El valor esperado de [φ, Lz] en el estado uniforme del anillo vale iħ si se deriva φψ y vale 0 si el momento angular se pasa al otro lado de la integral. La discrepancia es de 1,000 ħ —medida en los tres estados |m⟩ = |0⟩, |1⟩ y |2⟩, y la misma en los tres— y no es ruido de cuadratura: coincide dígito a dígito con el término de borde −iħ[φ|ψ|²]₀2π, que es lo que sobra cuando φψ deja de ser periódica. Ésa es toda la física de este artículo. El teorema de Stone-von Neumann dice que en ℝⁿ el par canónico es único salvo unitaria, y por eso la mecánica cuántica de la recta no tiene variantes; en el círculo el teorema no dice nada, porque no hay ningún par al que aplicárselo, y en el hueco que deja caben el flujo magnético, las corrientes permanentes y el dominio del artículo 01 con otro nombre. Al final se cobra la última deuda que el sitio le tenía a este módulo: el teorema de Gleason, y la medida de por qué en dimensión 2 no vale.
Weyl, no [x, p]
El II.4 dejó una puerta abierta y la dejó a propósito: escribir ⟨φ|Aψ⟩ = ⟨Aφ|ψ⟩ y concluir que A es un operador hermítico es correcto en dimensión finita, y en dimensión infinita sólo dice que A es simétrico. Los tres artículos anteriores de este módulo han cobrado esa deuda: el 01 midió que p* con Dirichlet tiene todo el plano complejo por autovalor mientras p no tiene ninguno, el 02 montó el espectro continuo sin kets —y con él la versión integral del teorema espectral, que en dimensión finita el II.4 ya había dado como suma— y el 03 usó Fourier como el cambio de base que es. Queda una pregunta que ninguno de los tres podía contestar, porque no es sobre un operador sino sobre el par: ¿en qué sentido son x y p «los» x y p?
La respuesta ingenua es «porque cumplen [x, p] = iħ», y no sirve. Un conmutador de dos operadores no acotados es una igualdad entre funciones, y toda igualdad entre funciones sólo significa algo cuando se dice dónde vale. Peor: ningún par de operadores acotados puede cumplir [A, B] = iħ·1. En dimensión finita se ve tomando trazas —el lado izquierdo tiene traza cero y el derecho no— y en dimensión infinita hay un argumento igual de corto, debido a Wintner y a Wielandt, que sólo usa la norma. Así que x y p tienen que ser no acotados, tienen que tener dominio, y el dominio es justamente lo que la fórmula no dice. Escribir el conmutador canónico sin escribir el dominio es como escribir una ecuación diferencial sin las condiciones de contorno: el II.2 ya enseñó que ahí es donde vive toda la física.
Weyl encontró la manera de decir lo mismo sin dominios. En lugar de x y p, se usan los unitarios que generan, que son los desplazamientos en posición y en momento:
y la relación canónica se convierte en una identidad entre operadores acotados que vale en todo el espacio, sin condiciones, sin dominios y sin letra pequeña:
El cambio de estatus es el punto entero. U(a) y V(b) son unitarios: están definidos sobre las funciones de cuadrado integrable todas, conservan la norma y tienen inversa, que es su adjunto. No hay un subconjunto denso donde la fórmula valga y un resto donde no; no hay una extensión que elegir. Lo que en el lenguaje de [x, p] era una identidad con letra pequeña, aquí es un enunciado sin excepciones, y por eso es el que se puede meter en un teorema.
Que la traducción es fiel se comprueba, no se cita. En una rejilla de 256 puntos se construye U(a) por dos caminos que no comparten cuenta: uno pasa a momentos con la transformada rápida, multiplica por la fase e−ika y vuelve; el otro monta la matriz de p y calcula la exponencial de matriz. Los dos operadores coinciden en norma de Frobenius con una desviación de 1,3 × 10⁻¹³ sobre una escala de 16, que es la norma del propio unitario. Con cualquiera de los dos, el residuo relativo de la relación de Weyl vale 1,6 × 10⁻¹⁵ por el camino de la transformada y 4,4 × 10⁻¹⁵ por el de la exponencial: cero con el ruido de la máquina dentro.
Y la comprobación que de verdad enseña algo es la del signo. Si se prueba la misma identidad con e−iab/ħ en vez de e+iab/ħ, el residuo relativo sube a 1,27: no se degrada, se rompe. Once órdenes de magnitud separan la fórmula correcta de la que sólo se le parece, así que la relación de Weyl no es una convención de signos que se pueda tomar en un sentido o en el otro. Fija cuál de los dos operadores desplaza en qué, y equivocarse de signo es equivocarse de teoría, no de notación.
El teorema, y su letra pequeña
Con las relaciones de Weyl ya se puede enunciar lo que este artículo titula. Teorema (Stone, von Neumann, 1930-1931). Sean U(a) y V(b) dos familias uniparamétricas de operadores unitarios sobre un espacio de Hilbert separable que cumplen las relaciones de Weyl, que son fuertemente continuas en a y en b, y cuya representación conjunta es irreducible. Entonces existe un unitario W tal que
sobre L²(ℝⁿ), con x̂ la multiplicación por la coordenada y p̂ = −iħ∇ en su dominio natural. En una frase: la representación de Schrödinger es la única que hay, salvo un cambio de vestido unitario. No existe «otra mecánica cuántica» en la recta con las mismas relaciones canónicas, no hay grados de libertad ocultos por elegir, y las representaciones de posición y de momentos del artículo 03 no son dos teorías compatibles por casualidad: son la misma teoría vista con dos W distintas, y la W que las conecta es la transformada de Fourier.
Cada hipótesis está haciendo trabajo, y conviene saber cuál, porque es lo que permite reconocer un sistema al que el teorema no se aplica —que es justo lo que va a pasar en la sección siguiente—.
| Hipótesis | Qué prohíbe | Qué pasa si falta |
|---|---|---|
| Relaciones de Weyl (no [x, p] = iħ) | Que el enunciado dependa de un dominio | Hay pares simétricos con [x, p] = iħ en un denso que no son unitariamente equivalentes al de Schrödinger: el contraejemplo de Nelson |
| Irreducibilidad | Que la representación se descomponga | Dos copias de Schrödinger cumplen Weyl y no son «la» representación; son dos. La unicidad se recupera al pedir que no haya subespacio invariante propio |
| Continuidad fuerte | Que a y b no generen nada | Sin ella no hay generador: el teorema de Stone deja de producir el p y el x autoadjuntos de los que salen U y V |
| Hilbert separable | Bases no numerables | Aparecen representaciones exóticas sin análogo físico |
| Un número finito de grados de libertad | El paso a teoría de campos | Se cae del todo: en dimensión infinita hay familias continuas de representaciones inequivalentes, y ésa es la raíz del teorema de Haag y de por qué el vacío interactuante no vive en el espacio de Fock libre |
La fila de la continuidad fuerte apoya en un teorema que este módulo lleva usando desde el artículo 01 sin haberlo enunciado nunca, y conviene pararse una línea a hacerlo, porque es el teorema que convierte todo lo anterior en física. Teorema de Stone (1932). Si U(t) es una familia de operadores unitarios con U(t + s) = U(t)U(s), U(0) = 1 y t ↦ U(t)ψ continua para cada ψ, entonces existe un único operador autoadjunto A tal que U(t) = e−iAt/ħ; y al revés, todo A autoadjunto genera una familia así. Léase lo que dice y lo que no: no dice simétrico, dice autoadjunto, y la correspondencia es biyectiva. Ahí está por qué el módulo entero ha estado contando índices de defecto. Un operador simétrico al que le falten condiciones de contorno no genera ninguna evolución, ninguna traslación y ninguna simetría — y cada extensión autoadjunta distinta genera un grupo distinto, que es el mismo hecho del artículo 01 dicho en el idioma de los grupos.
