1 y 2. Ésos son los autovalores de : enteros, reales, tan respetables como los de cualquier observable. Y la matriz no es hermítica —‖A − A†‖ = 1, medido—, sus autovectores forman 45° en vez de 90°, y con ellos la regla de Born deja de sumar uno: sobre 4000 estados al azar suma entre 0,293 y 1,707 según cuál sea el estado. Ahí se rompe la cuántica sin hermiticidad, y no en el espectro. Este artículo demuestra la implicación que la física necesita —hermítico ⇒ autovalores reales, autovectores ortogonales, probabilidades que suman uno— y enseña con tres contraejemplos medidos que no es una equivalencia. Y cierra el agujero que la receta de cuantización del II.1 dejó abierto: Im⟨x̂p̂⟩ = ħ/2 en todo estado, con un error medido de 1,3 × 10⁻¹⁵ sobre 400 estados al azar.
Lo que un aparato exige, y a qué equivale exactamente
Un aparato devuelve un número real; no devuelve 1,5 + 0,5i voltios. La exigencia mínima para llamar observable a un operador es entonces ésta, escrita como se mide: ⟨A⟩ψ = ⟨ψ|A|ψ⟩ ∈ ℝ para todo ψ normalizado. Cualquier operador se parte en dos trozos, como un número complejo en parte real e imaginaria:
Los dos son hermíticos: (A + A†)† = A† + A, y el 2i del denominador se conjuga a −2i y compensa el signo de (A − A†)† = A† − A. Sus valores esperados son reales —se demuestra en la sección siguiente—, luego Im⟨A⟩ = ⟨K⟩. Pedir que ⟨A⟩ sea real en todo estado es pedir ⟨ψ|K|ψ⟩ = 0 para todo ψ, y en un espacio complejo eso obliga a K = 0: por la identidad de polarización del artículo 01 con K metido en medio, los productos cruzados ⟨φ|K|χ⟩ se reconstruyen a partir de cuatro cantidades del tipo ⟨η|K|η⟩, y si las cuatro son cero el operador es cero.
Ésta es la equivalencia del artículo, y la única que hay. Todo lo demás —espectro real, autovectores ortogonales— son consecuencias. Y necesita que el espacio sea complejo: sobre ℝ², la rotación de 90° R = [[0, −1], [1, 0]] cumple ⟨ψ|R|ψ⟩ = 0 para cualquier vector real y sin embargo R† = −R ≠ R. La i que la ecuación de Schrödinger lleva delante no sólo produce las interferencias del II.1: es también la razón de que los observables se dejen caracterizar así de limpiamente.
La firma numérica de no ser hermítico
Como K es hermítico, sus valores esperados barren su rango espectral, de modo que máxψ|Im⟨A⟩| = ‖(A − A†)/2i‖, con ‖·‖ el mayor autovalor en valor absoluto. No es una cota vaga: es una igualdad, y se comprueba por dos caminos sin código común —muestrear 20 000 estados y calcular la norma espectral—, que sobre la matriz de la entradilla dan 0,49998 y 0,5. Sobre una hermítica al azar el mismo muestreo devuelve 3,3 × 10⁻¹⁶. «No medible» significa eso, con número: hay un estado concreto en el que el valor esperado tiene medio cuanto de parte imaginaria.
Las tres consecuencias, y las 2800 matrices que las miden
Sea A = A†. 1. Los autovalores son reales: si A|a⟩ = a|a⟩ con ⟨a|a⟩ = 1, entonces a = ⟨a|Aa⟩ = ⟨Aa|a⟩ = a*. 2. Autovectores de autovalores distintos son ortogonales: ⟨b|A|a⟩ se asocia hacia los dos lados y da a⟨b|a⟩ y b*⟨b|a⟩ = b⟨b|a⟩ —usando que b ya se sabe real—, luego (a − b)⟨b|a⟩ = 0. Ojo con el orden: la ortogonalidad usa la realidad de los autovalores, no son dos hechos independientes. 3. En dimensión finita hay una base ortonormal de autovectores, y por tanto A = Σi ai|ai⟩⟨ai|: la matriz es su lista de resultados con sus pesos. Es el teorema espectral chico; este módulo lo usa y no lo demuestra. El punto 2 no basta por sí solo, porque no dice nada de los autovalores repetidos: dentro de un autoespacio de dimensión mayor que uno hay que elegir una base, y de ese detalle vive la sección quinta.
