En 2017 un satélite chino repartió pares de fotones entrelazados entre dos observatorios separados 1203 kilómetros y midió correlaciones imposibles para cualquier par de objetos independientes. Y sin embargo, en cada uno de los dos observatorios por separado, la fracción de resultados «+» era compatible con 0,500 — que es lo que la teoría predice, y no aproximadamente sino exactamente, haga el otro lo que haga. Las dos frases son ciertas a la vez, y entender por qué es todo el asunto de este artículo.
Un estado que no se puede repartir
Hasta ahora todos los estados de este curso eran de una partícula. Con dos aparece algo nuevo, y no es una complicación técnica: es una categoría de estado que no existe en la física clásica.
Empecemos por lo normal. Si el fotón de Alicia está polarizado horizontal y el de Bob también, el estado del par se escribe como un producto: |H⟩⊗|H⟩. A eso se le llama estado producto, y su propiedad es la esperable: cada fotón tiene su estado, y lo que le pase a uno no cambia la descripción del otro. Con dos fotones se pueden formar cuatro productos así, y también sus combinaciones. Una de ellas es
y este estado no se puede escribir como producto de un estado de Alicia por uno de Bob. No es que no se sepa hacer: es imposible, y comprobarlo es álgebra de bachillerato — cualquier producto (a|H⟩+b|V⟩)⊗(c|H⟩+d|V⟩) desarrollado tiene los cuatro términos con coeficientes ac, ad, bc, bd, y para que ad = bc = 0 y ac = bd = 1/√2 a la vez harían falta dos números que sean cero y no lo sean. A un estado así se le llama entrelazado, y a los cuatro estados de esta familia, estados de Bell.
La consecuencia inmediata suena rara y es literal: el fotón de Alicia no tiene estado propio. Lo que la teoría le asigna, si se ignora a Bob, es una mezcla al 50 % — la misma descripción que un fotón despolarizado cualquiera. El estado reducido de Alicia tiene una entropía de un bit exacto, que es el máximo posible para un sistema de dos niveles. Dicho de otra forma: la información está entera en el par y no hay nada de ella en las partes. Ésa es la definición operativa del entrelazamiento y no una manera de hablar.
Lo que se mide: correlaciones que dependen del ángulo
Pon un analizador de polarización a un ángulo α delante del fotón de Alicia y otro a β delante del de Bob. Con el estado |Φ⁺⟩ las cuatro probabilidades son
de donde la correlación —el promedio del producto de los dos resultados, cada uno ±1— vale
Conviene fijarse en el 2. Con polarización de fotones el ángulo entra al doble, porque girar un polarizador 90° lo deja ortogonal y no antiparalelo; con espín 1/2 la correlación del singlete es −cos(α−β), sin el factor 2. Confundir las dos fórmulas es el error más frecuente al leer sobre esto, y no es cosmético: mete un factor 2 en todos los ángulos y hace desaparecer la violación de Bell del artículo siguiente.
| α − β | P(++) | P(+−) | E | Qué significa |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0,500 | 0,000 | +1 | siempre iguales |
| 22,5° | 0,427 | 0,073 | +0,707 | coinciden el 85,4 % |
| 30° | 0,375 | 0,125 | +0,500 | coinciden el 75 % |
| 45° | 0,250 | 0,250 | 0 | independientes |
| 67,5° | 0,073 | 0,427 | −0,707 | discrepan el 85,4 % |
| 90° | 0,000 | 0,500 | −1 | siempre distintos |
La primera fila es la que llama la atención: con los dos analizadores paralelos, los dos resultados coinciden siempre, y esto vale para cualquier α mientras β sea igual. Da lo mismo que los dos analizadores estén a 0°, a 17° o a 73,4°: si son iguales, los dos fotones dan lo mismo. Y ninguno de los dos, por separado, es predecible: cada uno sale «+» la mitad de las veces.
Y sin embargo no se puede mandar nada
Aquí llega la tentación, y hay que desactivarla con números en vez de con una prohibición. Si el resultado de Bob queda fijado en cuanto Alicia mide, ¿no puede Alicia mandarle un mensaje eligiendo cuándo medir, o en qué base?