La última fila de la tabla merece leerse dos veces, porque es la que convierte al teorema de unicidad en algo más que una curiosidad: Stone-von Neumann es exactamente lo que se pierde al pasar a campos. Que la mecánica cuántica de una partícula no tenga variantes y la teoría cuántica de campos sí las tenga —fases, vacíos inequivalentes, sectores de superselección— no es un accidente histórico ni un defecto de las matemáticas: es el enunciado de esta tabla, fila última.
Un teorema de unicidad no es un teorema de existencia. Stone-von Neumann no dice que el par canónico exista sobre cualquier espacio de configuración: dice que, si existe con esas cuatro propiedades, entonces es el de siempre. Es la distinción que hace falta tener clara antes de la sección siguiente, donde el sistema —un anillo— es perfectamente respetable, tiene su hamiltoniano autoadjunto, su espectro y sus estados, y aun así no admite ningún par de Weyl. El teorema no se incumple ahí: simplemente no tiene a qué agarrarse, que es una situación distinta y mucho más interesante.
Stone-von Neumann en pequeño: diecisiete estados
Antes del anillo conviene ver el teorema funcionando donde se puede tocar con las manos. Hay una versión del par de Weyl en dimensión finita, y es la que usa media computación cuántica: en ℂN con una base |0⟩, |1⟩, …, |N−1⟩ etiquetada módulo N, se definen el desplazamiento y el reloj
que cumplen la relación de Weyl con la fase discreta ω en el papel que allí hacía eiab/ħ:
Con N = 17, un primo elegido para que no haya subgrupos donde esconderse, ω es la raíz decimoséptima de la unidad, un giro de 21,18°, y las cifras salen así. La relación de Weyl finita se cumple con ‖ZX − ωXZ‖ = 8,1 × 10⁻¹⁶ en norma de Frobenius. La transformada de Fourier discreta, escrita explícitamente como Frc = ωrc/√N, es unitaria con un residuo de 8,6 × 10⁻¹⁵. Y lo que importa:
Eso es Stone-von Neumann en pequeño. El desplazamiento y el reloj son dos operadores que no se parecen en nada —uno permuta la base, el otro la deja quieta y le pone fases— y hay un único unitario que convierte el primero en el segundo, que resulta ser Fourier. Igual que en la recta, donde la W del teorema es la transformada de Fourier que el artículo 03 montó a mano.
La irreducibilidad, que en el enunciado general suena a tecnicismo, aquí se mide. Un operador conmuta con toda la representación si conmuta con X y con Z a la vez; imponer las dos condiciones sobre las 289 componentes de una matriz 17 × 17 deja un conmutante de dimensión exactamente 1 —los múltiplos de la unidad, y nada más—, y el menor valor singular no nulo del sistema es 0,368, o sea que la conclusión no depende de dónde se ponga el umbral. Irreducible medido, no irreducible dicho. Además X17 = Z17 = 1 con residuos de 0 y 2,5 × 10⁻¹⁴: el grupo que generan es finito, y por eso todo esto cabe en una matriz.
Y aquí hay que decir en voz alta qué se acaba de hacer, porque el II.4 lo prohíbe. El artículo 02 del módulo II.4 escribe, sobre el problema del dominio, que «discretizar no resuelve el problema del dominio, lo borra junto con la condición de contorno que lo causaba», y añade la lección: un cálculo numérico comprueba lo que está representado en él, y sólo eso. Esa prohibición se respeta aquí y hay que explicar cómo. Esta sección no está pagando la tesis del módulo con una matriz. Lo que ilustra —que hay un único unitario que entrelaza dos representaciones irreducibles del mismo par de Weyl— es un enunciado sobre operadores unitarios, y los operadores unitarios no tienen dominio que borrar: X y Z están definidos en todo ℂ¹⁷, igual que U(a) y V(b) lo están en todo L²(ℝ). El modelo de N = 17 es un modelo declarado, un juguete honesto del teorema de las unitarias. La tesis de este módulo —que hay sistemas sin par de Weyl porque el dominio lo impide— es exactamente lo contrario, y la sección siguiente la mide como hay que medirla: con cuadraturas sobre funciones de verdad, sobre un intervalo de verdad, donde el borde existe y se puede evaluar. Ni una diagonalización.
El anillo: el mismo conmutador da iħ y da 0
El sistema es el que el II.2 ya publicó entero, y conviene entrar con su tabla en la cabeza: una partícula sobre un anillo de perímetro L, condición de contorno periódica ψ(x+L) = ψ(x), niveles En = 2π²ħ²n²/mL² con n = 0, ±1, ±2…, el nivel cero permitido —ψ constante es periódica, normalizable y tiene energía exactamente cero— y todos los demás degenerados dos veces, una onda girando en cada sentido. En variable angular φ = 2πx/L el momento angular es Lz = −iħ d/dφ, sus autofunciones son ψm(φ) = eimφ/√(2π) y su dominio son las funciones periódicas: ψ(2π) = ψ(0).
La tentación es escribir el par canónico del anillo como (φ, Lz) y seguir adelante, porque φ y Lz tienen todas las trazas de serlo. Y la primera sorpresa es que φ no tiene ningún problema. La carta φ ∈ [0, 2π) es una función acotada —su supremo vale exactamente 2π = 6,2832—, y multiplicar por una función acotada real es un operador autoadjunto definido en todo el espacio, sin dominio que discutir y sin extensiones que elegir. Lo que falla no es φ. Lo que falla es el conmutador.
Y falla de una manera que se puede poner en un número. Tomemos el estado uniforme ψ0 = 1/√(2π), que es el nivel cero del anillo, y calculemos ⟨[φ, Lz]⟩ de las dos maneras que un libro escribiría sin pensarlo:
- Con Lz a la derecha, es decir derivando el producto φψ como si nada: Lz(φψ) = −iħψ + φLzψ, de donde [φ, Lz]ψ = +iħψ y el valor esperado sale iħ. Medido por cuadratura: la parte imaginaria vale 1,000 ħ con un residuo de 2,2 × 10⁻¹⁶.
- Con Lz a la izquierda, es decir usando que Lz es autoadjunto y pasándolo al bra —que es la única operación legal, porque ψ sí está en su dominio—, los dos términos son el mismo número y el valor esperado sale 0. Medido: el módulo vale exactamente 0 en el estado |0⟩ y 1,9 × 10⁻¹⁷ en el |1⟩.