Las tres se demuestran en un cuarto de página, y por eso mismo se creen sin mirar. El guion fabrica 2800 matrices hermíticas al azar en dimensiones de 2 a 8 y mide lo que las tres predicen:
| Lo que se predice | Cómo se mide | Peor caso en las 2800 |
|---|---|---|
| autovalores reales | máx |Im λ| con la rutina general | 1,0 × 10⁻¹⁵ |
| autovectores ortonormales | máx |⟨vi|vj⟩ − δij| | 2,7 × 10⁻¹⁵ |
| teorema espectral | ‖A − Σ λiPi‖ | 7,3 × 10⁻¹⁵ |
| Born suma uno | |Σ pi − 1| | 1,8 × 10⁻¹⁵ |
| ⟨A⟩ = Σ aipi | las dos formas de calcularlo | 6,2 × 10⁻¹⁵ |
Los autovalores salen dos veces por algoritmos sin código común —LAPACK y las raíces del polinomio característico— y coinciden con un error de 1,1 × 10⁻¹³. Que sea mayor que los demás es la señal de que los dos caminos son distintos de verdad: un cruce que da 10⁻¹⁶ en todas las casillas suele ser un número comparado consigo mismo.
Un caso concreto: A = [[1, i], [−i, 2]] es hermítica —la traspuesta baja la i y la conjugación la devuelve arriba—, con traza 3 y determinante 1, luego λ² − 3λ + 1 = 0 y λ = (3 ∓ √5)/2, o sea 0,382 y 2,618, con autovectores ortogonales hasta 10⁻¹⁶. Y con un guiño dentro: 2,618… = φ² y 0,382… = φ⁻², con φ la razón áurea, porque su producto es 1 —el determinante— y su suma es 3 —la traza—, que son las relaciones que cumplen φ² y φ⁻². El guion lo comprueba por LAPACK, por álgebra simbólica exacta y por Vieta. Al lado, un operador que sale en todos los cursos y no es un observable: σx + iσy = 2σ₊, el de subida del espín, con ‖A − A†‖ = 2 medido. Nadie mide σ₊, igual que nadie mide el â del II.3.
Hermítico basta; no es necesario
Aquí es donde casi todos los textos de este nivel dan un paso de más: demuestran las tres consecuencias y a continuación dicen que la hermiticidad «es» tener espectro real. No lo es, y el matiz no es un adorno: el módulo III.1 de este mismo sitio tiene por tesis por qué hermítico no basta, y un II.4 que afirme la equivalencia lo contradice antes de que el lector llegue.
Contraejemplo 1 · Espectro real, y no es hermítica. La triangular de la entradilla, T = [[1, 1], [0, 2]], tiene por autovalores su diagonal, 1 y 2. Y ‖T − T†‖ = 1: no es hermítica ni siquiera normal. Sus autovectores —|v₁⟩ = (1, 0) y |v₂⟩ = (1, 1)/√2— tienen solape 1/√2 = 0,707, o sea 45°, no 90°, y ahí está el daño: sin ortogonalidad la regla de Born deja de sumar uno, que es como decir que las «probabilidades» dejan de serlo.
Contraejemplo 2 · Espectro real que se vuelve complejo de golpe. No es un accidente de las triangulares. La familia PT-simétrica H(γ) = [[iγ, 1], [1, −iγ]] tiene traza 0 y determinante γ² − 1, luego λ = ±√(1 − γ²): espectro enteramente real mientras γ no llega a 1 y enteramente imaginario a partir de ahí. Y no es hermítica para ningún γ ≠ 0.
| γ | Autovalores | ‖H − H†‖ | |⟨v₁|v₂⟩| |
|---|---|---|---|
| 0 | ±1 | 0 | 0 |
| 0,5 | ±0,866 | 1,00 | 0,500 |
| 0,9 | ±0,436 | 1,80 | 0,900 |
| 0,99 | ±0,141 | 1,98 | 0,990 |
| 1,5 | ±1,118 i | 3,00 | 0,667 |
La columna del solape es la interesante, y su lectura es exacta: |⟨v₁|v₂⟩| = γ por debajo de 1 y 1/γ por encima —el ejercicio 1 lo demuestra—, de modo que al acercarse a γ = 1 los dos autovectores se funden en uno: en γ = 0,999999 el solape medido vale 0,999999. Ese punto excepcional es una degeneración en la que la matriz deja de ser diagonalizable, cosa que a una hermítica no le pasa nunca. Aquí no falla la ortogonalidad: falla que haya base.
Contraejemplo 3 · Autovectores ortogonales, y tampoco es hermítica. Cualquier unitaria los tiene ortogonales —una 5 × 5 al azar da máx |⟨vi|vj⟩ − δij| = 4,4 × 10⁻¹⁶— y sus autovalores viven en el círculo unidad: módulo 1 con error de 2,2 × 10⁻¹⁶ y partes imaginarias de hasta 0,999, con ‖U − U†‖ = 1,38. Base ortonormal completa y ni un solo autovalor real: lo contrario del caso anterior.
