De la posición del pico —50° respecto al haz incidente— se deduce una longitud de onda de 165 picómetros. De la fórmula de de Broglie, para electrones acelerados con 54 voltios, salen 167. Un 0,9 % de diferencia entre un ángulo medido con un galvanómetro y una conjetura escrita en una tesis doctoral tres años antes, sin un solo dato experimental detrás.
El accidente de la botella de aire líquido
Clinton Davisson y Lester Germer no buscaban ondas. Trabajaban en los laboratorios de la Western Electric —los futuros Bell Labs— en un problema industrial: cuántos electrones secundarios devuelve una superficie metálica cuando se la bombardea, dato que hacía falta para los pleitos de patentes de los tubos de vacío. Bombardeaban un blanco de níquel y medían cuántos electrones salían rebotados a cada ángulo. El resultado era una curva suave y aburrida.
El 5 de febrero de 1925 una botella de aire líquido reventó en el laboratorio. La entrada brusca de aire oxidó el blanco de níquel, que estaba caliente. Para recuperarlo lo cocieron largo rato en hidrógeno a alta temperatura, y eso redujo el óxido — pero además recristalizó el metal: lo que era un agregado de muchísimos cristalitos orientados al azar se convirtió en unos pocos cristales grandes, con sus planos atómicos alineados.
Al volver a medir, la curva suave había desaparecido y en su lugar había picos. Davisson tardó dos años en entender qué eran. En el verano de 1926 viajó a Oxford, oyó hablar allí de la tesis de de Broglie y de la mecánica ondulatoria recién publicada por Schrödinger, y volvió a Nueva York con la idea de qué había que medir. En enero de 1927 tenían el resultado: con electrones de 54 V y el haz incidiendo perpendicular a una cara (111) del cristal, un máximo pronunciado a 50° del haz.
La superficie del níquel como red de difracción
Un cristal de níquel es cúbico centrado en las caras, con un parámetro de red de 3,524 Å medido con rayos X mucho antes de todo esto. En una cara (111) los átomos forman un mosaico triangular: los primeros vecinos están a a/√2 = 2,492 Å, y las filas de átomos —que es lo que actúa como las líneas de una red de difracción— están separadas
Con el haz llegando perpendicular a la superficie, dos filas vecinas mandan hacia un ángulo φ dos ondas cuyo camino difiere en D·sen φ. Hay refuerzo cuando esa diferencia es un número entero de longitudes de onda:
Ésta es la misma condición que gobierna una red de difracción óptica de las que se venden para descomponer la luz de una lámpara, con la única diferencia de que las «líneas» son filas de átomos y están cinco mil veces más juntas. La difracción no distingue de qué está hecho el obstáculo: sólo necesita una estructura periódica de tamaño parecido a la longitud de onda.
Problema. Del máximo observado a φ = 50° con D = 215,8 pm, deduce la longitud de onda de los electrones. Compárala con la que predice de Broglie a 54 V. ¿A qué ángulo debería haber estado el pico, exactamente?
Solución. Con n = 1, la medida da
La predicción es λ = 1,226/√54 nm = 0,1669 nm = 166,9 pm. La discrepancia es del 0,95 %. Al revés, el ángulo que predice de Broglie es
Resultado. Medio grado. Lo que hace convincente el resultado no es la precisión —un 1 % no es gran cosa— sino que nada del cálculo de la izquierda aparece en el de la derecha. En un lado hay un parámetro de red medido con rayos X en los años diez y un ángulo leído en un goniómetro; en el otro, la constante de Planck sacada del brillo de un horno, la masa del electrón y una tensión de 54 voltios. Que dos cadenas de medidas sin nada en común converjan al 1 % es exactamente la forma que tiene la física de convertir una conjetura en un hecho, y es el mismo argumento que el módulo I.1 usó con las cuatro medidas de h.
Por qué un cristal y no una rendija
A 54 V la longitud de onda del electrón es 167 pm y la separación entre átomos de níquel es 249 pm: el cociente λ/d vale 0,67. Ése es el punto dulce. Si λ fuera mil veces menor, los ángulos de difracción serían mil veces más pequeños y no se distinguirían del haz directo; si fuera mucho mayor, no habría ningún máximo que ver.
