El bosón Z vive 2,64 × 10⁻²⁵ segundos. Nadie ha cronometrado eso: en ese tiempo la luz recorre 7,9 × 10⁻¹⁷ metros, la décima parte de un radio de protón. El número sale de medir la anchura de un pico en un gráfico de energía, 2,4955 GeV, y dividir ħ por ella. La relación que permite hacerlo se parece muchísimo a Δx·Δp ≥ ħ/2 y no es la misma cosa — y ésta es la parte del tema donde más libros escriben algo que no se sostiene.
Por qué el tiempo es distinto
La desigualdad de Kennard sale de un hecho concreto: la posición y el momento son observables, magnitudes que se miden sobre un sistema y que en el formalismo son operadores que no conmutan. La relación de Robertson dice que el suelo del producto de sus dispersiones lo fija ese no conmutar. Punto.
Con el tiempo no funciona nada de eso, y por una razón que se puede enunciar sin formalismo. El tiempo no es una propiedad del sistema, es el parámetro respecto al cual el sistema evoluciona. No hay ningún aparato que le «mida el tiempo» a un átomo, como se le mide la posición. Miras el reloj de la pared, que no forma parte del átomo.
Wolfgang Pauli lo convirtió en un teorema en 1933. Supón que existiera un operador tiempo T que fuera con la energía como la posición va con el momento. Entonces T generaría desplazamientos de la energía: dado un estado de energía E, se podría construir otro de energía E − ε para cualquier ε. El espectro de energías tendría que ser toda la recta real, sin fondo.
Y no lo es. El hidrógeno tiene estado fundamental, a −13,606 eV, y por debajo no hay nada — que es justamente lo que el artículo 03 acaba de calcular como el mínimo de una curva. Un sistema con estado fundamental no puede admitir un operador tiempo. Así que ΔE·Δt ≥ ħ/2 no es una relación de incertidumbre del mismo tipo: Δt no es la desviación típica de nada.
Esto no es purismo: cambia lo que puedes concluir. De Δx·Δp ≥ ħ/2 se sigue que no existe un estado con las dos anchuras pequeñas, y de ahí sale el tamaño del átomo. De «ΔE·Δt ≥ ħ/2» leída igual se sigue —o eso parece— que la energía de un sistema está indefinida durante intervalos cortos, y de ahí salen todos los disparates de este artículo. Pero la energía se conserva exactamente, en cuántica y en teoría cuántica de campos, en todos los procesos y en todos los vértices. No hay ningún régimen en el que se conserve «sólo aproximadamente durante un rato».
Lo que sí hay son dos enunciados distintos y ciertos, con nombres propios, que se cuentan abajo. Ninguno de los dos dice que la energía fluctúe.
Lo primero que sí es cierto: vida media y anchura
Un átomo excitado no se queda excitado. Emite y baja, con una vida media τ, y su población decae exponencialmente. Un pulso que decae exponencialmente no tiene una frecuencia definida: tiene un abanico de frecuencias, y su anchura la fija la matemática de las series de Fourier, la misma que hace que una nota de piano muy corta suene «desafinada». El resultado es la anchura natural de raya:
Esto es un teorema sobre transformadas de Fourier de exponenciales decrecientes, no una desigualdad de incertidumbre — y fíjate en que es una igualdad, no un «mayor o igual». Se comprueba a diario.
Problema. El nivel 3p del sodio, el que produce la raya amarilla de las farolas, tiene una vida media de 16,24 ns. ¿Cuánto de ancha es esa raya, y se puede ver?
Solución. En frecuencia, Δν = 1/(2π × 16,24 × 10⁻⁹) = 9,80 MHz. En energía, ΔE = ħ/τ = 40,5 nanoelectronvoltios. Y en longitud de onda, con Δλ = λ²Δν/c y λ = 589,158 nm:
Resultado. Once femtómetros de anchura sobre una longitud de onda de 589 nanómetros: hace falta una resolución de λ/Δλ = 5,2 × 10⁷ para verla, cincuenta veces mejor que el mejor espectrómetro de red de difracción. Y aun teniéndola no la verías, y ahí está la lección: en un horno a 500 K los átomos se mueven, y el efecto Doppler ensancha la raya 1 700 MHz, ciento setenta y tres veces más que la anchura natural. Para llegar a la anchura natural hay que quitar el movimiento —enfriando los átomos con láser, o midiendo por espectroscopia de dos fotones—, y hacerlo fue lo que abrió la metrología moderna de frecuencias. La anchura natural es un suelo que no depende de nada que puedas cambiar, porque τ es una propiedad del átomo.