El enunciado correcto. Llamemos normal al operador que conmuta con su adjunto, [A, A†] = 0. El teorema espectral general dice que normal ⟺ diagonalizable en base ortonormal, o sea A = UΛU† con U unitaria y Λ diagonal, en general compleja. Entonces A† = UΛ*U†, y por tanto A = A† ⟺ Λ = Λ*:
Las dos hipótesis hacen falta, y los contraejemplos dicen cuál se cae en cada caso: T tiene espectro real y no es normal; la unitaria es normal y no tiene espectro real; la PT-simétrica no es ninguna de las dos y aun así consigue espectro real en un tramo, que es la trampa más difícil de ver. El guion lo comprueba con 200 matrices UΛU† y U uniforme: con Λ real salen hermíticas con ‖A − A†‖ ≤ 3,1 × 10⁻¹⁶, y con Λ compleja salen normales (‖[A, A†]‖ ≤ 4,4 × 10⁻¹⁵) y no hermíticas.
Problema. Para T = [[1, 1], [0, 2]]: (a) comprueba que no es normal; (b) calcula sus autovectores normalizados y el solape; (c) evalúa Σi|⟨vi|ψ⟩|² en ψ = (1, 0) y en (0, 1) y deduce el rango entero de esa suma; (d) encuentra el estado en el que ⟨T⟩ se aparta más del eje real, y di cuánto.
Solución. (a) Con T† = [[1, 0], [1, 2]]: TT† = [[2, 2], [2, 4]], T†T = [[1, 1], [1, 5]] y por tanto [T, T†] = [[1, 1], [1, −1]] ≠ 0. No es normal, y por el teorema anterior eso ya basta para saber que no puede ser hermítica por muy real que sea su espectro.
(b) (T − λ)v = 0 con λ = 1 da v₂ = 0, o sea |v₁⟩ = (1, 0); con λ = 2 da v₁ = v₂, o sea |v₂⟩ = (1, 1)/√2. Solape 1/√2, que son 45°; el guion lo confirma en ocho cifras.
(c) En ψ = (1, 0): |⟨v₁|ψ⟩|² = 1 y |⟨v₂|ψ⟩|² = 1/2, que suman 1,5. En (0, 1): 0 y 1/2, que suman 0,5. Ninguna es 1, y una se pasa. El rango sale en cerrado sin muestrear nada: la suma es el valor esperado de P₁ + P₂ con Pi = |vi⟩⟨vi|, de traza 2 y determinante 1 − c² con c = |⟨v₁|v₂⟩|; de λ² − 2λ + (1 − c²) = 0 salen λ± = 1 ± c = 1 ± 1/√2, o sea 0,2929 y 1,7071. Sobre 4000 estados al azar el guion encuentra 0,293 y 1,707 con media 0,997: cuatro cifras de acuerdo entre la forma cerrada y el muestreo.
(d) Im⟨T⟩ = ⟨K⟩ con
cuyos autovalores son ±½ y cuyo autovector de arriba es |+y⟩ = (1, i)/√2. Directamente: T|+y⟩ = (1 + i, 2i)/√2 y ⟨+y|T|+y⟩ = ½[1·(1 + i) + (−i)(2i)] = ½(3 + i) = 1,5 + 0,5 i. El muestreo sobre 20 000 estados da 0,49998 y la norma espectral de K da 0,5: tres caminos, el mismo medio.
Resultado. Lo que la hermiticidad protege no es el espectro: es la interpretación. Con T se pueden seguir llamando «resultados posibles» al 1 y al 2, y todo suena bien hasta que se suman las probabilidades y salen 1,5. Un formalismo en el que la probabilidad total depende del estado no dice nada, porque la normalización deja de ser una convención y pasa a ser un dato. Y el aviso llega antes, en el |+y⟩: ningún aparato devuelve un valor esperado con media unidad de parte imaginaria, y el formalismo lo devuelve porque el operador no era un observable.
El «o sea» que este artículo no escribe
Con matrices, la definición de hermítico admite dos formas que son la misma: ⟨φ|Aψ⟩ = ⟨Aφ|ψ⟩ para todo par, y A = A†. En dimensión finita son equivalentes. En dimensión infinita no lo son, y escribir «lo primero, o sea lo segundo» es el error que este artículo se niega a cometer. La primera condición se llama simétrico; la segunda, autoadjunto. En L²(ℝ) los operadores interesantes no están definidos en todas partes —la derivada de una función de cuadrado integrable no tiene por qué serlo—, así que p̂ vive en un dominio D(p̂) más pequeño que el espacio, y el adjunto trae el suyo: D(A†) son las φ para las que ψ ↦ ⟨φ|Aψ⟩ se puede escribir como ⟨η|ψ⟩. Simétrico dice que A† coincide con A donde los dos están definidos; autoadjunto añade D(A†) = D(A), y es la segunda la que hace falta para que haya teorema espectral, para que e−iHt/ħ sea unitaria y para que las probabilidades sumen uno en todo instante. El ejemplo de libro —el momento en un intervalo finito, simétrico y sin autofunciones compatibles con las condiciones de contorno— es del III.1.
