 200 000 estados al azar, más del doble que los 0,4569 bits que daba Deutsch. Y al final Stone-von Neumann, con las relaciones de Weyl medidas a 1,6 × 10⁻¹⁵ por dos construcciones independientes de U(a) y el anillo donde el teorema no habla: el mismo conmutador [φ, L_z] da iħ por un lado y 0 por el otro, con 1,000 ħ de discrepancia que es exactamente el término de borde. De paso se retira una cota que este sitio publicaba de más —el techo de la varianza angular no es π/√3 = 1,8138 rad sino π— y se paga la deuda de Gleason: en dimensión 3 o más la regla de Born no es un postulado sino un teorema, y en dimensión 2 es falso, con (1 + u³)/2 perfectamente legal y a 0,125 exactos de la regla de Born más próxima. Con dos paneles y hoja de problemas: seis problemas graduados, sólo pistas.
Las simetrías como operadores unitarios y el teorema de Wigner, los generadores, SU(2) frente a SO(3) y el espinor que necesita 720° para volver, el teorema de Wigner-Eckart, paridad, inversión temporal y la degeneración de Kramers.
Las imágenes de Schrödinger, Heisenberg e interacción; perturbaciones dependientes del tiempo y la regla de oro; los coeficientes de Einstein y las reglas de selección; y la integral de camino de Feynman.
La amplitud f(θ) y dσ/dΩ = |f|² deducido de corrientes, el teorema óptico, Lippmann-Schwinger y la aproximación de Born —con el Yukawa que degenera en Rutherford—, ondas parciales y desfases, resonancias de Breit-Wigner, y el signo que el espín total impone cuando las dos partículas son idénticas.
La matriz densidad, la pureza y la bola de Bloch, la traza parcial y la mezcla impropia que deja el entrelazamiento, la entropía de von Neumann como diagnóstico, la ecuación de Lindblad, y qué resuelve —y qué no— la decoherencia.
El espacio de Fock, operadores de creación y destrucción para bosones y para fermiones, el hamiltoniano en segunda cuantización, el campo cuantizado, y el +1 que convierte la emisión estimulada en espontánea.
Klein-Gordon y la densidad que cambia de signo, la ecuación de Dirac y el espín que sale solo, la estructura fina exacta, el mar de Dirac y la paradoja de Klein — y dónde se acaba la cuántica de una partícula y empieza la teoría de campos.