WKB: el medio que no se inventa, y el medio de Langer que sí

El WKB da el espectro del oscilador armónico exacto: E_n = ħω(n + ½) en los seis niveles probados, sin error en ninguna cifra. En el pozo infinito, también exacto. Y en el cuártico puro —V = x⁴, sin término armónico— se equivoca un 18,2 % en el fundamental. Es el mismo método, la misma integral y el mismo lector: sólo ha cambiado el potencial. Un método que a veces acierta hasta el último bit y a veces falla un 18 % no es «una aproximación buena»: es una aproximación con una estructura, y saber cuál es esa estructura es todo el contenido del artículo. Por el camino hay dos ½ que parecen el mismo apaño. Uno sale de contar puntos de retorno, y quien se lo inventa donde no toca multiplica el fundamental del pozo por 2,25. El otro se escribe a mano en el problema radial —ℓ(ℓ+1) pasa a (ℓ+½)²— y con él el hidrógeno sale exacto, mientras que sin él el 2p se va un 9,16 %. Y hay una deuda que cobrar: el II.2 calculó el efecto túnel con el exponente desnudo, sin el factor que lo precede, declarando por escrito que la cuenta se pagaba en este módulo.

La deuda del II.2, con sus palabras

Este artículo empieza por una cuenta pendiente, y conviene leerla como la dejó escrita quien la contrajo. El módulo II.2, en su artículo 04, cortó una barrera de forma cualquiera en rodajas, multiplicó las transmisiones de las rodajas y obtuvo

y a renglón seguido escribió: «Esto no es una demostración […] multiplicar las transmisiones de rodajas sucesivas ignora las reflexiones múltiples entre ellas, que es justo lo que produce las resonancias […]. El resultado es correcto —es la aproximación WKB— pero su justificación necesita un desarrollo asintótico en ħ que corresponde al módulo II.8, y su condición de validez es que V varíe poco en una longitud de onda local». Su caja de prerrequisitos lo dice todavía más corto: «se motiva, se usa con aviso y se paga en el módulo II.8». Y su hoja de problemas lo repite en el callout de cierre, para que la deuda quede declarada dos veces.

Son tres partidas, y este artículo las paga por separado:

1. El desarrollo asintótico en ħ. De dónde sale la forma $\psi\sim p^{-1/2}e^{\pm i\int p\,dx/\hbar}$ sin cortar nada en rodajas. Es la sección siguiente.
2. La condición de validez, escrita como una desigualdad que se puede evaluar, en lugar de «que V varíe poco». Sale de la misma cuenta, y de ella sale también dónde el método falla siempre: en el punto de retorno.
3. El prefactor. El II.2 usó $T\approx[16E(V_0-E)/V_0^2]\,e^{-2\kappa L}$ y dijo que acierta al 1 % desde $\kappa L=2{,}65$. Ese $\kappa L$ se ha vuelto a medir aquí y da 2,650, así que el número del II.2 se sostiene. Lo que queda por explicar es de dónde sale el corchete, por qué el $e^{-2\gamma}$ desnudo no lo lleva, y por qué eso no es un detalle: sin corchete, el error no baja del 67,8 % por mucho que se engorde la barrera.

Y hay una cuarta cosa, que no es deuda sino aviso: el II.2 ya publicó el contraejemplo. La inversión del amoníaco tiene sólo 2,13 cuantos por debajo de la cima de su barrera, y ahí el $e^{-2\gamma}$ no sirve ni con prefactor. Cuando este artículo termine se sabrá exactamente por qué: 2,13 cuantos es $\gamma$ del orden de la unidad, y todo lo que sigue es un desarrollo en $1/\gamma$ disfrazado de desarrollo en ħ.

