Dos frecuencias medidas sobre el mismo electrón, en el mismo campo, con el mismo contador: 28 024,95 MHz/T y 27 992,49 MHz/T. Coinciden en cuatro cifras y se separan en la quinta, 32,5 MHz/T. Esa resta no es ruido ni redondeo: la primera es la precesión del espín, la segunda es el giro del propio electrón alrededor de las líneas de campo, su cociente vale exactamente g/2 —el campo se cancela y no hace falta conocerlo— y la diferencia relativa, 1,159 65 × 10⁻³, es el momento magnético anómalo del electrón. Al final del artículo esa cifra medida se compara con α/2π = 1,161 41 × 10⁻³, que es una división de dos constantes, y salen a un 0,15 % la una de la otra.
src/data/constants.ts, e, ħ,
me, mp, h, kB y α, que es de donde se derivan
las cuatro versiones de μB que se usan abajo. De matemáticas: para
casi todo, dividir; para la sección de la precesión, resolver una ecuación de
Schrödinger dependiente del tiempo de dos componentes, que se hace exponenciando
una matriz diagonal y no necesita nada más.
Un momento magnético que no es el que le tocaría
Antes de que aparezca ningún espín conviene tener claro qué predice la física clásica, porque la sorpresa está justo ahí y es cuantitativa. Una carga q que recorre una órbita cerrada es una espira de corriente, y una espira de corriente tiene momento magnético: μ = I·A, corriente por área. Si la carga da vueltas con periodo T sobre un círculo de radio r, la corriente es q/T y el área πr², de modo que μ = qπr²/T. El momento angular de esa misma carga es L = m v r = m (2πr/T) r = 2πmr²/T. Al dividir uno entre otro desaparecen el radio, el periodo y la velocidad:
Esto es lo importante y merece leerse dos veces: la mecánica clásica no predice cuánto vale el momento magnético —eso depende de la órbita— sino cuánto vale por unidad de momento angular, y esa razón giromagnética q/2m es la misma para cualquier órbita, de cualquier tamaño, a cualquier velocidad. No hay manera de escaparse de ella con un modelo mejor de la trayectoria. Para el electrón, con q = −e, queda
donde el paso intermedio no hace nada más que sacar un ħ para que lo que quede dentro del paréntesis sea adimensional y del orden de la unidad. Lo que sale fuera es una constante con unidades de momento magnético, y es la constante de todo este artículo, el magnetón de Bohr:
No está pegada a mano en ningún sitio del repositorio: constants.ts
la construye desde e, ħ y me, y se comprueba que el valor construido
coincide con la tabla de CODATA y que el literal no está escrito en el
fichero. La distinción no es pedantería: μB derivada y μB
copiada dan el mismo número hasta el día en que alguien teclee un dígito de
más, y entonces el sitio tiene dos magnetones de Bohr que no coinciden.
Con esta cuenta clásica en la mano, el momento orbital de un electrón acopla con gL = 1: por definición, el factor g es el número por el que hay que multiplicar la razón clásica para obtener la verdadera, y para el momento orbital ese número es uno, exactamente uno, porque la deducción de arriba vale tal cual. Ahora bien, si el espín fuera «una rotación pequeña» —una bolita cargada girando sobre sí misma—, la misma cuenta se le aplicaría también, con el mismo q/2m, y su momento magnético sería μ = −μB S/ħ. Con Sz = ±ħ/2 eso daría μz = ∓μB/2: medio magnetón.
Y no es medio: es uno. La medida obliga a escribir
o sea que el electrón es el doble de magnético por unidad de momento angular de lo que cualquier movimiento orbital de esa misma carga podría llegar a ser. Conviene subrayar por qué esa frase es tan difícil de esquivar: la razón μ/L clásica no depende ni del radio ni de la velocidad, de modo que no hay ningún reparto de carga, ninguna forma de la «bolita», ningún perfil de densidad que pueda producir un 2. El factor g no es un parámetro que se ajuste; es la señal de que el espín no es un movimiento.
La coincidencia que retrasó cuatro años el descubrimiento. El espín lleva la mitad de momento angular (ħ/2 en vez de ħ) y el doble de factor g (2 en vez de 1). Los dos factores se cancelan y μz = ∓g μB/2 sale, en redondo, ∓μB: un magnetón entero, que es justo lo que daría un ℓ = 1 con m = ±1. Por eso la placa de 1922 tenía el tamaño que se esperaba de un momento orbital, y por eso Stern y Gerlach la leyeron durante años como una confirmación de la vieja teoría cuántica en vez de como el descubrimiento de otra cosa. El número que delata al espín no es el tamaño de la separación —ése coincide—, sino el número de manchas: dos, que es par, y 2ℓ+1 con ℓ entero es siempre impar. Los dos hechos son independientes y hace falta el segundo; el primero, por sí solo, engaña.
El g = 2 tampoco quedó como un dato bruto mucho tiempo. En 1928 Dirac escribió la ecuación de onda relativista del electrón y el 2 salió de ella sin haberlo metido: no es un ajuste, es una consecuencia de exigir que la ecuación sea de primer orden en el tiempo y compatible con la relatividad especial. Esa deducción es materia de mecánica cuántica relativista y no cabe en este módulo, pero el resultado sí importa aquí, porque fija el listón contra el que se mide todo lo demás: g = 2 exactamente para una partícula puntual de espín ½ y carga e.
Y entonces se mide con cuidado y g no es 2. Es 2,002 319. La diferencia está en la tercera cifra decimal, vale un 0,116 % y es el asunto de todo lo que queda de artículo.
El signo va dos veces o ninguna: la convención de este artículo
Antes de tocar la anomalía hay que cerrar un asunto de contabilidad que ha producido errores publicados en este mismo sitio, y que se cierra declarándolo, no adivinándolo. El problema es sencillo de enunciar: la carga del electrón es negativa, así que su momento magnético apunta al revés que su momento angular, y ese signo menos se puede poner en dos sitios. Se puede poner en la fórmula, y entonces el factor g se cita como un número positivo; o se puede meter dentro del propio g, y entonces la fórmula no lleva menos. Las dos convenciones son legítimas. Lo que no es legítimo es usar las dos a la vez.
CODATA publica el factor g del electrón con signo: ge = −2,002 319 304 360 92. Es decir, la tabla se atiene a la segunda convención. Escribir «μ = −g μB S/ħ, con g = 2,002319 (CODATA)» mezcla las dos y cuenta el signo dos veces: una en el menos explícito y otra dentro del valor citado. El resultado es un momento magnético con el signo cambiado, que se lee estupendamente y predice al revés todo lo que dependa de la orientación.
