Dentro de una moneda de cobre que está encima de la mesa sin hacer nada, los electrones de conducción se mueven a 1573 kilómetros por segundo —medio por ciento de la velocidad de la luz— y lo harían igual a cero absoluto. Su presión contra el resto del metal es de 38 gigapascales, 377 000 atmósferas, y la energía cinética que llevan los electrones de dos gramos de cobre equivale a tres gramos de TNT. Nada de eso es calor. Es que no caben.
El gas de electrones: la velocidad que queda a cero absoluto
En un metal, cada átomo cede uno o varios electrones que dejan de pertenecerle y se mueven por todo el cristal. Como primera aproximación —brutal y sorprendentemente buena— se los trata como un gas de electrones libres: partículas que no ven ni al resto de los electrones ni a los iones, sólo las paredes.
Si fueran clásicas, a cero absoluto estarían quietas. No pueden. Cada estado admite dos electrones y no más, así que al meter N electrones hay que ir ocupando estados de momento creciente hasta agotarlos. El último que se llena fija la energía de Fermi:
donde n es el número de electrones por metro cúbico y nada más. No aparece la temperatura por ninguna parte.
| Metal | n (10²⁸ m⁻³) | EF | TF = EF/kB | vF |
|---|---|---|---|---|
| Cs | 0,91 | 1,589 eV | 18 400 K | 748 km/s |
| K | 1,40 | 2,118 eV | 24 600 K | 863 km/s |
| Na | 2,65 | 3,241 eV | 37 600 K | 1070 km/s |
| Cu | 8,47 | 7,033 eV | 81 600 K | 1573 km/s |
| Al | 18,1 | 11,668 eV | 135 000 K | 2030 km/s |
La columna que conviene mirar dos veces es la tercera. La temperatura de Fermi del cobre son 81 600 kelvin: catorce veces la superficie del Sol. Un electrón de conducción del cobre a temperatura ambiente está, en términos de su propia escala de energías, congelado — kBT vale 25,9 meV frente a 7,03 eV, un 0,37 %.
De ahí sale la rigidez de un sólido
Un gas de partículas con energía cinética ejerce presión. Para un gas de fermiones degenerado esa presión de degeneración vale P = (2/5)nEF, y para el cobre da 38,2 GPa. Lo que se mide, sin embargo, no es la presión —el metal está en equilibrio y su presión neta es cero— sino cuánto cuesta comprimirlo, que es el módulo de compresibilidad:
Esa fórmula no tiene ni un parámetro ajustable. Se le mete la densidad de electrones y devuelve un número en gigapascales:
| Metal | B calculado | B medido | Calculado / medido |
|---|---|---|---|
| Cs | 1,54 GPa | 1,43 GPa | 1,08 |
| K | 3,17 GPa | 2,81 GPa | 1,13 |
| Rb | 2,28 GPa | 1,92 GPa | 1,19 |
| Na | 9,17 GPa | 6,42 GPa | 1,43 |
| Li | 23,8 GPa | 11,5 GPa | 2,07 |
| Cu | 63,6 GPa | 134,3 GPa | 0,47 |
| Al | 226 GPa | 76,0 GPa | 2,97 |
Las tres primeras filas son el resultado que importa: lo dura que es una barra de cesio se predice con un 8 % de error sin usar más dato que su densidad, y sin ninguna fuerza entre átomos. La rigidez de un metal alcalino es, casi entera, el precio de apretar un gas de fermiones.
Y las dos últimas filas son igual de informativas, porque marcan dónde acaba el modelo. El cobre sale dos veces más blando de lo que es: sus iones tienen una capa 3d llena y grande que el modelo, que no tiene iones, ignora. El aluminio sale tres veces más duro: con tres electrones de conducción por átomo, el gas libre exagera. El modelo del gas libre no contiene la red cristalina en ninguna parte, y funciona precisamente donde la red estorba poco.
Problema. El potasio metálico tiene 1,40 × 10²⁸ electrones de conducción por metro cúbico. Calcula lo que cuesta comprimirlo, sin usar ningún dato sobre el enlace metálico.