El desarrollo en ħ, hecho hasta el final

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, escrita para despejar la segunda derivada, es

Si $p$ fuese constante, la solución sería $e^{\pm ipx/\hbar}$ y se acabó. No lo es, así que se intenta lo único razonable: escribir la solución con la forma de una exponencial cuyo exponente ya no es lineal,

que no es una aproximación —cualquier función que no se anule se puede escribir así, con $S$ compleja— sino un cambio de incógnita. Sustituyendo, y usando $\psi''=[(i/\hbar)S''-(1/\hbar^2)(S')^2]\psi$, la ecuación se convierte en una para $S$:

Todavía no se ha aproximado nada; sólo se ha cambiado una ecuación lineal de segundo orden por una no lineal de primer orden. Y ahora sí llega la aproximación, que es un desarrollo en potencias de ħ:

Esto es una serie asintótica, no una serie que se pretenda sumar. Metiéndolo en la ecuación e igualando potencias de ħ por separado:

El primer orden es la mecánica clásica: $S_0$ es la integral de acción de una partícula clásica de energía $E$, la misma que aparece en Hamilton-Jacobi. El segundo orden es lo que la corrige, y al exponenciarlo se convierte en una amplitud: $e^{i\hbar S_1/\hbar}=e^{iS_1}=e^{-\frac12\ln p}=p^{-1/2}$. Juntando los dos,

Eso es la primera partida de la deuda, pagada: la forma que el II.2 usó sale de aquí, de igualar potencias de ħ, y no de cortar nada en rodajas. El argumento de las rodajas era una motivación, y el propio II.2 escribió que no era una demostración; la demostración es este desarrollo.

La amplitud $p^{-1/2}$ tiene además un significado que conviene no perderse, porque es la mitad de la intuición del método:

o sea que la densidad de probabilidad cuántica es, a este orden, el tiempo que la partícula clásica pasa en cada sitio. Donde va deprisa hay poca; donde va despacio hay mucha. Es el principio de correspondencia escrito como una fórmula en vez de como una promesa.

La condición de validez, como una desigualdad

Segunda partida. El desarrollo vale mientras el término que se ha despreciado sea pequeño frente al que se ha guardado: ħ|S′₁| mucho menor que |S′₀|. Con S′₁ = (i/2)p′/p y S′₀ = p, eso es

donde λ̄ es la longitud de onda local reducida — la longitud de onda de de Broglie dividida por 2π y evaluada punto a punto. La condición dice, en castellano y sin margen de interpretación: la longitud de onda local tiene que cambiar poco en una longitud de onda local. Eso es lo que el II.2 escribió como «que V varíe poco en una longitud de onda local», y ahora es una desigualdad que se puede evaluar en cualquier punto de cualquier potencial.

Y trae de regalo la mala noticia. En un punto de retorno clásico la energía iguala al potencial, así que el momento se anula, la longitud de onda local se hace infinita y el cociente ħp′/p² diverge. La aproximación WKB falla siempre en el punto de retorno, sea el potencial el que sea, y no un poco: la propia ψ aproximada se hace infinita allí, cuando la verdadera es perfectamente finita y suave. Que la verdadera no tiene nada de particular en ese punto ya está medido en el II.3: el 15,73 % de la probabilidad del fundamental del oscilador está más allá del retorno clásico, así que ahí no pasa nada especial salvo que el método se rompe.

Como en un problema ligado hay al menos dos puntos de retorno y la cuantización sale precisamente de casar lo que ocurre entre ellos, el método se rompe justo donde hace falta. Todo lo que sigue en las dos secciones siguientes es la reparación.

El punto de retorno: Airy, y el cuarto de vuelta que sale de una cuenta

El problema está localizado: hay que atravesar el punto de retorno, donde la fórmula de arriba no vale. La salida es clásica en el buen sentido —la usó Jeffreys antes que Wentzel, Kramers y Brillouin— y consiste en resolver exactamente un problema aproximado en lugar de aproximadamente el problema exacto.

