107. Ésa es la razón entre la masa de un átomo de plata y la de uno de hidrógeno, y es exactamente lo que un experimento de Stern-Gerlach no puede notar. La deflexión de un haz térmico en un gradiente magnético vale Δz = μz(∂Bz/∂z)L²/(6kBT), y ahí no hay ninguna masa: se cancela contra la velocidad térmica. Los 0,108 mm que salen con la geometría de 1922 son los mismos para la plata de Gerlach y Stern que para el hidrógeno de Phipps y Taylor cinco años después. Eso es lo que convierte aquel aparato en un instrumento de una sola magnitud —μz— y lo que hace comparables los dos experimentos. Y lo que midió fueron dos manchas. Dos es par, y 2ℓ+1 con ℓ entero es impar siempre: lo que se está partiendo no es momento angular orbital. Es el espín, y el álgebra del artículo 01 ya había dejado sitio para él.
Dos cosas que el dibujo de los libros no enseña. La primera: la deflexión no depende de la masa del átomo — cambia de especie y mira los milímetros, no se mueven. La segunda: «la separación» no es un número, son tres, y se reparten un factor 3 exacto. El segundo modo mide otra cosa: qué le pasa a un espín que pasa por N imanes girados poco a poco.
Imán de 3,5 cm de longitud efectiva, la geometría de 1922, y μz = un magnetón de Bohr. Curva de arriba: el haz, v³e−αv²; a trazos, la de Maxwell del gas, v²e−αv². Las décimas de milímetro de abajo son un orden de magnitud y no una medida: el gradiente de 1922 no se conoce a dos cifras en ninguna publicación, y por eso lo que aquí se mide es la razón entre las tres, no su valor.
Plata a 10 T/cm y 1000 °C: la geometría de 1922. En este estado, y sólo de él habla esta frase, las tres cifras son 0.0539, 0.1077 y 0.1616 mm, y su razón es 1 : 2 : 3. Las tres son «la separación» con tres definiciones distintas de la palabra, y por eso la placa de 1922 enseña un labio y no dos puntos: la cola de las velocidades bajas empuja la media hacia fuera mientras el pico se queda dentro. Ojo con el gradiente: no se conoce a dos cifras en ninguna publicación de 1922, así que estos milímetros son un orden, no una medida.
El experimento que no puede medir la masa
Un átomo con momento magnético μ dentro de un campo magnético tiene energía −μ·B. Si el campo no es uniforme, esa energía depende de dónde esté el átomo, y una energía que depende de la posición es una fuerza. Con el campo apuntando a z y variando en z, la única componente que sobrevive es
Nótese lo que no aparece: el valor de Bz. Un campo uniforme, por intenso que sea, no empuja a un dipolo; sólo lo hace precesar. Lo que separa el haz es el gradiente, y ése es el motivo de que el imán de 1922 tuviera una arista de polo enfrentada a una acanaladura: para poner el haz donde ∂Bz/∂z es grande, no donde Bz lo es.
Ahora la cinemática, que es de bachillerato. El átomo entra por el imán con velocidad v paralela al eje del haz y tarda t = L/v en cruzarlo, con L la longitud efectiva del imán. Durante ese tiempo lo acelera Fz/m, así que sale desviado
Aquí la masa está, y está donde uno espera: en el denominador de la aceleración. Un átomo pesado se acelera menos, luego se desvía menos. Ésa es la intuición, y es falsa, porque v no es un parámetro libre: el haz sale de un horno a temperatura T, y en un horno la velocidad la fija la temperatura. Para la velocidad más probable del haz —que en la sección siguiente resulta ser vp = √(3kBT/m), y ese 3 tiene su propia historia— se cumple m vp² = 3kBT. Sustituyendo:
La masa se ha ido. No se ha hecho pequeña ni se ha aproximado: se ha cancelado, porque la m de la inercia y la m de la velocidad térmica son la misma m. El átomo pesado se acelera menos y a cambio pasa más tiempo dentro del imán, en la proporción exacta. El guion lo comprueba calculando por separado la trayectoria de la plata y la del hidrógeno —dos cinemáticas completas, con sus masas y sus velocidades— y comparando los resultados: coinciden con un residuo de 2,2 × 10⁻¹⁶, que es el redondeo de máquina.
| Átomo | Masa | vp del haz a 1000 °C | Δz(vp) con 10 T/cm y L = 3,5 cm |
|---|---|---|---|
| Plata, 108 u | 1,791 19 × 10⁻²⁵ kg | 543 m/s | 0,108 mm |
| Hidrógeno, 1 u | 107 veces menor | √107 veces mayor | 0,108 mm |
| Razón | 107 | 1/√107 | 1, exacta |
El panel de arriba tiene ese hecho como mando: cambia la especie con los otros dos deslizadores quietos y mira las tres casillas en milímetros. No se mueven ni en el cuarto decimal. Lo que sí se mueve —y por eso el panel lo enseña al lado— es vp, que al pasar al hidrógeno sube en la raíz de ese 107, porque va como 1/√m. Ésa es la cancelación, hecha visible.
Y ésta es la consecuencia que importa, más que la elegancia: un Stern-Gerlach no puede medir la masa del átomo, así que sólo puede estar midiendo μz. Cuando Phipps y Taylor consiguieron en 1927 hacer pasar hidrógeno atómico por un aparato equivalente y volvieron a ver dos manchas a la misma distancia, no estaban confirmando un experimento parecido: estaban midiendo el mismo momento magnético en un átomo que no tiene más que un electrón, en vez de en uno cuyo electrón de valencia va acompañado de capas cerradas. El I.4 cuenta esa pareja de fechas como historia; lo que las une es esta cancelación.
El haz no es un gas: va con v³
Falta justificar el 3 de vp = √(3kBT/m), y no es un detalle de tercera cifra: es el primero de los modos de fallo clásicos, un factor perdido, y el que más veces se comete en este tema.