La convención de este artículo, y de este módulo. Se escribe
o sea: el menos va en la fórmula y g es el valor absoluto. Cada vez que aparezca un «g» sin subíndice en este artículo es un número positivo. Cuando haga falta citar la tabla tal cual se escribirá ge, con subíndice y con su signo negativo, y nunca dentro de una fórmula que ya lleve un menos delante. La comprobación de que las dos vías dan lo mismo está hecha y se puede rehacer en una línea: −|ge|/2 = ge/2 = μe/μB.
Con la convención fijada, la cadena de consecuencias se puede recorrer entera sin dejar ningún paso implícito, que es la única forma de revisar un signo. El momento magnético del electrón medido es
Es negativo, y su módulo es un pelo mayor que un magnetón de Bohr —exactamente g/2 magnetones, que es 1 más la anomalía—. De ahí, en el estado con ms = +½, el que se llama «espín arriba»:
El espín arriba tiene el momento magnético abajo. Y de ahí salen dos afirmaciones sobre el mundo, las dos comprobables y ninguna simétrica:
- En un gradiente ∂Bz/∂z positivo, el espín arriba se desvía hacia abajo. La fuerza sobre un dipolo en un campo no uniforme es Fz = μz ∂Bz/∂z, y con μz negativo la fuerza lo es también. Un Stern-Gerlach no da «dos manchas» a secas: da dos manchas orientadas, y cuál es cuál depende de este signo.
- La energía del espín arriba sube con el campo. Con E = −μ·B se tiene E(↑) = +g μBB/2, positiva y creciente, y E(↓) = −g μBB/2. El estado alineado con el campo —el de menor energía, el que se puebla al enfriar— es el de espín abajo. El efecto Zeeman del espín tiene, por tanto, el orden de niveles invertido respecto de lo que sugiere la intuición de la brújula.
La separación entre los dos niveles es ΔE = E(↑) − E(↓) = g μB B, y ésa es la fórmula operativa de todo lo que viene: es la energía que hay que entregar para dar la vuelta a un espín, y por tanto la que fija la frecuencia a la que se le puede hablar. Nótese que el g no se ha ido a ninguna parte: cualquier medida de esta separación es una medida de g.
Un signo no se revisa leyendo. El error de contar el menos dos veces tiene una propiedad desagradable: no rompe nada visible. Los módulos siguen bien, las energías siguen bien en valor absoluto, las frecuencias siguen bien —el Zeeman es simétrico— y el texto se lee perfectamente. Sólo se cae cuando alguien pregunta hacia dónde se desvía el haz, o cuál de los dos estados se puebla al enfriar, o qué signo tiene la corrección hiperfina; y para entonces el error lleva tres artículos viajando. Este sitio ya publicó una vez un signo cruzado de este tipo, y el II.3 avisa de lo mismo con el conmutador de a y a†. La regla que sale de las dos veces es la misma: un signo se revisa calculando la misma cantidad por un camino que no lo comparta —aquí, la razón μe/μB tabulada por CODATA, que no pasa por nuestra fórmula—, nunca releyendo la fórmula.
El mismo magnetón, cuatro unidades, cuatro preguntas de laboratorio
μB = 9,274 010 066 × 10⁻²⁴ J/T es el valor en el SI y es prácticamente inútil para pensar. El julio por tesla sirve para calcular una fuerza y para poco más; en cuanto la pregunta es «¿se ve esto?», «¿lo tapa la temperatura?» o «¿a qué frecuencia bombeo?», hay que cambiar de unidad. Las conversiones no son cosmética: cada una contesta una pregunta distinta, y saber cuál pedir es la primera herramienta de este artículo.
| Forma | Valor | La pregunta que contesta |
|---|---|---|
| μB | 9,274 010 066 × 10⁻²⁴ J/T | ¿Qué fuerza hace un gradiente? F = μ ∂B/∂z sale en newtons. |
| μB/e | 57,9 µeV/T | ¿Se ve el desdoblamiento en un espectro? Se compara con energías atómicas en eV. |
| μB/kB | 0,672 K/T | ¿Lo tapa el desorden térmico? Se compara con T directamente. |
| μB/h | 14,0 GHz/T | ¿A qué frecuencia bombeo o detecto? Sale en hercios, que es lo que lee el aparato. |
Las cuatro filas son el mismo número dividido por cuatro constantes distintas, y por eso los factores de conversión entre ellas no dependen de μB. El que más se usa es el que enlaza la segunda con la tercera:
Ese 86,1733 µeV/K es kB escrita en la moneda atómica, y conviene sabérselo: dice que un kelvin «vale» 86 µeV. Con él, la tercera fila sale de la segunda sin volver a tocar μB: 57,9 dividido entre 86,17 da 0,672. Que las dos vías coincidan es la comprobación cruzada mínima de cualquier conversión de éstas.
Problema. (a) Partiendo sólo de μB = 9,274 010 066 × 10⁻²⁴ J/T, obtén las tres formas derivadas: en µeV/T, en K/T y en GHz/T. (b) Comprueba la coherencia entre la segunda y la tercera usando kB/e. (c) Explica por qué el número 0,672 aparece dos veces con significados aparentemente distintos: como «K por tesla» y como «la temperatura a la que el desorden térmico iguala a μB·1 T». (d) Un experimentador te dice: «tengo un imán de laboratorio y quiero saber si mi espectrómetro de microondas llega». ¿Qué fila le das, y cuál sería la respuesta equivocada?
Solución. (a) Las tres son divisiones por una constante, y cada división cambia la unidad de energía en la que se mide lo mismo. Dividir por la carga elemental convierte julios en electronvoltios:
Dividir por kB convierte julios en kelvin, que es lo que hace kB por definición:
Y dividir por h convierte julios en hercios, que es lo que hace la relación de Planck:
Las tres coinciden con las entradas correspondientes de CODATA —«Bohr magneton in eV/T», «in K/T», «in Hz/T»— dentro de 10⁻¹¹, que es la comprobación por segundo camino: los valores tabulados no se calculan dividiendo el nuestro, se ajustan a la vez en el ajuste global.