Las dos cuentas son correctas. Las dos evalúan la misma integral. Y dan respuestas que difieren en 1,000 ħ. Lo que las separa es el paso que una hace y la otra no: derivar φψ. Y φψ no es periódica —vale 0 en φ = 0 y vale 2πψ(2π) en el otro extremo—, así que φψ no está en el dominio de Lz y la primera cuenta ha aplicado un operador fuera de su dominio. Lo que sobra tiene nombre y fórmula, y es exactamente el término de borde del artículo 01 con Lz en el papel de p:
Esa igualdad es el resultado central del artículo, y su lectura física cabe en una frase: la discrepancia del conmutador canónico sobre el anillo vale 2πħ veces la densidad de probabilidad que hay sobre la costura de la carta. En los estados |m⟩ la densidad es plana y vale 1/2π en todas partes, así que el producto da 1,000 ħ exactamente y da lo mismo para todo m — medido en m = 0, 1 y 2, con residuos de 2,2 × 10⁻¹⁶, 4,9 × 10⁻¹⁰ y 2,0 × 10⁻⁹—. No es que el conmutador esté «casi» bien: está mal por una cantidad que se puede predecir de antemano mirando dónde está el estado.
De ahí sale la conclusión que da título al artículo. Para que hubiera un par de Weyl haría falta un V(b) = e−iφb que, junto con las rotaciones, cerrara la relación. Y e−iφbψ es periódica si y sólo si e−2πib = 1, o sea si y sólo si b es entero. El grupo que se puede formar sobre el círculo no es ℝ × ℝ sino ℝ × ℤ: rotaciones con parámetro continuo, y fases einφ con n entero. El teorema de Stone-von Neumann habla de ℝⁿ × ℝⁿ y de nada más, así que sobre el anillo no dice nada — no porque sea falso allí, sino porque no hay ningún objeto en el enunciado al que aplicárselo. El guion lo deja escrito como consecuencia de la medida y no como opinión: los tres estados probados dan iħ por un lado y 0 por el otro, con una discrepancia de 1 ħ en cada uno.
Problema. Sobre el anillo, con Lz = −iħ d/dφ y φ ∈ [0, 2π), calcula ⟨[φ, Lz]⟩ por las dos lecturas —derivando φψ y pasando Lz al bra— para
- el estado uniforme ψ0 = 1/√(2π);
- la superposición ψ = (ψ0 + ψ1)/√2.
- Explica con una sola fórmula por qué la diferencia es la que es en cada caso, y
- di qué estado del anillo haría desaparecer la discrepancia.
Solución. (a) La lectura ilegal es puro álgebra y no depende del estado. Como Lz(φψ) = −iħ(ψ + φψ′) y φLzψ = −iħφψ′, restando queda
así que ⟨[φ, Lz]⟩ = iħ para cualquier estado normalizado. Ése es el «iħ» que todo el mundo escribe.
La lectura legal, en cambio, sí depende del estado. Para ψ0 = 1/√(2π) se tiene Lzψ0 = 0, de modo que ⟨ψ0|φLzψ0⟩ = 0 y ⟨Lzψ0|φψ0⟩ = 0 también: los dos términos se anulan por separado y la respuesta es 0. Con ψm general, los dos valen ħm⟨φ⟩ y la resta vuelve a dar 0.
(b) Con ψ = (1 + eiφ)/√(4π), la lectura ilegal sigue dando +iħ. Para la legal hacen falta dos integrales elementales, y , de donde
y su diferencia vale −iħ. Nótese lo que ha pasado: la lectura legal ya no da cero, da −iħ, o sea el opuesto del valor canónico. La discrepancia entre las dos lecturas es |iħ − (−iħ)| = 2,000 ħ, el doble que en el estado uniforme.
(c) La fórmula es la del término de borde, y explica los dos casos de una vez. La discrepancia vale 2πħ|ψ(0)|². En el estado uniforme |ψ0(0)|² = 1/2π y sale 1,000 ħ; en la superposición |ψ|² = (1 + cos φ)/2π vale 1/π sobre la costura —el estado se amontona justo ahí, porque las dos ondas llegan en fase en φ = 0— y sale 2,000 ħ. La discrepancia no mide nada del operador: mide dónde está el estado.
(d) Uno que se anule en la costura. Si ψ(0) = ψ(2π) = 0, entonces φψ sí es periódica —vale cero en los dos extremos—, φψ está en el dominio de Lz, las dos lecturas coinciden y el conmutador canónico es literalmente cierto en ese estado. La superposición (ψ0 − ψ1)/√2 es un ejemplo, y el ejercicio 1 la recorre entera.
Resultado. Lo que este ejemplo enseña no es que el conmutador canónico «falle» sobre el anillo, sino qué es lo que falla y con qué se paga. El álgebra de operadores diferenciales es indiferente al estado y siempre devuelve iħ; el producto escalar no es indiferente, y devuelve iħ menos un flujo por el borde. Cuando el borde no existe —la recta, con funciones que se anulan en el infinito— los dos coinciden y no hay nada que discutir; ésa es la razón profunda de que Stone-von Neumann funcione en ℝⁿ. Cuando el borde existe, el conmutador canónico deja de ser una identidad de operadores y pasa a ser una identidad con una corrección que depende del estado, que es otra cosa y no sostiene ningún teorema. Es la misma lección del artículo 01 —el borde es donde vive el dominio— dicha sobre un par en vez de sobre un operador suelto.
La cota que este artículo retira
Hay una manera clásica de contar todo lo anterior sin hacer ninguna integral, y este módulo la traía mal escrita. Va así. Si [φ, Lz] valiera iħ como identidad de operadores, la desigualdad de Robertson del II.1 daría σφσL ≥ ħ/2 en todo estado. Pero el estado uniforme del anillo es autoestado de Lz con autovalor cero, así que su σL es cero — medido, ⟨Lz⟩ = 5,7 × 10⁻¹⁸ ħ y ⟨Lz²⟩ = 1,3 × 10⁻²⁹ ħ², que es cero con el ruido de la máquina dentro. Y σφ no puede ser infinita, porque φ está encerrada en un intervalo de longitud 2π. Producto cero contra un mínimo positivo: la desigualdad se incumple, luego la premisa es falsa.
El argumento es correcto y la conclusión es correcta. Lo que estaba mal era el número. El borrador de este artículo —y el problema 6 de la hoja, y su solucionario— decían que «la varianza lineal de φ no puede superar la de la uniforme, π/√3 = 1,814 rad», y de ahí sacaban para σL un mínimo √3 veces mayor que el que se puede demostrar. Ese techo no existe.
La cifra en sí está bien calculada: la densidad plana 1/(2π) sobre [0, 2π) tiene ⟨φ⟩ = π, ⟨φ²⟩ = 4π²/3 y por tanto σφ = π/√3 = 1,8138 rad, comprobado por cuadratura contra la forma cerrada con un residuo de 3,7 × 10⁻¹⁶. Lo falso es llamarla techo. La uniforme maximiza la entropía, no la varianza; y sobre un intervalo acotado la distribución de varianza máxima no es la plana sino la que pone toda la masa en los dos extremos. Es un resultado con nombre —la desigualdad de Popoviciu, Var ≤ (b − a)²/4— y sobre [0, 2π) da
que es √3 = 1,7321 veces mayor que el «techo» que se publicaba. Y no es una cota floja de pizarra: se ha comprobado por los dos lados. Por arriba, con la desigualdad cerrada. Por abajo, exhibiendo —una enumeración sobre 401 celdas y 1001 pesos encuentra la distribución que la satura, la que reparte peso 0,5 en cada extremo, y mide σφ = 3,141593 rad—. Y de paso, 200 000 densidades al azar se quedan todas dentro, con un máximo de 2,7365 rad.
