Módulo III.1 · Artículo 02

El espectro continuo

Una onda plana no está en L², y se puede medir cuánto le falta. Aun así genera el espectro de p en toda la recta. El teorema espectral no pide autovectores: pide una medida — y la palabra «continuo» resulta tener un valor numérico, 1/(2n+1).

1,5000. Ése es el cociente entre el hueco de energía que un anillo de 1 nm tiene de verdad entre sus dos primeros modos —4,5124 eV, medido por tres caminos independientes— y lo que predice la regla de andar por casa ΔE ≈ v·Δp, que da 3,0082 eV. La regla no está equivocada: está evaluada donde no vale. Su error es exactamente 1/(2n+1), con n el número de modos que quedan por debajo, y en n = 1 eso es un tercio. Estirando la misma caja a 1 µm el estado de 1,5 eV pasa a ser el modo n = 999 y el error cae a 0,0500 %. Ahí está el contenido operativo de la palabra continuo: no es un sitio al que se llega, es un valor de n. Este artículo mide qué le falta a una onda plana para ser un estado, qué es exactamente la delta de ⟨p|p′⟩ = δ(p−p′), qué sobrevive del espectro cuando la caja se va, y —al final— qué pasa cuando el espectro no tiene suelo por abajo.

Necesitas: el artículo 01 de este módulo —dominio, adjunto y por qué simétrico no basta—; del II.2, el artículo 01, de donde se toma sin volver a deducirlo el anillo de contorno periódico con En = 2π²ħ²n²/mL² y su tabla; del II.5, el artículo 03 (En = −Ry/n²) y el artículo 04, que dejó E > 0 explícitamente pendiente para aquí; y del II.4, el artículo 01, con Parseval y la resolución de la identidad en su versión discreta. De matemáticas: integrar por partes, una serie geométrica y saber qué es —y qué no es— una derivada evaluada en un punto.

Lo que le falta a una onda plana, medido

El argumento de siempre dice que eikx «no es normalizable» y sigue adelante. Merece la pena pararse, porque la frase mete en el mismo saco dos cosas que no son la misma: ser grande y no tener límite. Lo que se mide es esto: la norma al cuadrado de eikx restringida a un segmento de longitud 2R vale

∫−RR∣eikx∣2dx=∫−RR1 dx=2R,\int_{-R}^{R}\bigl|e^{ikx}\bigr|^{2}dx = \int_{-R}^{R}1\,dx = 2R,

y el guion lo comprueba por cuadratura en tres tamaños: 20 en R = 10, 200 en R = 100 y 2000 en R = 1000, con acuerdo exacto contra 2R. La pendiente es 2 por unidad de R, constante, medida. Y ahí está el matiz: el problema no es que la integral sea grande, es que no tiene límite. No hay ninguna R a partir de la cual la cosa se estabilice, ni ninguna normalización que lo arregle: dividir por √(2R) da un estado distinto para cada R, y la familia no converge a nada dentro de L²(ℝ). Una función que no está en el espacio no está en el dominio de ningún operador definido sobre él, y con eso eikx queda fuera del formalismo del II.4 antes de haber empezado.

Recortarla sí funciona, y funciona exactamente. Con χ[0,L] la indicatriz del intervalo, ‖eikxχ[0,L]/√L‖² = 1 por cuadratura, sin residuo. Es un estado perfectamente legal: normalizado, de cuadrado integrable y con toda la física del momento k dentro. Lo que ha pagado por serlo es tener bordes, y los bordes son precisamente lo que el artículo 01 mostró que decide el espectro. Ésa es la tensión que gobierna el resto del artículo: el momento definido y la pertenencia a L² son incompatibles, y el continuo es lo que queda al soltar la segunda muy despacio.

Conviene además separar dos cosas que suelen ir juntas y no son la misma, y hay un ejemplo medido a mano. La función e−|x|/2a/√a, que aparece en todos los cursos con esa constante delante, sí está en L²: su integral converge. Pero su norma al cuadrado vale 2, no 1 —medido por cuadratura, exacto—, porque la constante que normaliza es 1/√(2a) y no 1/√a. Con 1/√(2a) el guion devuelve 1 sin residuo. Estar en L² y estar normalizada son dos preguntas: la primera decide si eres un vector, la segunda sólo fija una escala. La onda plana falla la primera, que es la que no se arregla con una constante.

Y sin embargo el momento tiene espectro, y es toda la recta real. La salida no es rehabilitar eikx como vector: es cambiar lo que se le pide al teorema espectral. En dimensión finita un observable se escribe A = Σa a |a⟩⟨a| y esa suma es el teorema. En dimensión infinita el enunciado correcto no habla de autovectores sino de una familia de proyectores E(Ω) indexada por conjuntos de números reales —una medida— tal que

A=∫σ(A)λ  dE(λ),1=∫σ(A)dE(λ),A=\int_{\sigma(A)}\lambda\;dE(\lambda),\qquad \mathbf{1}=\int_{\sigma(A)}dE(\lambda),

y el espectro σ(A) es el soporte de esa medida. Para p̂ en toda la recta, E(Ω) es «filtra las componentes de Fourier con momento en Ω», que es un proyector legítimo de L²(ℝ) por muy poco normalizables que sean las ondas planas que lo describen. La notación de Dirac ∫|p⟩⟨p| dp es una manera cómoda y peligrosa de escribir eso mismo: cómoda porque calcula bien, peligrosa porque sugiere que |p⟩ es un vector del espacio. No lo es. Los vectores son los paquetes ∫ φ(p)|p⟩ dp con ∫|φ|² dp = 1, y ésos son exactamente las funciones de L² escritas en la representación de momentos que el artículo 03 construye en serio.

Un mito que conviene desmontar con la cifra en la mano. Se oye a menudo que las ondas planas «son estados idealizados, como una masa puntual o un gas ideal»: aproximaciones que se toman con un grano de sal y ya está. La analogía falla, y falla de forma cuantificable. Una masa puntual es el límite de masas pequeñas y el error se puede acotar; aquí el error no existe, porque no hay ninguna sucesión de estados normalizados que converja a eikx en L² — la norma se va a infinito con pendiente 2 y no hay nada al final del camino. Lo que sí es una aproximación con error acotable es lo contrario: la onda plana aproxima a los paquetes, y cuánto se aproxima es lo que mide la sección siguiente.

