El enlace: el LCAO acierta el signo y falla un cuarto

2,7928 eV, con los protones a 105,7 pm. Es lo que liga el H₂⁺ —dos protones quietos y un solo electrón entre ellos, el sistema molecular más simple que existe—, y no es una estimación: a diferencia del helio del artículo anterior, con los núcleos fijos la ecuación de Schrödinger de un electrón en dos centros es separable y se resuelve exactamente. La receta que se enseña primero —tomar el 1s del hidrógeno, ponerlo en cada protón y sumarlos— da 1,764 eV a 132 pm. Acierta lo importante, que es el signo: dos átomos que por separado no se atraen bajan de energía al juntarse, y ese signo sale de la simetría de la función de onda y de nada más. Y falla lo demás: se pasa un 24,82 % en la distancia y se queda un 36,83 % corta en la profundidad, con los dos números medidos por dos cálculos que no comparten ni una línea de código. Este artículo va de las dos cosas a la vez, porque publicar sólo la primera es contar el resultado al revés.

El problema, escrito con todo dentro

El H₂⁺ es un electrón y dos protones. Lo primero es quitarse los protones de en medio, y eso tiene nombre y precio: la aproximación de Born-Oppenheimer congela los núcleos y trata la distancia entre ellos, R, como un parámetro y no como una variable dinámica. La justificación es de masas —el núcleo más ligero que existe pesa tres órdenes de magnitud más que un electrón, y el II.3 lo cuantifica en el CO— y la consecuencia práctica es la que interesa aquí: para cada valor de R hay un problema electrónico distinto, con su propia energía, y el conjunto de todas esas energías es una función E(R). Esa función es la curva de energía potencial de la molécula, y es literalmente el potencial en el que después se moverán los núcleos.

A partir de aquí se trabaja en unidades atómicas, que es lo que hace legible todo lo que viene: las longitudes en radios de Bohr —a₀ = 52,9177 pm— y las energías en hartree, con 1 E_h = 27,2114 eV. Un aviso que no es menor: éste es el a₀ de masa nuclear infinita, y el II.5 publica 52,9465 pm, que es el del hidrógeno real con masa reducida. Difieren un 0,054 % y son dos constantes distintas con el mismo nombre; este módulo usa la primera en todas sus cuentas, y decirlo cuesta una frase y ahorra una discusión.

Con los núcleos en A y B separados R, y llamando r_A y r_B a las distancias del electrón a cada uno, el hamiltoniano completo es

donde el último término, la repulsión entre los dos protones, es una constante para cada R y por tanto no afecta a la función de onda: se suma al final. Lo que hay que resolver es el resto, que se llamará Ĥ_el.

Y hace falta un cero de energía, porque «se liga 2,79 eV» no significa nada sin decir respecto de qué. El cero natural es la molécula rota: un átomo de hidrógeno en su fundamental y un protón desnudo infinitamente lejos, o sea −½ E_h, que en electronvoltios son −13,6057 eV. La energía de disociación medida desde el fondo del pozo es $D_e = -\tfrac12 E_h - \min_R E(R)$, y todo lo que quede por debajo de −13,6057 eV está ligado; todo lo que quede por encima, no.

El LCAO: dos funciones y ninguna libertad

La idea de la combinación lineal de orbitales atómicos —LCAO, por sus siglas inglesas, linear combination of atomic orbitals— es la más barata que se puede tener: si a distancias grandes el electrón está en el 1s de A o en el 1s de B, pruébese como función de onda molecular una combinación de esos dos. Lo que sale es un orbital molecular, una función de un electrón que se extiende sobre los dos núcleos en vez de sobre uno. Con dos funciones sólo caben dos combinaciones independientes, y la simetría del problema —los dos protones son idénticos— obliga a que sean la suma y la resta:

Conviene detenerse en lo que no hay en esa expresión, porque es de donde va a salir todo el error del artículo. No hay ningún parámetro ajustable. El exponente del 1s es el del hidrógeno aislado, y se queda como está: el orbital no se contrae al acercarse el otro núcleo, no se polariza hacia él, no se le mezcla nada de 2p. Es una base mínima de dos funciones rígidas, y la única libertad que tiene el método es elegir el signo del más o del menos. Cuando dentro de unas secciones el resultado se quede un tercio corto, ésa será la explicación entera, y no se podrá echar la culpa a la aritmética.