Cerca de un punto de retorno simple $x_0$ —simple quiere decir $V'(x_0)\neq0$— se linealiza el potencial:

y con esa $V$ la ecuación de Schrödinger se resuelve sin aproximar nada más. Definiendo la variable adimensional

la ecuación se convierte en $\psi''(z)=z\,\psi(z)$, que es la ecuación de Airy. Su solución acotada es la función de Airy $\mathrm{Ai}(z)$, la misma que el II.3 ya usó para medir cómo se apaga la cola prohibida del oscilador. Y lo que hace falta de ella no es su valor, sino sus dos comportamientos asintóticos, uno a cada lado:

Léase despacio, porque ahí está todo el artículo. A la derecha del punto de retorno —región prohibida— la solución decae; a la izquierda oscila; y las dos formas son la misma función, de modo que la fase de la oscilación no es libre: vale $\tfrac23|z|^{3/2}+\pi/4$, con ese $\pi/4$ puesto por la función de Airy y por nadie más.

Falta reconocer el $\tfrac23|z|^{3/2}$. Con el potencial linealizado, $p(x)=\sqrt{2m|V'(x_0)|\,|x-x_0|}$, y su integral desde el punto de retorno es

Es decir: la fase que la función de Airy exige es la integral de acción más $\pi/4$. Eso son las fórmulas de conexión, y se resumen en una línea. Si $x_0$ es un punto de retorno blando y la región permitida queda a su izquierda,

Una pared dura —un potencial que salta a infinito— es otra cosa y da otra fase. Allí no hay región prohibida en la que penetrar ni potencial que linealizar: la condición es que $\psi$ se anule en la pared, o sea

con fase nula. Dicho en el lenguaje del apartado siguiente: un retorno blando «cuesta» $\pi/4$ de fase y una pared dura cuesta cero, y esa diferencia de un cuarto de vuelta es la que separa dos espectros completamente distintos.

Queda una pregunta que tiene número, y el II.3 ya lo midió: ¿cómo de ancha es la zona donde hay que usar Airy en vez de WKB? En el oscilador, esa zona mide $(2b)^{-1/3}$ con $b=\sqrt{2n+1}$ en unidades de la longitud natural, o sea que se encoge como $n^{-1/6}$ al subir de nivel. Su consecuencia observable, también del II.3: la fracción de probabilidad que vive en la región prohibida cae como $0{,}134\,(n+\tfrac12)^{-1/3}$, del 15,73 % en $n=0$ al 2,28 % en $n=200$. Ahí está, en dos cifras, por qué el WKB mejora con $n$: no es que la aproximación se vuelva más lista, es que el trozo del problema donde no vale se hace pequeño frente al resto. Y ahí está también por qué no acaba de desaparecer nunca: $n^{-1/6}$ es una de las convergencias más lentas que se pueden escribir — para dividir esa zona por dos hacen falta 64 veces más nivel.

La regla de cuantización, y el medio que no se inventa

Ya se puede montar la regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld entera. En un estado ligado, la función de onda se construye desde los dos extremos hacia el centro y las dos construcciones tienen que ser la misma función. Con dos retornos blandos $x_1<x_2$, la solución vista desde la izquierda lleva fase $(1/\hbar)\int_{x_1}^{x}p+\pi/4$ y vista desde la derecha lleva $(1/\hbar)\int_{x}^{x_2}p+\pi/4$; que sean la misma senoide (salvo signo) exige que las dos fases sumen un múltiplo entero de $\pi$:

Reordenando, y escribiendo de una vez la versión general:

El entero $\mu$ es el índice de Maslov, y su recuento es toda la regla:

Con eso, los dos casos puros:

• Dos retornos blandos (oscilador, pozo suave, cualquier potencial que crezca de forma continua): $\mu=2$ y $\int p\,dx=(n+\tfrac12)\pi\hbar$.
• Dos paredes duras (el pozo infinito): $\mu=4$ y $\int p\,dx=(n+1)\pi\hbar$, que renombrando $n'=n+1=1,2,3,\dots$ es $\int p\,dx=n'\pi\hbar$.

Un caso mixto —una pared dura de un lado y un retorno blando del otro— se cuenta con la misma regla y sin ninguna excepción; sale en la hoja de problemas de este módulo y aquí no se hace, porque hacerlo sería contestarla.