La delta de ⟨p|p′⟩ tiene la anchura de un modo y la altura de una densidad

La segunda fórmula que todo el mundo escribe sin mirarla es ⟨p|p′⟩ = δ(p−p′). Como δ no es una función, la frase «el producto escalar de dos ondas planas» no significa nada por sí sola; lo que sí significa algo es la familia finita de la que la delta es límite, y esa familia se puede medir. Tómese la caja de longitud L y calcúlese el producto escalar de dos ondas planas con la normalización de Fourier que fija el artículo 03:

⟨p∣p′⟩L=12πℏ∫−L/2L/2ei(p′−p)x/ℏdx=sin⁡ ⁣[(p−p′)L/2ℏ]π (p−p′)  ≡  DL(p−p′).\langle p|p'\rangle_{L}=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-L/2}^{L/2}e^{i(p'-p)x/\hbar}dx=\frac{\sin\!\bigl[(p-p')L/2\hbar\bigr]}{\pi\,(p-p')}\;\equiv\;D_{L}(p-p').

Esa DL es una función perfectamente corriente, y tiene tres propiedades que el guion mide una a una. Escribiéndola en la variable adimensional q con semianchura X = L/2ħ, o sea DX(q) = sen(qX)/πq:

Alta, estrecha, de área uno y cada vez más fiel: eso, y no otra cosa, es la delta. Lo que la hace útil es que las tres propiedades no son independientes, y al traducirlas de vuelta a la caja física aparece la identidad que da título a esta sección. El primer cero de DL está en (p−p′)L/2ħ = π, o sea en

p−p′=2πℏL  =  Δp,p-p'=\frac{2\pi\hbar}{L}\;=\;\Delta p,

que es exactamente la separación entre dos modos consecutivos del anillo. Y su altura es L/2πħ = 1/Δp, que es exactamente el número de modos por unidad de momento. La delta finita, entonces, tiene la anchura de un modo y la altura de una densidad de modos, y su producto vale uno porque tiene que valer uno. Cuando L → ∞ la anchura se va a cero y la altura a infinito con el producto fijo — que es la única descripción honesta de δ que se puede dar sin escribir la palabra «distribución». Y de paso queda claro qué es el 2πħ que aparece en ⟨x|p⟩ = (2πħ)−1/2eipx/ħ: no es una convención de normalización, es el volumen que ocupa un modo en el espacio de fases, y el artículo 03 lo cobra como tal.

Ejemplo resuelto 1 · La delta de un anillo de 1 nm, y la de uno de 1 µm

Problema. Para un anillo de perímetro L:

  1. escribe la anchura y la altura de DL y evalúalas en L = 1 nm y L = 1 µm;
  2. comprueba que el producto anchura × altura no depende de L;
  3. traduce la anchura a energía alrededor de 1,5 eV y di qué significa;
  4. decide cuánto tiene que valer L para que DL distinga dos momentos que difieren en una parte en mil a esa energía.

Solución. (a) La anchura es la posición del primer cero, Δp = 2πħ/L, y la altura es DL(0) = L/2πħ. Con ħ = 1,05457 × 10⁻³⁴ J·s:

Δp(1 nm)=2πℏ10−9=6,626×10−25 kg m/s,DL(0)=1Δp=1,509×1024.\Delta p(1\,\mathrm{nm})=\frac{2\pi\hbar}{10^{-9}}=6{,}626\times10^{-25}\ \mathrm{kg\,m/s},\qquad D_L(0)=\frac{1}{\Delta p}=1{,}509\times10^{24}.

La altura va en (kg·m/s)⁻¹, porque DL se integra contra momentos. A 1 µm los dos números se cambian por mil: Δp = 6,626 × 10⁻²⁸ kg·m/s y altura 1,509 × 10²⁷ (kg·m/s)⁻¹. La caja mil veces más larga tiene una delta mil veces más estrecha y mil veces más alta.

(b) El producto es (2πħ/L)·(L/2πħ) = 1, sin L dentro. No es una casualidad numérica: es el área, que ya se midió igual a uno en tres tamaños distintos de X. Una familia que conserva el área mientras estrecha el soporte es la definición operativa de una aproximación a la delta, y aquí el área es uno por construcción, porque el 2πħ del denominador de ⟨x|p⟩ se eligió para eso.

(c) Alrededor de E = 1,5 eV el momento vale p = √(2meE) = 6,617 × 10⁻²⁵ kg·m/s y la velocidad v = p/me = 726,4 km/s. Una anchura Δp se traduce en una anchura en energía v·Δp — y aquí sí es legítimo hacerlo, porque es la anchura de una campana, no el salto entre dos niveles; la sección siguiente explica por qué esa distinción cuesta un 33 %. A 1 nm eso da 3,00 eV: la delta de un anillo de un nanómetro es el doble de ancha que la propia energía del estado, o sea que no distingue nada. A 1 µm da 3,00 meV, dos partes por mil de 1,5 eV.

(d) «Una parte en mil» a 1,5 eV son 1,5 meV de anchura en energía, o sea Δp = 1,5 meV/v. Despejando L = 2πħ/Δp:

L=2πℏ v1,5 meV=2πℏp⋅2E1,5 meV≈2 μm.L=\frac{2\pi\hbar\,v}{1{,}5\ \mathrm{meV}}=\frac{2\pi\hbar}{p}\cdot\frac{2E}{1{,}5\ \mathrm{meV}}\approx 2\ \mathrm{\mu m}.