El denominador, en cambio, sí lleva física dentro, y es lo primero que hay que calcular.

La integral de solapamiento, medida por dos caminos

Los dos orbitales 1s están centrados en puntos distintos, pero no son ortogonales: la cola de uno pisa el otro. Esa cantidad tiene nombre —la integral de solapamiento— y es lo que hace que el denominador no sea √2:

Desarrollar $\int|1s_A \pm 1s_B|^2 d^3r$ da $1 + 1 \pm 2S = 2(1\pm S)$, y de ahí sale la raíz del denominador. Con dos exponenciales centradas en puntos distintos la integral tiene forma cerrada,

y aquí es donde el guion de verificación hace su trabajo. Una forma cerrada copiada de un libro no es un dato comprobado: es un dato tecleado. Así que S(R) se ha vuelto a calcular integrando de verdad sobre el volumen entero, en las coordenadas que se explican más abajo, sin que la cuadratura sepa nada de la expresión anterior. En seis distancias:

La columna de la derecha es la barra del acuerdo, y hay que leerla con cuidado porque es engañosamente buena: 2,9 × 10⁻¹⁶ es el último bit de un número en doble precisión. Los dos caminos no coinciden «bien»: coinciden hasta donde la máquina puede distinguir dos números. Eso significa que la forma cerrada está bien escrita —el R²/3 es un sitio clásico donde aparece un 6 o un 2 en su lugar— y no significa nada más.

Y hay un detalle del que depende que esa comprobación sea una comprobación y no un espejismo. Si al 1s se le hubiera olvidado el factor 1/√π, las tres integrales de este artículo saldrían escaladas por el mismo número y ningún cociente lo notaría. Por eso la normalización se comprueba aparte: la misma cuadratura aplicada a |1s_A|² devuelve 1. Dos comprobaciones que se apoyan en el mismo símbolo mal escrito no son dos comprobaciones.

Los dos límites son los que uno esperaría y conviene tenerlos delante. A R → 0 el solape vale exactamente 1, porque las dos funciones son la misma; a 60 a₀ ya vale 1,1 × 10⁻²³, o sea cero a todos los efectos. Y entre medias, el dato que da la escala del problema:

S = ½ se alcanza a R = 2,33 a₀. Esa distancia cae entre las dos que este artículo va a calcular —el mínimo exacto, 1,997 a₀, y el del LCAO, 2,493 a₀—, lo que quiere decir que a la distancia a la que la molécula realmente vive los dos orbitales 1s comparten más de la mitad de su amplitud. «Dos átomos separados» no es una buena descripción del H₂⁺, y el número que lo dice es el 0,586 de la tabla.

Las dos energías: la que tiene sentido clásico y la que no

Con la función de prueba fijada, la energía sale de proyectar el hamiltoniano. Actuando con Ĥ_el sobre 1s_A y usando que el 1s es autofunción del átomo A con energía −½, quedan sólo dos elementos de matriz distintos:

y las dos integrales que quedan también tienen forma cerrada, comprobada contra la misma cuadratura en las seis distancias de la tabla anterior:

Las dos significan cosas muy distintas y merecen nombre separado. H_AA es clásica: es la energía de un electrón que está en el átomo A, más lo que le atrae el núcleo B, que es una nube de carga atraída por una carga puntual. Y por sí sola no liga nada, cosa que se ve sin calcular: sumándole el +1/R de la repulsión nuclear, los dos términos en 1/R se cancelan y queda $H_{AA} + 1/R = -\tfrac12 + e^{-2R}(1+R)/R$, que es mayor que −½ E_h a cualquier distancia. Un electrón que se quede quieto en su átomo, con el otro protón mirando, produce una curva sin pozo. Todo el enlace tendrá que salir del otro término.

H_AB no tiene lectura clásica ninguna. Es la integral de resonancia: aparece porque el electrón no está en A ni en B, sino en una superposición de los dos, y sólo puede ser distinta de cero donde ambos orbitales tienen amplitud a la vez, es decir, en la región entre los núcleos. Es el término que baja la energía del estado simétrico, y es hermano de la integral de intercambio que el artículo 02 encontró en el helio: en los dos casos lo que aparece es un solapamiento multiplicado por un potencial, y en los dos casos el nombre engaña porque no hay ninguna fuerza nueva en el hamiltoniano. Aquí ni siquiera hace falta el principio de exclusión: hay un solo electrón, y el efecto sigue estando.