Lo que sí cabe aquí es el mecanismo con números, con el operador más sencillo que lo tiene: D = d/dx, sobre funciones que se anulan en el infinito. Integrando por partes,
o sea D† = −D: antihermítico. Con dos gaussianas desplazadas el guion mide ⟨g₁|Dg₂⟩ = −0,6968 y ⟨Dg₁|g₂⟩ = +0,6968; por el segundo camino, la matriz de diferencias centradas cumple ‖D + D†‖ = 0 exactamente, porque es antisimétrica por construcción y transponer no integra nada. De ahí salen dos cosas: iD sí es hermítico —medido ‖iD − (iD)†‖ = 0— y el espectro de D es imaginario puro, con máx |Re λ| = 7,8 × 10⁻¹⁵ en la matriz discretizada. Ahí está el porqué del −i de p̂ = −iħ d/dx: no es una convención de fase, es el factor que convierte un antihermítico en un observable. Con −ħ d/dx el momento tendría espectro imaginario y ningún aparato lo mediría; la p̂ discretizada tiene máx |Im λ| = 2,7 × 10⁻⁴⁸.
Y ahora la honestidad que el título promete: ese cálculo no puede enseñar la distinción entre simétrico y autoadjunto. Una matriz N × N está definida en todo ℂN, su adjunta también, y los dos dominios coinciden por construcción; discretizar elimina el problema en vez de resolverlo, junto con la condición de contorno que lo causaba. El guion ha comprobado un signo, y el signo era verdad. Declarado, no fingido — y en el III.1 se cobra.
El espectro es la lista de lo que puede salir
Con A = A† y su base ortonormal, la regla de medida se puede por fin enunciar sin que se caiga: medir A en |ψ⟩ devuelve uno de los autovalores ai, con probabilidad pi = |⟨ai|ψ⟩|², y deja el sistema en |ai⟩. Eso es un postulado, y el artículo 04 lo enuncia entero con lo que tiene de incómodo. Lo que este artículo aporta es la parte que sí es un teorema: que con A hermítico la receta es coherente. Los ai son reales por el punto 1; los pi suman uno por el punto 2 más el punto 3 —eso es completitud, o sea Parseval, o sea el artículo 01—; y el promedio de muchas repeticiones coincide con el ⟨ψ|A|ψ⟩ del formalismo, con errores de 1,8 × 10⁻¹⁵ y 6,2 × 10⁻¹⁵ sobre las 2800 matrices.
El espectro es entonces la lista de resultados que el aparato puede devolver, y de ahí sale un hábito de lectura: «¿cuánta energía tiene este estado?» no siempre tiene respuesta, pero «¿qué energías puede devolver el aparato y con qué peso?» siempre la tiene. Para la mezcla al 50 % de los dos primeros niveles del pozo de 1 nm del II.1, ⟨H⟩ = 0,940 eV es un número que ninguna medida devuelve jamás: lo que devuelve es 0,376 eV o 1,504 eV, mitad y mitad.
Conmutar no es tener la misma base: falta elegirla
Dos observables se pueden medir a la vez cuando comparten una base de autovectores, y en dimensión finita eso equivale a [A, B] = 0. La mitad fácil es de una línea: si A|a⟩ = a|a⟩ y [A, B] = 0, entonces A(B|a⟩) = B(A|a⟩) = a(B|a⟩), luego B|a⟩ vive en el autoespacio de a; si tiene dimensión 1 no hay más sitio adonde ir y B|a⟩ = b|a⟩, con una desviación del paralelismo medida de exactamente cero.
Con degeneración el enunciado cambia, y aquí se pierde mucha gente. Si a es un autovalor doble, B puede girar dentro del autoespacio, y girar de verdad: el guion construye un par con [A, B] = 0 exacto en el que B|a⟩ forma 90° con |a⟩ —solape medido cero— y sigue cumpliendo A(B|a⟩) = a(B|a⟩) exactamente. Los dos conmutan, comparten un conjunto de autovectores comunes, y el que teníamos en la mano no era ninguno de ellos: la frase correcta es «existe una base común», y encontrarla es diagonalizar B dentro del autoespacio. Eso es todo el contenido de «conjunto completo de observables que conmutan», el trabajo que en el II.5 hacen Ĥ, L̂² y L̂z en el hidrógeno. Cuando no conmutan no hay base común ni medida simultánea; el caso con nombre es [x̂, p̂] = iħ, y el artículo 03 convierte ese conmutador en una desigualdad que se deduce.