(b) 57,883 8 µeV/T dividido entre 86,1733 µeV/K da 0,671 714 K/T, el mismo número de arriba. La razón entre las dos filas es kB/e y no contiene μB: por eso esta comprobación es informativa y no una tautología. Si alguien se equivoca al teclear μB, las dos filas se mueven a la vez y su cociente no cambia; lo que esta comprobación caza es un error en la conversión, no en el dato.
(c) No son dos significados: es el mismo enunciado leído en las dos direcciones. «μB/kB = 0,672 K/T» dice que un campo de un tesla vale 0,672 K de energía; despejar la temperatura a la que kBT = μB·1 T da, por fuerza, la misma cifra. Es importante reconocerlo porque parece una comprobación y no lo es: confirmar que 0,672 K/T × 1 T = 0,672 K es aritmética sobre un número que acabamos de escribir. Un cálculo que devuelve su propio dato de entrada no verifica nada, por mucho que dé el resultado correcto.
(d) Se le da la cuarta fila, 14,0 GHz/T, multiplicada por el g del electrón. La respuesta equivocada —y es la que más se da— es entregarle los 57,9 µeV/T: son correctos y no le sirven, porque ningún sintetizador de microondas se ajusta en microelectronvoltios. El error no está en el número, está en no haber convertido.
Resultado. Las cuatro filas no son cuatro precisiones del mismo dato: son cuatro preguntas. El julio por tesla habla de fuerzas, el electronvoltio por tesla habla de espectros, el kelvin por tesla habla de si el experimento hay que enfriarlo, y el hercio por tesla habla del aparato con el que se va a mirar. Quien sepa que 1 T «son» 0,672 K y 14 GHz para un magnetón puede estimar de cabeza si un experimento es posible antes de encender nada.
447: por qué a temperatura ambiente casi no hay señal
La tercera fila de la tabla existe para una pregunta concreta, y la pregunta tiene una respuesta desalentadora. Un espín en un campo B tiene dos niveles separados por ΔE = g μBB ≈ 2 μBB; a temperatura T, el desorden térmico dispone de kBT. La comparación que decide todo es el cociente:
A temperatura ambiente y en un tesla, el desorden térmico es 447 veces mayor que lo que el campo consigue ordenar. Los dos niveles están poblados casi exactamente por igual, y la señal de cualquier experimento de resonancia —que vive precisamente del desequilibrio de poblaciones— sale de una diferencia del orden de una parte en varios cientos. No es que la resonancia no funcione: funciona midiendo un desequilibrio minúsculo, y de ahí vienen las técnicas de acumulación y detección síncrona del oficio.
Bajar la temperatura arregla el problema, y se puede ver a qué ritmo:
| Temperatura | Qué es | kBT / μBB a 1 T |
|---|---|---|
| 300 K | ambiente | 447 |
| 77 K | nitrógeno líquido | 114,6 |
| 4,2 K | helio líquido | 6,25 |
| 1 K | helio bombeado | 1,489 |
| 0,672 K | — | 1 |
El cociente es lineal en 1/T: bajar del ambiente al nitrógeno líquido gana un factor cuatro escaso, hay que llegar al helio líquido para que el campo empiece a competir, y al helio bombeado para que el espín esté de verdad ordenado. La última fila cierra el círculo del ejemplo anterior: la temperatura a la que el cociente vale 1 es, numéricamente, el mismo 0,672 de la conversión. Y ojo con extrapolar en la otra dirección: la linealidad en 1/T es exacta para el cociente, pero la polarización que produce satura en 1, así que un cociente de 0,1 no significa «diez veces más ordenado que a 1», significa «ya está ordenado».
Todo esto es para el electrón. Para el protón, como se verá al final del artículo, el momento magnético es 658 veces menor, así que a igual campo y temperatura el mismo cociente es 658 veces peor. Ésa es una de las dos razones por las que un aparato de resonancia magnética nuclear necesita los campos que necesita, y es la que este artículo sabe calcular: la población. La otra es la resolución, y no sale de aquí: los desplazamientos químicos son constantes en partes por millón, así que la separación en hercios entre dos picos crece proporcionalmente a B mientras la anchura de las líneas no, y por eso un espectrómetro de 1,2 GHz separa lo que uno de 600 MHz superpone. Quien se quede con que la RMN sólo persigue población tiene la mitad del argumento.
Qué hace un espín dentro del imán, resuelto y no contado
Hasta aquí el campo ha servido para separar dos niveles y repartir átomos entre ellos. Falta la otra mitad, y es la que da nombre a la frecuencia de la sección siguiente: qué le pasa a un espín que no está en ninguno de los dos niveles sino en una superposición de los dos. Eso ya no es un problema de poblaciones; es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, y aquí se resuelve entera en media página porque el espacio de estados tiene dos dimensiones y ni una más.
El hamiltoniano es la energía del momento magnético dentro del campo, y con la convención ya fijada — con — y el campo a lo largo de z vale
No hay nada más dentro: ninguna derivada espacial, ninguna energía cinética, ningún potencial. Sus autoestados son los de , con energías , así que la separación de los dos niveles es — que es exactamente el desdoblamiento con el que se calcularon los 115,90 µeV de la sección anterior. Hasta aquí, nada nuevo: el hamiltoniano reproduce lo que ya se sabía de las poblaciones.
Lo nuevo empieza al preparar un estado que no es autoestado. Un espín apuntando a un ángulo del campo es, con la rotación del artículo 02,
y como sus dos componentes son ya las de los dos autoestados, la ecuación se integra sin resolver nada: cada componente se multiplica por la exponencial de su propia energía,
Y ahora se le pregunta lo único que se puede medir, que son valores esperados. Con las tres matrices de Pauli del artículo 02, y sin más álgebra que multiplicar y sumar:
Las tres juntas dicen una sola cosa. La componente a lo largo del campo no cambia nunca; las dos transversales giran, con módulo constante y las dos con la misma frecuencia angular . El vector recorre un cono alrededor de , con el mismo ángulo de apertura que tenía al empezar, y da una vuelta entera cada . Eso es la precesión, y ahora está deducida en vez de afirmada: no es una imagen prestada de un giróscopo, es lo que sale de resolver la única ecuación que hay.