Juntando las piezas, la energía total de los dos estados es

El de arriba, E₊, corresponde a ψ₊, que es el orbital ligante; el de abajo, a ψ₋, el orbital antiligante. Los nombres se van a justificar midiendo, no por decreto.

La curva, el mínimo, y un nodo que se mide en lugar de afirmarse

Barriendo R se obtienen las dos curvas. La del ligante tiene mínimo y la del antiligante no, y las dos cosas hay que comprobarlas.

El mínimo del ligante se ha localizado por tres caminos que no comparten nada: un optimizador de Brent, una rejilla de 240 001 puntos entre 2,0 y 3,2 a₀ —que no sabe derivar— y la comprobación de que la derivada numérica se anula allí, cosa que hace a 4,4 × 10⁻¹⁰. Los tres coinciden:

El antiligante es más interesante de lo que parece, y es el sitio donde este módulo se pilló a sí mismo. La frase que uno escribe sin pensar es que E₋(R) «crece monótonamente», porque el antiligante es repulsivo. Es falsa, y el guion la sacó en rojo: E₋(R) decrece monótonamente al aumentar R, y baja hacia −½ E_h desde arriba. La razón es que a R pequeño el +1/R de la repulsión nuclear domina y empuja la curva hacia arriba sin límite; al separar los núcleos, ese término se apaga y la curva cae. Que sea repulsiva significa que la fuerza separa los núcleos, y eso es exactamente que la energía baje al separarlos. El signo de una pendiente es justo la clase de cosa que se cree saber y no se sabe; medida sobre 40 001 puntos entre 0,8 y 40 a₀, la pendiente es negativa en todos ellos, y la curva no baja de −½ E_h en ninguno. A 40 a₀ la curva vale ya −13,605 693 eV, y el cero de la molécula rota —el rydberg— vale −13,605 693 eV: coinciden en las ocho cifras que se han impreso. Eso es lo que «tiende a» significa cuando se mide en vez de afirmarse.

De modo que el antiligante no liga a ninguna distancia. No es que ligue poco: es que su curva no cruza nunca el cero de la molécula rota. El ligante sí lo cruza, y baja hasta −0,564 831 E_h. Toda la diferencia entre una molécula y dos átomos que rebotan cabe en esa frase.

¿Y de dónde sale la diferencia? Del plano nodal. Sobre el plano perpendicular al eje que pasa por el punto medio se cumple r_A = r_B, así que e^−r_A − e^−r_B es idénticamente cero: el antiligante tiene un nodo ahí, y es exacto, no una cancelación numérica. Barrido en 501 puntos del plano y a tres distancias distintas, el mayor valor de |ψ₋| que se encuentra es cero hasta el último bit. El ligante, en ese mismo plano y a las mismas distancias, no se anula en ningún punto: a R = 3,00 a₀ su valor mínimo sobre el barrido es 0,0564 en unidades atómicas. Uno tiene amplitud entre los núcleos y el otro tiene un cero obligatorio entre los núcleos, y ésa es la diferencia entera.

El precio del nodo es energía cinética, y el glosario ya guarda el argumento: como $\langle T\rangle = \tfrac{\hbar^2}{2m}\int |\nabla\psi|^2 d^3r$, una función obligada a pasar por cero en mitad de la región donde vive tiene que subir y bajar, y esa pendiente cuesta. El estado simétrico se ahorra el nodo; el antisimétrico lo paga.

Merece la pena decirlo con todas las letras, porque es lo que este módulo entero está demostrando desde el artículo 01: aquí hay un solo electrón. No hay principio de exclusión, no hay antisimetría de intercambio, no hay espín en el hamiltoniano. Y aun así el estado simétrico y el antisimétrico difieren en 5,21 eV a R = 3,00 a₀ —los −15,21 y los −10,00 del ejemplo resuelto—. La simetría de la función de onda cambia las energías sin que en el hamiltoniano haya entrado nada nuevo, y con un electrón se ve más limpio que con dos.

El exacto: dos polos que desaparecen al cambiar de coordenadas

Todo lo anterior es una aproximación con una función de prueba. Lo que sigue no lo es: el problema de un electrón en dos centros fijos se resuelve, y resolverlo es lo que convierte este artículo en una medida en vez de en una comparación con un libro.