La regla ya es operativa, y conviene comprobarlo antes de seguir. Aplicada a los dos únicos problemas de este curso con espectro conocido de antemano, y resolviendo la condición de cuantización numéricamente en unidades $\hbar=m=1$:

Las cuatro coinciden con discrepancia relativa por debajo de $10^{-15}$, que en doble precisión significa que son el mismo número. Las dos secciones siguientes explican por qué, y qué se rompe cuando el recuento se hace mal.

Conviene decir explícitamente lo que la tabla implica, porque es el error de este tema: el $\tfrac12$ no es una propiedad del método WKB, es una propiedad de los extremos del pozo. Escribirlo siempre es tan equivocado como no escribirlo nunca. El apartado siguiente mide cuánto cuesta equivocarse.

El pozo infinito: aquí el medio se resta, y quien lo suma se equivoca un factor 2,25

Dentro del pozo $0\le x\le L$ el potencial es cero, así que $p=\sqrt{2mE}$ es constante y la integral de acción se hace de cabeza:

Con $\mu=4$ —dos paredes duras— la condición es $L\sqrt{2mE}=n\pi\hbar$ con $n=1,2,3,\dots$, y despejando

que es el espectro del II.2, exacto. Resolviendo numéricamente la condición de cuantización en unidades $\hbar=m=L=1$ se obtiene 4,935 para $n=1$, 19,74 para $n=2$, 44,41 para $n=3$ y 493,5 para $n=10$, y los cuatro coinciden con $n^2\pi^2/2$ con discrepancia relativa por debajo de $10^{-15}$.

Aquí es donde el WKB deja de ser una curiosidad y se convierte en una herramienta con filo, porque hay dos maneras de inventarse el $\tfrac12$ y las dos son errores distintos con el mismo nombre. Como $E\propto(\text{lo que va en }\pi\hbar)^2$, el factor por el que se yerra es inmediato:

Los factores no son medidas: son racionales exactos, y así están escritos. Lo que sí es una medida es que la raíz numérica de la condición de cuantización con $(n+\tfrac12)\pi\hbar$ devuelve 2,25 veces el nivel exacto en $n=1$ y 1,5625 veces en $n=2$, comprobado contra el cuadrado del cociente por un camino que no comparte cuenta con él.

Tres lecciones, y ninguna es «cuidado con los signos»:

1. El error del $\tfrac12$ inventado se diluye, pero despacio. En $n=10$ todavía vale 10,3 %, y hay que llegar a $n=100$ para bajar al 1,00 %. Un método que se equivoca un 10 % en el décimo nivel de un problema que tiene solución exacta no está «asintóticamente bien»: está mal.
2. El fundamental no perdona. ×2,25 no es un error de aproximación, es otro problema. Y el error por defecto es todavía peor: $(n-\tfrac12)$ deja el fundamental en la cuarta parte del verdadero.
3. El sentido del $\tfrac12$ cambia de signo con el convenio. Con $\mu=4$ la regla es $(n+1)$ y el $\tfrac12$ del oscilador aparece aquí como un entero. Escribir siempre $n+\tfrac12$ es no haber entendido de dónde salía.

Dónde deja de ser exacto: el cuártico puro

Con dos casos exactos seguidos, la tentación es concluir que el método es buenísimo. Conviene romperla con un potencial que no tiene solución cerrada. Sea el cuártico puro, sin término armónico:

Ojo con no confundirlo con el del artículo 01 de este módulo, que es un oscilador armónico perturbado con $\lambda x^4$ y se trata con teoría de perturbaciones. Aquí no hay $x^2$ ninguno y no hay nada pequeño: el cuártico puro no es una perturbación de nada, y por eso es un caso propio del WKB, que no necesita un problema resuelto de partida sino sólo un $p(x)$ que integrar.

Los puntos de retorno son $\pm E^{1/4}$ y la condición es

que se resuelve numéricamente para cada $n$. Como no hay fórmula con la que comparar, la referencia se construye por un camino que no comparte ni una línea con éste: diagonalizando $H$ en la base del oscilador armónico, con 400 estados, y comprobando antes que el truncamiento ha convergido —300 estados dan el mismo fundamental que 400 hasta la undécima cifra—.