Resultado. La delta no es una propiedad del momento: es una propiedad del aparato, y su parámetro es el tamaño de la región donde vive el estado. Un electrón confinado en un nanómetro no tiene un momento borroso por culpa de ninguna filosofía, lo tiene borroso en 3 eV porque su caja mide un nanómetro; el mismo electrón en dos micras tiene el momento definido a una parte en mil. Ésta es la lectura que salva la notación de Dirac: ⟨p|p′⟩ = δ(p−p′) no dice que dos ondas planas distintas sean ortogonales «infinitamente», dice que la ortogonalidad entre momentos vecinos aparece a la escala 2πħ/L y no antes. Con L finito hay solape, y es medible.

De la caja al continuo: el hueco exacto, y dónde deja de valer v·Δp

Ahora el límite, que es donde el artículo se juega la tesis. El sistema es el anillo de perímetro L que el II.2 ya publicó entero: contorno periódico, En = 2π²ħ²n²/mL² con n = 0, ±1, ±2…, nivel cero permitido y degeneración doble. Nada de eso se vuelve a deducir aquí. Lo que aquí se hace es una pregunta que aquel módulo no podía hacer: ¿a qué ritmo se vuelve continuo ese espectro?

Hay dos maneras de contestar y la gracia está en que dan resultados distintos. La primera es exacta: restar dos niveles.

En+1−En=2π2ℏ2mL2[(n+1)2−n2]=2π2ℏ2mL2 (2n+1).E_{n+1}-E_{n}=\frac{2\pi^{2}\hbar^{2}}{mL^{2}}\bigl[(n+1)^{2}-n^{2}\bigr]=\frac{2\pi^{2}\hbar^{2}}{mL^{2}}\,(2n+1).

La segunda es la que se usa en la práctica en todo el estado sólido y en toda la teoría de dispersión: tratar E como función continua de p y multiplicar la derivada por el paso. Con pn = 2πħn/L y Δp = 2πħ/L,

ΔE  ≈  dEdp Δp  =  pnm Δp  =  v Δp  =  2π2ℏ2mL2 (2n).\Delta E \;\approx\; \frac{dE}{dp}\,\Delta p \;=\; \frac{p_{n}}{m}\,\Delta p \;=\; v\,\Delta p \;=\;\frac{2\pi^{2}\hbar^{2}}{mL^{2}}\,(2n).

Las dos expresiones son el mismo prefactor multiplicado por 2n+1 y por 2n. De modo que el cociente entre lo exacto y la ley local no depende de L, ni de la masa, ni de la energía: depende sólo de cuántos modos hay por debajo.

ΔEexactov Δp=2n+12n=1+12n,ΔEexacto−v ΔpΔEexacto=12n+1.\frac{\Delta E_{\text{exacto}}}{v\,\Delta p}=\frac{2n+1}{2n}=1+\frac{1}{2n},\qquad \frac{\Delta E_{\text{exacto}}-v\,\Delta p}{\Delta E_{\text{exacto}}}=\frac{1}{2n+1}.

Ahí está todo el artículo en dos fracciones. En n = 1 el cociente vale 3/2 exactamente y la ley local se queda un tercio corta: 33,3 % de error, no un poco, un tercio. En n = 999 el cociente vale 1,0005 y el error 1/1999 = 0,0500 %. La ley local es asintótica, y su parámetro pequeño es 1/n. Decir «el espectro se vuelve continuo cuando L → ∞» es una manera imprecisa de decir esto otro, que sí se puede comprobar: el espectro se comporta como continuo en la medida en que haya muchos modos por debajo del que estás mirando, y «muchos» significa 1/(2n+1) más pequeño que la precisión que necesitas.

Ejemplo resuelto 2 · El hueco de 1 nm por tres caminos, y el mismo hueco a 1 µm

Problema. Para un electrón en un anillo de L = 1 nm:

  1. sitúa el modo n = 1 y calcula el hueco al n = 2 en forma cerrada;
  2. recalcúlalo por dos caminos numéricos que no compartan cuentas con el primero;
  3. calcula v·Δp en ese mismo modo y compáralos;
  4. repite todo a L = 1 µm alrededor de la misma energía y explica qué ha cambiado.

Solución. (a) Con En = 2π²ħ²n²/mL² y L = 1 nm, el primer modo cae en E₁ = 1,5041 eV —que es el número que el II.2 ya publica en su tabla, y de paso es la E₂ del pozo de paredes duras del II.1, porque los dos tienen k = 2π/L—. El hueco es entonces

E2−E1=2π2ℏ2meL2 (2⋅1+1)=3E1=4,5124 eV.E_{2}-E_{1}=\frac{2\pi^{2}\hbar^{2}}{m_{e}L^{2}}\,(2\cdot 1+1)=3E_{1}=\mathbf{4{,}5124\ \text{eV}}.

(b) El guion lo vuelve a sacar dos veces más sin usar esa fórmula: diagonalizando el operador en diferencias finitas con extrapolación de Richardson, y disparando la ecuación diferencial hasta cerrar la condición de periodicidad. Los tres caminos coinciden en 3,4 × 10⁻¹², 6,9 × 10⁻¹² y 1,5 × 10⁻¹². Que sean tres importa por una razón concreta: la forma cerrada podría estar mal escrita y seguir siendo autoconsistente, y el disparo no sabe nada de ella.

(c) En el modo n = 1 el momento vale p₁ = 2πħ/L = 6,626 × 10⁻²⁵ kg·m/s, la velocidad v = p₁/me = 727,4 km/s, y el paso Δp = 2πħ/L es el mismo p₁. Luego

v Δp=p12me=2E1=3,0082 eV,v\,\Delta p=\frac{p_{1}^{2}}{m_{e}}=2E_{1}=\mathbf{3{,}0082\ \text{eV}},

contra los 4,5124 eV de verdad. La ley local se queda un 33,3 % corta y el hueco real es un 50 % mayor que ella. Y el motivo se ve en el álgebra sin necesidad de números: v·Δp = 2E₁ mientras que el hueco es 3E₁, porque la parábola E ∝ n² tiene curvatura y en n = 1 el término cuadrático pesa tanto como el lineal. Evaluar una derivada en el primer punto de una rejilla es pedirle a una recta que reproduzca una parábola en su tramo más curvo.