Y el sentido del giro es el signo, otra vez. Los dos de arriba —el de y el del exponente de la segunda componente— dicen que va de hacia , o sea que gira en contra de las agujas visto desde arriba de — el sentido en que crece el ángulo en un triedro a derechas, y el que da . La mayoría de los libros escriben aquí un menos, y no se contradicen con esto: escriben con una razón giromagnética γ positiva, que es el caso de un protón. El electrón tiene el momento magnético antiparalelo a su espín —es el signo de todo el artículo—, así que su hamiltoniano lleva el signo contrario y su precesión también. Un espín de protón y un espín de electrón en el mismo imán precesan en sentidos opuestos, y ninguna medida de energía lo ve, exactamente como pasaba con μz.
La frecuencia con la que gira —la frecuencia de Larmor— es entonces
y conviene pararse aquí, porque las dos lecturas coinciden y no son la misma cosa. Por la izquierda, es la velocidad a la que gira un vector en el espacio. Por la derecha, es una separación de niveles dividida por h, o sea la frecuencia del fotón que lleva de uno al otro. Que salgan iguales no es una identidad general, es una propiedad del sistema de dos niveles: la fase relativa entre las dos componentes del espinor avanza exactamente al ritmo de la diferencia de energías. Y de paso queda dicho de dónde sale la regla del 2π que viene abajo: es lo que vive dentro de y va con ħ; es lo que marca un instrumento y va con h.
Una escala para que el número deje de ser abstracto: a B = 1 T el vector del electrón da una vuelta completa cada 35,68 ps, y a 1 mT —el campo de un imán pequeño— cada 35,68 ns. La precesión es rápida comparada con casi cualquier cosa que se quiera hacer con ella, y por eso los experimentos que la usan no la persiguen ciclo a ciclo: la acumulan.
Y lo que este módulo sigue sin hacer, para que no se dé por sabido. Con esto queda resuelta la dinámica de un espín en un campo constante, que es todo lo que el resto del artículo necesita. No está aquí, en cambio, lo que pasa cuando además hay un campo transversal que oscila a la frecuencia de Larmor: las oscilaciones de Rabi, el pulso de π/2 y la resonancia magnética como fenómeno dependiente del tiempo. Ésa es la maquinaria de la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo y no es de este módulo. Lo que aquí se llama «resonancia» es siempre la condición de resonancia —una frecuencia que coincide con una separación de niveles—, no el proceso que la explota.
Dos frecuencias en el mismo imán
Aquí está el corazón del artículo, y es una resta.
La sección anterior ha deducido a qué velocidad precesa un espín dentro del campo, y ha salido que esa misma velocidad es la separación de sus dos niveles dividida por h. Escrita con las cifras del electrón:
Esos 28 024,95 MHz/T no son una cuenta nuestra: coinciden con la razón giromagnética del electrón tabulada por CODATA, γe/2π, dentro de 5 × 10⁻¹⁴.
Pero un electrón libre en un campo magnético hace otra cosa además de precesar: gira. La fuerza de Lorentz lo curva en círculos y lo hace con la frecuencia de ciclotrón, que es un resultado puramente clásico y que no sabe nada de espín ni de mecánica cuántica:
Ahora conviene mirar las dos expresiones a la vez, porque tienen más que ver entre sí de lo que parece. Sustituyendo μB = eħ/2me y h = 2πħ en la razón giromagnética de la primera:
O sea que la frecuencia de ciclotrón es exactamente lo que daría la frecuencia de Larmor con g = 2. Esto es álgebra: no hay ninguna física entre las dos expresiones, sólo la definición de μB y la de ħ. Y de ahí sale el resultado que hace medible toda esta historia:
El campo se cancela. No aproximadamente, no en primer orden: se va del cociente porque aparece linealmente en las dos frecuencias, y el cociente de las dos frecuencias medidas es g/2, sin que haga falta saber cuánto vale B. Eso convierte una medida de campo magnético —que es de las cosas más difíciles de hacer bien— en un problema de contar ciclos, que es de las más fáciles.
Con los dos números de arriba, la resta:
Esa cantidad tiene nombre. Se llama anomalía del electrón, se escribe ae, y es la definición operativa de «cuánto se aparta g de 2»:
La diferencia medida entre las dos frecuencias es la anomalía entera. No una parte de ella, no una estimación: la anomalía, con todas sus cifras. Y esto es literalmente el experimento con el que se mide: un solo electrón atrapado en una trampa de Penning —campo magnético para confinarlo transversalmente, campo eléctrico cuadrupolar para confinarlo a lo largo del eje—. Y no se miden las dos frecuencias por separado para dividirlas: se mide la diferencia, la frecuencia de anomalía νa = fL − fc, y frente a ella la de ciclotrón, de modo que g/2 = 1 + νa/fc. El campo sigue cancelándose y la cifra que hay que medir con precisión es la pequeña.
Un aviso que este nivel no necesita para calcular pero sí para no engañarse: la frecuencia de ciclotrón que se mide dentro de la trampa no es eB/2πme. El campo eléctrico cuadrupolar que confina el electrón a lo largo del eje la desplaza, y la de espacio libre se recupera de las tres frecuencias propias del movimiento en la trampa. Nada de eso cambia el argumento de la resta; lo que cambia es la idea de que basten dos contadores.
Merece la pena entender por qué esta forma de medir es tan buena, porque la razón se repite en toda la física de precisión:
- El campo no hay que conocerlo. Y no sólo eso: no hace falta ni que sea estable, mientras las dos frecuencias se midan a la vez. Toda la incertidumbre de la calibración magnética, que dominaría cualquier medida absoluta, desaparece del cociente.
- Se mide la diferencia, no los sumandos. Medir 28 024,95 y 27 992,49 por separado con precisión bastante para que su resta tenga tres cifras exigiría siete cifras en cada uno; medir el batido de 32,5 MHz/T es una medida a tres cifras de un número de tres cifras. Es la diferencia entre pesar a alguien con y sin un anillo puesto, y pesar el anillo.
- Los dos números tienen que venir del mismo sistema. Comparar una fL medida en un imán con una fc medida en otro es comparar dos casos con parámetros distintos, y el resultado no significa nada aunque los dos números sean correctos: cualquier diferencia entre los dos campos, por pequeña que sea, entra directamente en la tercera cifra que se quiere medir. La frase «en el mismo imán» no es un detalle experimental del montaje, es parte del enunciado del método.