Dentro del horno, las velocidades de la plata se reparten según Maxwell: la fracción de átomos con módulo entre v y v + dv va como v²e−mv²/2kBT, donde la v² es la superficie de la esfera de radio v en el espacio de velocidades. Esa distribución tiene su máximo en √(2kBT/m). Pero el haz no es el horno: el haz son los átomos que salen por el agujero, y por un agujero pequeño salen por unidad de tiempo tantos átomos de cada velocidad como átomos de esa velocidad lleguen al agujero. Los rápidos llegan más a menudo. El flujo pesa cada velocidad por la propia v:
Eso se llama un haz efusivo, y su máximo no está donde el del gas. Derivando el logaritmo, 3/v = mv/kBT, y de ahí vp = √(3kBT/m), comprobado además buscando el máximo numéricamente sobre la propia curva. Para la plata a 1000 °C el resultado es
| Distribución | Máximo | Plata a 1000 °C |
|---|---|---|
| Gas del horno, v²e−αv² | √(2kBT/m) | 443 m/s |
| Haz efusivo, v³e−αv² | √(3kBT/m) | 543 m/s |
Un 18 % de diferencia. Y como Δz va con 1/v², usar la del gas infla la deflexión predicha en un factor 3/2 sin que nada chirríe: el número resultante sigue siendo del orden de la décima de milímetro, sigue cayendo en la placa y sigue pareciendo razonable. Ése es el rasgo que hace peligroso este error y no otros: no produce un absurdo. Las dos curvas están dibujadas a la vez en el panel, la del gas a trazos, precisamente para que la diferencia se vea en lugar de creerse.
De la misma distribución sale el otro ingrediente que hará falta enseguida, el valor medio de 1/v² sobre el haz. Se integra por partes o se reconoce como un cociente de gammas, y da una forma cerrada notablemente simple:
Cruzado por cuadratura numérica contra la forma cerrada, la discrepancia es 1,7 × 10⁻¹⁶. Que ⟨1/v²⟩ sea exactamente α y no algo con un π dentro es la clase de coincidencia que conviene comprobar antes de usarla, porque es justo la que uno recuerda mal.
«La separación» son tres números, y se reparten un factor 3
Aquí está el segundo modo de fallo con nombre: comparar dos casos con parámetros distintos. Se comete solo, sin mala fe, y en este tema lo comete casi toda la bibliografía divulgativa.
La placa de 1922 no recibió dos puntos. Recibió una distribución de impactos, porque cada átomo llegó con su propia velocidad y Δz = C/v² con C = μz(∂Bz/∂z)L²/2m. Cambiando de variable en la distribución del haz —v = √(C/z), dv/dz = −½√C·z−3/2— la densidad de impactos a distancia z del centro sale
Es una distribución muy asimétrica: cae como z⁻³ hacia fuera —una cola larga, de los átomos lentos— y se corta exponencialmente hacia dentro, porque para llegar cerca del centro hace falta una velocidad enorme y no hay tantos. De una distribución así, «la separación» admite al menos tres lecturas legítimas, y las tres se usan:
| Qué se llama «la separación» | Forma cerrada | Geometría de 1922 | Respecto de la del medio |
|---|---|---|---|
| La moda de la densidad de impactos: donde la placa se ennegrece más | μz(∂Bz/∂z)L²/12kBT | 0,0539 mm | ½ |
| La deflexión de la velocidad más probable del haz | μz(∂Bz/∂z)L²/6kBT | 0,108 mm | 1 |
| La media ⟨Δz⟩ sobre todo el haz | μz(∂Bz/∂z)L²/4kBT | 0,162 mm | 3/2 |
La moda sale de derivar log p(z) = −3 log z − αC/z, que se anula en z = αC/3. La media sale de ⟨Δz⟩ = C⟨1/v²⟩ = Cα. Y la del medio es la del apartado anterior. En las tres se ha cancelado la masa, las tres tienen la misma dependencia del gradiente y de la temperatura, y las tres se diferencian en un factor numérico y sólo en eso: 1 : 2 : 3, exacto.
De aquí salen dos cosas. La primera es visual: la placa de 1922 no enseña dos puntos, enseña un labio, con el borde exterior difuso y el interior nítido. Esa forma no es un defecto del vacío ni de la colimación; es el z⁻³ de la cola de los lentos. La segunda es de higiene: la frase «la separación de Stern-Gerlach es X mm» está incompleta mientras no diga cuál de las tres X es, y comparar el X de un texto con el de otro sin comprobarlo es comparar dos cosas que se llevan un factor 3. En particular, no se publica «0,215 mm» como «la separación de las dos ramas»: ese número es el doble de la deflexión de vp y su tercera cifra no significa nada, porque el gradiente del que sale no se conoce a dos. De eso va el ejemplo siguiente.
Problema. Gerlach y Stern publicaron trazas separadas del orden de 0,2 mm con un imán de 3,5 cm de longitud efectiva y un horno de plata a unos 1000 °C (Z. Phys. 9, 349, 1922; los cinco datos de este ejemplo —los tres de arriba, el gradiente de 10 T/cm y el ±10 %— se citan con esos mismos valores en B. Friedrich y D. Herschbach, Physics Today 56, 12, 53, 2003). (a) En vez de predecir la separación, inviértela: ¿qué μz exige ese dato si el gradiente fuera de 10 T/cm? (b) Repite con 5, 8, 12 y 20 T/cm y di qué forma tiene la dependencia. (c) Compara con un magnetón de Bohr y decide qué se puede publicar. (d) ¿Por qué no se hace al revés, prediciendo los milímetros?
Solución. (a) De la fórmula del apartado anterior, con la separación entre las dos ramas igual a 2Δz porque las dos ramas se apartan en sentidos opuestos:
Con 0,1 mm de media separación, T = 1273,15 K, ∂Bz/∂z = 1000 T/m y L = 0,035 m, el numerador es 0,1 × 10⁻³ × 6 × 1,380 649 × 10⁻²³ × 1273,15 y el denominador, 1000 × (0,035)². El cociente, dividido por μB = 9,274 × 10⁻²⁴ J/T, da 0,928 μB.
(b) La expresión es lineal en 1/(∂Bz/∂z): doblar el gradiente divide el μz exigido por dos, y eso es álgebra, no una aproximación. La tabla completa:
| ∂Bz/∂z supuesto | μz que exige la placa |
|---|---|
| 5 T/cm | 1,857 μB |
| 8 T/cm | 1,160 μB |
| 10 T/cm | 0,928 μB |
| 12 T/cm | 0,774 μB |
| 20 T/cm | 0,464 μB |
(c) Con 10 T/cm, el 0,928 se aparta de un magnetón de Bohr un 7,2 %. Y aquí es donde hay que decir exactamente lo que se puede decir y ni una palabra más: Gerlach y Stern se atribuyeron a sí mismos una incertidumbre en torno al ±10 % —dato de su propio artículo de 1922, recogido por Friedrich y Herschbach—, y un 7,2 % cae dentro. Eso es lo publicable: «un magnetón de Bohr, dentro del ±10 % que los propios autores declararon». Lo que no se puede publicar es «0,928 μB» como si fuera una medida con tres cifras, porque la tabla de (b) enseña que esa tercera cifra la fija una suposición sobre el gradiente y no el experimento.