El agujero de xp, y qué tapa la simetrización
La receta del II.1 decía: escribe la magnitud clásica Q(x, p) y sustituye p por −iħ∂x. Funciona para x, para p, para p²/2m + V(x), y tiene un agujero declarado que ahora se puede tapar: cuando la magnitud clásica mezcla x y p, la receta no dice en qué orden escribirlos, y el orden importa porque los operadores no conmutan. Peor: ninguno de los dos órdenes vale. El adjunto de un producto invierte el orden, (AB)† = B†A†, así que con x̂ y p̂ hermíticos (x̂p̂)† = p̂x̂ ≠ x̂p̂ — con las matrices de escalera del II.3 en el bloque de los 60 primeros niveles, el guion mide ‖(x̂p̂)† − p̂x̂‖ = 0 exactamente y ‖[x̂, p̂] − iħ‖ = 1,8 × 10⁻¹⁴. El único candidato honrado es el promedio de los dos, la simetrización, y partirlo así deja ver por qué:
La parte antihermítica de x̂p̂ es un múltiplo de la identidad, porque el conmutador canónico lo es, y un múltiplo de la identidad tiene el mismo valor esperado en todos los estados. Luego, sin cuentas y sin elegir estado:
No es una propiedad de la gaussiana del oscilador: es una propiedad de [x̂, p̂] = iħ, y por tanto de cualquier sistema con una coordenada y su momento. El guion lo mide sobre 400 superposiciones de Fock al azar con un peor error de 1,3 × 10⁻¹⁵. Con ħ/2 = 5,27 × 10⁻³⁵ J·s, ése es el trozo del valor esperado que ningún aparato puede devolver, y la simetrización lo quita entero: la norma de lo que sobra vale ‖x̂p̂ − (x̂p̂)†‖ = ħ, medido en el bloque.
Problema. Para el ¹²C¹⁶O del II.3 (μ = 6,856 u, ω = 4,087 × 10¹⁴ rad/s, x₀ = 4,761 pm, ħω = 269,0 meV): (a) calcula ⟨x̂p̂⟩ en el estado fundamental con la escalera del II.3, sin integrar; (b) calcula ⟨(x̂p̂ + p̂x̂)/2⟩ en cualquier ψn y explica por qué sale lo que sale; (c) decide si el operador simetrizado es entonces un cero disfrazado, y demuéstralo con un estado en el que no lo sea.
Solución. (a) Del II.3, x̂ = x₀(â + â†)/√2 y p̂ = i(ħ/x₀)(↠− â)/√2. Multiplicando,
En ⟨n|···|n⟩ los términos ââ y â†â† mueven dos escalones y no contribuyen —conectan n con n ∓ 2, ortogonales a n—. Quedan los dos diagonales, y su diferencia es el conmutador: ⟨n|[â, â†]|n⟩ = 1, luego ⟨x̂p̂⟩n = iħ/2. El mismo [â, â†] = 1 que en el II.3 daba el medio cuanto de energía da aquí el medio ħ imaginario. El guion lo comprueba por escalera y por cuadratura sobre ψn(x) para n = 0 a 4, y da Im⟨x̂p̂⟩/ħ = 0,5 en los cinco, sin depender de n. En el CO, σx = 3,366 pm y σp = 1,566 × 10⁻²³ kg·m/s en el fundamental, cuyo producto es ħ/2 —el estado satura Kennard—: el mismo ħ/2 que reaparece aquí como parte imaginaria.
(b) Ya está hecho: ⟨(x̂p̂ + p̂x̂)/2⟩ = Re⟨x̂p̂⟩n = 0, medido exactamente cero por cuadratura en los cinco niveles. El porqué es la paridad: |ψn|² es par y el operador simetrizado es impar bajo x → −x, p → −p.
(c) No lo es. A lo bruto: sobre las 400 superposiciones al azar, Re⟨x̂p̂⟩/ħ barre de −6,93 a +9,14 mientras la parte imaginaria se queda clavada en 0,5. Con un estado concreto: la gaussiana con chirp ψb(ξ) ∝ exp[−(1 − ib)ξ²/2], con ξ = x/x₀, que es el fundamental «girado» en el espacio de fases —un estado comprimido—. Con b = 0,7 la cuadratura da ⟨ξ²⟩ = 0,5 (el chirp no ensancha en posición), ⟨π²⟩ = 0,745 = (1 + b²)/2 y ⟨(x̂p̂ + p̂x̂)/2⟩ = bħ/2 = 0,35 ħ, con Im⟨x̂p̂⟩ = ħ/2 otra vez.
Resultado. La simetrización separa dos cosas que estaban sumadas y son de naturaleza distinta. La que se tira es siempre la misma, iħ/2: no depende del estado y no lleva información — es el conmutador, o sea la cuantización misma escrita donde estorba. La que se queda es un observable de verdad, cero en los estados estacionarios por simetría y 0,35 ħ en un estado comprimido con b = 0,7, y con significado propio: mide la correlación entre posición y momento, o sea la inclinación de la elipse de incertidumbre en el espacio de fases. El artículo 03 se la encuentra otra vez, en el término del anticonmutador que Robertson tira y Schrödinger conserva: cero en el fundamental no era una coincidencia, era una elipse sin inclinar.
Dónde se acaba lo que este artículo demuestra. Todo lo de arriba está probado en dimensión finita, y en L² con las funciones bien portadas del oscilador. Fuera de ahí cambian tres cosas: un operador puede ser simétrico y no autoadjunto, y entonces no hay teorema espectral ni evolución unitaria; el espectro puede tener parte continua, donde no hay autovectores normalizables —p̂ y x̂ son el ejemplo, y las ondas planas no están en L²—, de modo que |⟨a|ψ⟩|² deja de ser una probabilidad y pasa a ser una densidad; y la base ortonormal de autovectores se convierte en un enunciado sobre medidas espectrales. Los tres son el módulo III.1.