Las dos columnas de energía llevan seis cifras a propósito: a tres serían idénticas desde $n=3$ y la tabla no diría nada. La columna que hay que leer es la tercera, y ésa sí va a tres.

El error va del 18,2 % en el fundamental al 0,116 % en $n=5$: cae más de un factor 150 en cinco niveles, y siempre por defecto. Comparado con el oscilador, donde el error es cero para todo $n$, la conclusión es incómoda y hay que decirla entera: el WKB no tiene un error típico. Tiene un error por potencial.

Se puede medir cómo depende del potencial barriendo la potencia. Con $H=p^2/2+x^\nu$ y comparando el fundamental del WKB con la diagonalización:

El $\nu=2$ no es el caso fácil: es un punto singular del método, el único de la familia donde el error se anula, y el error crece al alejarse de él por los dos lados y cambiando de signo. En $\nu=2$ el valor exacto es $1/\sqrt2=0{,}707\,107$ —y no $\tfrac12$— porque aquí el potencial es $x^2$ y no $x^2/2$: la frecuencia es $\omega=\sqrt2$, y el $\tfrac12\hbar\omega$ de siempre vale $1/\sqrt2$.

El otro medio: Langer, y por qué éste sí se pone a mano

Todo lo anterior es en una dimensión. En un potencial central, el II.5 dejó la ecuación radial en la forma de una ecuación unidimensional para $u(r)=rR(r)$:

con la barrera centrífuga incorporada al potencial efectivo. La tentación es obvia: como ya es unidimensional, se le aplica la regla de cuantización con $\mu=2$ —dos retornos blandos, los dos ceros del radicando— y a otra cosa. El momento radial sería

Hecho en el hidrógeno, $V=-e^2/4\pi\varepsilon_0 r$, la integral tiene forma cerrada y da (en unidades atómicas, con $\Lambda^2$ el coeficiente de $-1/r^2$ dentro de la raíz):

Esa forma cerrada no se ha supuesto: la integral se ha hecho por cuadratura para cinco parejas $(n_r,\ell)$ distintas y el $n_{\text{ef}}$ que sale de la raíz numérica coincide con $n_r+\tfrac12+\sqrt{\Lambda^2}$ en las cinco, con discrepancia relativa por debajo de $10^{-13}$.

Y ahora el desastre. Con $\Lambda^2=\ell(\ell+1)$, que es lo que pone la ecuación, para $\ell=1$ sale $\sqrt2=1{,}41421$ — el mismo 1,41421 que el II.5 publica como el módulo del momento angular — y por tanto $n_{\text{ef}}=0+\tfrac12+1{,}41421=1{,}91421$ en lugar de 2. El nivel 2p sale en

frente a los $-0{,}125\,E_h=-3{,}40$ eV verdaderos: un error del 9,16 %. No es una corrección de tercer orden ni una décima de electronvoltio: es casi una décima parte de la energía de ligadura del nivel, en el átomo más simple que existe y con el método aplicado correctamente según todo lo dicho hasta aquí.

Y para $\ell=0$ es todavía peor, porque no hay resultado malo sino que no hay resultado: con $\ell(\ell+1)=0$ el término centrífugo desaparece, el punto de retorno interior se va a $r=0$ y la integral deja de estar definida. El caso $s$, que es el que uno esperaría que fuese el fácil, es el que obliga a arreglar el método.

La sustitución de Langer, y por qué no es un apaño

El arreglo es la corrección de Langer, y consiste en escribir, sólo en la integral de acción radial,

Escrito así parece exactamente lo que este artículo lleva media página prohibiendo: inventarse un $\tfrac12$. Y sin embargo:

o sea $E=-1/2n^2$: el espectro exacto del hidrógeno, para todos los $(n_r,\ell)$, con toda su degeneración accidental incluida. Comprobado resolviendo la condición de cuantización con cuadratura en ocho parejas —(0,0), (0,1), (1,0), (0,2), (1,1), (2,0), (0,3) y (3,1)—, que cubren $n$ de 1 a 5: las ocho dan $-1/2n^2$ con discrepancia relativa por debajo de $10^{-12}$.