(d) Porque predecir los milímetros exige conocer el gradiente, y el gradiente de una arista de polo depende de a qué fracción de milímetro pase el haz — un dato que no está publicado con dos cifras en ninguna parte. Lo que el aparato mide bien es el producto μz·(∂Bz/∂z), así que la magnitud honesta es el cociente separación/gradiente, y por eso el guion barre el gradiente en lugar de fijarlo.
Resultado. El experimento de 1922 no midió «0,2 mm»: midió
un momento magnético compatible con un magnetón de Bohr con un margen del
10 %, y ese margen es un dato publicado por sus autores, tan
medible como el propio 0,928. Merece la pena separar las dos cosas, porque
se confunden a todas horas. La barra que un experimentador publica es una
afirmación sobre el mundo y se cita. El umbral con el que un programa de
verificación decide si dos números coinciden —el «listón» de un guion, el
rtol de una comparación— no es una afirmación sobre nada: es
una decisión del que escribió el programa, y escribirla en un artículo como
si fuera una incertidumbre es inventarse una medida. La regla, entera:
una tolerancia no es una medida.
Dos manchas, y por qué ningún ℓ entero las da
Con el instrumento entendido, la pregunta es qué se vio. Un momento magnético clásico apuntando en cualquier dirección tendría μz repartido de forma continua entre −μ y +μ, así que la placa recibiría un segmento continuo centrado en el punto sin campo. La longitud total del segmento sería la misma que la separación de las dos manchas; lo que cambia no es la escala, es la estructura. En 1922 no salió un segmento: salieron dos trazas y nada en medio.
El II.5 dejó establecido que un momento angular orbital con número cuántico ℓ tiene 2ℓ+1 valores de m, y que ℓ es entero porque la univaluación sobre la esfera lo obliga. La cuenta de manchas es inmediata, y el guion la hace sin escribir ningún 2j+1: construye las matrices de Jz de la representación j, cuenta sus autovalores distintos y comprueba de paso que están equiespaciados en ħ.
| j | 0 | ½ | 1 | 3/2 | 2 | 5/2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Manchas | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Léase la fila entera. Los j enteros dan siempre un número impar de manchas —comprobado para ℓ = 0 hasta 11—, y los semienteros, siempre par. Dos manchas no puede darlas ningún momento angular orbital, sea cual sea ℓ. No es que la explicación orbital sea forzada o poco natural: es que es aritméticamente imposible. Ésa es la fuerza del experimento y la razón de que un resultado tan modesto —dos rayitas en una placa— cambiara la teoría.
Con la plata, además, la cuenta es especialmente limpia. Su configuración electrónica termina en 5s¹: todos los demás electrones ocupan capas cerradas, que no aportan ni momento angular ni momento magnético, y queda uno solo en un orbital s con ℓ = 0. Su término espectroscópico es ²S1/2, y con ℓ = 0 no hay absolutamente nada orbital que partir. Lo que se partió tenía 2j+1 = 2, o sea j = ½, y no venía del movimiento del electrón alrededor del núcleo. Sólo puede venir del electrón mismo.
El álgebra ya lo permitía, y la esfera lo prohibía. Ésta es la deuda que el módulo venía arrastrando desde el II.5, y conviene verla entera. El artículo 01 dedujo ℓ(ℓ+1) y m de un conmutador, sin escribir una sola derivada, y en esa deducción j = ½ es una solución perfectamente legítima: el guion construye sus matrices y comprueba que cumplen [Ji,Jj] = iεijkJk y J² = j(j+1)·1 con error 0. El II.5, en cambio, midió que sobre la esfera el semientero revienta: la solución de la ecuación de Legendre con ℓ = ½ crece sin parar al cerrar el corte, con pendiente 0,3183 = 1/π, y ei2πm vale −1 en vez de +1 para m = ½. Los dos resultados son correctos y no se contradicen. El álgebra dice qué es posible; el dominio dice qué de eso se realiza en una función de θ y φ. Lo que Stern y Gerlach encontraron es que la naturaleza usa la posibilidad que la esfera rechazaba — porque el estado que la usa no es una función sobre la esfera. La pregunta que el ejercicio 1 del II.5 dejaba abierta —si la cuña de apertura 4π, donde sale m = ½, contradice lo que el II.6 dirá del espín— tiene aquí su respuesta: no lo contradice porque no se le aplica. No hay ninguna coordenada angular que dar la vuelta.
El signo, y lo que le hace al dibujo
Antes de escribir el estado hay que arreglar una cosa que en este sitio ya se hizo mal una vez y que casi ningún texto de este nivel dice con todas las letras: el factor g del electrón es negativo. CODATA no publica 2,002 319…, publica
El signo no es un adorno de la tabla. Está ahí porque el electrón tiene carga negativa, y un momento magnético que nace de una corriente de carga negativa apunta en sentido contrario al momento angular que lo genera. La cadena, eslabón a eslabón y sin dejar ninguno implícito:
- CODATA publica también la razón μe/μB como magnitud tabulada aparte, y vale −1,001 1597: negativa, y de módulo |ge|/2.
- Con μ = −g μB S/ħ escrito con |g| positivo —o, equivalentemente, con μ = ge μB S/ħ escrito con el ge con signo, pero nunca las dos cosas a la vez—, el estado ms = +½ tiene μz = −1,001 160 μB. El estado «arriba» tiene momento magnético hacia abajo.
- Con Fz = μz(∂Bz/∂z) y un gradiente positivo de 10 T/cm, la fuerza sobre ese estado vale −9,285 × 10⁻²¹ N. Negativa: el espín «arriba» se desvía hacia abajo.
- Y su energía, −μ·B = +1,0012 μBB, sube con el campo. El estado alineado con B en el sentido del momento angular es el estado de energía alta, no el de energía baja.
Ninguno de esos cuatro pasos es sutil, y sin embargo el resultado contradice todos los dibujos del tema, en los que el «espín arriba» sale por arriba. La posición vertical de las dos manchas en la placa no es convencional: la fija el signo de ge junto con el sentido del gradiente, y las dos cosas son medibles. Si el imán se invierte, las etiquetas se intercambian.
Y una advertencia de redacción que cuesta dinero: escribir «μ = −g μB S/ħ, con g = −2,002 319 (CODATA)» pone el signo dos veces y devuelve el momento magnético paralelo al espín, que es falso. O se cita |ge| y se escribe el menos delante, o se cita ge con su signo y no se escribe ningún menos. Aquí, y en el resto del módulo, se hace lo primero. El valor de g —el 2 de Dirac, el 2,002 319 de la electrodinámica cuántica y las dos frecuencias que lo miden— es el asunto del artículo 03; el signo, y lo que le hace al dibujo, tenía que quedar dicho antes.