Y lo que la simetrización no arregla. El promedio de x̂p̂ y p̂x̂ resuelve el problema de dos factores y sólo ése. Con tres o más hay varias simetrizaciones concebibles, no todas coinciden, y decidir cuál es la buena ya no es consecuencia de la hermiticidad sino una elección —la más usada es el orden de Weyl—. Ninguna receta convierte una función clásica cualquiera en un operador de manera única: no es un hueco de este módulo, es un teorema de imposibilidad (Groenewold–van Hove). La cuantización no es un diccionario, es una hipótesis física que se contrasta — y «hermítico quiere decir medible», que se lee tan bien, es media verdad que hunde una 2×2 de una línea.
Ejercicios
Sea H(γ) = [[iγ, 1], [1, −iγ]] con γ real. (a) Calcula el espectro y di para qué γ es real. (b) Comprueba que H no es normal para ningún γ ≠ 0, y explica por qué eso ya predice, sin calcular nada más, que los autovectores no serán ortogonales. (c) Calcula los autovectores normalizados y demuestra que |⟨v₊|v₋⟩| = γ. (d) Calcula máxψ|Im⟨H⟩| en función de γ.
Solución
(a) tr H = 0 y det H = γ² − 1, luego λ² + (γ² − 1) = 0 y λ = ±√(1 − γ²): real para |γ| menor que 1, imaginario puro por encima.
(b) Con H† = [[−iγ, 1], [1, iγ]] sale [H, H†] = [[0, 4iγ], [−4iγ, 0]] ≠ 0. Y no ser normal es exactamente no admitir base ortonormal de autovectores, porque el teorema espectral general dice «normal ⟺ diagonalizable en base ortonormal»: la no normalidad prohíbe la ortogonalidad antes de calcular ningún autovector. La ortogonalidad se decide con un conmutador, no resolviendo el problema de autovalores.
(c) Con s = √(1 − γ²), la primera fila de (H − λ)v = 0 da v₂ = (λ − iγ)v₁; para λ = ±s la norma al cuadrado es 1 + s² + γ² = 2, luego |v±⟩ = (1, ±s − iγ)/√2, y ⟨v₊|v₋⟩ = ½[1 − (s + iγ)²] = γ(γ − is), de módulo γ√(γ² + s²) = γ. Coincide con las cuatro filas de la tabla y explica el punto excepcional: cuando γ → 1 el solape tiende a 1 y la matriz deja de tener base. La segunda lección: una hermítica nunca hace esto; puede tener autovalores degenerados, pero entonces el autoespacio crece, nunca encoge la base.
(d) H − H† = [[2iγ, 0], [0, −2iγ]], luego K = γσz y máx|Im⟨H⟩| = ‖K‖ = γ, que en γ = 0,5 vale 0,5 —el muestreo da 0,49998—. La parte imaginaria del valor esperado no sabe nada de si el espectro es real: ahí el espectro es real y el defecto de hermiticidad vale medio.
Sean |v₁⟩ y |v₂⟩ dos vectores unitarios de ℂ² con c = |⟨v₁|v₂⟩|. (a) Demuestra que Σi|⟨vi|ψ⟩|² puede valer cualquier cosa entre 1 − c y 1 + c, y sólo eso. (b) Aplícalo a los autovectores de T = [[1, 1], [0, 2]] y compara con el rango medido sobre 4000 estados. (c) Predice el rango para la H(0,5) del ejercicio 1 sin muestrear nada. (d) ¿Cómo se recuperaría una regla que sí sume uno, y qué se pierde por el camino?
Solución
(a) La suma es ⟨ψ|(P₁ + P₂)|ψ⟩ con Pi = |vi⟩⟨vi|, hermítico, así que sus valores esperados barren el intervalo entre su autovalor menor y su mayor. P₁ + P₂ tiene traza 2 y determinante 1 − c²; de λ² − 2λ + (1 − c²) = 0 salen λ± = 1 ± c. La ortogonalidad (c = 0) es el único caso en que el intervalo se reduce a un punto, y sólo entonces la suma vale 1 sea cual sea el estado — que es lo que una probabilidad total tiene que hacer.
(b) c = 1/√2, luego [0,2929, 1,7071]; el muestreo da [0,293, 1,707] con media 0,997, y los extremos se alcanzan porque los autovectores de P₁ + P₂ son |v₁⟩ ± |v₂⟩ normalizados. (c) c = γ = 0,5, luego [0,5, 1,5]: la mitad de ancho. En el punto excepcional, con c → 1, sería [0, 2] — habría estados con probabilidad total cero.