No, y la razón es aritmética. Suma las probabilidades de arriba sobre lo que le pasa a Bob y mira lo que le queda a Alicia:
El ángulo β desaparece. La estadística que ve Alicia es idéntica —0,500 de «+» y 0,500 de «−»— tanto si Bob mide a 0°, como si mide a 67,5°, como si no mide, como si se ha ido a comer. Lo mismo por el otro lado. Esto no es una casualidad de este estado: es un teorema, el teorema de no comunicación, y se cumple para cualquier estado y cualquier medida. La correlación sólo aparece al comparar las dos listas de resultados, y comparar exige un canal ordinario, con su cable, su latencia y su límite de c.
Problema. Alicia y Bob comparten 10 000 pares entrelazados. Han quedado en que Alicia medirá a 0° para transmitir un «0» y a 45° para transmitir un «1». Bob mide siempre a 0° y cuenta cuántos «+» obtiene. ¿Puede leer el bit? ¿Y con un millón de pares?
Solución. Bob espera N·PB(+) resultados «+», y la probabilidad marginal de Bob no depende del ángulo de Alicia: vale 1/2 en los dos casos. Así que espera 5000 tanto si Alicia manda un 0 como si manda un 1. La fluctuación estadística de ese recuento es
de modo que un recuento entre 4850 y 5150 es normal a tres desviaciones típicas. Para leer un bit haría falta una diferencia de medias de al menos 150 recuentos, y la diferencia predicha es 0. Con un millón de pares la σ baja a 500 sobre medio millón, es decir, al 0,1 %, y la diferencia de medias sigue siendo cero: no es un problema de estadística insuficiente, es que no hay nada que medir.
Resultado. El bit no se puede leer nunca, y el motivo no es técnico: la cancelación de β en la marginal es exacta y no tiene una «pequeña señal residual» escondida. Lo que sí ocurre es lo otro: cuando Alicia le manda a Bob su lista de resultados por un canal corriente —a c como máximo—, Bob descubre que la mitad de sus datos estaban correlacionados al 100 % con los de ella. La correlación estaba ahí desde el principio y no se podía ver desde un solo lado. La segunda lección es que esta estructura protege la relatividad de una manera muy concreta: no hay ningún orden temporal privilegiado entre las dos medidas. Para un observador Alicia mide primero, para otro Bob mide primero, y como ninguno de los dos puede detectar una diferencia, las dos descripciones son igual de buenas y no se contradicen.
Para qué sirve entonces
El entrelazamiento no transmite información, pero es un recurso: hace posibles cosas que sin él no lo son.
La teleportación cuántica transfiere un estado cuántico desconocido de un sitio a otro sin mover la partícula. Alicia mide conjuntamente el estado que quiere enviar y su mitad del par entrelazado, obtiene uno de cuatro resultados —es decir, dos bits— y se los manda a Bob por teléfono; Bob aplica una de cuatro operaciones y se queda con el estado exacto. El nombre es desafortunado: no viaja materia, se destruye el original y hace falta un canal clásico. Sin los dos bits, lo que Bob tiene es la mezcla al 50 % de siempre, y ninguna medida se la distingue de ruido. Ésa es la razón última de que el procedimiento no viole la relatividad, y está cuantificada: entre dos puntos separados 1200 km, esos dos bits tardan como mínimo 4,00 milisegundos.
La otra aplicación madura es la distribución cuántica de claves. Dos partes que comparten pares entrelazados obtienen la misma cadena de bits aleatoria sin que ésta haya existido en ningún sitio antes de medir, y pueden comprobar si alguien ha estado escuchando midiendo las correlaciones: un espía que mida por el camino rompe el entrelazamiento y baja la correlación de forma detectable. El satélite Micius repartió en 2017 pares entrelazados entre estaciones separadas 1203 km y midió una violación de la desigualdad de Bell de S = 2,37 ± 0,09, y en el mismo año teleportó estados desde tierra hasta el satélite, a más de 1400 km.