Alguien podría objetar que la distribución de dos puntos no es un estado cuántico, y tendría razón: es una medida, no una función de onda. La objeción se contesta con estados de verdad. Una familia de von Mises, p(φ) ∝ eκcos φ, es periódica, suave, normalizada y perfectamente representable como |ψ|² de una función de onda del anillo. Su varianza lineal sobre la carta [0, 2π) tiene forma cerrada en funciones de Bessel,
donde π²/3 = 3,2899 es justamente la varianza de la uniforme y todos los sumandos son positivos, porque las funciones de Bessel modificadas lo son. Es decir: la fórmula misma demuestra que ningún von Mises baja del valor de la uniforme, y que todos lo superan. Medido por cuadratura y por la serie, que coinciden a 10⁻¹⁵ o mejor:
| Concentración κ | Var(φ) (rad²) | σφ (rad) | Frente a π/√3 = 1,8138 |
|---|---|---|---|
| 1 | 5,1910 | 2,2784 | × 1,256 |
| 5 | 7,7384 | 2,7818 | × 1,534 |
| 20 | 8,7877 | 2,9644 | × 1,634 |
| 100 | 9,3773 | 3,0622 | × 1,688 |
| 400 | 9,6213 | 3,1018 | × 1,710 |
| → ∞ | → π² = 9,8696 | → π = 3,1416 | × 1,732 |
Cinco estados legales, cinco veces por encima del supuesto techo, creciendo monótonamente hacia π. La cota honesta que el argumento puede usar es, por tanto,
El módulo publicaba una cota √3 = 1,73 veces mayor que la que se puede demostrar. Conviene ser claro sobre lo que eso cambia y lo que no: la conclusión sobrevive entera, porque el σL medido es cero y cero sigue siendo menor que 0,159 ħ con la misma comodidad con que era menor que la cota vieja. Lo que se pierde es la mitad del margen, y lo que se gana es un argumento que resiste que alguien lo compruebe. Un razonamiento correcto apoyado en una cota inventada es exactamente igual de correcto y exactamente igual de indefendible.
Problema. Toma el estado del anillo cuya densidad es un von Mises con κ = 100 centrado en φ = 0, o sea p(φ) = e100 cos φ/(2π I0(100)).
- Calcula su σφ en la carta φ ∈ [0, 2π).
- Calcula la misma σφ del mismo estado en la carta φ ∈ [−π, π).
- Compara con la anchura física del bulto.
- ¿Qué dice el resultado sobre la cota de Robertson de arriba?
Solución. (a) Por simetría φ → 2π − φ la densidad es simétrica respecto de π, así que ⟨φ⟩ = π (medido: 3,1415927, residuo 1,7 × 10⁻¹⁵). La varianza sale de la serie de Bessel de arriba o de la cuadratura, y las dos dan 9,3773 rad², o sea σφ = 3,0622 rad. Está a un 2,5 % del techo de Popoviciu.
(b) En la carta [−π, π) la misma densidad es simétrica respecto de 0, con ⟨φ⟩ = 0, y la serie cambia sólo en un signo alterno:
de donde σφ = 0,10025 rad. Cuadratura y serie vuelven a coincidir. El mismo estado, la misma función de onda, el mismo operador «multiplicar por el ángulo», y la desviación típica cambia en un factor de 30,5.
(c) La anchura física del bulto es la que da la carta simétrica, y hay un tercer camino que lo confirma sin ninguna serie: para κ grande el von Mises se parece a una gaussiana de anchura 1/√κ, que con κ = 100 vale exactamente 0,100 rad. Coincide con lo medido en la primera cifra decimal. El estado es estrecho: ocupa una décima de radián de los 6,28 que hay. Y sin embargo en la carta [0, 2π) mide 3,06 rad, casi la mitad del anillo entero, porque el bulto está partido por la costura y la mitad de la masa aparece cerca de 0 mientras la otra mitad aparece cerca de 2π. La varianza lineal no ve un bulto: ve dos montones en los extremos, que es justamente la configuración que satura Popoviciu.
(d) Que la cota de 0,159 ħ es lo mejor que se puede hacer y aun así no es una relación de incertidumbre. Una desigualdad de incertidumbre relaciona dos propiedades del estado; aquí uno de los dos números — σφ— no es una propiedad del estado en absoluto, sino de la carta con la que se ha decidido etiquetar el círculo, y cambia en un factor 30 sin que el estado se mueva. Por eso el argumento de esta sección funciona como refutación y no funcionaría como relación: sirve para demostrar que [φ, Lz] = iħ es falso, y no sirve para acotar nada.
Resultado. La moraleja se lleva más lejos que el anillo, y es la razón de que este ejemplo esté aquí y no en la hoja: antes de meter una magnitud en una desigualdad de incertidumbre hay que comprobar que es un observable, es decir, que hay un operador autoadjunto detrás cuyo valor no dependa de convenios. El ángulo no lo es —lo es eiφ, o el par (sen φ, cos φ), que sí son univaluados sobre el círculo y con los que sí existen relaciones de incertidumbre angulares correctas, las de Judge y las de Carruthers y Nieto—. La «paradoja del ángulo y el momento angular» que aparece en los libros no es una paradoja: es una magnitud que no era un observable disfrazada de uno, y lo que la delata es que su varianza depende de dónde se ponga el corte.
El anillo con flujo, y por qué Stone-von Neumann no elige
Queda por explicar qué ocupa el sitio que el teorema no ocupa. En la recta, la unicidad de Stone-von Neumann significa que no hay ningún parámetro libre: dada la relación de Weyl, la teoría está fijada. Sobre el anillo hay un parámetro libre, y no es una libertad matemática sin consecuencias — es un campo magnético.