Problema. Un imán de Stern-Gerlach tiene ∂Bz/∂z = +10 T/cm, con z hacia arriba. Un átomo de plata entra en el estado ms = +½. (a) Calcula μz en unidades de μB y su signo. (b) Calcula Fz en newtons y di hacia dónde va la mancha. (c) ¿Cuál de las dos manchas está más arriba en la placa? (d) Si se le da la vuelta al imán, ¿cambia la separación entre las manchas? ¿Y las etiquetas?
Solución. (a) Con μ = −|ge|μBS/ħ y Sz = +ħ/2:
Es negativo, y su módulo se pasa de un magnetón de Bohr en poco más de una milésima. Ese exceso es la anomalía y es del artículo 03; aquí lo único que importa es que va delante un menos.
(b) Fz = μz(∂Bz/∂z) = −1,001 160 × 9,274 × 10⁻²⁴ J/T × 1000 T/m = −9,285 × 10⁻²¹ N. La fuerza apunta hacia −z: el estado ms = +½ se desvía hacia abajo. Para hacerse una idea de la escala, repártase esa fuerza entre la masa del átomo de plata, 1,791 19 × 10⁻²⁵ kg: la aceleración es enorme, y aun así el resultado es una décima de milímetro, porque el átomo sólo está dentro del imán el tiempo que tarda a 543 m/s en recorrer 3,5 cm.
(c) La de ms = −½, que tiene μz = +1,001 160 μB y por tanto Fz > 0. La mancha de arriba es la del espín «abajo». Es contraintuitivo y es correcto, y la causa es una sola: la carga del electrón es negativa.
(d) Invertir el imán cambia el signo de ∂Bz/∂z, luego el de Fz para los dos estados a la vez. La separación —que depende del módulo del gradiente— no cambia; lo que se intercambian son las etiquetas de las dos manchas. Y ése es el motivo de que la separación sea un buen observable y la posición de cada mancha por separado no lo sea sin decir cómo estaba montado el imán.
Resultado. El experimento no distingue «arriba» de «abajo» por sí solo: distingue dos estados y mide la distancia entre ellos. Para etiquetarlos hacen falta dos datos más, y los dos son medidos: el signo del gradiente, que lo pone el montaje, y el signo de ge, que lo pone la naturaleza y CODATA publica. La lección general vale más allá de este imán: una separación es un número; una orientación es un número y un convenio, y el convenio hay que enseñarlo.
El espinor: dos números complejos y nada más
Si el estado interno del electrón sólo admite dos resultados al medirlo en cualquier eje, el espacio en el que vive tiene dimensión dos. No hace falta nada más para escribirlo: un espinor es una columna de dos números complejos,
y los observables de espín son matrices 2×2 hermíticas. Aquí el II.6 no estrena nada: las matrices de Pauli están publicadas en el II.4, con su nombre, con [σz,σx] = 2iσy y con la esfera de Bloch, y allí aparecían como los observables de un qubit. Se cobran tal cual:
Lo que sí es nuevo en este módulo, y es todo lo que hace falta para que el espín deje de ser un postulado, es de dónde salen. El guion no las teclea: las construye desde la escalera del artículo 01 en la representación j = ½ —los mismos J±, el mismo Jz, el mismo coeficiente √(j(j+1) − m(m±1))— y las compara con las tres matrices que este artículo publica. Coinciden exactamente. Las matrices de Pauli son la representación j = ½ del álgebra del momento angular, ni más ni menos; el II.4 las usaba, el II.6 dice qué son.
De ahí sale, sin más trabajo, todo lo que el módulo necesita. Las tres cumplen σiσj = δij·1 + iεijkσk —nueve productos comprobados uno a uno—, de donde salen a la vez el conmutador [σi,σj] = 2iεijkσk y el anticonmutador {σi,σj} = 2δij, y en particular σi² = 1. Con eso:
Es el mismo ℓ(ℓ+1) del artículo 01 con ℓ sustituido por ½, y sale del álgebra de las matrices, no de sustituir en una fórmula. Como consecuencia, el módulo del espín vale (√3/2) ħ, y la proyección máxima es ħ/2: el vector es más largo que su mayor sombra, exactamente igual que el 41,4 % que el II.5 midió para ℓ = 1. Aquí el exceso es mayor todavía —el espín es el caso más extremo de todos— y por la misma razón: Sx y Sy no conmutan con Sz y no pueden valer cero a la vez.
Y una observación que parece formal y es la clave del artículo: en ninguna parte de estas dos matrices por dos hay una coordenada. No hay θ, no hay φ, no hay una función a la que exigirle que valga lo mismo en φ y en φ + 2π. El argumento que en el II.5 obligaba a m entero no tiene dónde aplicarse. Ésa es toda la explicación de por qué el semientero es legal aquí y no allí, y no hay ningún misterio adicional escondido detrás.
σ·n, y el ángulo que entra a la mitad
Un imán orientado según el vector unitario n = (sen θ cos φ, sen θ sen φ, cos θ) mide el observable S·n = (ħ/2) σ·n, con
Esa matriz tiene traza 0 y determinante −1, igual que las tres σ, así que sus autovalores son ±1 para cualquier n: se mida en el eje que se mida, salen dos resultados y valen ±ħ/2. El autovector de autovalor +1 se puede obtener de tres maneras que no comparten cuentas, y el guion las hace las tres.
La primera es rotar. El operador que gira un estado un ángulo θ alrededor del eje y es e−iθσy/2, y como σy² = 1 la serie exponencial se cierra en un coseno y un seno:
Eso es |+n⟩ para φ = 0, es decir con n en el plano xz. La fase azimutal se pone con una segunda rotación, ésta alrededor de z, que multiplica las dos componentes por e∓iφ/2; quitando la fase global que sobra,
La segunda es diagonalizar σ·n numéricamente y quedarse con el autovector de +1. La tercera es aplicar la regla de Born y calcular |⟨+n|+z⟩|². Sobre 73 ángulos, de 0° a 360° en pasos de 5°, las tres coinciden:
| Qué se compara | Peor desviación |
|---|---|
| Serie de Taylor de e−iθσy/2 contra la forma cerrada | 9,0 × 10⁻¹⁶ |
| |+n⟩ por rotación contra el autovector de σ·n diagonalizada | 2,2 × 10⁻¹⁶ |
| P(+n|+z) contra cos²(θ/2) | 0, exacto |
| Unitariedad de e−iθσ·n/2, sobre 5 semillas de ejes al azar | por debajo de 10⁻¹³ |
De ahí, el resultado que gobierna todo lo que sigue:
El ángulo entra a la mitad, y ese ½ es literalmente el s = ½ del título: en el exponente de la rotación va el generador S/ħ, que para el espín vale σ/2. A 90° la probabilidad es 0,500, cruzada por los tres caminos. La fase azimutal φ no aparece en la probabilidad, sólo en la fase relativa de las dos componentes; para verla hace falta un tercer imán, no el segundo.