Solución. Primero la energía de Fermi:
Y con ella el módulo de compresibilidad:
Resultado. El valor medido es 2,81 GPa: un 13 % de diferencia con un cálculo de dos líneas en el que no ha entrado ni la química del potasio, ni la estructura de su cristal, ni la temperatura. Lo que ha entrado es que los electrones son fermiones y que hay 1,40 × 10²⁸ por metro cúbico. Fíjate además en el orden de magnitud: 3 GPa son 30 000 atmósferas para comprimir un 100 %, es decir, un material que se raya con la uña — y aun así, toda esa dureza sale de una prohibición sobre los estados y no de ninguna fuerza entre los átomos.
El calor específico que no aparecía
Antes de la cuántica había un escándalo con esto. Un metal tiene del orden de un electrón libre por átomo; si esos electrones fueran un gas clásico, la equipartición les daría (3/2)kB de calor específico cada uno, y el calor específico de un metal debería superar en un 50 % al de un aislante con los mismos átomos. No lo supera: la ley de Dulong y Petit vale igual de bien para el cobre que para el diamante a alta temperatura.
La explicación es la temperatura de Fermi. Calentar un electrón significa subirlo a un estado vacío, y casi todos los estados por encima del suyo están ocupados: la exclusión lo impide. Sólo los electrones que están a menos de kBT del nivel de Fermi tienen sitio adonde ir. La fracción es kBT/EF, y el resultado exacto de Sommerfeld es
Para el cobre a 300 K sale 1,21 %. Es decir: de los 8,5 × 10²⁸ electrones por metro cúbico que hay en un trozo de cobre, participan del calor el uno por ciento. Los demás están congelados por una regla de contabilidad. Para el sodio sale 2,62 % y para el aluminio, 0,73 %. Ése es todo el misterio, y su solución fue uno de los primeros triunfos cuantitativos de la estadística de Fermi-Dirac.
Y por eso no metes la mano en la mesa
La explicación popular dice que los electrones de tu mano y los de la mesa se repelen eléctricamente. Suena razonable y es falsa, y la manera de verlo es medir la fuerza entre dos átomos neutros a la distancia a la que se tocan.
Dos átomos de neón se atraen. Su potencial tiene un mínimo en 309 pm con una profundidad de 3,07 meV: a esa distancia —la distancia de contacto, exactamente el doble de su radio de van der Waals— la interacción electromagnética neta tira de ellos el uno hacia el otro. Es la fuerza de van der Waals, y es la que hace que los gases nobles licúen. Si el contacto entre materia neutra fuera repulsión eléctrica, el neón no sería líquido a ninguna temperatura.
Lo que ocurre al empujar más allá de esa distancia es otra cosa. Las nubes electrónicas empiezan a solaparse, y dos electrones no pueden ocupar el mismo estado: parte de ellos tiene que subir a orbitales de mayor energía cinética. Ese coste es el que crece de golpe, y es el que te para. La forma correcta de decirlo es que la exclusión no empuja: encarece la única opción barata, y como todo sistema busca el mínimo de energía, el resultado es indistinguible de una repulsión durísima. A la contribución energética que aparece por la antisimetría se le llama interacción de intercambio, y el nombre es otra desgracia de vocabulario: no es una interacción, no está en el hamiltoniano, y no transmite momento.
Y hacen falta las dos cosas, no una. El módulo I.3 mostró que confinar cuesta energía cinética y que de ahí sale el tamaño del átomo de hidrógeno. Ese argumento, solo, no basta para un sólido: si los electrones pudieran amontonarse todos en el estado más barato, confinarlos costaría lo mismo que confinar a uno, y la materia se hundiría. Lo que impide el amontonamiento es la exclusión. La incertidumbre pone el precio y la exclusión impide el descuento por volumen, y sólo con las dos hay materia con tamaño.
Es exactamente el ingrediente que quedó pendiente en la enana blanca del módulo I.3: allí se dijo que apretar N electrones en un volumen R³ confina a cada uno en un cubito de lado (R³/N)^(1/3), pero nada obligaba a que fueran cubitos distintos. Ahora sí: la exclusión lo obliga, y por eso el radio de Sirio B es el que es.