El montaje es el que el II.2 ya anunciaba en su callout, «un flujo magnético que atraviese el anillo desplaza el espectro y produce una corriente permanente que no se apaga». Escrito con acoplamiento mínimo, el momento angular canónico se desplaza en una cantidad proporcional al flujo Φ encerrado, y las energías quedan
Aquí μ es la masa de la partícula y m sigue siendo el número cuántico entero: se escribe μ para la masa porque m ya está ocupado, y conviene tenerlo presente al llegar a los microelectronvoltios de más abajo. El prefactor no es nuevo: con 2πR = L es exactamente el 2π²ħ²/μL² del II.2, y las dos formas coinciden a 1,5 × 10⁻¹⁶. Lo nuevo es lo que hace el flujo, y se ve mejor en una tabla que en un párrafo. Con L = 1 nm y un electrón, diagonalizando en diferencias finitas y contrastando contra la forma cerrada —los dos caminos coinciden entre 6 × 10⁻¹² y 3 × 10⁻¹⁰—:
| Flujo Φ/Φ₀ | Nivel más bajo | Segundo | Tercero | Qué le pasa al espectro |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 exacto | 1,504 eV | 1,504 eV | El anillo del II.2: nivel cero permitido, resto degenerado dos veces |
| 0,25 | 0,0940 eV | 0,8461 eV | 2,3502 eV | El cero desaparece y las degeneraciones se rompen todas |
| 0,5 | 0,3760 eV | 0,3760 eV | 3,3843 eV | Vuelve la degeneración, pero abajo: m = 0 y m = 1 empatan |
Tres cosas de esa tabla merecen decirse. La primera es que el flujo destruye el nivel cero, que era la propiedad más llamativa del anillo del II.2: con Φ/Φ₀ = ¼ el estado fundamental ya tiene 0,0940 eV de energía y no hay ningún estado de energía cero, porque m − Φ/Φ₀ no se anula para ningún m entero. La segunda es que a Φ/Φ₀ = ½ los dos niveles más bajos vuelven a empatar —el cruce, medido con un residuo relativo de 4,4 × 10⁻¹³— y es una degeneración distinta de la del II.2: allí eran las dos direcciones de giro de la misma |m|, aquí son dos valores distintos de m que la mitad de un cuanto de flujo ha puesto a la misma altura.
La tercera es una coincidencia que no lo es. El nivel fundamental a medio cuanto de flujo vale 0,3760 eV, que es exactamente el E1 = 0,376 eV del pozo de paredes duras de 1 nm que publican el II.1 y el II.2. No es casualidad ni es un dato nuevo —ese número está gastado y aquí sólo sirve de comprobación—: a Φ/Φ₀ = ½ el momento efectivo es m − ½ = ±½, y ½² = ¼ del primer modo periódico devuelve el «cuatro veces» de la tabla del II.2 leído al revés. Medio cuanto de flujo le hace al anillo, en energía, lo mismo que ponerle dos paredes.
El cuanto de flujo de este artículo es h/e, y el que se encuentra al
buscarlo es h/2e. Merece un aviso porque el error es silencioso: el
«cuanto de flujo magnético» que traen las tablas de constantes —y
scipy.constants entre ellas— vale
2,0678 × 10⁻¹⁵ Wb y es h/2e, la mitad exacta del de aquí. Ése es el cuanto
superconductor, y el 2 del denominador es el par de Cooper: dos
electrones, carga 2e. El de un electrón solo dando vueltas a un anillo
normal es Φ₀ = h/e = 4,1357 × 10⁻¹⁵ Wb. Un factor 2 que se cuela sin hacer
ruido y que deja todas las energías divididas por cuatro.
El anillo de 1 nm de la tabla es una cuenta, no un experimento: para meterle medio cuanto de flujo por sus 7,96 × 10⁻²⁰ m² de área haría falta un campo de 2,6 × 10⁴ T, unas 570 veces el récord de campo continuo de 2019: los 45,5 T de un inserto superconductor de REBCO dentro de un imán resistivo, que fue lo que rompió la barrera de los 45 T que aguantaba desde los noventa. El sistema de verdad es un anillo mesoscópico de un micrómetro de perímetro, y ahí las cifras se vuelven de este mundo: la misma fórmula da E1 = 1,504 µeV, y medio cuanto de flujo sobre sus 7,96 × 10⁻¹⁴ m² pide 26,0 mT, un campo que produce cualquier bobina de mesa. Ésa es la escala en la que se miden las corrientes permanentes desde los años noventa, y la periodicidad en Φ₀ del espectro es exactamente lo que se observa.
Y ahora la frase que cierra el círculo con el artículo 01. El parámetro Φ/Φ₀ entra en el problema de la misma manera y en el mismo sitio que el α que el artículo 01 usó para etiquetar las extensiones autoadjuntas de p en un intervalo: los dos desplazan el espectro de forma continua, los dos recorren un círculo, y a Φ/Φ₀ = ½ le corresponde α = π, que es precisamente la extensión antiperiódica ψ(L) = −ψ(0). El par que sí cierra sobre el círculo —las rotaciones, con parámetro continuo, y las fases einφ, con n entero— no tiene una representación irreducible sino una familia continua de ellas, etiquetada por α, y son inequivalentes entre sí porque el espectro de Lz, que vale ħ(m + α/2π), es distinto como conjunto para cada α. Dicho al derecho: donde Stone-von Neumann elige, no hay nada que decidir; donde no elige, la decisión la toma la física, y aquí la toma un campo magnético. El α que en el artículo 01 parecía una convención matemática para tapar un agujero en un dominio resulta ser una magnitud medible en teslas.
Gleason: por qué en dimensión 2 no vale
Queda una deuda, y es la más antigua que este módulo arrastra. El artículo 04 del II.4 remite a Gleason dos veces, su hoja de problemas una tercera y el propio glosario una cuarta. Se paga aquí, porque es el mismo género de resultado que Stone-von Neumann: un teorema de unicidad que dice que no hay elección, con hipótesis finas que conviene mirar, y con un caso —la dimensión 2— donde falla y se puede medir cuánto.
El planteamiento. Supongamos que sólo aceptamos del formalismo la parte geométrica: los sucesos posibles de una medida son proyectores ortogonales sobre el espacio de Hilbert, y una base ortonormal es un experimento con resultados excluyentes y exhaustivos. Una asignación de probabilidades es entonces una función de marco: una función f que a cada dirección unitaria le da un número entre 0 y 1 de manera que, para toda base ortonormal, la suma sobre sus vectores valga 1.
Nada más. No se ha supuesto la regla de Born, no se ha supuesto que haya matriz densidad, no se ha supuesto linealidad. Sólo aditividad sobre bases. Teorema de Gleason (1957). Si la dimensión es 3 o mayor, toda función de marco es de la forma f(n) = ⟨n|ρ|n⟩ para un único operador ρ positivo de traza 1. Es decir: la regla de Born no es un postulado independiente. Se deduce de que los sucesos sean proyectores y de que las probabilidades sumen 1 sobre cada base. El postulado III del II.4, en dimensión 3 o más, es un teorema.
«Si la dimensión es 3 o mayor» es la letra pequeña, y es donde está la física. En dimensión 2 el teorema es falso, y aquí es donde se mide. La razón, dicha antes de las cifras, es puramente geométrica: en dimensión 2 una base ortonormal es un par de vectores ortogonales, que en la esfera de Bloch son dos puntos antipodales. La condición de marco se reduce a f(n) + f(−n) = 1 para cada eje, y esa condición no conecta un eje con otro. Las bases de dimensión 2 no se solapan: no hay ningún par de bases distintas que compartan un vector y obliguen a que los valores encajen. En dimensión 3, en cambio, un vector pertenece a infinitas ternas, y esa red de solapamientos es tan rígida que sólo la deja pasar una forma cuadrática.
El contraejemplo se escribe en una línea. Con u = cos θ la componente z del vector de Bloch, tómese
Es legal, y las tres condiciones están medidas. Toma valores en [0, 1], con mínimo exactamente 0 en el polo sur. Y cumple la condición de marco de forma exacta: sobre 200 000 direcciones al azar, el máximo de |f(n) + f(−n) − 1| vale 0 —no «pequeño»: cero, porque u³ es impar y los dos términos se cancelan idénticamente—. Es una asignación de probabilidades perfectamente aditiva sobre todas las bases de un qubit.