La clave es el sistema de coordenadas. Las coordenadas esferoidales prolatas toman los dos núcleos como focos y usan la suma y la diferencia de distancias:

con $r_A = R(\xi+\eta)/2$, $r_B = R(\xi-\eta)/2$ y elemento de volumen $dV = \tfrac{R^3}{8}(\xi^2-\eta^2)\,d\xi\,d\eta\,d\varphi$. Las superficies de ξ constante son elipsoides que envuelven a los dos núcleos y las de η constante son hiperboloides; son las coordenadas naturales del problema porque en ellas las dos singularidades quedan en el borde del dominio —el eje internuclear, donde η = ±1— y no en su interior.

Y ahora el truco, que es lo único que hay que llevarse de esta sección. La parte fea del hamiltoniano son los dos polos de Coulomb, uno en cada núcleo, donde 1/r_A y 1/r_B se hacen infinitos. En estas coordenadas:

Ese ξ² − η² del denominador es exactamente el que aparece en el elemento de volumen. Al escribir la ecuación de Schrödinger como un problema de autovalores generalizado —multiplicando los dos lados por (R²/2)(ξ² − η²)— el denominador se cancela y queda, para el estado fundamental, que tiene m = 0:

Los dos polos han desaparecido. Donde había dos infinitos queda un término lineal, −2Rξ, tan suave como se puede pedir. Eso no es cosmética: es lo que permite que unas diferencias finitas de segundo orden, que ante una singularidad de Coulomb convergerían como un caracol, den siete cifras con dos mallas y un truco de extrapolación. Y de paso explica por qué la separabilidad del H₂⁺ aparece en todos los libros y la del helio en ninguno: allí el término malo era 1/r₁₂, que depende de dos electrones y no se deja absorber por ningún cambio de variable.

Discretizada en forma conservativa —de manera que los coeficientes (ξ² − 1) y (1 − η²) se anulen justo en las caras del borde y las condiciones de contorno salgan solas—, la ecuación se resuelve como un problema de autovalores disperso. El orden de convergencia se mide antes de usarlo, que es lo que separa una extrapolación de una superstición. A R = 2,00 a₀, con tres mallas:

Ese 3,986 contra el 4 teórico —un 0,36 % de discrepancia— es la licencia para aplicar la extrapolación de Richardson, que con $E \approx E(h/2) + [E(h/2)-E(h)]/3$ mata el término dominante del error. Aplicada a otro par de mallas —250 × 40 y 500 × 80—, el resultado a esa distancia es −1,102 634 E_h, y el patrón con el que se contrasta —−1,102 634 2 E_h, el valor de referencia del problema de dos centros a esa distancia— queda 2,5 × 10⁻⁷ relativo por debajo.

Ésa es la barra, y tiene dos letras pequeñas que hay que leer, porque una barra sin ellas no es una barra.

La primera: está medida en R = 2,00 a₀ y en ningún otro sitio. El dominio de ξ se trunca en un tope, y al separar los núcleos la función se ensancha y el truncamiento muerde más, de modo que el mismo esquema con las mismas mallas empeora al aumentar R. Lo que sale de aquí es, por tanto, «a dos radios de Bohr el método da siete cifras», y no «el método da siete cifras». Las filas lejanas de la tabla de la sección siguiente —las de 4,00 y 6,00 a₀— llevan menos cifras buenas que ésta, y sus dos últimos dígitos no están respaldados por ninguna comprobación: lo que esa tabla sostiene es el tanto por ciento, que es una cifra gruesa, no la cuarta decimal del electronvoltio. Publicar una barra medida en un punto como si valiera en todo el dominio es el modo de fallo que este módulo le reprocha a los demás, y aquí estaba cometido.

La segunda: el patrón viene de fuera y este artículo no lo recalcula. Ese −1,102 634 2 E_h no sale de ninguna cuenta de aquí; es un valor de referencia del problema de dos centros que el guion de verificación lleva declarado entre los datos ajenos, y el papel del cálculo de arriba es reproducirlo, no comprobarlo. Lo que el método comprueba por su cuenta es otra cosa, y también es una barra: su consistencia interna. Dos pares de mallas que no comparten ninguna, extrapolados por separado, coinciden hasta la quinta cifra decimal —menos de una parte en un millón— y eso el ejercicio 6 lo rehace a mano con las tres mallas de la tabla de arriba, sin ordenador.