Y hay un límite duro por abajo que se calcula en una línea. Ningún orden de difracción existe si λ es mayor que la periodicidad: el seno no puede pasar de uno. Con d = 249 pm, la condición λ < 2d falla en cuanto la energía baja de
Por debajo de unos 6 eV, un electrón sencillamente no puede difractar en níquel, por bien construido que esté el aparato. Ese mismo argumento, al revés, es el que explica por qué la ley de Bragg —2d·sen θ = nλ, la forma en que se escribe la difracción cuando se piensa en planos de átomos en vez de en filas— es la herramienta central de la cristalografía: exige que la sonda tenga una longitud de onda comparable a la distancia que se quiere resolver, y por eso se usan rayos X, electrones o neutrones, y nunca luz visible.
El otro Thomson, y un átomo sin carga
Ese mismo año de 1927, en Aberdeen, George Paget Thomson hacía lo contrario: en vez de rebotar electrones lentos en una superficie, disparaba electrones rápidos —decenas de kilovoltios— a través de láminas finísimas de celuloide, oro o aluminio. Al otro lado aparecían anillos de Debye-Scherrer, circunferencias concéntricas idénticas a las que dan los rayos X al atravesar un polvo cristalino. Es el mismo fenómeno visto en transmisión, y es la técnica que hoy lleva un microscopio electrónico cualquiera.
El detalle que suele contarse, y que por una vez es cierto: el padre, Joseph John Thomson, recibió el Nobel de 1906 por establecer que el electrón es una partícula con una relación carga/masa definida. El hijo lo recibió en 1937, compartido con Davisson, por demostrar que es una onda. Ninguno de los dos se equivocó, y ésa es precisamente la incomodidad que este módulo intenta que no se disuelva en una frase bonita.
Problema. Electrones de 30 kV atraviesan una lámina de oro policristalino. El oro es cúbico centrado en las caras con a = 4,078 Å, de modo que sus planos (111) están separados d = a/√3 = 235,4 pm. ¿Qué radio tiene el primer anillo en una placa colocada a 30 cm?
Solución. A 30 kV hay que usar la fórmula relativista —a esa tensión el electrón ya va a un tercio de la velocidad de la luz—, y sale λ = 6,98 pm. La ley de Bragg da el ángulo de incidencia rasante:
El haz difractado sale desviado 2θ = 1,70° del haz directo, así que a 30 cm el anillo tiene un radio de 30 cm × tg(1,70°) = 8,9 mm.
Resultado. Un centímetro escaso en una placa fotográfica: un efecto grande, fácil de fotografiar, imposible de confundir con nada. Fíjate en el mecanismo que lo hace visible, porque es el mismo que usarán todos los experimentos de este módulo: el ángulo es minúsculo —1,7°—, y lo que lo convierte en algo del tamaño de una moneda es la distancia de vuelo. Un interferómetro de materia es siempre un aparato en el que un ángulo ridículo se deja crecer durante mucho recorrido. Y por qué salen anillos y no puntos: la lámina es un policristal con los granos orientados al azar, de modo que siempre hay granos en posición de Bragg en todas las direcciones alrededor del haz.
Quedaba una objeción posible, y era buena: un electrón tiene carga, y el interior de un cristal está lleno de campos eléctricos. ¿Y si los picos fueran un efecto electromagnético complicado y no una interferencia? La respuesta llegó en 1930, cuando Immanuel Estermann y Otto Stern difractaron chorros de helio e hidrógeno molecular en un cristal de fluoruro de litio. Un átomo de helio es neutro, no tiene momento magnético y a temperatura ambiente se mueve a unos 1 360 m/s con λ = 73,5 pm, comparable con la separación de planos del LiF, 201 pm. Difracta. Con neutrones —también neutros, y además pesadísimos comparados con un electrón— se consiguió en 1936, y hoy la difracción de neutrones es una industria: un neutrón térmico de 25,3 meV tiene λ = 180 pm, hecho a medida para los cristales.