La trampa, con su número. Escribir P = cos²θ en vez de cos²(θ/2) es el error más común del tema, y lo peligroso es dónde no produce ningún absurdo. A 60° la fórmula equivocada da 0,25 y la buena, 0,75: un factor 3, con los dos números entre 0 y 1, los dos creíbles y ninguno imposible. Nadie va a sospechar de un 0,25. La forma de no cometerlo nunca es comprobar la fórmula en el límite θ = 180°, que es el único ángulo donde la respuesta se sabe sin calcular nada: dos imanes opuestos no dejan pasar nada. cos²(180°/2) = cos²90° = 0 lo da; cos²180° = 1 diría que pasa todo el haz. Ahí sí canta, y por eso ése es el punto en el que hay que probarla — no a 90°, donde ninguna de las dos da un disparate.
Una vuelta entera no devuelve el espinor a su sitio: hacen falta dos
El «ángulo a la mitad» tiene una consecuencia que se puede medir y otra que no, y conviene separarlas. La que sí: el vector de Bloch de un espinor —el vector de valores esperados ⟨σ⟩— gira el ángulo entero cuando el espinor gira la mitad. El guion lo comprueba sobre 300 ejes al azar y 5 semillas, con dos afirmaciones distintas a la vez: que U†σaU = Σb Rabσb con la R de una matriz de rotación 3×3 de verdad, y que ⟨σ⟩ del estado girado es R por ⟨σ⟩ del de partida. Peor desviación de las dos, 2,4 × 10⁻¹⁵.
La que no se mide es el signo. Girando 360° alrededor de z:
Medido elemento a elemento: la primera con 4,0 × 10⁻¹⁶ y la segunda con 9,7 × 10⁻¹⁵. Para j = 1, en cambio, la misma rotación de 360° da +1 con la misma precisión. El espinor tiene periodo 4π y el vector, 2π, y ésa es la frase exacta de que el grupo SU(2) —el de las rotaciones de un espinor— cubre dos veces el SO(3) de las rotaciones del espacio: a cada rotación le corresponden dos operadores, U y −U.
Ese menos es una fase global y no se mide en ningún Stern-Gerlach: todas las probabilidades llevan módulo al cuadrado. Sí se mide en interferencia de una sola partícula consigo misma, mandando un neutrón por dos caminos, girando su espín 360° en uno de ellos y mirando cómo se desplazan las franjas — que es lo que hizo el experimento de Rauch y su grupo en 1975. La distinción vale la pena tenerla clara, porque es la misma de todo el formalismo: una fase global es invisible, una fase relativa entre dos ramas de una superposición es un observable.
La cadena de imanes: las cifras del I.5, por otra razón
Queda ver qué pasa cuando se encadenan imanes, porque de ahí sale la conexión más limpia entre este módulo y el nivel I, y no es una analogía.
Empecemos por el caso mínimo. Un horno no prepara ningún estado: emite espines con orientaciones desordenadas, así que un primer imán en z deja pasar la mitad por cada rama. Se coge la rama +z y se tira la otra. Un segundo imán en x, y se tira otra vez la rama −. Un tercer imán en z. ¿Qué fracción del haz del horno llega al final? Con P = cos²(θ/2) y θ = 90° en cada paso, ½ · ½ · ½ = 1/8, comprobado contra el producto de proyectores. Y el hecho interesante es que no es cero: si se quita el imán del medio, la fracción es ½, porque el estado que sale del primer imán ya es |+z⟩ y el tercero lo deja pasar entero. El de en medio no ayuda: destruye la información sobre z, y por eso la última rama vuelve a repartirse.
Ahora la versión que crece. Pónganse N imanes en fila, cada uno girado 180°/N respecto del anterior, de modo que el primero esté a 180°/N y el último a 180°, y quédese en cada paso con la rama +. Se entra con |+z⟩ y se pretende salir con |−z⟩. Cada paso deja pasar cos²(90°/N), y la cadena entera
| N | Ángulo por imán | Llega al final | Los N polarizadores del I.5 |
|---|---|---|---|
| 1 | 180° | 0 | 0 |
| 2 | 90° | 25,0 % | 25 % |
| 10 | 18° | 78,05 % | 78,05 % |
| 30 | 6° | 92,10 % | 92,10 % |
| 60 | 3° | 95,97 % | 95,97 % |
Las dos últimas columnas son la misma cifra — comprobado contra la tabla del I.5—, y el motivo no es que los espines sean como los fotones. Es éste: en el I.5 la ley de Malus da cos²α y la cadena gira la polarización 90° en N pasos; aquí la probabilidad da cos²(θ/2) y la cadena gira el espín 180°. El ángulo del espinor entra a la mitad, así que 180°/2 = 90°, y las dos cuentas resultan ser literalmente la misma función. No es una analogía: es una identidad, y su causa es exactamente el s = ½.
Vale la pena decir qué enseña, porque el número solo no lo dice. Con un imán a 180° no llega nada; con diez pasos de 18° llega el 78 %. Nada en el aparato ha «girado» el espín: cada imán lo mide en una dirección un poco distinta, y el estado que sale es autoestado del imán que acaba de atravesar. Lo que crece con N no es un giro suave, es la probabilidad de que N medidas seguidas den todas el mismo signo cuando cada pregunta se parece mucho a la anterior. El panel de arriba tiene esa curva entera en su segundo modo, y el N con el que se cruza el 90 % se encuentra moviendo un deslizador.