(d) Se puede: un operador diagonalizable no normal tiene autovectores por la derecha |vi⟩ y por la izquierda ⟨wi|, los de T†, y las dos familias cumplen ⟨wi|vj⟩ = δij y Σ|vi⟩⟨wi| = 1̂: se recupera una resolución de la identidad. Lo que no se recupera es la interpretación, porque ⟨wi|ψ⟩⟨ψ|vi⟩ es complejo en general: suman uno y no son probabilidades. Segunda lección: el problema nunca fue que no sumaran uno, sino que dejaron de ser reales entre 0 y 1.
Sea D = d/dx en L²(ℝ), sobre funciones que se anulan en el infinito. (a) Calcula ⟨φ|Dψ⟩ integrando por partes y di cuánto vale D†; señala en qué renglón exacto se usa que las funciones se anulan. (b) Demuestra que iD es hermítico y que el espectro de D es imaginario puro. (c) ¿Sería hermítico −ħ d/dx, y qué querría decir su espectro? (d) La matriz de diferencias cumple ‖D + D†‖ = 0 exactamente; explica por qué ese cero, siendo cierto, no demuestra que p̂ sea autoadjunto en L².
Solución
(a) ∫φ*ψ′ = [φ*ψ] − ∫(φ′)*ψ. El renglón es el corchete: se anula porque φ y ψ se van a cero en ±∞. Sin esa hipótesis queda un término de frontera y todo lo demás se cae — y ése es, literalmente, el término del que vive el III.1. Con ella, D† = −D; medido con dos gaussianas desplazadas, −0,6968 frente a +0,6968.
(b) (iD)† = −iD† = iD. Y si Du = λu, entonces iD tiene autovalor iλ, real por ser iD hermítico, luego λ es imaginario puro; la matriz discretizada da máx |Re λ| = 7,8 × 10⁻¹⁵.
(c) No: (−ħD)† = +ħD = −(−ħD), antihermítico. Su espectro sería imaginario puro, de modo que «medir el momento» devolvería números imaginarios. La −i de p̂ = −iħ d/dx no es una convención de fase heredada de la óptica: es el factor que convierte un antihermítico en un observable, la misma jugada que iD. El guion mide ‖p̂ − p̂†‖ = 0 y máx |Im λ| = 2,7 × 10⁻⁴⁸.
(d) Porque una matriz N × N está definida en todo ℂN, y su adjunta también: los dos dominios coinciden por construcción y no puede haber diferencia entre simétrico y autoadjunto. Discretizar no resuelve el problema del dominio, lo borra junto con la condición de contorno que lo causaba. Segunda lección: un cálculo numérico comprueba lo que está representado en él, y sólo eso.
(a) Demuestra que Im⟨x̂p̂⟩ = ħ/2 en todo estado normalizado, partiendo de [x̂, p̂] = iħ y sin elegir ninguna función de onda. (b) ¿Qué tendría que pasarle al conmutador para que esa parte imaginaria sí dependiera del estado? Da un par de hermíticos en el que ocurra. (c) Calcula ⟨(x̂p̂ + p̂x̂)/2⟩ en la gaussiana con chirp ψb ∝ e−(1−ib)ξ²/2 y comprueba el 0,35 ħ para b = 0,7. (d) Un compañero concluye que, como ese valor esperado es cero en todos los ψn, el operador simetrizado «es cero». Refútalo de dos maneras.
Solución
(a) x̂p̂ = ½(x̂p̂ + p̂x̂) + ½[x̂, p̂]. El primer sumando es hermítico, luego su valor esperado es real; el segundo es iħ/2 por la identidad, con valor esperado iħ/2 en cualquier estado normalizado. Tomando partes imaginarias, Im⟨x̂p̂⟩ = ħ/2 siempre. Medido: peor error 1,3 × 10⁻¹⁵ sobre 400 estados.
(b) La clave no es que el conmutador no sea nulo, sino que sea un múltiplo de la identidad. Si [A, B] = iC con C hermítico y no proporcional a 1̂, entonces Im⟨AB⟩ = ½⟨C⟩ y eso sí depende del estado: con [σx, σy] = 2iσz sale Im⟨σxσy⟩ = ⟨σz⟩, que vale +1 en |0⟩, −1 en |1⟩ y 0 en |+x⟩. La relación canónica es rara justamente en eso, y por eso su agujero tiene tapa universal.
(c) Con π̂ = −i d/dξ: π̂ψb = i(1 − ib)ξψb, luego ⟨ξπ̂⟩ = i(1 − ib)⟨ξ²⟩ = (b + i)⟨ξ²⟩. Con ⟨ξ²⟩ = ½ —el chirp es una fase y no cambia |ψ|²— sale parte real b/2 = 0,35 y parte imaginaria ½. De paso ⟨π²⟩ = (1 + b²)/2 = 0,745: el chirp ensancha en momento sin tocar la posición, y por eso σξσπ = √(1 + b²)/2 = 0,610 se pasa un 22 % de la cota de Kennard. Ése es el estado con el que el artículo 03 separa Robertson de Schrödinger.