El 2π que se pierde, y por qué no canta. La trampa aritmética de todo este apartado es escribir ω donde va f. La frecuencia angular de precesión es ωL = g μBB/ħ y la frecuencia es fL = g μBB/h: se diferencian en un factor 2π ≈ 6,283. Quien monte ω y lo lea como si fueran hercios se equivoca por un factor 6,28 hacia arriba, y el resultado —un número grande de radianes por segundo y por tesla— sigue teniendo un aspecto perfectamente razonable para quien no tenga los 28 GHz/T en la cabeza. Peor todavía: el error es el mismo para el electrón, el protón y el neutrón, porque 2π no sabe de qué partícula se trata, así que comparar dos partículas entre sí no lo detecta — todos los cocientes salen bien. Sólo lo caza comparar con un aparato: un espectrómetro de banda X trabaja en GHz, y un número en radianes por segundo no se puede meter en un sintetizador. La regla práctica: si la cifra va a acabar en la pantalla de un instrumento, va con h; si va a acabar dentro de una exponencial e−iωt, va con ħ.
Y de paso queda desmontada la frase que parecía tan natural. «Con g = 2 las dos frecuencias son iguales» es cierto si g fuera 2, y sirve para entender la estructura del problema; como afirmación sobre el mundo es falsa, y lo es en una cantidad medible con un contador de frecuencias corriente: 32,5 MHz por cada tesla. Toda la física de este artículo vive en esa frase falsa.
67,1 neV/T: la anomalía en unidades de energía
La anomalía es adimensional, que está muy bien para comparar teorías y muy mal para saber si algo se puede medir. La versión con unidades es el momento magnético de más que lleva el electrón sobre el magnetón de Bohr:
Sesenta y siete nanoelectronvoltios por tesla. Al lado de los 57,9 µeV/T del magnetón entero son casi tres órdenes de magnitud por debajo: la anomalía es una corrección de la tercera cifra, y medirla exige resolver la tercera cifra de un momento magnético. Ésa es la dificultad que resuelve el truco de las dos frecuencias, y por eso la trampa de Penning no es una manera más de medir g: durante décadas fue la única que llegaba hasta ahí.
α/2π: el remate, que es una división
Queda la pregunta que el borrador de este artículo dejaba sin contestar: ¿de dónde sale el 0,116 %? Y la respuesta corta es que sale de que el electrón nunca está solo. En la electrodinámica cuántica el electrón está siempre acompañado por el campo electromagnético con el que interactúa, y esa compañía cambia sus propiedades medibles —entre ellas, cuánto se acopla a un campo magnético externo—. La corrección se calcula como una serie en potencias de la constante de estructura fina α, y el primer término de esa serie lo calculó Schwinger en 1948. Es esto:
Es todo. Ni un parámetro ajustable, ni una constante nueva: la anomalía del electrón, en primera aproximación, es la constante de estructura fina dividida entre 2π. Y esa división se puede hacer aquí mismo:
| Cantidad | Valor | De dónde sale |
|---|---|---|
| ae medida | 1,159 65 × 10⁻³ | (|ge| − 2)/2, con ge de CODATA; y la resta de las dos frecuencias, que da lo mismo |
| α/2π (término de Schwinger) | 1,161 41 × 10⁻³ | una división: la α de constants.ts entre 2π |
| Diferencia | 0,15 % · 1516 ppm | (α/2π − ae)/ae |
El primer término de una serie infinita acierta las tres primeras cifras significativas de una cantidad medida. Eso no es una curiosidad ni un preámbulo a la teoría de verdad: es el resultado. Una teoría que no contiene el número 1,159 65 en ninguna parte lo reproduce con un error del 0,15 % a partir de una constante que se midió en otro experimento y de un 2π que viene de la geometría del cálculo. Escribir «el momento anómalo es de otra asignatura» y cerrar sin dar la cifra es privar al lector de la única comparación que hace de esto física en vez de terminología.
Ahora bien, honradez con el resto: ese 0,15 % que falta no es ruido. La anomalía del electrón está medida con una incertidumbre relativa del orden de 1,6 × 10⁻¹⁰, es decir muchísimos órdenes de magnitud por debajo de los 1516 ppm que separan a α/2π de ella. La discrepancia es perfectamente real y perfectamente significativa, y está exactamente donde tiene que estar: son los términos siguientes de la serie, de orden (α/π)², (α/π)³ y sucesivos, más contribuciones de otros sectores del modelo estándar. Eso —y sólo eso— es lo que es de otra asignatura: no el hecho de que g no sea 2, que se explica con una división, sino la cuarta cifra en adelante, que exige contar diagramas.
Qué se puede decir y qué no con lo que hay en este artículo. Se puede decir que α/2π reproduce ae al 0,15 %, porque las dos cifras están aquí y la resta está hecha. No se puede decir que «la QED predice ae con doce cifras», aunque sea verdad: este artículo no ha calculado ni un término más de la serie, y repetir un titular no es haberlo comprobado. Y tampoco lo contrario —que el 0,15 % sea un desacuerdo entre teoría y experimento—, que es la lectura ingenua de la tabla: es un desacuerdo entre un término y el experimento. La única manera honesta de sostener la diferencia es hacer explícito, como se acaba de hacer, cuántos términos se han sumado.
Problema. El muón es, en todo lo que se ha medido, un electrón mucho más pesado: misma carga, mismo espín ½, las mismas interacciones y bastante más masa. Su anomalía medida vale aμ = 1,165 92 × 10⁻³, frente a la del electrón ae = 1,159 65 × 10⁻³. (a) ¿Cuánto se diferencian, en tanto por mil? (b) El término de Schwinger α/2π no contiene la masa por ninguna parte. ¿Contradice eso el resultado de (a)? (c) ¿Por qué el muón, y no el electrón, es la partícula con la que se buscan efectos de física desconocida en esta magnitud?
Solución. (a) La comparación relevante es relativa, no absoluta, porque las dos anomalías son del mismo tamaño:
Cinco partes por mil. Nótese que se está restando 1 a un cociente muy próximo a 1: es la misma operación que la resta de las dos frecuencias del apartado anterior, con la misma exigencia de cifras. Con aμ y ae redondeados a tres cifras significativas —1,17 y 1,16 × 10⁻³— este resultado no se puede obtener.
(b) No lo contradice: lo confirma. Si el único término fuera α/2π, las dos anomalías serían idénticas, porque α/2π es un número puro. Que difieran en 5,41 ‰ es la prueba directa de que hay más términos, y de que esos términos sí dependen de la masa de la partícula. Es un argumento bonito porque no necesita calcular ninguno: basta con que las dos medidas no coincidan. Y el orden de magnitud encaja: 5,41 ‰ es del tamaño de la corrección que separa ae de α/2π —los 1516 ppm de arriba—, o sea que la diferencia entre las dos partículas vive precisamente en el trozo que el primer término no cubre.