Lo que este artículo no ha demostrado. Tres cosas, y las tres conviene decirlas. Primera: la fórmula de la deflexión usa sólo la parábola de dentro del imán y no el tramo recto posterior hasta la placa, que en el aparato real multiplica todo por un factor geométrico. Ese factor no cambia nada de lo que aquí se afirma, porque lo que se afirma son razones —la cancelación de la masa y el 1 : 2 : 3—, y las razones no lo ven; sí cambiaría los milímetros, que por eso se dan como orden de magnitud. Segunda: las tres cifras de la geometría de 1922 —3,5 cm, 10 T/cm, 1000 °C— son de orden y no de precisión, y el gradiente de una arista de polo depende de a qué fracción de milímetro pase el haz. Por eso el argumento del ejemplo resuelto 1 es una inversión con barrido y no una predicción. Tercera: aquí no se ha deducido por qué g vale aproximadamente 2 —eso es Dirac, y es del artículo 03— ni por qué el electrón tiene espín ½ y no otro valor. La respuesta a esto último no está en la mecánica cuántica no relativista de este nivel: el espín aparece como una etiqueta de las representaciones del grupo de Lorentz, y qué representación le toca a cada partícula es un dato experimental. Griffiths, en su Introduction to Quantum Mechanics, lo dice con la misma franqueza, y conviene repetirlo: el espín no se deriva aquí, se mide.
Ejercicios
(a) Escribe σ·n para θ = 60° y φ = 0 y diagonalízala a mano: comprueba que sus autovalores son ±1 y obtén el autovector de +1. (b) Comprueba que coincide con cos(θ/2)|+z⟩ + sen(θ/2)|−z⟩. (c) Calcula P(+n|+z) y compáralo con lo que daría cos²θ. (d) Un compañero comprueba su fórmula a θ = 0° y le sale bien; ¿por qué eso no comprueba nada, y en qué ángulo tendría que haberla probado? (e) Sin calcular ninguna integral nueva, di cuánto vale P(+n|−z) y por qué.
Solución
(a) Con φ = 0 la matriz es real y simétrica, con cos 60° = ½ y sen 60° = √3/2:
Traza 0 y determinante −1 obligan a λ² = 1, o sea λ = ±1, sin resolver ninguna cuadrática. Para λ = +1, la primera fila da (½ − 1)a + (√3/2)b = 0, o sea b/a = 1/√3. Normalizando, a = √3/2 y b = ½.
(b) cos 30° = √3/2 y sen 30° = ½. Coinciden. Fíjate en lo que ha pasado con los ángulos: en la matriz aparecían el seno y el coseno de 60°, y en el autovector aparecen los de 30°. La mitad no está puesta a mano: la produce la diagonalización.
(c) P = (√3/2)² = 3/4 = 0,75. La fórmula equivocada daría cos²60° = 0,25: un factor 3, y las dos cifras son perfectamente creíbles.
(d) Porque θ = 0° es el único ángulo en el que todas las fórmulas candidatas coinciden: cos²0 = cos²(0/2) = 1, y también daría 1 cualquier cosk(θ/j). Un punto donde dos funciones se cortan no las distingue, y el ángulo cero es donde se cortan casi todas, porque ahí la respuesta la fija la normalización y no la física. El ángulo bueno es el otro extremo, θ = 180°, donde la respuesta correcta es 0 —dos imanes opuestos no dejan pasar nada— y la equivocada, 1. Segunda lección: una fórmula se comprueba donde sus rivales dan cosas distintas, no donde queda bonita.
(e) sen²(θ/2), o sea 0,25 a 60°. Y el argumento correcto es uno solo: |+z⟩ y |−z⟩ forman una base ortonormal, así que para el estado fijo |+n⟩ se cumple |⟨+n|+z⟩|² + |⟨+n|−z⟩|² = 1 — es la norma de |+n⟩ desarrollada en esa base. Ojo con el argumento que parece el mismo y no lo es: «P(+n|+z) + P(−n|+z) = 1» también es cierto, pero suma sobre los dos resultados del segundo imán con el estado de entrada fijo, que es otra cuenta. Las dos sumas valen 1 y hay que saber cuál se está usando; en cuanto los dos aparatos no midan lo mismo, sólo una de las dos sigue valiendo.
(a) Un átomo de plata con ms = −½ entra en un imán con ∂Bz/∂z = −10 T/cm (gradiente hacia abajo). ¿Hacia dónde se desvía? (b) Calcula la separación de energía entre los dos estados a B = 1 T en µeV, usando |ge| ≈ 2 y μB = 57,9 µeV/T, y di cuál de los dos está arriba. (c) Alguien escribe «μ = −g μBS/ħ con g = −2,002 319 según CODATA»: ¿qué predice esa expresión para el sentido de la deflexión, y por qué es falsa? (d) ¿Qué habría que medir para distinguir experimentalmente esa expresión de la correcta?
Y ahora el otro aparato, que no es el de 1922 y hay que montar entero. Datos: un haz de sodio (22,98977 u, un electrón de valencia como la plata, así que μz = ±μB) que sale por una rendija de 0,3 mm de un horno a 250 °C, donde la presión de vapor del sodio es de unos 0,3 Pa, y atraviesa un imán de 2,0 cm con ∂Bz/∂z = 10 T/cm y un campo de unos 1,5 T en la posición del haz. (e) Calcula la velocidad más probable del haz y la del gas de dentro del horno, y di cuál de las dos hay que usar y por qué. (f) Con la que hay que usar, calcula las tres deflexiones que este artículo llama «la separación», y di cuál de las tres compararías con la línea más negra de una placa fotográfica. (g) Un colega hace la cuenta con la velocidad de la Maxwell del horno y obtiene un número que ya está en tu tabla del apartado (f). ¿Cuál, por qué, y qué tiene eso de peligroso? (h) Sin rehacer ninguna cuenta: si el haz fuera de cesio (132,9 u) en el mismo imán y al mismo horno, ¿cuánto cambiarían las tres cifras? (i) Y la pregunta que nadie hace: ¿este aparato puede existir? Comprueba las dos cosas de las que depende todo lo anterior. Primera: que el horno sea efusivo — el recorrido libre medio dentro tiene que ser mucho mayor que la rendija, no al revés; usa λ = kBT/(√2 π d² P) con d ≈ 0,37 nm y da el número de Knudsen λ/rendija. Segunda: que el gradiente sea constante donde el haz vive — compara tu deflexión media con la escala ℓ = B/(∂Bz/∂z) en la que el propio campo cambia. Vuelve luego sobre tu respuesta de (h).
Solución
(a) Con ms = −½ el momento es μz = +1,001 160 μB, positivo. Con el gradiente negativo, Fz = μz(∂Bz/∂z) < 0: se desvía hacia abajo. Respecto del ejemplo resuelto 2 se han invertido dos cosas —el estado y el gradiente— y el signo de Fz vuelve a ser el mismo, porque cada inversión lo cambia una vez. Ésa es la razón de multiplicar los signos en vez de intuirlos: dos cambios no dan un cambio.