Buscando el mínimo de E(R) + 1/R sobre la curva extrapolada:

El R_e coincide con el patrón de referencia, 1,997 19 a₀, en todas las cifras con las que ese patrón está declarado, que son seis; y de la misma resta sale la D_e con sus cinco. Con acuerdos de ese tamaño se puede publicar la quinta cifra; con tres cifras no se podría ni enunciar el acuerdo. Lo que no se publica —y este artículo lo publicaba— es la energía del mínimo con seis decimales, y el motivo es instructivo. El patrón de arriba es la energía en R = 2,000 a₀ exactamente, y el mínimo no está en 2,000 sino en 1,9972: bajar esas tres milésimas de radio de Bohr cuesta unos 4 × 10⁻⁷ E_h más, que es justo lo que hace falta para que a la energía le cambie la sexta cifra decimal. Y 4 × 10⁻⁷ es también el tamaño del error que la propia extrapolación arrastra, de modo que este método no resuelve esa cifra y escribirla es inventarla. La D_e sobrevive porque a cuatro decimales de electronvoltio no se entera de esos 4 × 10⁻⁷; la E mínima no, y por eso se ha quitado.

La barra: un cuarto en la distancia, más de un tercio en la profundidad

Ahora se pueden poner las dos cosas juntas, que es todo el artículo:

Los dos porcentajes salen de dos cálculos que no comparten nada salvo las constantes: la columna de la izquierda son formas cerradas de exponenciales cruzadas contra una cuadratura, y la de la derecha es un problema de autovalores en derivadas parciales extrapolado a malla nula. No hay ninguna posibilidad de que un error se cancele entre las dos.

Lo primero que hay que decir es lo que el LCAO sí acierta, y no es poco: el signo. Sin ningún parámetro ajustable, sumando dos funciones que nadie ha retocado, sale que hay un mínimo, que está a un par de radios de Bohr y que tiene un par de electronvoltios de profundidad. Predecir que dos átomos neutros bajan de energía al juntarse, y por qué, es el resultado cualitativo entero de la teoría del enlace, y aquí sale de la simetría de una suma.

Lo segundo es que la dirección del error está garantizada de antemano y sólo el tamaño había que medirlo. Cualquier función de prueba obedece el principio variacional: el valor esperado del hamiltoniano en cualquier estado normalizado es mayor o igual que la energía del fundamental. El LCAO es una función de prueba, así que su curva no puede quedar por debajo de la exacta a ninguna distancia. No queda:

Léase la tabla de derecha a izquierda y aparece el mecanismo del fallo. El error no es un número: es una función del solapamiento. Donde los dos orbitales apenas se tocan, el LCAO acierta al 0,6 %, porque la molécula de verdad es allí un átomo y un protón y la base de dos 1s es prácticamente exacta —la raya de la última fila es literal: la cuadratura del solape se corrió hasta 4,00 a₀ y a 6,00 no hay medida suya, aunque la columna no deja dudas sobre hacia dónde va—. Donde se solapan de veras, se va al 15,0 %. Y el 1 ± S del denominador es justamente la cantidad que mide cuánto se solapan: la variable de la que depende el error es la misma que hace falta poner en la normalización.

Y una advertencia sobre las cifras de la columna «Exacto», que es la continuación de la letra pequeña de la sección anterior. Esa columna sale del mismo esquema extrapolado, pero la barra —los 2,5 × 10⁻⁷— está medida sólo en R = 2,00 a₀, que no es ninguna de las cinco filas. Al separar los núcleos la función se ensancha, el truncamiento del dominio de ξ pesa más y el método se degrada: la fila de 6,00 a₀ es la peor de las cinco y sus dos últimos dígitos no los respalda ninguna comprobación. Nada de lo que esta tabla dice depende de ellos —el 0,6 % y el 15,0 % siguen en pie con holgura, y también el orden de las cinco filas—, pero leer «−13,9306» como seis cifras verificadas sería creerle a la tabla una precisión que su barra no cubre. La barra de esta tabla es la de la última columna, no la de la tercera.

Cuidado con leer esto como una relación causal medida: lo medido es la correlación entre el solape y el error, distancia a distancia. La interpretación —que el fallo está en que la base no se deforma justo donde las dos nubes se pisan— es lo que la correlación sugiere, y el II.8 la contrastará dejando que el exponente del 1s se ajuste.