(c) Porque una partícula pesada es más sensible a lo que sea pesado. Las contribuciones a la anomalía que vienen de partículas masivas entran con un peso que crece con el cuadrado de la masa del leptón, así que el muón es órdenes de magnitud más sensible que el electrón a cualquier cosa nueva y masiva que pueda haber ahí. El precio lo pone su vida: hay que medirlo al vuelo, mientras que un electrón se puede tener quieto en una trampa.
Resultado. Dos números que empiezan igual —1,16 × 10⁻³ los dos— y que se separan en la cuarta cifra bastan para demostrar que la serie de la QED no termina en su primer término, sin calcular ni uno más. Y explican el reparto de tareas de la física experimental: el electrón se usa para medir α con una precisión brutal dando por buena la teoría, y el muón se usa para poner a prueba la teoría dando por buena α. Son el mismo experimento leído en las dos direcciones, y no se pueden hacer las dos cosas con la misma partícula a la vez.
El mismo dibujo con otro g: el protón, y el neutrón que no tiene carga
Todo lo anterior se puede repetir palabra por palabra para cualquier partícula con espín, cambiando dos cosas: la masa que entra en el magnetón y el valor de g. Y es al repetirlo cuando se ve que g = 2 era, en realidad, una afirmación muy fuerte.
Para el protón, la constante análoga a μB se llama magnetón nuclear y es literalmente la misma expresión con mp en el denominador:
Como e y ħ son los mismos, la razón entre los dos magnetones es la razón de masas invertida: μN/μB = me/mp = 5,446 × 10⁻⁴. De ahí el atajo que se ve en todas partes, μN ≈ μB/1836, que conviene calibrar antes de usarlo: con el 1836 redondo da 5,051 20 × 10⁻²⁷ J/T frente a los 5,050 78 × 10⁻²⁷ verdaderos, un error de 8,3 × 10⁻⁵. El atajo vale a tres cifras y no a cuatro, porque la razón de masas de verdad es 1836,15. Para estimar el tamaño de un desdoblamiento hiperfino sobra; para cualquier cosa que se juegue la cuarta cifra —y este artículo entero se juega la cuarta cifra— hay que usar la razón completa.
Y ahora el dato. El factor g del protón no es 2:
No es 2 ni se le parece: se aparta de 2 en 3,59, casi el doble del propio 2. Aquí no hay una corrección de la tercera cifra sino un número completamente distinto, y eso significa algo completamente distinto. El g = 2 de Dirac vale para una partícula puntual y elemental de espín ½. Que el protón tenga gp = 5,59 es la afirmación de que el protón no es ninguna de las dos cosas: tiene tamaño y tiene tripas. Su momento magnético es el resultado de sumar los momentos y las corrientes de lo que lleva dentro, y no hay ninguna razón para que esa suma dé 2.
La misma noticia, dicha mucho más fuerte, la da el neutrón:
El neutrón no tiene carga y sin embargo tiene momento magnético. Aquí no hay ni siquiera un g = 2 que corregir: una partícula elemental neutra de espín ½ tendría momento magnético exactamente cero, porque el q/2m del principio del artículo es cero. Que no lo sea es la prueba de estructura más limpia que existe, y no hace falta ningún acelerador para verla: basta con medir que un objeto sin carga responde a un campo magnético. Lo que hay dentro del neutrón sí tiene carga, repartida de modo que la suma total sea cero pero las corrientes no.
Con gp y μN se monta la frecuencia de precesión del protón exactamente igual que se montó la del electrón, sin cambiar ni un paso del razonamiento:
con μN/h = 7,6226 MHz/T como constante intermedia y 42,577 478 MHz/T si hacen falta las cifras. Es la frecuencia de la resonancia magnética nuclear, y coincide con la razón giromagnética del protón tabulada dentro de 5 × 10⁻¹². Esos 42,58 MHz/T son el número más usado de toda la física de resonancia: fijan en qué banda de radio trabaja cualquier espectrómetro de protón y, por tanto, qué campo hace falta para una frecuencia dada.
Y la comparación entre las dos precesiones cierra el artículo por donde lo abrió:
El electrón es 658 veces más magnético que el protón, y el origen del 658 es casi todo la razón de masas 1836 corregida por el cociente de los factores g (2,002 contra 5,586). De ahí salen, de un plumazo, tres hechos que en otros sitios se aprenden por separado: que la resonancia de espín electrónico trabaja en gigahercios y la nuclear en megahercios; que la estructura hiperfina de un átomo es unas mil veces menor que la estructura fina, porque es el acoplamiento del electrón con un imán 658 veces más débil; y que la sensibilidad de la resonancia nuclear es peor en ese mismo factor, que era el 658 que aparecía en el apartado de la escala térmica.
Qué es «noticia de estructura» y qué no. Es tentador leer la anomalía del electrón y el gp = 5,59 del protón como el mismo fenómeno en dos tamaños, y no lo son. En el electrón, g se aparta de 2 en un 0,116 % y esa desviación se calcula desde primeros principios —el primer término ya acierta al 0,15 %—: es la firma de que el electrón interactúa con el campo electromagnético, no de que tenga partes. En el protón, g se aparta de 2 en 3,59 —casi el doble de 2 mismo— y esa desviación no se calcula así: es la firma de que el protón tiene partes, y su valor exacto sigue siendo hoy un problema difícil que se ataca numéricamente. La regla para distinguirlas es el tamaño: una desviación del orden de α es una corrección radiativa; una desviación del orden de la unidad es estructura. Y el neutrón, con carga cero y momento no nulo, es el caso en el que la regla ni siquiera hace falta.
Ejercicios
Un colega te pasa las cuatro formas del magnetón de Bohr en un papel, sin decirte cuál es cuál: 0,672 · 9,274 010 066 × 10⁻²⁴ · 14,0 · 57,9. (a) Asígnale a cada una su unidad razonando sólo con órdenes de magnitud, sin calcular nada. (b) Demuestra que el cociente entre la forma en µeV/T y la forma en K/T no depende de μB, y di cuánto vale. (c) Con ese cociente, obtén la forma en K/T a partir de la forma en µeV/T y comprueba que sale la que estaba en el papel. (d) ¿Qué error no caza la comprobación de (c), y con qué habría que cruzarla para cazarlo?