(d) A L = 1 µm la separación entre modos es mil veces menor y la energía 1,5 eV le corresponde al modo n = 999, que está en 1,5011 eV. Ahí:

v Δp=3,0052 meV,E1000−E999=3,0067 meV,exactoaprox=1,0005.v\,\Delta p=3{,}0052\ \text{meV},\qquad E_{1000}-E_{999}=3{,}0067\ \text{meV},\qquad \frac{\text{exacto}}{\text{aprox}}=1{,}0005 .

El error es 1/1999 = 0,0500 %, y el guion lo mide en 0,0500 % por diagonalización independiente. Lo que ha cambiado no es la física ni la fórmula: es n. La misma ley que fallaba un tercio acierta ahora a cinco partes en diez mil, y la única diferencia entre los dos casos es cuántos escalones hay por debajo.

Resultado. Un límite no es un interruptor. Entre «discreto» y «continuo» hay un número, 1/(2n+1), que dice cuánto se equivoca uno al tratar lo primero como lo segundo, y ese número está disponible antes de decidir si el límite es lícito. La regla práctica que se lleva uno a casa es corta: antes de usar v·Δp, cuenta cuántos modos tienes debajo. Si son mil, la ley vale hasta la cuarta cifra; si es uno, la ley se equivoca en un tercio y encima devuelve un número perfectamente creíble —3,01 eV para un salto electrónico en un nanómetro no le chirría a nadie—, que es la peor clase de error que existe. Este mismo mecanismo reaparece en la sección siguiente, con el hidrógeno y con un 13 %.

Queda decir qué sobrevive del límite, porque no todo desaparece. Al mandar L → ∞ el hueco ΔE se va a cero y la lista de niveles deja de ser una lista; pero el número de modos por unidad de momento, L/2πħ, no se va a ninguna parte: crece con L de forma que por unidad de longitud es constante e igual a 1/2πħ. Es la misma cantidad que apareció en la sección anterior como la altura de la delta, y no es una coincidencia — es la misma cuenta hecha dos veces. Eso es el residuo del límite: lo que se pierde es la lista, lo que se gana es una densidad. El II.7 usó exactamente esa densidad, en tres dimensiones y con su factor de espín, para contar los electrones del cobre por debajo de EF; aquí sólo hacía falta saber de dónde sale.

Por qué en esta sección no hay ninguna matriz que sostenga nada. El II.4 lo dejó escrito con todas las letras al hablar de la p̂ discretizada: una matriz N × N está definida en todo ℂN, su adjunta también, los dos dominios coinciden por construcción, y por tanto discretizar no resuelve el problema del dominio: lo borra, junto con la condición de contorno que lo causaba. La consecuencia práctica para este artículo es una regla de uso, no un tabú: las diagonalizaciones que aquí se citan aparecen siempre como segundo camino hacia un espectro que ya tiene forma cerrada —los 4,5124 eV, los tres caminos del ejemplo resuelto 2— y nunca como argumento. Ninguna de las afirmaciones estructurales de este artículo —que eikx no está en L², que la delta tiene área uno, que el error de la ley local es 1/(2n+1), que el espectro del hidrógeno se acumula en cero— se ha comprobado con una matriz, porque una matriz no puede saberlo: todas se han medido sobre funciones, con cuadraturas y con álgebra. Un espectro se puede diagonalizar; un dominio, no.

El hidrógeno por arriba: dónde se acumulan las rayas

El II.5 resolvió el Coulomb y cortó en E < 0. Su artículo 04 dejó la deuda por escrito —«el hidrógeno también ioniza, y sus estados de energía positiva no son normalizables ni forman una base en el sentido del II.4»— y la mandó aquí. Es la misma deuda de la primera sección con otro potencial: los estados de E > 0 del Coulomb son ondas de dispersión que se comportan a lo lejos como ondas planas deformadas, y no están en L² por el mismo motivo, que es que no decaen. La suma sobre estados que el II.8 usaba una y otra vez sólo recorre la parte discreta, y aquel módulo ya midió lo que eso cuesta: el continuo se lleva el 18,6 % de la polarizabilidad del estado fundamental. Un quinto de la respuesta vive fuera de la lista de kets.

Lo que aquí se puede añadir, y que necesita el lenguaje de la medida espectral, es dónde se junta lo uno con lo otro. Los niveles ligados son En = −Ry/n² con Ry = 13,6057 eV, e infinitos. Como En → 0⁻, se acumulan todos contra el umbral: el guion cuenta que a partir de n = 117 todos los niveles —comprobados 5883 de ellos— caen dentro del último milielectronvoltio por debajo de cero, con E₂₀₀ = 340,1 µeV. El valor 116,64 sale de despejar Ry/n² = 1 meV y el 117 de enumerar niveles uno a uno, y coinciden.

De modo que el punto E = 0 es un lugar peculiar del espectro: es un punto de acumulación de autovalores, y es a la vez el borde del continuo. No es un autovalor aislado —no tiene ningún entorno que no contenga otros infinitos puntos del espectro—, y por eso ninguna descomposición del hidrógeno en «niveles» puede ser completa. Ésa es la parte del teorema espectral que el II.4 declaró y no demostró: la resolución de la identidad del hidrógeno tiene dos sumandos, una suma sobre las rayas y una integral sobre [0, ∞), y ninguno de los dos se puede descartar.

1=∑nℓm∣nℓm⟩⟨nℓm∣  +  ∫0∞ ⁣ ⁣∑ℓm∣Eℓm⟩⟨Eℓm∣ dE.\mathbf{1}=\sum_{n\ell m}|n\ell m\rangle\langle n\ell m|\;+\;\int_{0}^{\infty}\!\!\sum_{\ell m}|E\ell m\rangle\langle E\ell m|\,dE .