(d) De principio: un operador no queda determinado por sus elementos diagonales en una base, y el simetrizado conecta n con n ± 2 —los términos ââ y â†â† del ejemplo resuelto 2—. Empírico: el estado de (c) da 0,35 ħ y las 400 superposiciones al azar dan de −6,93 ħ a +9,14 ħ. Segunda lección: «vale cero en todos los casos que he mirado» y «vale cero» son afirmaciones muy distintas.
(a) Demuestra las dos direcciones de «hermítica ⟺ normal y espectro real» partiendo de A = UΛU†. (b) Clasifica estas cuatro rellenando las tres casillas —normal, espectro real, hermítica—: A₁ = [[1, i], [−i, 2]], A₂ = [[1, 1], [0, 2]], A₃ = [[0, −1], [1, 0]], A₄ = [[0, 1], [1, 0]]. (c) Construye a propósito una matriz normal, no hermítica y con algún autovalor real. (d) Explica por qué la casilla «normal, espectro real y no hermítica» tiene que quedarse vacía siempre.
Solución
(a) ⇐: si A es normal, A = UΛU† y A† = UΛ*U†; con Λ real las dos expresiones coinciden. ⇒: si A = A†, conmuta consigo misma, luego es normal, y sus autovalores son reales por la sección 2. Las dos direcciones son de una línea: el teorema es fácil una vez enunciado bien, y lo difícil era enunciarlo.
(b) A₁: hermítica, luego normal y espectro real (0,382 y 2,618). A₂: espectro real (1, 2) y no normal —[A₂, A₂†] ≠ 0—, luego no hermítica. A₃ es la rotación de 90°: A₃† = −A₃, que conmuta con A₃ porque todo operador conmuta con su opuesto, así que es normal; su espectro es ±i, no real; no hermítica. A₄ = σx: hermítica, espectro ±1. Aparecen tres de las cuatro combinaciones; la cuarta es la de (d).
(c) Basta un espectro mezclado: Λ = diag(1, i) es ya normal —toda diagonal lo es—, tiene un autovalor real y otro no, y no es hermítica. Menos trivial: A = UΛU† con U unitaria sigue siendo normal por construcción; el guion hace eso 200 veces y mide ‖[A, A†]‖ ≤ 4,4 × 10⁻¹⁵.
(d) Porque el teorema de (a) es una equivalencia: normal y espectro real implica hermítica, así que esa casilla es lógicamente imposible. Y previene un error concreto: mirar el espectro, verlo real y concluir que el operador es un observable. A₂ tiene espectro real y no lo es; lo que le falta se comprueba con un conmutador.
(a) Demuestra que si [A, B] = 0 y |a⟩ es autovector no degenerado de A, entonces |a⟩ también lo es de B. (b) Construye un par explícito de hermíticos 3 × 3 con [A, B] = 0 en el que B|a⟩ salga perpendicular a un autovector |a⟩ de A. (c) ¿Contradice eso el apartado (a)? (d) Describe el procedimiento que sí encuentra la base común, y dónde se usa en el curso.
Solución
(a) A(B|a⟩) = B(A|a⟩) = a(B|a⟩), así que B|a⟩ está en el autoespacio de a; si tiene dimensión 1, el único sitio donde puede estar es la recta de |a⟩, luego B|a⟩ = b|a⟩. La no degeneración es toda la hipótesis.
(b) Tómese A = diag(1, 1, 2) —autovalor 1 doble— y B hermítica que actúe sólo dentro del bloque degenerado: B|1⟩ = |2⟩, B|2⟩ = |1⟩, B|3⟩ = β|3⟩. Conmutan, porque A es un múltiplo de la identidad dentro del bloque. Y sin embargo |a⟩ = |1⟩ da B|a⟩ = |2⟩, con ⟨a|B|a⟩ = 0: perpendicular. El guion lo construye y mide el ángulo, 90° exactos, con [A, B] = 0 y A(B|a⟩) = a(B|a⟩) también exactos.
(c) No: (a) exige no degeneración y aquí a = 1 es doble. La conclusión falla en cuanto falla la hipótesis, y no un poco: falla del todo, 90°. La base común existe —(|1⟩ ± |2⟩)/√2 son autovectores de los dos a la vez—; lo que no existe es la garantía de que el autovector que uno tenía en la mano sea uno de ellos.
(d) Diagonalizar A, y dentro de cada autoespacio degenerado diagonalizar la restricción de B; si aún queda degeneración, se añade un tercer observable que conmute con los dos. Eso es un conjunto completo de observables que conmutan: lo que hacen Ĥ, L̂² y L̂z en el hidrógeno del II.5, donde el nivel n está n² veces degenerado y hacen falta tres números cuánticos para nombrar un estado. Segunda lección: cuando aparecen varios números cuánticos no es una convención de notación — es que un solo observable no separaba los estados.