Que la materia sea estable es un teorema, y es de 1967
Todo lo anterior son estimaciones. La pregunta de fondo —¿por qué un kilo de materia ocupa mil veces el volumen de un gramo, en lugar de colapsar?— tiene respuesta matemática, y llegó tarde.
Lo que hay que demostrar se llama estabilidad de la materia: que la energía del estado fundamental de N electrones y N núcleos está acotada por abajo por −C·N, con C una constante. Que la cota vaya linealmente con N es todo el asunto, y es lo que hace que la materia sea extensiva: que juntar dos ladrillos dé un ladrillo doble en vez de una explosión. Freeman Dyson y Andrew Lenard lo demostraron en 1967, con una constante astronómicamente mala que Elliott Lieb y Walter Thirring bajaron en 1975 a un valor comparable al real.
Y lo que hace la demostración interesante es lo que ocurre al quitar la exclusión. El mismo Dyson demostró que para partículas bosónicas la energía se comporta como
que no es lineal. La energía por partícula crecería como N2/5, y para un mol eso son 3,25 × 10⁹. Si la materia ordinaria liga en torno a un electronvoltio por átomo, una materia hecha de electrones bosónicos ligaría a gigaelectronvoltios por átomo — más que la masa en reposo de un protón, 0,938 GeV. Juntar dos trozos de esa materia liberaría, para un mol, una energía del orden de varias bombas de Hiroshima.
Conviene ser exacto sobre qué está demostrado: el exponente 7/5 es un teorema; la constante que lo multiplica no está fijada, así que las cifras del párrafo anterior son una extrapolación de escala y no una predicción. Lo que no es extrapolación es la conclusión cualitativa, y es fuerte: sin el principio de exclusión no habría materia extensa, ni objetos con tamaño, ni química, ni mesas. La estabilidad de lo que tocas es consecuencia de que el electrón tiene espín 1/2.
Problema. El gas de electrones del cobre ejerce P = (2/5)nEF = 38,2 GPa. Dos gramos de cobre contienen 1,895 × 10²² átomos, y cada electrón lleva de media (3/5)EF = 4,22 eV de energía cinética, lo que suma 12,8 kilojulios: el equivalente a 3,1 gramos de TNT. ¿Por qué la moneda no hace nada?
Solución. Porque una presión, por sí sola, no mueve nada. Lo que acelera materia es un desequilibrio de presiones, y aquí no lo hay: los 38 GPa del gas de electrones hacia afuera están compensados exactamente por la atracción electrostática entre los electrones y los iones de cobre hacia adentro. El equilibrio es justamente la condición que fija la densidad del cobre, y por eso una moneda tiene el tamaño que tiene y no otro.
Resultado. Lo observable no es P, sino su derivada. Si aprietas la moneda, la presión electrónica crece como n5/3 —más deprisa que la atracción electrostática, que va como n4/3— y aparece una fuerza neta que se te resiste: eso es el módulo de compresibilidad, 134 GPa, y eso sí se mide. La lección se aplica más allá del cobre y evita un error frecuente: la enana blanca del módulo I.3 tampoco «explota» por tener presiones de degeneración descomunales, y una estrella normal tampoco explota por tener el centro a 10¹⁶ pascales. Una presión enorme y equilibrada no hace nada; lo único que se nota es cómo cambia al apretar.
Ejercicios
Empujas una mesa de acero con 100 N repartidos sobre 10 cm² de palma, es decir con una atmósfera. El módulo de compresibilidad del acero es 160 GPa y sus átomos están a 250 pm unos de otros. ¿Cuánto se acercan?
Solución
La compresión en volumen es ΔV/V = P/B = 10⁵/1,6 × 10¹¹ = 6,3 × 10⁻⁷, y en longitud, un tercio de eso. Sobre 250 pm de distancia entre vecinos son 5,2 × 10⁻¹⁷ metros: la dieciseisava parte de un radio de protón.