(b) ΔE = |ge| μB B ≈ 2 × 57,9 = 116 µeV a 1 T, y con el |ge| completo el valor es 115,9 µeV. Como E = −μzB, arriba en energía está el estado con μz negativo, que por el signo de ge es ms = +½. Y entonces, con el gradiente positivo del ejemplo resuelto 2, el estado que en la placa va abajo es el que en el diagrama de niveles va arriba. Las dos figuras que todo el mundo dibuja juntas se leen al revés la una de la otra.
(c) Esa expresión pone el signo dos veces: con g negativo, −g μBS/ħ da un momento paralelo al espín, y predice que ms = +½ se desvía hacia arriba con gradiente positivo. Es falsa porque el menos de la fórmula ya es el que representa la carga negativa del electrón; el signo de la tabla de CODATA es el mismo, no uno adicional. La regla operativa: o se cita |ge| y se escribe el menos, o se cita ge y no se escribe.
(d) Cualquier medida que sea sensible al sentido y no sólo a la magnitud: en qué lado de la placa cae cada rama con un gradiente de sentido conocido, o cuál de los dos niveles Zeeman está poblado a baja temperatura, o el sentido de precesión del espín en un campo. Todas ellas exigen conocer además el signo del montaje. Segunda lección: hay magnitudes cuyo signo no se puede medir sin un convenio auxiliar que a su vez haya que medir, y el momento magnético del electrón es una de ellas.
(e) Con m = 22,98977 u = 3,8175 × 10⁻²⁶ kg y T = 523,15 K: del haz, vp = √(3kBT/m) = 753 m/s; del gas del horno, √(2kBT/m) = 615 m/s. Hay que usar la del haz, y la razón no es de gusto: lo que atraviesa el imán no es el gas del horno sino el haz efusivo que sale por la rendija, y el flujo pesa cada velocidad por la propia v. Un átomo el doble de rápido cruza la rendija el doble de veces por segundo, así que la v² del gas se convierte en v³ en el haz y el máximo se corre hacia arriba.
(f) La constante común es μB(∂Bz/∂z)L²/kBT con ∂Bz/∂z = 1000 T/m y L = 0,020 m, y las tres separaciones son esa constante dividida por 12, por 6 y por 4:
| Qué se llama «la separación» | Aquí |
|---|---|
| Moda de los impactos | 0,0428 mm |
| Deflexión de vp del haz | 0,0856 mm |
| Media ⟨Δz⟩ del haz | 0,1284 mm |
Las dos trazas quedan separadas 0,171 mm, del orden de los 0,2 mm de 1922. Con una placa fotográfica se compara la moda: lo que la emulsión registra más es donde caen más átomos, y eso es el máximo de la densidad de impactos, no la deflexión de ninguna velocidad concreta ni el promedio del haz.
(g) Con la Maxwell del horno obtiene 0,1284 mm, que es la media. No es casualidad: Δz va con 1/v², y 2kBT/m frente a 3kBT/m es exactamente el factor 3/2 que separa la deflexión de vp de la media. Lo peligroso es justo eso: el error no produce un número absurdo ni siquiera un número raro — produce otra de las tres cifras legítimas de la misma tabla, la que alguien podría estar usando a propósito. Un número equivocado que coincide con un número correcto de otra pregunta no se caza mirándolo; sólo se caza diciendo cuál de las tres definiciones se está usando. Segunda lección, y es la del artículo entero: en este aparato no basta con dar «la separación», hay que decir cuál.
(h) Nada. Ninguna de las tres cambia: las tres llevan μz(∂Bz/∂z)L²/kBT y ahí no hay masa. El cesio es 5,8 veces más pesado que el sodio, se acelera 5,8 veces menos y a cambio tarda √5,8 veces más en cruzar el imán, y el tiempo entra al cuadrado: la masa se cancela sin dejar resto. Lo que sí cambia son las velocidades de (e), que bajan en √(mNa/mCs) = 0,42.
(i) Puede existir, y las dos comprobaciones hay que hacerlas siempre. El recorrido libre medio dentro del horno es λ = kBT/(√2 π d² P) = 7,22 × 10⁻²¹/(6,08 × 10⁻¹⁹ × 0,3) ≈ 40 mm, y el número de Knudsen frente a la rendija de 0,3 mm es Kn ≈ 130. Mucho mayor que 1, que es lo que significa «efusivo»: dentro del horno los átomos apenas chocan entre sí antes de salir, cada uno sale por su cuenta y la distribución del haz es la v³ con la que se ha calculado todo lo anterior. Si Kn fuera pequeño el gas saldría en bloque, como un chorro hidrodinámico con su propia velocidad de arrastre, y ni la v³ ni ninguna de las tres cifras de (f) valdrían nada. Y la segunda: la escala en la que el propio campo cambia es ℓ = B/(∂Bz/∂z) = 1,5 T / 1000 T/m = 1,5 mm, y la deflexión media es 0,128 mm, o sea 0,086 ℓ — el haz vive en una rebanada donde el gradiente es constante, que es la hipótesis con la que se dedujo Δz. En 1922 esa razón valía 0,098: el mismo aparato, con otro tamaño.
Y ahora vuelve a (h), porque la respuesta estaba incompleta. Las tres cifras no cambian si el haz existe. Pero el cesio a 250 °C tiene una presión de vapor de 70 a 120 Pa según cómo se estime, más de doscientas veces la del sodio, y su Kn cae por debajo de 0,4: a ese horno el cesio no sale en régimen efusivo. Para medirlo habría que enfriar el horno, y entonces sí cambian las tres cifras — no por la masa, que sigue cancelándose, sino por la T. Segunda lección, y es la que este ejercicio existe para dejar clavada: una fórmula correcta aplicada a un aparato que no puede existir da un número que parece bueno, y no hay álgebra que lo cace. Sólo lo caza preguntar por el aparato.
(a) Calcula e−i2πSz/ħ aplicado a |+z⟩ y a |−z⟩, y di qué le pasa a la superposición (|+z⟩+|−z⟩)/√2. (b) ¿Y a 720°? (c) Repite (a) para un estado con j = 1 y explica la diferencia. (d) ¿Se puede ver el signo en un Stern-Gerlach? (e) Diseña, con palabras, un experimento en el que sí se vea, y di qué habría que hacer con la mitad del haz.
Solución
(a) Sz|±z⟩ = ±(ħ/2)|±z⟩, luego el operador multiplica cada uno por e∓iπ = −1. Los dos cogen el mismo factor, así que la superposición también: pasa a −(|+z⟩+|−z⟩)/√2. Es una fase global y el estado físico no ha cambiado.