Y no viene de ninguna regla de Born. Toda regla de Born en dimensión 2 es f(n) = (1 + r·n)/2 con |r| ≤ 1, o sea una función afín en n, y u³ no es afín. Cuánto de lejos está admite dos respuestas distintas, y hay que dar las dos con su nombre porque miden cosas distintas:
| Qué se pregunta | El r que lo consigue | Residuo máximo |
|---|---|---|
| Ajuste de Born por mínimos cuadrados sobre la esfera | rz = 3/5 = 0,6 | 0,2006 medido sobre 200 000 direcciones; 0,200 exacto, alcanzado en los polos u = ±1 |
| La regla de Born más próxima que existe (minimax) | rz = 3/4 = 0,75 | 0,125 exacto, equioscilando en u = 1 y en u = 1/2 |
La primera fila es la que sale de proyectar u³ sobre las funciones afines con el peso natural de la esfera —el cociente de momentos ⟨u⁴⟩/⟨u²⟩ = (2/5)/(2/3) da el 3/5— y es la que el verificador del módulo mide sobre 200 000 direcciones. La segunda es la distancia de verdad de la cúbica al conjunto entero de reglas de Born, y es menor, como tiene que ser. La conclusión no depende de cuál se use: hay una diferencia irreducible de al menos 0,125 en probabilidad entre lo que esta función de marco predice y lo que predice la mejor regla de Born posible. Un octavo. En un experimento con mil repeticiones eso son 125 cuentas de diferencia, no un matiz de interpretación.
Falta la otra mitad: por qué en dimensión 3 no se puede hacer lo mismo. Ahí la condición de marco sí muerde, y se mide con el mismo material. Sobre 200 000 ternas ortonormales generadas por descomposición QR de matrices gaussianas, con ẑ un eje fijo:
| Candidata a función de marco | Suma sobre la terna: mínimo | Máximo | Recorrido |
|---|---|---|---|
| Cuadrática, (n·ẑ)² — que es Born con ρ = |z⟩⟨z| | 1,000000 | 1,000000 | 0: constante, es función de marco |
| Cuártica, (n·ẑ)⁴ | 0,33333 | 0,99999 | 0,6667: no lo es |
La primera fila es Parseval y sale 1 en toda terna, con residuos de 1,0 × 10⁻¹⁵ y 1,1 × 10⁻¹⁵: la cuadrática pasa el examen porque es la regla de Born del estado |z⟩. La segunda no lo pasa ni de lejos. Su mínimo, 1/3, lo da la terna simétrica —tres ejes que forman el mismo ángulo con ẑ, cada uno con (n·ẑ)² = 1/3, y 3 × (1/3)² = 1/3—; su máximo, 1, lo da la terna alineada, en la que un eje se lleva todo. Entre 1/3 y 1 hay un recorrido de 0,6667: la «probabilidad total» de un experimento dependería de qué terna de ejes se eligiera, que es precisamente lo que una probabilidad no puede hacer.
Ahí está el mecanismo entero, en dos filas. Elevar al cuadrado sobrevive a la suma sobre ternas porque Parseval lo protege; elevar a la cuarta no. En dimensión 2 no hay ternas —hay pares antipodales— y por eso cualquier función impar de u, no sólo la cúbica, produce una asignación aditiva que Born no reproduce. La dimensión 3 no es un tecnicismo del enunciado de Gleason: es la primera dimensión en la que hay bases que se solapan.
Qué compra Gleason y qué no. Compra mucho: en dimensión 3 o más, el postulado de Born deja de ser un postulado y pasa a ser una consecuencia de la geometría del espacio de Hilbert, con lo que la lista de cinco enunciados del II.4 se queda en cuatro. Y compra un corolario famoso: de Gleason sale el teorema de Kochen-Specker —no hay ninguna asignación determinista de valores 0 y 1 a todos los proyectores que respete la aditividad sobre bases, porque una función de marco así tendría que ser ⟨n|ρ|n⟩ y ninguna forma cuadrática toma sólo los valores 0 y 1 en la esfera—, que es la razón de que no haya variables ocultas no contextuales. No compra, en cambio, el postulado IV: Gleason dice qué probabilidades son legales, y no dice nada sobre qué estado usar después de medir. Ese hueco —el que el II.4 midió como el salto de la pureza de 1 a 0,5 frente a los 3 × 10⁻¹⁵ que la evolución unitaria conserva— sigue exactamente donde estaba. Y hay una ironía que conviene no callar: el sistema cuántico más usado del mundo, el qubit, vive justo en la dimensión donde el teorema no vale. Para un qubit suelto, Born sigue siendo un postulado.
Ejercicios
Sobre el anillo, toma ψ = (ψ0 − ψ1)/√2, o sea ψ(φ) = (1 − eiφ)/√(4π).
- Comprueba que φψ sí está en el dominio de Lz.
- Calcula ⟨[φ, Lz]⟩ por las dos lecturas del ejemplo resuelto 1 y di cuánto vale la discrepancia.
- Calcula σL y σφ —esta última en la carta [0, 2π)— y comprueba si la desigualdad de Robertson con ħ/2 se cumple.
- ¿Contradice esto la sección anterior?
Solución
(a) El dominio de Lz son las funciones periódicas. En φ = 0 se tiene ψ(0) = (1 − 1)/√(4π) = 0, y por periodicidad ψ(2π) = 0 también. Entonces (φψ)(0) = 0 · 0 = 0 y (φψ)(2π) = 2π · 0 = 0: los dos extremos valen cero, luego φψ es periódica y está en el dominio. Es el único caso en que las dos lecturas pueden coincidir, y el enunciado lo ha construido a propósito.
(b) La lectura ilegal da +iħ como siempre. La legal, medida por cuadratura, da también +iħ, con una discrepancia de 1,1 × 10⁻¹⁶ entre las dos. Se puede predecir sin integrar: la fórmula del borde da 2πħ|ψ(0)|² = 2πħ · 0 = 0. En este estado el conmutador canónico es literalmente cierto.
(c) En momento angular, ψ es la superposición de |m = 0⟩ y |m = 1⟩ con pesos ½ y ½, así que ⟨Lz⟩ = ħ/2 y ⟨Lz²⟩ = ħ²/2, de donde σL = ħ/2 = 0,5 ħ (medido: 0,500000). La densidad es |ψ|² = (1 − cos φ)/2π, simétrica respecto de π, y su varianza tiene forma cerrada:
confirmada por cuadratura. El producto vale σφσL = 0,5679 ħ, frente al listón ħ/2 = 0,5 ħ. Se cumple, con un 13,6 % de holgura. Nótese además el signo del término restado: la varianza es menor que la de la uniforme, porque este estado tiene un cero justo en la costura y acumula la masa hacia el centro de la carta — exactamente lo contrario que el von Mises del ejemplo resuelto 2.
(d) No, y ésta es la lección. La sección anterior no demuestra que Robertson falle sobre el anillo: demuestra que [φ, Lz] = iħ no es una identidad de operadores, o sea que no vale para todos los estados a la vez. Aquí vale, porque φψ está en el dominio, y donde vale Robertson vale con él. Lo que no existe es un par de Weyl, que es un enunciado sobre el sistema entero y no sobre un estado. Un teorema que necesita una identidad en todo el dominio no se salva con los estados en que se cumple, igual que una función no es continua por serlo en casi todos los puntos.