Ésa es la pregunta del título del artículo, y merece una respuesta que no sea «funciona». Por qué es legítimo:

1. Tiene una deducción, no un ajuste. La regla de cuantización se dedujo para una coordenada que recorre toda la recta. La radial recorre media, $r\in(0,\infty)$, y eso no es un detalle topográfico: el desarrollo en ħ se hizo alrededor de un $p(x)$ que se comporta como una raíz simple en los extremos, y en $r=0$ el término centrífugo es un polo de segundo orden, no un cero simple. Langer resolvió esto cambiando de variable, $r=e^{s}$ con $s\in(-\infty,\infty)$, que convierte la semirrecta en la recta entera; hecho el desarrollo en ħ en esa variable y deshecho el cambio, el coeficiente que aparece en la integral no es $\ell(\ell+1)$ sino $(\ell+\tfrac12)^2$. El $\tfrac14$ lo pone el jacobiano, no el gusto.
2. Está probado en más de un sitio. Un arreglo que sólo arregle el hidrógeno es un ajuste al hidrógeno. Éste no lo es: el oscilador isótropo tridimensional, que es el otro potencial central con solución cerrada, también sale exacto. Con $V=\tfrac12 m\omega^2r^2$ la integral radial da $\int p_r\,dr=\tfrac{\pi}{2}(E/\hbar\omega-\sqrt{\Lambda^2})\hbar$, y con $\sqrt{\Lambda^2}=\ell+\tfrac12$ queda $E=\hbar\omega(2n_r+\ell+\tfrac32)$, que es el espectro exacto. Medido en seis parejas $(n_r,\ell)$ hasta $n_r=2,\ \ell=3$.
3. Sin ella, el error es del tamaño del fenómeno. En el oscilador 3D sin Langer, el estado $s$ sale en 1,00 ħω en vez de 1,50: un −33,3 %, el mismo desastre que quitarle el punto cero al oscilador unidimensional. Y con $\ell>0$ la cosa no mejora limpiamente: (0,1) da 2,414 frente a 2,5; (1,1), 4,414 frente a 4,5; (0,2), 3,449 frente a 3,5; (2,3), 8,464 frente a 8,5. En todos los casos el defecto es exactamente $\ell+\tfrac12-\sqrt{\ell(\ell+1)}$, que es lo que Langer repone.

Aquí está, entonces, la diferencia entre los dos $\tfrac12$ del título, y no es de grado sino de clase. El de Maslov se cuenta: se mira el pozo, se cuentan los extremos, se clasifican en blandos y duros, y sale un entero $\mu$ del que el $\tfrac12$ es un caso. El de Langer se sustituye: se cambia el coeficiente de un término del potencial efectivo, y esa sustitución tiene su propia deducción —el cambio de variable que convierte la semirrecta en recta— y su propia prueba independiente —dos potenciales centrales con solución cerrada, no uno—. Lo que no vale es la tercera cosa, que es la que hace el que escribe $n+\tfrac12$ en el pozo infinito: poner un $\tfrac12$ por costumbre, sin recuento y sin prueba. Ése es el que se paga a 2,25.

La barrera: se paga el prefactor

Queda la tercera partida de la deuda. Todo lo anterior era para estados ligados; para el efecto túnel el cambio es de una línea. En la región clásicamente prohibida se tiene $E<V$, luego $p$ es imaginario: escribiendo $p=i\hbar\kappa$ con $\kappa=\sqrt{2m(V-E)}/\hbar$ real, la solución WKB deja de oscilar y se vuelve real,

Una barrera opaca es aquella en la que dentro manda el término decreciente. Su amplitud al salir es $e^{-\gamma}$ veces la de entrar, con $\gamma=\int_{x_1}^{x_2}\kappa\,dx$, y como $T$ es un cociente de corrientes, o sea de amplitudes al cuadrado,

Ésa es la receta del II.2, deducida: sin rodajas, sin multiplicar transmisiones y sin ignorar reflexiones, porque no hay nada que ignorar — el desarrollo en ħ es una solución aproximada de la ecuación entera, no una suma de trocitos. La deuda está pagada en su parte principal. Falta la letra pequeña, y la letra pequeña es lo interesante.