La segunda lección está en de dónde sale esa dureza absurda, y es una comparación de escalas de energía. Empujar con toda tu fuerza deposita en cada átomo una energía elástica ½B(ΔV/V)²V, y con V ≈ (250 pm)³ eso son 3 × 10⁻¹² eV: tres billonésimas de electronvoltio. La energía característica de los electrones que se oponen —la energía de Fermi— es de varios electronvoltios. Estás peleando contra algo doce órdenes de magnitud más grande que tú, y por eso el sólido no se entera.
Para ver cuánto hay que apretar antes de que la cuenta deje de ser ridícula, cambia ΔV/V = 6,3 × 10⁻⁷ por un 10 %, que ya es deformar el sólido de verdad. La misma fórmula, con el volumen molar de cada uno, da 7,9 meV por átomo en el sodio (B = 6,4 GPa, 23,8 cm³/mol), 49 meV en el cobre (134 GPa, 7,09) y 78 meV en el diamante (443 GPa, 3,42) — y ni siquiera eso llega a un electronvoltio, aunque exija presiones de 0,6 GPa en el sodio y de 44 en el diamante. Un sólido es rígido porque EF es gigantesca, y EF es gigantesca porque los electrones no caben juntos.
El modelo del gas libre predice para el aluminio 226 GPa y se miden 76: casi tres veces de más. Para el cesio predice 1,54 frente a 1,43 medidos. ¿Está mal el argumento, o está mal aplicado?
Solución
Está mal aplicado, y el propio orden de los errores lo dice. Ordena los metales por densidad de electrones de conducción, en unidades de 10²⁸ m⁻³: Cs 0,91 · Rb 1,15 · K 1,40 · Na 2,65 · Li 4,70 · Al 18,1. El cociente calculado/medido crece con ella — 1,08 en el cesio, en torno a 1,15 en el rubidio y el potasio, 1,43 en el sodio, 2,07 en el litio y 2,97 en el aluminio. El modelo acierta donde los electrones están más diluidos, que es donde la energía cinética del gas es de largo el término dominante, y se estropea a medida que lo que ignora —la atracción de los iones y la repulsión entre electrones— deja de ser una corrección pequeña. El cobre rompe la serie por el otro lado, con 0,47, y por un motivo identificable: sus iones llevan la capa 3d llena, grande y rígida, que un modelo sin iones no tiene manera de representar.
La segunda lección es cómo se distingue un modelo malo de un modelo mal usado, y es la pregunta más útil que se le puede hacer a cualquier cálculo: ¿el error tiene una dirección? Si el gas libre fallara al azar sería un modelo malo. Falla de forma ordenada —bien en los álcalis, corto en los nobles, largo en los polivalentes— y cada desviación se explica por una hipótesis identificable que no se cumplía. Eso es un modelo bueno con un dominio de validez, que es lo único que hay en física. El fallo ordenado es información; el fallo desordenado es basura.
Un texto de divulgación explica el principio de exclusión diciendo que «los electrones se repelen con una fuerza cuántica extra, además de la eléctrica». Da un dato que lo desmonte y di qué frase habría que poner en su lugar.
Solución
El dato es el del apartado anterior: dos átomos neutros a la distancia de contacto se atraen — el neón, con 3,07 meV de profundidad en 309 pm—, y si hubiera una fuerza cuántica repulsiva adicional no habría gases nobles líquidos. Un segundo dato: la exclusión no tiene alcance. Una fuerza cae con la distancia y ésta no cae con nada, porque no es una fuerza; opera igual entre dos electrones de un mismo átomo que entre dos de átomos vecinos, siempre que sus funciones de onda se solapen.