Y hay una comprobación más que descarta la explicación fácil. Se podría pensar que el LCAO falla en la profundidad porque se equivoca de distancia: si busca el mínimo demasiado lejos, es natural que le salga poco profundo. No es eso. Comparados a la misma distancia, en el propio R_e del LCAO, la energía exacta sigue estando 0,7945 eV por debajo. La base es pobre en todas partes; el error en R_e es una consecuencia de eso, no su causa. Comparar dos métodos en sus respectivos mínimos, y no en el mismo punto, es el segundo modo clásico de equivocarse en este cálculo.

¿Qué desacuerdo cabía esperar, para poder decir si el 36,83 % es mucho? El método no tiene ni un parámetro libre y su base son dos funciones de un átomo neutro de Z = 1. En el límite opuesto se ve lo lejos que eso puede quedar: cuando R → 0 los dos protones se funden en un núcleo de carga 2 y el sistema es un He⁺, cuyo electrón está ligado por 54,4228 eV — cuatro veces más que el hidrógeno del que procede la base. Dos orbitales de Z = 1 no pueden describir eso ni de lejos. El H₂⁺ real vive a medio camino entre los dos límites, y por eso el error es de decenas de tanto por ciento y no de un factor: el orden de magnitud del desacuerdo es el que la propia tabla anterior anticipa al recorrer la curva.

El H₂ neutro, y el 2 de 2n²

Añádase un segundo electrón. El orbital ligante ψ₊ sigue ahí —es una función de un electrón, y no se entera— y lo natural es meter los dos electrones en él. Eso hace la parte espacial simétrica bajo el intercambio de los dos electrones, y entonces el artículo 01 obliga: la función total tiene que ser antisimétrica, luego la parte de espín tiene que ser antisimétrica, luego es el singlete. El fundamental del H₂ es un ¹Σ_g⁺: el 1 de la izquierda es la multiplicidad de espín —singlete—, la Σ dice que el momento angular alrededor del eje es cero y la g dice que la función no cambia de signo al invertir por el punto medio, que es justo lo que hace ψ₊.

El triplete correspondiente no tiene esa opción. Si los dos espines son paralelos, la parte espacial ha de ser antisimétrica, y con dos electrones eso obliga a ocupar orbitales distintos: uno en ψ₊ y otro en ψ₋, o sea el ³Σ_u⁺. Y ya está medido lo que eso cuesta: el antiligante no liga a ninguna distancia. Un electrón bajando y otro subiendo más de lo que el primero baja —la asimetría del ejemplo resuelto 1— da una curva sin mínimo. Dos átomos de hidrógeno con los espines paralelos se repelen; con los espines antiparalelos, se unen. Y en el hamiltoniano no hay ni un término que dependa del espín: lo único que ha cambiado es qué parte espacial permite la antisimetría.

Este artículo no calcula la energía de enlace del H₂ neutro. En cuanto entran dos electrones vuelve el 1/r₁₂ del artículo 02, con todo lo que arrastra, y eso es el II.8. Lo que sí se puede cerrar aquí es la deuda que el módulo anterior dejó abierta.

El II.6 pidió que alguien explicara por qué el 2 de las capacidades 2n² —2, 8, 18, 32, que el I.4 publica desde hace tiempo— es un tope y no un número cualquiera. La identidad que lo resuelve ya está demostrada: el artículo 01 mostró que un determinante de Slater con dos filas iguales es la función nula. Lo que falta es cobrarla fuera del átomo, y ahí es donde este artículo aporta algo, porque el argumento no depende de que el orbital sea atómico. Un orbital espacial cualquiera —el 1s de un átomo, o el ψ₊ de esta molécula— admite exactamente dos espín-orbitales, el de espín arriba y el de abajo. Meter un tercer electrón en ψ₊ obligaría a repetir una de esas dos filas, y el estado que se obtiene no es improbable ni está prohibido por una regla añadida: no existe. El 2 no es una capacidad medida, es la dimensión del espacio de espín de un electrón, y multiplicado por los n² estados espaciales de un nivel del hidrógeno da el 2n² con el que el I.4 llena la tabla periódica. Un enlace de dos electrones lo es por la misma razón por la que una capa s lo es.

Ejercicios