Por qué el rectángulo del II.2 lleva prefactor y la receta no

La condición de validez de la sección segunda dice que $\bar\lambda$ tiene que cambiar poco en una $\bar\lambda$. En una barrera rectangular, $V$ salta de 0 a $V_0$ en longitud cero: $d\bar\lambda/dx$ es infinito en las dos esquinas, y lo es por gruesa que sea la barrera. El rectángulo no es el caso fácil del WKB: es exactamente el caso al que el WKB no tiene derecho.

Eso se puede medir, y es lo que el II.8 aporta sobre lo que el II.2 ya publicó. Tomando la $T$ exacta del II.2 y dividiéndola por el $e^{-2\kappa L}$ desnudo:

La columna del cociente lleva cinco cifras por la misma razón que la tabla del cuártico llevaba seis: a tres, las tres últimas filas de cada bloque serían «4,00» y «2,56» y no se vería lo único que hay que ver, que es que el cociente no tiende a 1. Tiende a

que vale 4 en $E=V_0/2$ y 2,56 en $E=V_0/5$, y las dos cifras están en la tabla con cuatro decimales de acuerdo. Dicho de otro modo: el $e^{-2\gamma}$ desnudo no converge nunca al resultado exacto del rectángulo, ni siquiera engordando la barrera hasta transmisiones de $10^{-7}$. Barriendo $\kappa L$ desde 1 hasta 30 con $E=V_0/2$, el mejor acuerdo del exponencial desnudo es un error del 67,8 %, y crece hasta el 75 % cuando la barrera se hace opaca. No hay ningún $\kappa L$ que lo arregle. (Y sí: en $\kappa L\to0$ las dos fórmulas coinciden, pero porque no hay barrera y las dos tienden a $T=1$; ese acuerdo no mide nada.)

El prefactor $16E(V_0-E)/V_0^2$ vale exactamente 1 en dos energías, y sólo dos: $16x(1-x)=1$ con $x=E/V_0$ da

Comprobado por los dos caminos —la forma cerrada y la raíz numérica— y comprobado además que en esas dos energías el exponencial desnudo sí converge al exacto, con cociente 1 a $10^{-9}$. Son dos puntos de un continuo: fuera de ellos, la receta desnuda se equivoca en un factor fijo que no depende de lo opaca que sea la barrera, sino sólo de la energía.

Con esto la deuda queda saldada y con su balance escrito:

• El exponente es de WKB y es lo que vale la pena. $\gamma$ depende de la forma entera de la barrera y es lo que produce los órdenes de magnitud: el II.2 midió $2\gamma$ del 32,6 del polonio-212 al 89,9 del torio-232, y esos 57 puntos de exponente son los veinticuatro órdenes de magnitud de vida media. Eso lo da esta teoría, y ninguna otra cosa de este módulo lo daría.
• El prefactor no es de WKB. El $16E(V_0-E)/V_0^2$ del II.2 es la solución exacta del rectángulo, y lo que repara son las dos esquinas, que es justo donde el desarrollo en ħ no tiene derecho a opinar. El II.2 hizo lo correcto usándolo y lo correcto avisando de que no lo había deducido.
• Y por eso los aciertos del II.2 tienen el tamaño que tienen. Su modelo de desintegración alfa reproduce vidas medias que abarcan veinticuatro órdenes de magnitud con un error entre ×0,29 y ×2,3: un factor de dos o tres, que es exactamente el tamaño de un prefactor omitido, sobre un exponente que acierta. Aquella frase —«el modelo más crudo posible las reproduce todas»— tiene ahora una lectura cuantitativa: el exponente lo da el WKB, el factor de dos lo dejó sin pagar, y el factor de dos es lo que un prefactor cuesta.

Ejercicios

Resumen en frío