La frase correcta es que el principio de exclusión no añade ningún término al hamiltoniano: elimina estados del catálogo. El sistema sigue buscando su energía mínima con las mismas fuerzas de siempre, sólo que ya no puede elegir las configuraciones prohibidas y tiene que conformarse con otras más caras. La segunda lección es por qué la mala frase resulta tan tentadora: porque predice bien el resultado —los sólidos son rígidos— por un mecanismo falso, y ya vimos en el módulo I.3 lo que hay que hacer con las analogías que aciertan por el motivo equivocado. Aquí la comprobación que la tira es que una fuerza repulsiva extra predice, además, que dos átomos neutros no se atraigan nunca. Y se atraen.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada. Si te falta aquí un dato que el módulo usó, la tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Niveles del hidrógeno | En = −13,606 Z²/n² eV; n = 1→2: 10,204 eV = 121,50 nm (121,57 medido) | art. 01 |
| Los tres números cuánticos | n ≥ 1 · l = 0…n−1 · m = −l…+l; |L| = √(l(l+1))·ħ | art. 01 |
| Capacidad de una capa | n² orbitales, 2n² electrones: 2 · 8 · 18 · 32 | art. 01 |
| Distribución radial | P(r) = |R|²r²; máximo del 1s en a₀ = 52,918 pm | art. 01 |
| ⟨r⟩ de un orbital | (a₀/2Z)(3n² − l(l+1)); en el 1s, 1,5a₀ = 79,377 pm | art. 01 |
| Nodos y máximo | n − l − 1 nodos; el máximo cae en n²a₀/Z sólo si l = n−1 | art. 01 |
| Penetración de los orbitales | dentro de a₀: 3s 0,987 % · 3p 0,126 % · 3d 0,00065 % | art. 01 |
| Lóbulos del 3s | máximos en 39,2 · 221,5 · 691,9 pm; el interior sólo lleva el 1,43 % | art. 01 |
| El orbital s toca el núcleo | |ψ(0)|² = 1/πa₀³ = 2,15 × 10³⁰ m⁻³; P(r < rp) = 5,4 × 10⁻¹⁵ | art. 01 |
| Átomo de Rydberg | r ≈ n²a₀; n = 137 → 993 nm y 0,725 meV de ligadura | art. 01 |
| Espín | s = 1/2, dos orientaciones; duplica la capacidad de cada orbital | art. 02 |
| Principio de exclusión | ψ(1,2) = −ψ(2,1); nunca dos electrones con los cuatro números iguales | art. 02 |
| La exclusión, medida | el He no tiene 1s² con los espines paralelos; el 1s2s paralelo, a 19,82 eV | art. 02 |
| Teorema espín-estadística | espín semientero → fermión antisimétrico; entero → bosón simétrico | art. 02 |
| Orden de Madelung | menor n+l primero, y a igualdad menor n; ~20 excepciones (Cr, Cu, Pd) | art. 02 |
| Longitudes de periodo | 2 · 8 · 8 · 18 · 18 · 32 — la forma de la tabla periódica | art. 02 |
| Escalones de cierre de capa | Ne→Na ÷4,20 · He→Li ÷4,56 · Ar→K ÷3,63 | art. 02 |
| Baches de subcapa | B por debajo de Be (−11,0 %) y O por debajo de N (−6,3 %) | art. 02 |
| Helio | I₁ = 24,587 eV (hidrogenoide daría 54,42); variacional Z′ = 27/16 → −77,49 vs −79,005 eV | art. 02 |
| Sin exclusión | todos al 1s: r = a₀/Z; el plomo, 0,645 pm. Ni periodos ni química | art. 02 |
| El otro lado: bosones | BEC de ⁸⁷Rb a 170 nK; ⁴He superfluido a 2,17 K y ³He no hasta 2,5 mK | art. 02 |
| Apantallamiento | Zef = Z − S (Slater, 1930); los cinco alcalinos, Zef = 2,20 | art. 03 |
| Radio estimado | r ≈ n*²a₀/Zef; n* = 3,7 · 4,0 · 4,2 para n = 4 · 5 · 6 | art. 03 |
| Rango de tamaños | He 31 pm … Cs 298 pm (×9,6) con Z de 2 a 55; Pb 154 pm frente a H 53 pm | art. 03 |
| Volúmenes molares de los sólidos | de 3,42 (C diamante) a 68,9 cm³/mol (Cs): ×20 en volumen, ×2,7 en radio | art. 03 |
| Densidad | ρ(Os)/ρ(Li) = 42,3 = 27,4 (masa) × 1,54 (volumen) | art. 03 |
| «Radio atómico» no es único | Ne: 38 pm calculado y 154 de van der Waals; 2rvdW = mínimo de L-J (309 pm) | art. 03 |