La misma relación, con seis órdenes más de energía, es la herramienta estándar de la física de partículas. Una partícula inestable aparece en los datos como un pico con una anchura Γ, y su vida media es τ = ħ/Γ. Para el bosón Z, con Γ = 2,4955 GeV medidos en el LEP:
Compáralo con el muón, que vive 2,197 µs: su anchura es de 3,0 × 10⁻¹⁰ eV, diecinueve órdenes de magnitud más estrecha que la del Z. La misma fórmula cubre los dos casos, y en ninguno se ha cronometrado nada: se ha medido una anchura.
Un aviso que cuesta un factor 2π. La relación es Γτ = ħ, no Γτ = h. Con h, la vida del bosón Z saldría 1,66 × 10⁻²⁴ s en vez de 2,64 × 10⁻²⁵: 6,28 veces más, y es un valor publicado, así que el error se vería. Es el mismo tipo de tropiezo que el factor 4π entre la estimación de la rendija y ħ/2 del artículo 01. Cuando una fórmula lleva h y ħ circulando a la vez, el 2π es el error más probable, y la manera de no cometerlo es la de siempre: comprobar el resultado contra un dato publicado.
Lo segundo que sí es cierto: cuánto tarda un estado en cambiar
Hay una segunda familia de enunciados correctos, y es la que más se parece a una relación de incertidumbre de verdad. La relación de Mandelstam-Tamm, de 1945, dice: si un estado tiene una dispersión de energía ΔE —ésta sí es una desviación típica, calculada sobre el estado—, entonces cualquier magnitud tarda al menos
en cambiar tanto como su propia dispersión. Aquí Δt no es una incertidumbre sobre el tiempo: es un tiempo característico de evolución, y por eso el enunciado se sostiene. Un estado estacionario tiene ΔE = 0 y no cambia nunca, que es lo que significa «estacionario».
Hay una versión moderna, y es la que ha convertido esto en ingeniería. La cota de Margolus-Levitin, de 1998, dice que un sistema con energía media E por encima de su estado fundamental no puede pasar a un estado completamente distinto en menos de
| Energía disponible | Tiempo mínimo | Frecuencia máxima |
|---|---|---|
| 1 eV | 1,03 fs | 967 THz |
| 13,6 eV | 76,0 as | 13,2 PHz |
| 1 keV | 1,03 as | 967 PHz |
| 1 MeV | 1,03 zs | 967 EHz |
Esto es una cota de velocidad para cualquier ordenador posible, y no depende de la tecnología. Un dispositivo que disponga de un electronvoltio por operación no puede conmutar más deprisa que 967 terahercios, hagas lo que hagas con él. Ninguna otra rama de la física da un límite así de duro y así de independiente de los detalles, y sale de un enunciado que empezó siendo «energía y tiempo».
Lo que no es cierto: la energía prestada
Queda el disparate principal, y es tan repetido que conviene desmontarlo con la cuenta hecha. La versión popular dice que una partícula virtual puede «tomar prestada» una energía ΔE del vacío durante un tiempo Δt ≈ ħ/ΔE, siempre que la devuelva antes de que nadie se dé cuenta.
Haz la cuenta. Para crear un par electrón-positrón hacen falta ΔE = 2mec² = 1,022 MeV, así que
Ciento noventa y tres femtómetros. Y ahora mira qué es ese número: la longitud de onda Compton reducida del electrón vale ħ/(mec) = 386,2 fm, así que cΔt es exactamente su mitad. No ha aparecido ninguna física nueva. Lo único que ha hecho la cuenta es reescribir la masa del electrón en unidades de longitud, que es lo que la longitud de onda Compton es. La «energía prestada» era la masa, y el «tiempo del préstamo» era la escala de distancias asociada a esa masa, disfrazada de reloj.
Lo que ocurre de verdad no es que la energía fluctúe: es que en un proceso intermedio la partícula está fuera de su capa de masas —su energía y su momento no cumplen la relación E² = (pc)² + (mc²)²—, y eso está permitido porque no es un estado observable sino un término de un desarrollo. La energía se conserva exactamente en cada vértice. Particulario lo cuenta en serio.