Ahora el estado del otro signo, ψ = (ψ0 + ψ1)/√2.
- Calcula σφ en la carta [0, 2π) y en la carta [−π, π).
- Compara los dos números con el 1,1357 rad del ejercicio 1 y explica la coincidencia.
- ¿Cuál de los dos es «la anchura angular del estado»?
Solución
(a) La densidad es |ψ|² = (1 + cos φ)/2π. En [0, 2π) tiene ⟨φ⟩ = π y
mientras que en [−π, π) tiene ⟨φ⟩ = 0 y
Un factor 2,025 entre los dos, sin que el estado se haya movido. El integrando es el mismo, el estado es el mismo; lo único que ha cambiado es dónde se corta el círculo para poder llamarle intervalo.
(b) No es coincidencia. Trasladar la carta media vuelta equivale a cambiar φ por φ + π, y eso cambia cos φ por −cos φ: la densidad de este estado en la carta [−π, π) es la densidad del estado del ejercicio 1 en la carta [0, 2π). Los dos estados son ortogonales entre sí y difieren en una rotación de media vuelta, así que sus dos varianzas se intercambian al mover el corte. Ésta es la segunda lección, y es más fuerte que la primera: σφ ni siquiera distingue un estado de otro ortogonal a él, porque la información que devuelve es sobre el corte, no sobre la onda.
(c) Ninguno de los dos: la pregunta está mal hecha. Las anchuras angulares que sí son propiedades del estado se construyen con operadores univaluados sobre el círculo, y la más manejable es 1 − |⟨eiφ⟩|, que no depende de dónde se ponga el corte porque eiφ tampoco. Para este estado ⟨eiφ⟩ vale exactamente ½ en las dos cartas — compruébalo—, y ése es el número que se puede publicar.
Un electrón en un anillo metálico de 1 µm de perímetro.
- ¿Cuánto vale el prefactor de energía de la fórmula del flujo, y por qué factor difiere del anillo de 1 nm de la tabla?
- ¿Qué campo magnético uniforme y perpendicular hace falta para meter medio cuanto de flujo por el anillo?
- Con Φ/Φ₀ = 0,4, calcula los tres niveles más bajos.
- ¿A qué condición de contorno del artículo 01 corresponde ese flujo?
Solución
(a) El prefactor es ħ²/2μR² con R = L/2π = 159,15 nm, y como va con 1/L² basta escalar el de la tabla: mil veces más largo son un millón de veces menos energía, o sea E1 = 1,504 µeV frente a los 1,504 eV del anillo de 1 nm. El escalado es el segundo camino y no hace falta rehacer la cuenta; si se rehace, coincide.
(b) El área encerrada es πR² = 7,958 × 10⁻¹⁴ m². Medio cuanto es Φ₀/2 = 2,068 × 10⁻¹⁵ Wb —que numéricamente coincide con el cuanto superconductor h/2e, y es una coincidencia aritmética, no física—, de donde
Ésa es la comprobación que hace que el ejercicio valga la pena: 26 mT es un campo de mesa, que da cualquier bobina pequeña, mientras que el mismo experimento en el anillo de 1 nm pediría 2,6 × 10⁴ T, unas 570 veces el récord de campo continuo. La diferencia son seis órdenes de magnitud de área. Por eso las corrientes permanentes se miden en anillos de micrómetro y no en moléculas.
(c) Con Em = E1(m − 0,4)², los tres candidatos son m = 0, 1 y −1, con (m − 0,4)² igual a 0,16, 0,36 y 1,96: 0,2407 µeV, 0,5415 µeV y 2,948 µeV. Ninguna degeneración: un flujo que no sea 0 ni medio cuanto las rompe todas, porque m − Φ/Φ₀ y −m − Φ/Φ₀ sólo tienen el mismo módulo si Φ/Φ₀ es entero o semientero.
(d) A una fase de contorno α = 2π · 0,4 = 0,8π = 144° —con el signo puesto por el sentido del campo—, es decir a la extensión autoadjunta del artículo 01 con ψ(L) = ei·144°ψ(0). Y la segunda lección está aquí: en el artículo 01, α era un número que había que elegir a mano para que p fuera autoadjunto, sin ningún criterio dentro de las matemáticas para preferir uno. En este ejercicio ese mismo número se fija con un amperímetro y una bobina. La «arbitrariedad» de la extensión autoadjunta no era arbitrariedad: era una magnitud física que el modelo sin campo había olvidado mencionar.
- Demuestra que, en dimensión 2, f(n) = (1 + g(u))/2 es una función de marco legal para cualquier g impar con |g| ≤ 1, siendo u la componente del vector de Bloch sobre un eje fijo.
- Toma g(u) = u⁵ y calcula su ajuste de Born por mínimos cuadrados y el residuo que deja.
- En dimensión 3, calcula el mínimo y el máximo de la suma de (n·ẑ)⁶ sobre ternas ortonormales, y compáralo con el recorrido de la cuártica.
Solución
(a) En dimensión 2, una base ortonormal es un par de estados ortogonales, y estados ortogonales son puntos antipodales de la esfera de Bloch: si uno tiene componente u, el otro tiene −u. La condición de marco es entonces una sola ecuación por eje,
idénticamente, porque g es impar. Y f ∈ [0, 1] porque |g| ≤ 1. Nótese que no ha hecho falta ninguna hipótesis sobre g más allá de la paridad: hay un espacio de funciones de dimensión infinita de asignaciones aditivas, mientras que las reglas de Born forman una bola de dimensión 3. Gleason en dimensión 2 no falla por poco.
(b) El ajuste por mínimos cuadrados con el peso de la esfera es el cociente de momentos ⟨u⁶⟩/⟨u²⟩ = (2/7)/(2/3) = 3/7 = 0,4286, y el residuo máximo se alcanza en los polos: |1 − 3/7|/2 = 2/7 = 0,2857. Por comparación, la mejor regla de Born que existe (minimax) usa rz = 0,6736 y deja 0,1632. Los dos números son mayores que los 0,2006 y 0,125 de la cúbica: cuanto más alto el exponente impar, más lejos de afín, y más grande la violación.
(c) Sobre 200 000 ternas ortonormales, la suma de (n·ẑ)⁶ recorre [0,11111, 0,99999], un recorrido de 0,8889, frente al 0,6667 de la cuártica. El mínimo tiene forma cerrada y es la comprobación: la terna simétrica da 3 × (1/3)³ = 1/9, y en general 3 × (1/3)p = 31−p para la potencia 2p. Con p = 1 sale 1 — recorrido cero, constante— y con cualquier p mayor sale menos que 1, así que la cuadrática es la única potencia par que sobrevive, y la violación empeora monótonamente con el exponente. Ésa es, en una sola familia de funciones, toda la rigidez que hace verdadero el teorema de Gleason en dimensión 3.
Resumen en frío
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa.