(b) e∓i2π = +1: la identidad. El espinor vuelve a ser el mismo después de dos vueltas, y ésa es la afirmación de que su periodo es 4π.
(c) Para j = 1 los autovalores de Jz son −ħ, 0, +ħ, y e−i2πm = +1 para los tres: la rotación de 360° es la identidad, medida con desviación 9,7 × 10⁻¹⁵. La diferencia es exactamente que m es entero o semientero, y por eso el signo de 360° es la firma del semientero.
(d) No. Un Stern-Gerlach mide probabilidades, y una fase global no aparece en ningún |⟨·|·⟩|². Si sólo se dispone de este aparato, el −1 es indetectable por construcción.
(e) Hay que convertir la fase global en fase relativa, y para eso hace falta que el objeto interfiera consigo mismo. Se parte el haz en dos caminos con un interferómetro, se hace pasar uno de los dos por una región con campo magnético ajustada para que el espín gire exactamente 360°, y se recombinan. La fase de una rama respecto de la otra ha cambiado en π, así que las franjas se desplazan media franja; hace falta girar 720° para recuperarlas. Es el experimento que Rauch y su grupo hicieron con neutrones en 1975. Lo que este apartado no puede pedir todavía es cuánto campo y cuánto tiempo hacen ese giro de 360°: eso exige resolver la evolución del espinor dentro del imán, y está en el artículo 03, cuyo ejercicio 2(e) da los tres tiempos. Segunda lección: una fase global se vuelve medible en cuanto se la deja actuar sobre media superposición, y ése es el truco de casi toda la interferometría cuántica.
(a) ¿Cuántas manchas da un haz de átomos con j = 0, ½, 1, 3/2, 2 y 5/2? (b) Demuestra que ningún ℓ entero puede dar un número par, y di qué se sigue de ahí para el resultado de 1922. (c) La plata es ²S1/2; explica qué dice cada uno de los tres símbolos y por qué la plata es un blanco tan bueno. (d) Un momento magnético clásico, ¿qué habría dibujado en la placa? Compara su tamaño con el de las dos manchas. (e) Si un haz diera cinco manchas, ¿qué j tendría? ¿Y si diera cuatro?
Solución
(a) 2j+1 manchas: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Es el número de autovalores distintos de Jz, y están equiespaciados en ħ.
(b) 2ℓ es par para cualquier ℓ entero, y un par más uno es impar: 2ℓ+1 es impar siempre. Como 1922 dio dos, ningún ℓ lo explica: no es que la explicación orbital sea rebuscada, es que no existe. Hace falta un momento angular con j semientero, y el menor es ½.
(c) El superíndice 2 es la multiplicidad 2s+1, luego s = ½: un solo electrón desapareado. La S es ℓ = 0. El subíndice ½ es j, y con ℓ = 0 no hay más opción que j = s = ½. La plata es un blanco excelente justamente por la S: con ℓ = 0 no hay nada orbital que se pueda partir, así que lo que se vea es limpiamente espín. Además, sus electrones restantes forman capas cerradas que no aportan momento, y se evapora a una temperatura manejable: el horno del panel está a 1000 °C.
(d) Un segmento continuo, porque μz = μ cos γ tomaría todos los valores entre −μ y +μ al variar la orientación γ. Y aquí está el detalle que casi nunca se cuenta: ese segmento tendría la misma longitud que la distancia entre las dos manchas cuánticas, porque los extremos son los mismos ±μ. Lo que el experimento refuta no es el tamaño del efecto: es que el interior esté lleno. La pregunta correcta ante una placa no es «¿cuánto se separan?» sino «¿cuántas hay, y hay algo en medio?».
(e) Cinco manchas exigen 2j+1 = 5, o sea j = 2: entero, y por tanto compatible con momento angular orbital puro. Cuatro exigen j = 3/2: semientero, y por tanto imposible sin espín. Segunda lección: la paridad del recuento de manchas es un dato cualitativo que decide una cuestión de principio, y no hace falta medir ninguna distancia para leerlo.
Un horno emite espines desordenados. Se montan tres imanes: SGz (se conserva la rama +), SGx (se conserva la rama +) y SGz otra vez (se conserva la rama +). (a) ¿Qué fracción del haz del horno sale por el final? (b) ¿Qué pasa si se quita el imán del medio? (c) ¿Por qué el resultado de (a) no es cero, si el estado que entró en el tercer imán había sido preparado en |+z⟩ por el primero? (d) Sustituye el imán del medio por uno a un ángulo θ genérico y escribe la fracción; ¿para qué θ es máxima, y cuánto vale ahí? (e) ¿Qué cambia si en vez de tirar la rama − del segundo imán se recombinan las dos sin mirarlas?
Solución
(a) El horno no prepara nada, así que el primer imán pasa ½. Los dos siguientes pasan cos²(90°/2) = ½ cada uno. Total, 1/8 = 12,5 %.
(b) Queda ½ · 1 = ½: el estado que sale del primer imán es |+z⟩, y un segundo imán en z lo deja pasar entero. Quitar un elemento del montaje multiplica el rendimiento por cuatro.
(c) Porque el imán del medio no es un obstáculo pasivo: es una medida en una base de medida incompatible con z. Su rama + es |+x⟩, que ya no es autoestado de Sz, y el tercer imán la vuelve a repartir mitad y mitad. La información sobre z que el primer imán había creado no está «escondida»: ha dejado de existir en el estado.
(d) Con el segundo imán a θ y el tercero de vuelta a 0°, la fracción es ½·cos²(θ/2)·cos²(θ/2) = ½cos⁴(θ/2). Es máxima en θ = 0, donde vale ½ — y entonces el imán del medio no está haciendo nada. Para cualquier θ ≠ 0 pierde, y en θ = 90° vale el 1/8 del apartado (a). Es decir: no existe un ángulo intermedio que mejore quitar el imán, y ésa es la diferencia con la cadena de N imanes del artículo, donde el objetivo era otro —llegar a |−z⟩, adonde con un solo imán no se llega nunca—.
(e) Si las dos ramas se recombinan sin registrar por cuál pasó cada átomo, y se hace de forma coherente, el estado vuelve a ser |+z⟩ y el tercer imán pasa el 100 % de lo que le llega: la fracción total es ½ otra vez. Segunda lección: lo que destruye la información no es el campo magnético, es tirar una rama. Un Stern-Gerlach que separa y vuelve a juntar sin mirar es una operación reversible; el que descarta la mitad, no. La misma distinción que el I.5 hace entre una superposición y una mezcla, y aquí se ve como una diferencia de rendimiento de un factor dos.