Y conviene decir dónde sí vale el mismo cálculo, porque el mismo aritmética con la interpretación correcta da un resultado clásico y bueno. Yukawa razonó en 1935 que una fuerza mediada por una partícula de masa m tiene un alcance del orden de ħ/(mc). Para el pión, de 139,6 MeV, sale
que es el alcance de la fuerza nuclear, medido. La diferencia entre este argumento y el anterior no está en la cuenta —es la misma— sino en lo que se afirma: aquí se dice que una masa fija una escala de longitud, cosa cierta y comprobable; allí se decía que la energía se conserva sólo a ratos, cosa falsa.
Problema. Un átomo excitado con vida media 16,24 ns; un estado con dispersión de energía 1 eV; y un procesador que dispone de 1 eV por operación. Los tres se describen con «ΔE·Δt ≈ ħ». ¿Qué significa Δt en cada uno?
Solución. Tres cosas distintas, y ninguna es la incertidumbre de una medida de tiempo:
- Vida media. Δt = τ = 16,24 ns es un parámetro del decaimiento, y ΔE = ħ/τ = 40,5 neV es la anchura real y medible del pico. Relación exacta, no desigualdad.
- Mandelstam-Tamm. ΔE = 1 eV es una desviación típica de energía sobre el estado, y τ ≥ ħ/2ΔE = 0,329 fs es lo que tarda cualquier magnitud en moverse una desviación típica. Desigualdad.
- Margolus-Levitin. E = 1 eV es una energía media, y t⊥ ≥ h/4E = 1,03 fs es lo que tarda en llegar a un estado ortogonal al de partida. Otra desigualdad, con otro contenido y otro número.
Resultado. Con la misma ΔE de un electronvoltio salen 0,329 fs y 1,03 fs, que difieren en un factor π: no son la misma cota escrita de dos maneras, son dos teoremas distintos sobre dos preguntas distintas. Ésa es la comprobación de que «ΔE·Δt ≥ ħ/2» no es un enunciado, es una plantilla — y hay que decir cuál de sus versiones se está usando antes de sacar ninguna conclusión. La costumbre de escribirla junto a Δx·Δp ≥ ħ/2 como si fuera su hermana simétrica es el origen de casi todos los malentendidos de este artículo.
Ejercicios
Un nivel atómico tiene una vida media de 1 ms — un «estado metaestable», de los que se usan en los relojes ópticos. ¿Qué anchura tiene su raya, y qué resolución haría falta para verla si emite a 698 nm?
Solución
Δν = 1/(2πτ) = 1/(2π × 10⁻³) = 159 Hz, y la frecuencia de la transición es c/λ = 429,5 THz. La resolución necesaria es ν/Δν = 2,7 × 10¹², casi cinco órdenes de magnitud mejor que para la raya del sodio.
La segunda lección es para qué sirve eso, y que el enunciado se ha quedado corto a propósito. Un reloj es tanto mejor cuanto más estrecha sea la raya con la que se sintoniza, así que los relojes ópticos buscan transiciones prohibidas, con vidas medias larguísimas. El reloj de estroncio usa justamente los 698 nm de este ejercicio, pero su vida media no es un milisegundo: es del orden de 160 segundos, lo que da una anchura natural de un milihercio y una resolución de 4 × 10¹⁷. Los mejores relojes llevan hoy incertidumbres relativas de 10⁻¹⁸, y a ese nivel hay que corregir por la altura sobre el suelo, porque la relatividad general hace correr el tiempo distinto un centímetro más arriba. La anchura natural, que empezó siendo un límite molesto, es la magnitud que se optimiza.
Un texto de divulgación explica la radiación de Hawking diciendo que «el vacío crea pares virtuales tomando energía prestada, y cerca del horizonte uno cae y el otro escapa, con lo que el préstamo no se devuelve». ¿Qué falla?
Solución
Falla la premisa entera, que es la del apartado anterior: no hay ningún préstamo, porque la energía se conserva exactamente. La imagen es del propio Hawking, que la ofreció como analogía divulgativa, y él mismo advirtió de que el cálculo real no se parece a eso. El cálculo real compara el estado de vacío que ve un observador lejano con el que ve uno que cae, y encuentra que no coinciden: lo que para uno es vacío para el otro contiene un baño térmico. La energía de la radiación sale de la masa del agujero, sin intermediarios.
La segunda lección es sobre qué hacer con las malas analogías: una analogía que da el resultado correcto por un mecanismo falso es peor que ninguna, porque el lector se queda con el mecanismo y no con el resultado. La prueba está en las predicciones que se sacan de ella. De la imagen del préstamo se deduce que las partículas se crean en el horizonte y que la que cae tiene energía negativa; el cálculo dice que la radiación se origina en una región extensa de tamaño comparable al agujero, y que no hay ningún sitio donde señalar una partícula con energía negativa. Cuando la analogía y el cálculo discrepan en las predicciones, la analogía se tira.