Dónde ya lo hemos usado sin nombrarlo
El módulo I.4 se apoyó en un estado entrelazado en su pieza central y no lo dijo. La antisimetría del par de electrones,
significa exactamente que el estado de dos electrones no se puede escribir como un estado del primero multiplicado por uno del segundo, que es la definición de entrelazado. Los dos electrones de un átomo de helio no tienen cada uno su estado: lo tienen entre los dos. De ahí sale que el helio no admita los dos espines paralelos en el 1s, y de ahí, en cascada, la tabla periódica entera. Que la rigidez de una mesa dependa de un estado entrelazado no es una frase de efecto: es la lectura correcta del artículo 04 de I.4.
Y hay una razón cuantitativa por la que esto no es un caso raro sino el caso general. Describir N cúbits independientes cuesta 2N números; describir N cúbits en general cuesta 2N amplitudes. Para N = 300 eso son 2,04 × 10⁹⁰ números, más de diez mil millones de veces los átomos que hay en el universo observable. Los estados producto son una esquina de medida nula dentro de ese espacio: casi todo estado de varias partículas está entrelazado, y lo excepcional es que un sistema compuesto se deje describir por partes.
Problema. Mete un guante izquierdo en una caja y uno derecho en otra, barájalas y manda una a Alfa Centauri. Al abrir la tuya sabes «instantáneamente» lo que hay en la otra. ¿Qué de lo dicho hasta aquí distingue el entrelazamiento de este montaje?
Solución. De lo dicho hasta aquí, nada. El modelo de los guantes reproduce la marginal de 0,500 —cada caja tiene un 50 % de ser la izquierda—, reproduce la ausencia de señal —abrir tu caja no cambia nada medible en la otra— y reproduce incluso la correlación perfecta en cualquier base: basta con meter en cada caja una tarjeta con la respuesta a todas las preguntas posibles, respuestas iguales en las dos. Nada en las tablas de este artículo obliga a abandonar esa imagen.
Resultado. Decirlo así es incómodo y es lo honesto: el argumento clásico contra los guantes —«pero es que el estado no estaba definido antes»— es una afirmación sobre la interpretación, no una predicción distinta, y con ella no se gana una discusión. Lo que sí gana la discusión es un experimento en el que los dos modelos predigan números distintos, y ese experimento existe: pide medir con ángulos diferentes en los dos lados, cosa que este artículo no ha hecho ni una sola vez. La correlación completa aparece en la columna E de la tabla, y su forma es cos 2(α−β). Un par de guantes puede clavar esa cifra en los ángulos que quieras elegidos de uno en uno; lo que no puede es acertar en cuatro parejas de ángulos a la vez, y ahí es donde se le pilla. Cuantificar cuánto se queda corto es el artículo 03, y es la aportación de John Bell en 1964.
Tres frases que circulan y que este artículo desmiente con cuentas. La primera, que el entrelazamiento «transmite información más rápido que la luz»: la marginal de cada lado es exactamente 1/2 independientemente de todo lo que haga el otro, así que no hay canal, y con un millón de pares la diferencia de medias sigue siendo cero. La segunda, que «lo que le hagas a una partícula le pasa a la otra»: si Alicia gira su polarizador, la estadística de Bob no se entera; lo único que cambia es la correlación entre las dos listas, que nadie puede ver hasta que se junten. Y la tercera, que el entrelazamiento es una propiedad rara de partículas exóticas: en un átomo de helio hay dos electrones entrelazados, y el entrelazamiento es el caso genérico, no la excepción.
Lo que sí se puede decir sin exagerar es que hay una cota experimental sobre cualquier «influencia» que quisiera explicarlo: si se postula que algo viaja de un lado a otro, los experimentos de Ginebra (2008) y sus continuaciones obligan a que vaya a más de 10⁴ veces la velocidad de la luz en el sistema de referencia de la Tierra. Ese número no es una medida de nada que exista; es la medida de lo mal que le sienta a la idea de «influencia» tener que explicar esto.