Cada fila se ha rehecho desde el verificador —
scripts/verificar-autoadjuntos.py, 2750 líneas y 440
comprobaciones (284 cruzadas, 144 afirmaciones y 12 pestillos), que lee 25
ficheros del sitio del disco y sale con código 0— y no copiada del párrafo
que la enuncia. Que eso no es un formalismo lo demuestra la fila de la
varianza del ángulo: la versión anterior de esta tabla decía
«σφ ≤ π/√3 = 1,814» copiándolo del artículo, y es falso — el techo
es π y hay estados legales que llegan a 3,10 rad. Convenios: los residuos del
tipo «8 × 10⁻¹⁵» son la peor desviación medida entre dos caminos
independientes, o sea cero con el ruido de la máquina dentro; L = 1 nm y un
electrón en todos los ejemplos del anillo salvo donde se diga; la carta
angular es φ ∈ [0, 2π) salvo donde se diga. Pensada para leerse dentro de
seis meses sin releer nada.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Simétrico frente a autoadjunto | Simétrico es ⟨φ|Aψ⟩ = ⟨Aφ|ψ⟩ en D(A); autoadjunto exige además D(A*) = D(A). La diferencia es un dominio, no un álgebra | art. 01 |
| El término de borde | ⟨φ|pψ⟩ − ⟨pφ|ψ⟩ = −iħ[φ*ψ]₀L: si no se anula, p no es autoadjunto ahí | art. 01 |
| La tesis, medida | p* con Dirichlet tiene todo ℂ por autovalor (residuo 2,3 × 10⁻¹¹ sobre 200 valores, cruzado contra sympy) y p no tiene ninguno | art. 01 |
| Índices de defecto | (1,1) en [0, L] ⇒ un círculo de extensiones; (1,0) en (0, ∞) ⇒ ninguna | art. 01 |
| Las extensiones de p | pn = ħ(2πn + α)/L con α ∈ [0, 2π); ψ(L) = −ψ(0) es α = π | art. 01 |
| La onda plana | eipx/ħ no está en L²: no es un estado, es una distribución | art. 02 |
| Normalización del continuo | ⟨p|p′⟩ = δ(p − p′), no una delta de Kronecker: el continuo no está hecho de kets | art. 02 |
| El hueco n = 1 → 2 del anillo de 1 nm | 4,5124 eV, por tres caminos independientes | art. 02 |
| Dónde deja de valer la ley local v·Δp | En n = 1 da 3,0082 eV y el hueco exacto es 1,5000 veces mayor; a 1 µm con n = 999 acierta al 0,0500 % | art. 02 |
| Espectro del hidrógeno | {−Ry/n²} ∪ [0, ∞); las rayas ligadas son más finas que una caja de 1 µm (1,23 meV) desde n = 28 | art. 02 |
| Cambio de base x ↔ p | ⟨x|p⟩ = (2πħ)−1/2 eipx/ħ; la W de Stone-von Neumann es esta transformada | art. 03 |
| La gaussiana satura | σxσp = ħ/2; con σx = a₀, σp = 9,96 × 10⁻²⁵ kg·m/s y vrms = 1094 km/s | art. 03 |
| … y su energía cinética | ⟨T⟩ = 3,40 eV, que es Ry/4 | art. 03 |
| Qué cuesta recortar la gaussiana | σp diverge: la cola de la transformada va como 1/p y ⟨p²⟩ no converge | art. 03 |
| Relaciones de Weyl | U(a)V(b) = eiab/ħV(b)U(a), entre unitarios y sin dominio; residuo 1,6 × 10⁻¹⁵ por dos construcciones de U(a) que coinciden en 1,3 × 10⁻¹³ | art. 04 |
| … y no es un convenio de signo | Con e−iab/ħ el residuo sube a 1,27: once órdenes de magnitud | art. 04 |
| Teorema de Stone-von Neumann | Weyl + irreducible + fuertemente continua + Hilbert separable + grados de libertad finitos ⇒ Schrödinger sobre L²(ℝⁿ), única salvo unitaria | art. 04 |
| … y qué hipótesis se cae al pasar a campos | La de los grados de libertad finitos: de ahí las representaciones inequivalentes y el teorema de Haag | art. 04 |
| Weyl finito, N = 17 | ZX = ωXZ con ω = e2πi/17 (residuo 8,1 × 10⁻¹⁶); F X F† = Z a 8,7 × 10⁻¹⁵; conmutante de dimensión 1 ⇒ irreducible | art. 04 |
| El anillo no tiene par de Weyl | e−iφbψ es periódica sólo si b es entero: el grupo del círculo es ℝ × ℤ, y el teorema habla de ℝⁿ × ℝⁿ | art. 04 |
| Discrepancia del conmutador canónico | ⟨[φ, Lz]⟩ vale iħ derivando φψ y 0 pasando Lz al bra: 1,000 ħ en los tres |m⟩ probados | art. 04 |
| … y de qué depende | 2πħ|ψ(0)|², la densidad sobre la costura de la carta: 1,000 ħ en |m⟩, 2,000 ħ en (|0⟩+|1⟩)/√2 y 0 si el estado se anula ahí | art. 04 |
| Techo de la varianza lineal del ángulo | π = 3,1416 rad (Popoviciu), no π/√3 = 1,8138: un von Mises con κ = 100 mide 3,0622 rad, y la familia crece hacia π | art. 04 |
| Cota de Robertson que el anillo permite | ħ/2π = 0,159 ħ — la versión anterior de esta tabla daba una √3 veces mayor —, y el σL medido en |m = 0⟩ es cero: ⟨Lz²⟩ = 1,3 × 10⁻²⁹ ħ² | art. 04 |
| El anillo con flujo | Em = (ħ²/2μR²)(m − Φ/Φ₀)² con Φ₀ = h/e = 4,1357 × 10⁻¹⁵ Wb — no el h/2e de las tablas, que es la mitad | art. 04 |
| … y el flujo es el α del artículo 01 | Φ/Φ₀ = ½ ⇔ α = π: los dos niveles bajos empatan y el fundamental vale 0,3760 eV. En un anillo de 1 µm, medio cuanto son 26,0 mT | art. 04 |
| Función de marco | f: esfera unidad → [0, 1] con Σ f(ni) = 1 sobre toda base ortonormal. No supone Born | art. 04 |
| Teorema de Gleason | En dimensión 3 o más, toda función de marco es ⟨n|ρ|n⟩ con ρ única: Born es teorema, no postulado | art. 04 |
| … y en dimensión 2 es falso | (1 + u³)/2 es función de marco exacta y dista 0,125 de la regla de Born más próxima (0,2006 del ajuste por mínimos cuadrados, medido sobre 200 000 direcciones) | art. 04 |
| … con el mecanismo medido | Σ(ni·ẑ)² ≡ 1 en toda terna (Parseval), pero Σ(ni·ẑ)⁴ recorre [0,33333, 0,99999]: sólo la cuadrática sobrevive a la suma | art. 04 |
| Constantes del módulo | L = 1 nm · ħ = 1,0546 × 10⁻³⁴ J·s · ħ/2 = 5,273 × 10⁻³⁵ J·s · a₀ = 52,918 pm · Ry = 13,6057 eV · Φ₀ = h/e = 4,1357 × 10⁻¹⁵ Wb | todo |