Y ahora la medida que hace interesante todo esto. Métase hidrógeno en una caja de 1 µm —una caja de verdad, con paredes: ψ(0) = ψ(L) = 0— y mírese un electrón libre a 1,00 eV por encima del umbral. Los niveles de esa caja están separados 1,23 meV —dos caminos, la ley local y el hueco exacto, coinciden al 0,046 %, que es lo que cabe esperar con n ≈ 1631 modos por debajo—. Y conviene detenerse en el «de verdad»: el mismo µm cerrado en anillo da el doble exacto, 2,45 meV, porque sus momentos van de h/L en h/L y los de la caja de h/2L en h/2L. Misma longitud, mismo electrón, misma expresión diferencial; el dominio cambia y el hueco se duplica. Las rayas ligadas, en cambio, se van juntando como 2Ry/n³. ¿Dónde se cruzan? El guion lo resuelve por enumeración exacta y da n = 28; la fórmula asintótica da 28,10, y los dos caminos concuerdan al 0,3 %.

Léase despacio lo que eso significa. A partir de n = 28, las rayas «discretas» del hidrógeno están más juntas que los niveles «continuos» de un electrón libre en una caja de una micra. Un aparato con resolución de 1,23 meV ve exactamente lo contrario de lo que la teoría dice: ve un continuo donde hay espectro puntual y ve rayas donde hay espectro continuo. La distinción entre discreto y continuo no es, entonces, una propiedad de lo que el aparato registra: es una propiedad del operador autoadjunto y de su dominio, y sólo el teorema espectral la ve. Ésa es la razón última de que este módulo exista, y aquí está en un número.

Un aviso sobre la fórmula 2Ry/n³, porque es el mismo cepo de la sección anterior con otro disfraz. Es la derivada de −Ry/n² respecto de n, y por tanto es asintótica. El hueco exacto es

En+1−En=Ry(1n2−1(n+1)2)=2Ryn3⋅n(2n+1)2(n+1)2,E_{n+1}-E_{n}=\mathrm{Ry}\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)=\frac{2\mathrm{Ry}}{n^{3}}\cdot\frac{n(2n+1)}{2(n+1)^{2}},

y ese factor de corrección vale 0,9852 en n = 100 —el guion mide 26,81 µeV exactos contra 27,21 µeV asintóticos, un 1,48 % que casa con el álgebra— y baja hasta 0,8678 en n = 10, o sea un 13 % de error. Igual que antes, la corrección va como 1/n y n es el número de niveles por debajo. Es exactamente la misma lección dos veces, en dos torres distintas: una derivada evaluada donde quedan pocos escalones por debajo no es una aproximación, es un número equivocado con buen aspecto.

Y por abajo: el espectro que no tiene suelo

Falta la pregunta que el II.1 dejó abierta y que este módulo debe. Su artículo 04 demuestra que no puede haber estados normalizables con E < Vmín, por un argumento de curvatura precioso: si E está por debajo del mínimo del potencial, ψ y ψ″ tienen el mismo signo en todo punto, la función se curva alejándose del eje y no puede tender a cero por los dos lados. Y allí mismo se añade la letra pequeña: el argumento supone que Vmín existe, y con un potencial no acotado por abajo «la pregunta de si el hamiltoniano está acotado por abajo se vuelve un asunto técnico serio. Es una de las razones de que el módulo III.1 exista». Aquí se cobra, y se cobra midiendo, porque la respuesta no es la que sugiere la intuición.

El II.5 ya publica, en el artículo 04 y en la entrada de glosario de la caída al centro, el argumento de escalas que sitúa la frontera en s = 2 y el umbral en β ≤ ħ²/8m, que en estas unidades es λ ≤ ¼. Lo que aquí se añade es el umbral medido por los dos lados y lo que hay al otro lado, que no está escrito en ninguna parte del sitio.

La intuición dice: si V no tiene suelo, H tampoco. Es falso, y el hidrógeno es el contraejemplo que el lector ya conoce. El potencial −e²/4πε₀r no está acotado por abajo: se va a −∞ en el origen. Y sin embargo el hamiltoniano sí lo está, con fundamental en −13,6 eV. El guion lo comprueba como hay que comprobarlo, viendo qué pasa al afinar el corte: con tres cortes sucesivos alrededor del origen el fundamental sale en −0,49803, −0,49901 y −0,49950 hartree, es decir, se queda quieto en el tercer dígito y converge a −0,5 hartree = −13,59 eV, a un 0,1 % del Ry de CODATA. La energía cinética que cuesta apretar el paquete contra el centro crece más deprisa que lo que gana la energía potencial, y de esa competencia sale un mínimo. Ésa es la estabilidad de la materia y es un teorema, no una casualidad.

Cámbiese ahora el exponente. Tómese el potencial −λ/r², que es exactamente el caso frontera porque escala igual que la energía cinética: en unidades ħ²/2m = 1 y para ondas s, la ecuación radial es

−u′′(r)−λr2 u(r)=E u(r),r>0.-u''(r)-\frac{\lambda}{r^{2}}\,u(r)=E\,u(r),\qquad r \gt 0 .

Los dos términos del lado izquierdo van como r⁻², de modo que la ecuación no contiene ninguna longitud. Probando u ∼ rs cerca del origen sale s(s−1) + λ = 0, o sea

s=12±14−λ.s=\tfrac12\pm\sqrt{\tfrac14-\lambda}.