La historia real fue más sucia que el ejemplo resuelto. El 0,95 % de discrepancia de arriba corresponde al pico principal, pero Davisson y Germer midieron picos a muchas tensiones, y varios no caían donde la fórmula sencilla decía. El motivo es físico y tiene nombre: potencial interno. Al entrar en el metal, el electrón cae en un pozo de potencial de unos 15 eV, de modo que dentro del cristal tiene 69 eV en vez de 54 y su longitud de onda no es 167 pm sino 148 pm. El cristal se comporta como un medio con un índice de refracción de 1,13 para electrones — literalmente refracta, como el vidrio a la luz. Meterlo en las cuentas cuesta un par de años de trabajo y arregla los picos que sobraban.
Merece la pena quedarse con la moraleja metodológica, porque se repite en todo el módulo: el acuerdo del 1 % que se cita en los libros es el del caso mejor elegido, y el trabajo de verdad estuvo en explicar las desviaciones. Un sitio que sólo cuenta el caso limpio enseña a esperar que la naturaleza colabore. La descendiente moderna de aquel montaje, la difracción de electrones lentos o LEED, sigue siendo la técnica estándar para determinar estructuras de superficie, y sigue necesitando el potencial interno para funcionar.
Ejercicios
Davisson y Germer también vieron el pico moverse al cambiar la tensión. Si se sube de 54 V a 65 V, ¿a qué ángulo debería aparecer el máximo de primer orden? ¿Y a 100 V?
Solución
A 65 V: λ = 1,226/√65 = 0,1521 nm = 152,1 pm, y sen φ = 152,1/215,8 = 0,7048, es decir φ = 44,8°. A 100 V: λ = 122,6 pm, sen φ = 0,5682, φ = 34,6°. El pico se cierra hacia el haz directo al subir la energía, que es justo lo que hace cualquier red de difracción cuando se acorta la longitud de onda.
La segunda lección es que ese desplazamiento vale más como prueba que el pico aislado. Un máximo suelto a 50° podría deberse a cualquier cosa —una resonancia, un artefacto del detector, una geometría afortunada—. Un máximo que se mueve siguiendo arcsen(1,226/(D√V)) a lo largo de un barrido de tensiones sólo puede deberse a una onda cuya longitud va como 1/√V. En física experimental, una curva bien seguida convence donde un punto no convence.
¿Por qué no se puede hacer difracción de electrones con una rendija mecánica normal, de las que se fabrican con litografía, digamos de 100 nm de anchura, en vez de con un cristal?
Solución
Sí se puede — de hecho es exactamente lo que hará el artículo 03 —, pero los ángulos cambian de escala por completo. Con λ = 167 pm y una rendija de 100 nm, el ángulo de difracción es λ/d = 1,67 × 10⁻³ rad = 0,096°, contra los 50° del cristal. Para separar las franjas hay que poner la pantalla a decenas de centímetros y aun así salen del orden de la micra: hace falta un microscopio o una lente electrónica para verlas.
La segunda lección es por qué la historia ocurrió en este orden. Un cristal es una red de difracción de 2 Å de paso que la naturaleza fabrica gratis y perfecta; una rendija de 100 nm hubo que aprender a fabricarla, y Jönsson no lo consiguió hasta 1961. Los primeros experimentos de un campo casi nunca son los conceptualmente más limpios: son los que se podían hacer con lo que había.
Un divulgador afirma que la difracción de electrones «demuestra que el electrón se convierte en onda al atravesar el cristal». ¿Qué está mal en esa frase, y qué es lo que sí demuestra el experimento?
Solución
Falla el «se convierte». El experimento de Davisson y Germer mide una cosa muy concreta: cuántos electrones llegan a cada ángulo. Los electrones se detectan siempre de uno en uno, cada uno con su carga entera, en un colector; lo que tiene forma de patrón de interferencia es el recuento. Nada en la medida muestra a un electrón extendiéndose ni transformándose en otra cosa. Lo que el experimento demuestra es que la distribución de llegadas es la que da una onda de longitud h/p.
La segunda lección es una regla que conviene usar durante todo este módulo, y que el módulo I.1 ya aplicó al negar que el efecto fotoeléctrico demuestre la existencia de fotones: separa siempre lo que se mide de la imagen mental que se le pone encima. Aquí lo medido es una distribución estadística; «el electrón es una onda» es una manera de hablar que funciona para predecirla y que se rompe en cuanto se toma al pie de la letra, porque ninguna onda deja un solo punto en un detector. El artículo 03 lleva esa tensión a su forma más aguda.