Ejercicios
Alicia y Bob comparten pares en |Φ⁺⟩ y ponen los dos analizadores a 30° uno del otro. ¿Qué fracción de pares coincide? ¿Y si los ponen a 60°? ¿Suman 1 las dos respuestas? Compruébalo con la fórmula antes de contestar de memoria.
Solución
La probabilidad de coincidir es P(++) + P(−−) = cos²(α−β). Con 30° sale cos²30° = 0,750; con 60°, cos²60° = 0,250. Suman exactamente 1, y no por una regla general: el motivo es que cos²(60°) = sen²(30°), es decir, que a 60° coincidir es tan probable como discrepar a 30°. Quien conteste de memoria «no tienen por qué sumar 1» acierta el razonamiento general y falla este caso.
La segunda lección es la que hace falta para el artículo siguiente. Fíjate en que coincidir a 30° dos veces seguidas no es coincidir a 60°: 0,750 × 0,750 = 0,5625, y el valor correcto para 60° es 0,250. Las probabilidades cuánticas no se encadenan como las de sucesos independientes, porque lo que se suma son amplitudes. Ese desajuste entre lo que da encadenar y lo que da medir directamente es, en el fondo, todo el contenido de la desigualdad de Bell: se la puede leer como la afirmación de que ninguna asignación previa de resultados puede reproducir a la vez los tres números 0,750, 0,750 y 0,250.
Un titular dice: «los físicos consiguen comunicación instantánea gracias al entrelazamiento cuántico». Sin leer el artículo, ¿qué dos preguntas bastan para saber que el titular es falso, y qué es lo que probablemente hicieron de verdad?
Solución
Primera: ¿qué ve el receptor si el emisor no le manda nada por un canal ordinario? La respuesta obligada es «una secuencia aleatoria con marginal 0,500», y con eso el titular ya está muerto. Segunda: ¿cuántos bits clásicos hacen falta? En teleportación son dos por cúbit, y viajan a c o menos. Lo que probablemente hicieron es teleportar un estado —que exige el canal clásico— o repartir una clave, que también lo exige.
La segunda lección es más general y sirve fuera de la cuántica: ante cualquier afirmación de que algo va más rápido que la luz, la pregunta útil no es «¿es posible?» sino «¿qué es exactamente lo que llega al otro extremo, y se puede modular?». Muchas cosas van más deprisa que c sin transportar nada: el punto donde se cruzan las hojas de unas tijeras enormes, la mancha de un puntero láser barrida sobre la Luna, la velocidad de fase de una onda en un medio dispersivo. Ninguna de ellas es una señal, porque nadie puede escribir un mensaje en ellas desde el extremo emisor. La correlación cuántica está en esa misma familia, sólo que con una demostración mucho más fuerte detrás.
Describir 300 cúbits en general exige 2³⁰⁰ ≈ 2 × 10⁹⁰ amplitudes, más que átomos hay en el universo observable. ¿Significa eso que la naturaleza «guarda» esos números en algún sitio, y qué se puede sacar en limpio de esa cifra?
Solución
No, y conviene decir por qué. Esa cifra es el tamaño del espacio que hace falta para simular el sistema con un ordenador clásico —anotando todas las amplitudes—, no una cuenta de recursos que la naturaleza consuma. De hecho la información que se puede extraer de 300 cúbits midiéndolos es de 300 bits y ni uno más: eso es el teorema de Holevo. Un sistema cuántico no es un almacén enorme de datos accesibles.
La segunda lección es qué se saca sí en limpio, que es una afirmación sobre nosotros y no sobre la naturaleza: simular fielmente 300 partículas correlacionadas está fuera del alcance de cualquier ordenador clásico construible, y ese hecho es la motivación entera de la computación cuántica desde que Feynman lo señaló en 1981. La propuesta no fue «hagamos ordenadores mágicos», sino «si la dificultad está en que el sistema es cuántico, usemos un sistema cuántico para simularlo». Nota además que el obstáculo no es el tamaño en sí —300 átomos caben en la punta de un alfiler— sino el entrelazamiento: un estado producto de 300 cúbits se describe con 600 números y se simula en un teléfono.