Ahí está el umbral, y sale de una raíz cuadrada, no de un ajuste: mientras λ < ¼ los dos exponentes son reales y una de las dos soluciones es suficientemente mansa en el origen; en cuanto λ > ¼ los exponentes se vuelven complejos conjugados y el comportamiento cerca de cero pasa a ser

u(r)∼r cos⁡ ⁣[λ−14 ln⁡r+δ],u(r)\sim\sqrt{r}\,\cos\!\Bigl[\sqrt{\lambda-\tfrac14}\,\ln r+\delta\Bigr],

o sea infinitas oscilaciones cada vez más apretadas al acercarse al origen. Las medidas del guion separan los dos regímenes sin ambigüedad, poniendo un corte ε alrededor del origen y afinándolo:

El fundamental de −λ/r² al afinar el corte ε alrededor del origen: por debajo del umbral se queda quieto, y por encima no converge a nada.
λE₀ con ε = 10⁻²… y con ε = 2,5 × 10⁻³Qué hace
0,20+8,344+7,921Se mueve un 5 % y sigue positivo
1−13,80−222,6Se hunde: ×4 al partir ε por la mitad
2−244,9−3920Igual, y más deprisa

Las energías están en unidades ħ²/2m = 1, y el ¼ que separa las dos primeras filas de las otras dos tiene nombre y teorema propios: es la constante de la desigualdad de Hardy, que acota la energía potencial de un −λ/r² por la cinética exactamente hasta ahí. Es óptima y no se alcanza, y por eso en λ = ¼ justo el operador sigue acotado por abajo aunque ya sin mínimo. La fila de λ = 0,20 es lo que se espera de un operador acotado por abajo: al dividir el corte por cuatro el fundamental se mueve un 5 % y sigue por encima de cero. Las otras dos no convergen a nada, y no lo hacen de una forma muy precisa: cada vez que ε se parte por la mitad, E₀ se multiplica por cuatro. El guion mide 4,031 y 4,000 en los dos escalones sucesivos de λ = 1, y 4,0002 y 4,0007 en los de λ = 2. Eso es E₀ ∝ ε⁻², que es lo único que puede pasar cuando la ecuación no tiene longitud propia y la única escala disponible es el corte. Quitando el corte, el fundamental se va a −∞. El hamiltoniano no está acotado por abajo, y no hay estado fundamental. El fenómeno tiene nombre desde Landau: la caída al centro.

Lo que sí converge, y es lo que se publica, es la razón entre niveles consecutivos. Como el corte es la única escala, cambiarlo desplaza toda la torre sin deformarla; y como la fase del coseno de arriba avanza π cada vez que ln r avanza π/√(λ−¼), las energías —que van como r⁻²— forman una progresión geométrica de razón e2π/√(λ−¼). Medido contra esa forma cerrada, por diagonalización:

La razón entre niveles consecutivos de la torre log-periódica, medida por diagonalización y por la forma cerrada e^(2π/√(λ−¼)).
λRazón medida En/En+1Forma cerradaAcuerdo
11415,351415,446,3 × 10⁻⁵
2115,537115,5435,0 × 10⁻⁵
517,865917,86643,1 × 10⁻⁵

Una torre geométrica con razón 1415 no es una curiosidad: significa que los niveles se acumulan a la vez en 0⁻ y en −∞, y que el espectro es invariante bajo multiplicar por esa razón. Compárese con la torre de la sección anterior, porque el contraste es el argumento entero de esta sección:

El hidrógeno frente a la caída al centro, fila a fila: dos potenciales sin suelo, y sólo uno de ellos con hamiltoniano acotado por abajo.
Hidrógeno, −1/rCaída al centro, −λ/r² con λ > ¼
V no acotado por abajoSíSí
H acotado por abajoSí, en −13,6 eVNo
Ley de la torreEn = −Ry/n², potencialEn ∝ razón−n, geométrica
Se acumula en0⁻ solamente0⁻ y −∞
Hay fundamentalSíNo
Hace falta condición en r = 0NoSí, y fija la escala entera

La última fila es la que ata esta sección con el resto del módulo. El corte ε no es un truco numérico que se pueda refinar hasta que desaparezca: es lo que hace falta poner para que el operador tenga un dominio con el que sea autoadjunto. Y aquí conviene no confundir dos umbrales que esta sección tiene a la vez sobre la mesa, porque no son el mismo. El ¼ es la frontera de la acotación por abajo: por encima aparecen los exponentes complejos, la torre log-periódica y la caída al centro. La frontera de la unicidad está mucho más abajo, en λ = −¾: sólo con λ ≤ −¾ queda −d²/dr² − λ/r² sobre (0, ∞) determinado por su expresión. Para todo λ por encima —incluido el λ = 0 del radial libre— admite una familia de extensiones, cada una con su condición en r = 0; y por encima de ¼, además, cada una con su torre, todas con la misma razón. Que el caso λ = 0 ya sea ambiguo no hay que creérselo: lo demuestra el problema 5 de la hoja de este módulo, calculando sus índices de defecto. Es el mecanismo del artículo 01 —un operador simétrico al que le faltan condiciones de contorno para quedar determinado— trasladado del momento en un intervalo al hamiltoniano en una semirrecta, y con una consecuencia física que se enuncia sin ninguna matemática: la razón entre niveles es una predicción; el valor de cualquiera de ellos no lo es. La escala entera de la torre depende de física de corto alcance que la ecuación −λ/r² no contiene, y elegir la condición en r = 0 es la manera de meterla.

Esto no es patología de pizarra, y conviene decir dónde se mide. El −λ/r² con λ por encima del umbral describe el régimen de tres cuerpos con interacción de alcance corto y dispersión resonante, y su torre geométrica es el efecto Efimov, predicho en 1970 y visto por primera vez en 2006 en un gas ultrafrío de cesio. Allí λ vale 1,2625 —o sea √(λ−¼) = 1,006— y la razón entre estados ligados consecutivos es 515 en energías, no 1415, porque el problema físico fija su λ; en longitudes esa misma razón es su raíz, 22,7. El mecanismo —invariancia de escala rota hasta un subgrupo discreto por la condición de contorno de corto alcance— es exactamente el de esta sección.

Y la moraleja metodológica viaja, pero hay que contarla entera, porque el laboratorio la puso del revés. La teoría idealizada dice que la escala de la torre no significa nada —depende del corte— y que la cantidad con sentido es la razón. Lo que se publica es justo lo contrario. Lo que se mide bien es la escala: la posición del primer resonante, el llamado parámetro de tres cuerpos, que además resultó universal —a₋ ≈ −9,73 rvdW para sistemas con cola de van der Waals—, o sea que ese corte que la teoría declaraba arbitrario lo fija la física de corto alcance real, y lo fija igual en gases distintos. La razón, en cambio, es lo difícil: una torre real está recortada por los dos extremos y casi nunca deja ver dos estados consecutivos. La única medida directa llegó en 2014, ocho años después de la primera observación, y da 21,0(1,3) frente a los 22,7 de la teoría: compatible, con un 6 % de incertidumbre, y una sola vez. Cuando un espectro no está acotado por abajo, la cantidad con significado es la que no depende del corte; que sea además la que se puede medir, eso ya no lo garantiza nadie.