Solución
(a) La de 10⁻²⁴ es el SI, J/T, porque ninguna de las otras unidades produce exponentes así. De las tres restantes: 14,0 tiene que ser GHz/T, porque las frecuencias de microondas son los únicos gigahercios que aparecen en el problema; 57,9 es µeV/T, porque un desdoblamiento magnético en un tesla es del orden de decenas de µeV y no de decenas de kelvin; y 0,672 es K/T, porque un campo de laboratorio no ordena espines a temperatura ambiente y por tanto la conversión tiene que dar una fracción de kelvin. El razonamiento de asignación es el mismo que se usa para detectar una unidad mal puesta en un resultado ajeno.
(b) El cociente es (μB/e)/(μB/kB) = kB/e, y μB se cancela: vale 86,1733 µeV/K, que es la constante de Boltzmann escrita en la moneda atómica. Es un número que conviene memorizar: un kelvin son 86 µeV.
(c) 57,883 8 / 86,1733 = 0,671 71 K/T, que reproduce el 0,671 714 del texto.
(d) No caza un error en el propio μB. Si
alguien hubiera tecleado mal la constante, las dos formas —la de µeV/T y
la de K/T— estarían mal en la misma proporción y su cociente seguiría
dando 86,1733 exactamente. Ésa es la segunda lección, y es más general
que el ejercicio: una comprobación que es algebraicamente insensible al
dato que se quiere verificar siempre pasa, y por eso no dice nada. Para
cazar ese error hay que cruzar con algo que no comparta el dato — la
tabla de CODATA, o la construcción μB = eħ/2me
desde tres constantes independientes, que es lo que hace
constants.ts.
(a) Monta la frecuencia de precesión del espín del electrón a partir de μB/h = 13,9962 GHz/T y de g = 2,002 319, y comprueba que recuperas los 28 024,95 MHz/T del texto. (b) Repite la cuenta con ħ en vez de h y di qué magnitud has obtenido, con sus unidades. (c) Si alguien calcula (b) y anota el resultado como si fueran hercios, ¿por qué factor se equivoca y en qué sentido? (d) Ese mismo error se comete con el protón. Si después se calcula el cociente entre las dos frecuencias mal obtenidas, ¿sale bien o mal el 658? ¿Qué dice eso sobre las comprobaciones basadas en cocientes? (e) Ahora úsala. Un electrón se prepara con su espín perpendicular a un campo de 1 mT. Escribe χ(t) y calcula, con la fórmula que has montado en (a): cuánto tarda ⟨Sx⟩ en cambiar de signo, cuánto tarda en volver a su valor inicial, y cuánto tarda el espinor en volver a ser el mismo vector con la misma fase. Los tres tiempos no son el mismo, y el tercero es el que el artículo 02 llevaba anunciando.
Solución
(a) fL = g · (μB/h) = 2,002 319 × 13,9962 GHz/T = 28,024 95 GHz/T = 28 024,95 MHz/T. Obsérvese que el g entra multiplicando y que, como es prácticamente 2, la frecuencia de Larmor es prácticamente el doble de μB/h. Ese «prácticamente» es todo el artículo.
(b) Con ħ = h/2π se obtiene ωL = g μBB/ħ = 2π fL, que es una frecuencia angular y se mide en radianes por segundo por tesla, no en hercios por tesla. Es la que aparece dentro de e−iω t cuando se escribe la evolución del espinor, y por eso es la que sale de manera natural de la ecuación de Schrödinger.
(c) Se equivoca por un factor 2π = 6,283, hacia arriba. Es el error más caro de este tema porque el resultado no tiene mal aspecto —sigue siendo un número grande con unidades de inverso de tiempo— y porque un factor 6 no se detecta comparándolo con «lo que uno esperaba» salvo que uno esperase algo con precisión.
(d) Sale bien. El 2π es el mismo para las dos partículas, así que se cancela en el cociente y el 658 aparece impecable aunque las dos frecuencias estén mal por un factor 6,28. Es justo lo contrario de lo que uno esperaría de una comprobación, y la lección es general: un cociente sólo verifica lo que no se cancela en él. El cociente de dos frecuencias comprueba los g y las masas, y es ciego a cualquier error de conversión común — igual que el cociente fL/fc del texto es ciego al valor del campo, que es lo que allí lo hacía útil. La misma propiedad, según lo que se quiera medir, es la herramienta o el agujero.
(e) A 1 mT, fL = 28 024,95 MHz/T × 10⁻³ T = 28,024 95 MHz, y el periodo de precesión es 1/fL = 35,68 ns. Con α = 90° las tres respuestas salen de ⟨Sx⟩ = (ħ/2)cos ωLt:
- ⟨Sx⟩ cambia de signo a los 8,92 ns, un cuarto de periodo, que es donde el coseno pasa por cero. A los 17,84 ns —medio periodo— no cruza nada: está en su mínimo, con el valor cambiado de signo respecto del inicial.
- Vuelve a su valor inicial a los 35,68 ns, un periodo entero: es la vuelta completa del vector ⟨S⟩ alrededor del campo.
- Y el espinor tarda 71,36 ns, el doble. Al cabo de un periodo χ(t) = −χ(0): las dos componentes han acumulado e∓iπ, o sea el mismo −1 de la rotación de 360° que el artículo 02 dedujo del ángulo a la mitad. La precesión es esa rotación ocurriendo sola, a un ritmo que fija el campo, y ésa es la manera de convertir aquella fase global en algo que un reloj mide: ponerla a girar y esperar. Segunda lección: el vector ⟨S⟩ y el espinor χ no tienen el mismo periodo, y confundirlos es contar mal las franjas de un interferómetro por un factor 2.
La norma de este sitio es dar tres cifras significativas como máximo salvo que la fuente justifique más. (a) Redondea a tres cifras ae = 1,159 65 × 10⁻³ y α/2π = 1,161 41 × 10⁻³. ¿Qué queda del resultado de Schwinger? (b) Haz lo mismo con fL = 28 024,95 MHz/T y fc = 27 992,49 MHz/T expresadas en GHz/T. ¿Qué queda de la trampa de Penning? (c) ¿Cuántas cifras significativas hacen falta en cada frecuencia para que su diferencia tenga tres cifras propias? (d) El I.4 publica las dos rayas del doblete del sodio con seis cifras cada una —589,158 y 589,756 nm— y su separación con cinco, 17,196 cm⁻¹. Si intentas reproducir la separación restando las dos longitudes de onda publicadas obtienes 17,21 cm⁻¹, no 17,196. Sin rehacer la cuenta, explica por qué, y di cuántas cifras harían falta.