| Defecto cuántico | E = −13,606/(n−δ)²; Na: δs = 1,373 · δp = 0,883 · δd ≈ 0,01 | art. 03 |
| La raya del sodio | 3s→3p = 2,104 43 eV = 589,158 nm en vacío (588,995 en aire) | art. 03 |
| Estructura fina | doblete del Na: 17,196 cm⁻¹ = 2,132 meV = 0,101 % de la transición | art. 03 |
| Espín-órbita por la tabla | Li 0,335 → Cs 554 cm⁻¹: ×1650; exponente efectivo Z^2,5, no Z⁴ | art. 03 |
| Lámpara de sodio | techo 683·V(589) = 525 lm/W; real 183 lm/W (35 %); reproducción cromática 0 | art. 03 |
| Energía de Fermi | EF = (ħ²/2m)(3π²n)^(2/3); Cu: 7,03 eV, 81 600 K, 1573 km/s | art. 04 |
| Presión de degeneración | P = (2/5)nEF; en el cobre, 38,2 GPa = 377 000 atm | art. 04 |
| Módulo de compresibilidad | B = (2/3)nEF; K: 3,17 calculado contra 2,81 medido | art. 04 |
| Dónde falla el gas libre | Cu ×0,47 y Al ×2,97 sobre lo medido; los álcalis, entre 1,08 y 2,07 | art. 04 |
| Calor específico electrónico | (π²/3)(kBT/EF) = 1,21 % del clásico en Cu a 300 K | art. 04 |
| La fuerza normal | a la distancia de contacto la interacción eléctrica ATRAE (Ne: 3,07 meV en 309 pm) | art. 04 |
| Apretar acero con la mano | 1 atm → ΔV/V = 6,3 × 10⁻⁷ → 5,2 × 10⁻¹⁷ m, rp/16 | art. 04 |
| Estabilidad de la materia | fermiones: E ≥ −C·N (Dyson-Lenard, 1967); bosones: E ~ −N^(7/5) | art. 04 |
| Coste de comprimir un 10 % | ½B(ΔV/V)²V: Na 7,9 · Cu 49 · diamante 78 meV por átomo | art. 04 |
Fin del módulo I.4 · Qué llevas y qué falta. Con esto ya sabes qué sustituyó a las órbitas de Bohr y por qué el cambio no fue cosmético: el estado fundamental del hidrógeno tiene momento angular cero, y de los tres números cuánticos sale la contabilidad 2n² que decide todo lo demás. Sabes que el principio de exclusión no es una fuerza sino una prohibición sobre los estados, y que de ella salen —contadas, no ajustadas— las longitudes de los periodos de la tabla periódica, los escalones de las energías de ionización y los dos baches del boro y del oxígeno. Sabes por qué el plomo mide 154 pm en vez de 0,645, por qué las densidades de los sólidos siguen a la masa atómica, por qué la raya del sodio está en 589 nm y por qué viene partida en dos. Y sabes la respuesta cuantitativa a la pregunta del título: la rigidez del cesio se calcula con un 8 % de error sin más dato que su densidad, y que la materia sea extensa es un teorema de 1967 que se cae si el electrón deja de ser fermión.
Lo que falta es algo que este módulo ha usado en su pieza central sin nombrarlo. La antisimetría, ψ(1,2) = −ψ(2,1), es una afirmación sobre un estado de dos electrones que no se puede escribir como un estado del primero multiplicado por un estado del segundo. Ese objeto tiene nombre —es un estado entrelazado— y significa que dos electrones de un mismo átomo de helio no tienen cada uno su propio estado: lo tienen entre los dos. Aquí ha bastado con usarlo; entender qué es exige preguntar qué significa una superposición, qué ocurre exactamente cuando se mide y por qué la correlación que produce el entrelazamiento no permite enviar ninguna señal. El módulo I.5 lo hace: superposición sin misticismo, entrelazamiento con su aritmética, la desigualdad de Bell con los números de los experimentos sin escapatoria de 2015, y el problema de la medida presentado como lo que es —abierto—, con sus interpretaciones enunciadas como lecturas distintas del mismo formalismo que hoy por hoy no se distinguen en el laboratorio.