Ejercicios

Ejercicio 1 · La familia está en L², el límite no

De la sección 2, DX(q) = sen(qX)/πq con área 1 y altura X/π.

  1. Calcula ‖DX‖² = ∫ DX(q)² dq en forma cerrada y compárala con la altura DX(0).
  2. Deduce de ahí, sin apelar a ninguna autoridad, por qué δ no puede ser un elemento de L².
  3. Se dice a veces que «δ es el límite de gaussianas cada vez más estrechas» y también que «δ es el límite de esta DX». Las dos familias tienen área 1 pero no se parecen: DX es negativa en la mitad de los sitios. ¿Cambia eso el límite, y en qué sentido preciso?
  4. Un aparato mide con resolución finita, lo que equivale a integrar la señal contra una DX concreta. Si el aparato no puede distinguir dos momentos separados por Δp = 10⁻²⁷ kg·m/s, ¿qué L le corresponde?
Solución

(a) Con la primitiva estándar ∫ sen²(aq)/q² dq = πa sobre toda la recta:

∥DX∥2=∫−∞∞sin⁡2(qX)π2q2 dq=1π2 πX=Xπ=DX(0).\|D_X\|^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^{2}(qX)}{\pi^{2}q^{2}}\,dq=\frac{1}{\pi^{2}}\,\pi X=\frac{X}{\pi}=D_X(0).

La cuadratura numérica lo confirma: 0,31828 frente a 0,31831 en X = 1 y 15,9155 frente a 15,9155 en X = 50, con el residuo cayendo como el truncamiento de la cola. La norma al cuadrado es la altura. No es una coincidencia bonita: es la identidad de Plancherel aplicada a la indicatriz de la caja, cuya transformada es DX, y por eso el mismo L/2πħ aparece como altura de la delta, como norma de la familia y como densidad de modos. Tres papeles, una cuenta.

(b) ‖DX‖² = X/π → ∞. La familia entera vive en L² para cada X finita, y su norma diverge en el límite: exactamente el mismo diagnóstico que el de eikx en la sección 1, donde la norma al cuadrado valía 2R. De modo que δ no es un vector que no hayamos sabido escribir: es el límite de una sucesión de vectores cuya norma no está acotada, y esas sucesiones no tienen límite en un espacio de Hilbert. La segunda lección, que es la que se usa: los objetos con ⟨p|p′⟩ = δ(p−p′) no son vectores por definición, porque δ(0) = ‖·‖² = ∞ es la manera taquigráfica de decir esto mismo.

(c) No cambia el límite como distribución —las dos familias integran igual contra cualquier función suave, que es la única prueba que δ tiene que pasar— y sí cambia el límite en cualquier otro sentido. En particular no hay convergencia puntual: DX(q) oscila y cambia de signo para siempre, mientras la gaussiana estrecha es positiva. La diferencia se paga con funciones no suaves: contra un escalón, DX produce las oscilaciones de Gibbs y la gaussiana no. «Converge» sin decir en qué topología es la fuente de la mitad de los errores de este tema, y ésta es la primera vez que el curso necesita distinguirlas.

(d) L = 2πħ/Δp = 2π(1,05457 × 10⁻³⁴)/10⁻²⁷ = 6,63 × 10⁻⁷ m, es decir 663 nm. Comprobación de orden de magnitud con lo publicado: a 1 µm la sección 2 daba Δp = 6,63 × 10⁻²⁸ kg·m/s, y pedir una resolución 1,5 veces peor tiene que devolver una caja 1,5 veces más corta. Devuelve 663 nm. Lo que el apartado enseña es que la resolución en momento de cualquier montaje es su tamaño, y que la relación es exacta, no un orden de magnitud.

Ejercicio 2 · La ley local, al revés: ¿cuántos modos hacen falta?

El artículo ha deducido que v·Δp se queda corta en 1/(2n+1). Úsalo hacia atrás. (a) ¿Qué n hace falta para que la ley local acierte al 1 %, y qué perímetro L le corresponde a un electrón de 1,5 eV? (b) Un colega usa v·Δp para un electrón de 1,00 eV en un anillo de 10 nm. ¿Cuánto se equivoca? (c) Repite (b) con un protón a la misma energía y en el mismo anillo, y explica el resultado sin volver a calcular nada. (d) La sección 4 usó 2Ry/n³ para el hidrógeno, que es la misma clase de aproximación. Estima con el factor exacto cuánto se equivoca en n = 10 y compáralo con lo que se equivocaría v·Δp con diez modos por debajo.

Solución

(a) 1/(2n+1) ≤ 0,01 pide 2n+1 ≥ 100, o sea n ≥ 50 (n = 50 da 1/101 = 0,990 %; n = 49 se queda en 1,010 % y no llega). El perímetro sale de p = 2πħn/L con p = √(2meE) = 6,617 × 10⁻²⁵ kg·m/s a 1,5 eV:

L=2πℏ np=2π(1,05457×10−34)⋅506,617×10−25=50,1 nm.L=\frac{2\pi\hbar\,n}{p}=\frac{2\pi(1{,}05457\times10^{-34})\cdot 50}{6{,}617\times10^{-25}}=\mathbf{50{,}1\ \text{nm}} .

Comprobación por un segundo camino que no comparte cuentas: En = 2π²ħ²n²/mL² con n = 50 y ese mismo L devuelve 1,5000 eV. Y una comprobación de coherencia con el texto: a 1 nm había 1 modo bajo 1,5 eV y a 1 µm había 999, así que 50 modos tienen que caer alrededor de 50 nm, y caen.