Los aceleradores producen partículas con anchuras Γ que se leen directamente del gráfico. Si midieras un pico de anchura 1 MeV, ¿qué vida media tendría? ¿Y qué anchura tiene el neutrón libre, que vive 878 s?
Solución
τ = ħ/Γ = 6,582 × 10⁻¹⁶/10⁶ = 6,6 × 10⁻²² s. Es el orden de las resonancias hadrónicas, que viven lo justo para cruzar un núcleo. Y al revés, Γ = ħ/τ = 6,582 × 10⁻¹⁶/878,4 = 7,5 × 10⁻¹⁹ eV para el neutrón.
La segunda lección está en ese segundo número, y es sobre instrumentos y no sobre física. Ningún detector tiene una resolución en energía de 7,5 × 10⁻¹⁹ eV, ni se acerca: la anchura del neutrón no es medible. Para partículas de vida larga se hace justo al revés —se cronometra, contando cuántas quedan al cabo de un rato, y la anchura se deduce—, y para las de vida corta se mide la anchura y se deduce el tiempo. La frontera entre los dos métodos está donde la anchura deja de distinguirse de la resolución del aparato, en torno a los keV, que corresponden a 10⁻¹⁹ s. Que una magnitud aparezca en una fórmula no significa que sea observable en todos los regímenes, y saber cuál de las dos se está midiendo de verdad es la diferencia entre leer un dato y creérselo.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada. Si te falta aquí un dato que el módulo usó, la tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Desigualdad de Kennard | Δx·Δp ≥ ħ/2 = 5,273 × 10⁻³⁵ J·s | art. 01 |
| Qué son Δx y Δp | desviaciones típicas sobre muchas copias del mismo estado | art. 01 |
| Puente desde la rendija (I.2) | rendija d → Δp ≈ h/d; producto ≈ h = 4π·(ħ/2) = 12,57 ħ/2 | art. 01 |
| Rendija de Bach | 600 eV, d = 62 nm → Δp = 1,07 × 10⁻²⁶, 1 parte entre 1240 | art. 01 |
| Aviso: la rendija dura no vale | σ_p diverge como √K; «Δx·Δp = h de una rendija» no existe | art. 01 |
| El único estado que satura | la gaussiana: Δx·Δp = ħ/2 exacto; cualquier otro, más | art. 01 |
| Velocidad de confinamiento | Δv ≥ ħ/(2mΔx) | art. 01 |
| Electrón en un átomo | Δx = a₀ → Δv = ħ/(mea₀) = αc = 2187 km/s; T = 13,606 eV | art. 01, 03 |
| Electrón en un núcleo | Δx = 1 fm → pc = 197 MeV, 25 × la ligadura nuclear de 8 MeV | art. 01 |
| Objetos grandes | mota de 1 µg en 1 µm → Δv = 5,3 × 10⁻²⁰ m/s = 2,3 cm en 13 800 Ma | art. 01 |
| Ensanchamiento libre | σ(t) = σ₀√(1+(ħt/2mσ₀²)²); e⁻ de 50 pm → 1 µm en 0,86 ps | art. 01 |
| Microscopio de Heisenberg | Δx·Δp ≈ h sea cual sea λ y ε; pero el retroceso va a 0,92 c | art. 02 |
| Tres relaciones distintas | preparación (cierta) · error-perturbación (falsa) · medida conjunta | art. 02 |
| Contraejemplo de Ozawa | ε = 2|sen(φ/2)|, η = 2|cos φ|; falla el suelo ingenuo en el 73 % | art. 02 |
| Precisión de UNA medida | LIGO: ΔL = 4 × 10⁻¹⁸ m = rp/210, sobre espejos de 40 kg | art. 02 |
| Estados comprimidos | 6 dB → factor 2 en la desviación típica; en LIGO desde 2019 | art. 02 |
| Presión de Casimir | P = π²ħc/(240a⁴); 1,30 mPa a 1 µm, 1,28 atm a 10 nm | art. 02 |
| Energía extraíble del vacío | 1 cm² de 1 µm a 100 nm → 4,3 × 10⁻¹¹ J, y hay que devolverla | art. 02 |
| Problema de la constante cosmológica | 4,6 × 10¹¹³ frente a 3,7 × 10⁻¹⁰ J/m³: 123 órdenes | art. 02 |
| Tamaño del átomo | mín. de ħ²/2mea² − e²/4πε₀a → a₀ = 52,918 pm, −13,606 eV | art. 03 |