Solución
(a) Las dos dan 1,16 × 10⁻³. La comparación desaparece por completo: al redondear no queda ninguna diferencia que comentar, y el 0,15 % —que es el resultado— se ha borrado. Con tres cifras, la frase publicable pasa de «la QED acierta ae al 0,15 % con un solo término» a «los dos números son iguales», que es falso y además aburrido.
(b) Las dos dan 28,0 GHz/T. Desaparece la resta, y con ella el experimento entero: los 32,5 MHz/T de diferencia son un tercio de la última cifra conservada, la de las décimas de gigahercio. Ésta es la excepción que la norma de tres cifras prevé expresamente — la fuente (CODATA, con once cifras en la razón giromagnética) justifica de sobra las cinco que se escriben, y no escribirlas no sería prudencia sino pérdida de información.
(c) Las frecuencias son del orden de 2,8 × 10⁴ MHz/T y su diferencia es del orden de 3 × 10¹: hay tres órdenes de magnitud entre unas y otra. Si se quieren tres cifras en la diferencia hacen falta tres más las tres que se pierden en la resta, o sea seis o siete cifras significativas en cada frecuencia. Ésa es exactamente la cantidad que se escribe en el texto, y no es un capricho tipográfico.
(d) Es el mismo fenómeno de (c) con otros números, y merece la pena verlo porque es el que más veces se comete. El número de onda va como 1/λ, y las dos longitudes de onda difieren en la cuarta cifra: al restar sus inversos se pierden los tres primeros dígitos, que son comunes, y las seis cifras publicadas se quedan en tres útiles. Por eso sale 17,21 y no 17,196; con siete cifras en cada λ —589,1583 y 589,7558— sí se recupera el valor publicado. La moraleja práctica es doble: una separación publicada no se rehace restando las dos posiciones publicadas, hay que ir a la fuente con todas sus cifras; y una cantidad que sea la diferencia de dos números parecidos se mide directamente siempre que se pueda, que es precisamente lo que hace la trampa de Penning con los 32,5 MHz/T en vez de restar dos números de cinco cifras.
(a) Usando μB/kB = 0,672 K/T, calcula kBT/μBB a 1 T para 300 K, 77 K y 4,2 K. (b) ¿A qué temperatura vale exactamente 1, y por qué no hace falta calcular nada para responder? (c) A igualdad de campo y temperatura, ¿cuánto vale el mismo cociente para un protón? (d) Un divulgador escribe: «en la máquina de resonancia magnética del hospital, los protones de tu cuerpo se alinean con el campo». Corrige la frase con un número, sin decir simplemente que es falsa.
Solución
(a) Es dividir la temperatura entre 0,672: 447 a 300 K, 114,6 a 77 K y 6,25 a 4,2 K. El cociente es lineal en T, así que la tabla se puede reconstruir de cabeza a partir de cualquiera de sus filas.
(b) A 0,672 K, y no hace falta calcular nada porque la pregunta es la definición del propio factor de conversión leída al revés: «0,672 kelvin por tesla» ya es la respuesta a «a qué temperatura un tesla equivale». Reconocer estos círculos es útil en las dos direcciones: ahorra la cuenta, y evita presentarla como una comprobación cuando no lo es.
(c) El protón tiene un momento magnético 658 veces menor, así que el cociente es 658 veces mayor a igual campo y temperatura: donde el electrón está a 447, el protón está en cientos de miles. Esto es lo que hace de la resonancia nuclear una técnica intrínsecamente insensible comparada con la electrónica, y es la razón de fondo de que los imanes de resonancia sean superconductores: cada tesla de más es proporcionalmente señal de más, y no hay otra palanca —la temperatura del paciente no es negociable—.
(d) Corregida: «en el campo de un aparato de resonancia, el desorden térmico es cientos de miles de veces mayor que la energía magnética de un protón, de modo que sólo unos pocos protones por millón acaban prefiriendo una orientación; toda la imagen se construye con ese excedente minúsculo». La versión con número dice algo más que la versión con «en realidad, no»: explica por qué el aparato es enorme, por qué el campo es tan alto y por qué la exploración tarda minutos en vez de segundos. La segunda lección es de método: un mito se desmonta dando la cifra donde deja de valer, no negándolo. Y obsérvese que la frase del divulgador no es del todo falsa —hay un excedente, y apunta donde él dice—; lo que está mal es la escala, que es justo lo que un número arregla y un adjetivo no.
(a) Con la convención de este artículo —μ = −g μB S/ħ con g = +2,002 319— calcula μz en el estado ms = +½, en unidades de μB. (b) Con la otra convención legítima —μ = ge μB S/ħ con el ge = −2,002 319 304 que publica CODATA— calcula lo mismo. (c) Ahora mézclalas: escribe μ = −ge μB S/ħ con el ge negativo de la tabla. ¿Qué sale? (d) Las tres respuestas coinciden en módulo. Nombra dos medidas distintas que distingan la tercera de las dos primeras, y explica por qué ninguna de las dos es una medida de energía de transición.
Solución
(a) μz = −g μB·(½) = −1,001 160 μB, negativo.
(b) μz = ge μB·(½) con ge negativo da el mismo −1,001 160 μB. Las dos convenciones son la misma física; sólo cambia dónde vive el menos.
(c) Sale +1,001 160 μB: el signo contrario. Los dos menos se han multiplicado y el resultado dice que el espín arriba tiene el momento magnético arriba, que es falso para el electrón.
(d) Sirven: la dirección de la desviación en un Stern-Gerlach con el gradiente conocido —con ∂Bz/∂z positivo el espín arriba va hacia abajo, y hacia arriba si el signo estuviera cambiado—; y cuál de los dos estados se puebla al enfriar, que con el signo correcto es el de espín abajo. Ninguna medida de energía de transición sirve, y ésta es la parte que hay que entender: la separación entre los dos niveles vale |g| μBB en las tres respuestas, porque el desdoblamiento Zeeman es simétrico y la frecuencia de resonancia no sabe cuál de los dos niveles está arriba. El error de signo sobrevive intacto a toda medida espectroscópica y sólo se cae ante una medida que distinga una dirección del espacio o un extremo de la escala de energías. Ésa es la razón de que este tipo de error se propague durante años: las comprobaciones que uno hace por costumbre son justo las que no lo ven.