(b) n = Lp/2πħ con p = √(2me·1 eV) = 5,403 × 10⁻²⁵ kg·m/s y L = 10 nm da n = 8,15, o sea el modo n = 8 (a 0,963 eV). El error es 1/17 = 5,88 %. Diez nanómetros suenan «grandes» y no lo son para esto: lo que cuenta no es la longitud, es el recuento. La segunda lección está en el signo: la ley local se queda corta siempre, porque E ∝ n² es convexa, así que un cálculo de densidad de estados hecho con v·Δp sobreestima siempre el número de niveles.

(c) No hace falta recalcular el error: hace falta recalcular n. A energía fija, p = √(2mE) ∝ √m, y n ∝ p, luego n se multiplica por √(mp/me) = √1836,15 = 42,85. De 8,15 se pasa a 349, y el error de 1/17 baja a 1/699 = 0,143 %. Lo interesante es la lectura: a igual energía y igual caja, la partícula pesada está mucho más cerca del límite clásico, y no por ninguna razón filosófica sino porque le caben cuarenta y tres veces más modos por debajo. Es la manera limpia de decir «ħ pequeño» sin cambiar ninguna constante.

(d) Del artículo, el factor exacto es n(2n+1)/2(n+1)², que en n = 10 vale 10·21/(2·121) = 210/242 = 0,8678: 2Ry/n³ se pasa un 13,2 %. Nótese el signo, que es el contrario del de (b): aquí En = −Ry/n² crece hacia el umbral y es cóncava vista como función de n, así que la derivada sobreestima el hueco. Con diez modos por debajo v·Δp se equivocaría 1/21 = 4,8 %, o sea menos y en el otro sentido. La conclusión que hay que llevarse no es un número, es el procedimiento: toda ley obtenida derivando un espectro discreto trae un error de orden 1/n, y el primer paso para usarla es contar n; el signo lo pone la convexidad.

Ejercicio 3 · La torre sin suelo, y qué de ella es una predicción

Para −u″ − λu/r² = Eu con λ > ¼, la razón entre niveles consecutivos es e2π/√(λ−¼).

  1. ¿Para qué λ vale exactamente 10 la razón? Resuélvelo en cerrado y comprueba el resultado sustituyendo.
  2. ¿Qué le pasa a la razón cuando λ → ¼⁺ y cuando λ → ∞, y qué significa físicamente cada límite?
  3. El texto afirma que la razón es una predicción y que el valor de un nivel concreto no lo es. Justifícalo usando que la ecuación no contiene ninguna longitud.
  4. Un colega propone «regularizar» el problema quedándose con el corte ε = 10⁻³ y declarando que el fundamental vale lo que salga. Da el argumento numérico —con las cifras del artículo— que lo refuta.
Solución

(a) Tomando logaritmos, 2π/√(λ−¼) = ln 10, luego

λ=14+(2πln⁡10)2=0,25+(2,72875)2=7,6961.\lambda=\frac14+\left(\frac{2\pi}{\ln 10}\right)^{2}=0{,}25+(2{,}72875)^{2}=\mathbf{7{,}6961}.

Sustituyendo hacia atrás: √(7,6961 − 0,25) = 2,72875 y e2π/2,72875 = 10,0000. Un segundo camino independiente —buscar el cero de e2π/√(λ−¼) − 10 con un algoritmo de bisección— devuelve 7,69609134, que coincide con la forma cerrada en 1 × 10⁻¹³. Y una comprobación de sentido: la razón decrece con λ y en λ = 5 vale 17,87, así que para bajarla hasta 10 hace falta un λ algo mayor que 5. Sale 7,70.

(b) Cuando λ → ¼⁺, √(λ−¼) → 0 y la razón → ∞: la torre se estira tanto que sólo queda un nivel a cualquier escala accesible, y en λ = ¼ exacto ya no hay torre: la caída al centro se apaga justo en el umbral, y que la razón diverja es precisamente cómo se apaga. Cuando λ → ∞, el exponente → 0 y la razón → 1: los niveles se aprietan hasta hacerse indistinguibles, que es el límite semiclásico de este problema. Las dos cosas dicen lo mismo: √(λ−¼) es el número de oscilaciones por unidad de ln r, y una torre densa corresponde a un potencial que oscila mucho cerca del origen.

(c) Si u(r) resuelve la ecuación con energía E, entonces u(r/μ) la resuelve con energía μ²E, para cualquier μ > 0: no hay ninguna longitud en la ecuación con la que romper esa simetría. Luego el conjunto de energías, si fuera todo lo que hay, tendría que ser invariante bajo multiplicar por cualquier μ² — es decir, sería toda la semirrecta negativa. Lo que rompe la simetría es la condición en r = 0, que introduce una longitud desde fuera y deja sólo un subgrupo discreto de μ: los que preservan la fase módulo π, o sea μ = ekπ/√(λ−¼) en las longitudes y μ² = e2kπ/√(λ−¼) en las energías, que es la razón medida en la tabla. La razón entre niveles es ese subgrupo y no depende de qué condición se haya elegido; el valor de un nivel concreto es la condición elegida, escrita en otras unidades. La segunda lección conecta con el artículo 01: elegir esa condición es elegir una extensión autoadjunta, y aquí se ve para qué sirve la distinción, porque cambia el espectro entero sin cambiar ni un símbolo del operador.

(d) Basta enseñar que el número propuesto depende del corte y no converge. Con λ = 1 el fundamental medido pasa de −13,80 a −222,6 al afinar ε, y la razón entre pasos sucesivos es 4,031 y 4,000: E₀ ∝ ε⁻², de modo que cada vez que el colega afine su malla obtendrá un número cuatro veces mayor, para siempre. Un «resultado» que se multiplica por cuatro cada vez que se refina la discretización no es un resultado, es una medida de la discretización. Compárese con el Coulomb de esta misma sección: allí los tres cortes dan −0,49803, −0,49901 y −0,49950 hartree y el cuarto dígito ya no se mueve, que es el aspecto que tiene una cifra de verdad. El test es siempre el mismo: refina el corte y mira si el número se queda quieto.