| Escalados del átomo | a ∝ ħ² · a ∝ 1/m · a ∝ 1/Z; y virial V = −2T | art. 03 |
| Hidrógeno muónico | 285 fm y 2,53 keV con masa reducida (255,9 fm con la desnuda) | art. 03 |
| Sin término cinético no hay átomo | no hay mínimo; el átomo clásico cae al núcleo en 1,6 × 10⁻¹¹ s | art. 03 |
| Energía de punto cero | E₀ = hν/2; H₂ 273 meV = 3166 K; CO 133 meV = 5,1 kBT(300 K) | art. 03 |
| Por qué el helio no congela | E₀ = 3h²/8md² = 14,1 K > pozo de 10,2 K; hacen falta 25 atm | art. 03 |
| Parámetro de de Boer | Λ = h/(σ√(mε)); ³He 3,08 · ⁴He 2,68 · H₂ 1,73 · Ne 0,59 · Ar 0,19 | art. 03 |
| Enana blanca | R ∝ M−1/3; Sirio B: 7117 km calculados, 5800 medidos | art. 03 |
| Límite de Chandrasekhar | 1,46 M☉ con dos nucleones por electrón | art. 03 |
| Energía-tiempo NO es Kennard | el tiempo no es observable (teorema de Pauli, 1933) | art. 04 |
| Anchura natural de una raya | ΔE = ħ/τ; Na D₂: 16,24 ns → 9,80 MHz = 11,3 fm de λ | art. 04 |
| Anchura de desintegración | Γτ = ħ (no h); Z: 2,4955 GeV → 2,64 × 10⁻²⁵ s | art. 04 |
| Cota de Mandelstam-Tamm | τ ≥ ħ/(2ΔE); con ΔE = 1 eV, 0,329 fs | art. 04 |
| Cota de Margolus-Levitin | t⊥ ≥ h/4E; con E = 1 eV, 1,03 fs, o sea 967 THz | art. 04 |
| Partículas virtuales | cΔt(par e⁺e⁻) = 193 fm = ƛC/2: es la masa, no un préstamo | art. 04 |
| Escalas de cabecera | ħ/2 = 5,273 × 10⁻³⁵ J·s · ħc = 197,327 MeV·fm · ƛC = 386,2 fm | art. 01, 04 |
Fin del módulo I.3 · Qué llevas y qué falta. Con esto ya sabes que la incertidumbre no es una torpeza del que mide sino una propiedad del estado, y sabes distinguir las tres desigualdades que comparten nombre: la de preparación, que es un teorema; la de error y perturbación, que es falsa y se midió falsa con neutrones en 2012; y la de medida conjunta, que es otra cosa. Sabes que cada medida individual puede ser tan fina como quieras —LIGO llega a 4 × 10⁻¹⁸ m—, y que lo que la desigualdad prohíbe es preparar las dos anchuras pequeñas a la vez. Y sabes lo que eso sí produce, con números: el tamaño del átomo como mínimo de una curva, la energía de punto cero que impide al helio congelarse, el radio de una enana blanca y la anchura de una raya espectral.
Lo que falta es un ingrediente que este módulo ha tenido que pedir prestado dos veces sin poder explicarlo. El argumento del tamaño del átomo funciona perfectamente con un electrón, y con dos ya no: un átomo neutro de plomo, con 82 electrones y un núcleo 82 veces más atractivo, debería medir una fracción de lo que mide el hidrógeno, y mide aproximadamente lo mismo. La enana blanca tampoco se sostiene sólo con el coste de confinar: hace falta además que los electrones no puedan amontonarse todos en el estado más barato. Ese ingrediente es el principio de exclusión, y es lo que convierte a la incertidumbre en la razón de que la materia ocupe sitio. El módulo I.4 lo introduce y con él construye los orbitales que sustituyen a las órbitas de Bohr, la tabla periódica como consecuencia y no como catálogo, el motivo de que el sodio brille en amarillo, y por qué no puedes meter la mano en una mesa. La estabilidad de la materia, en resumen, como resultado cuantitativo — y con la cifra que aquí ha quedado pendiente: por qué todos los átomos miden más o menos 100 pm.