El álgebra de L

Cero exacto. Ésa es la desviación con la que las dos matrices 2 × 2 del peldaño j = ½ cumplen $[\hat J_x,\hat J_y] = i\hbar \hat J_z$ y $\hat J^{2} = \tfrac34\hbar^{2}\hat{\mathbf 1}$: cero, no un 10⁻¹⁶ de redondeo. El álgebra del momento angular no prohíbe el semientero — lo admite con la misma limpieza con la que admite ℓ = 1, ℓ = 2 y ℓ = 7. Quien escriba que L₊|ℓ,ℓ⟩ = 0 obliga a ℓ = 0, 1, 2, … ha metido dentro del conmutador una conclusión que sólo sale de la esfera, y aquí no va a aparecer ninguna esfera. Lo que sí sale de $[\hat L_i,\hat L_j] = i\hbar\,\varepsilon_{ijk}\hat L_k$, y sale entero, es 2ℓ+1: la lista completa es ℓ = 0, ½, 1, 3/2, 2, … El II.5 tiró la mitad de esa lista disparando la ecuación de Legendre, y midió con qué pendiente revienta lo que tira: 0,3183. Este artículo recorre el otro camino. La diferencia entre las dos listas es el módulo entero.

El único ingrediente: tres conmutadores

El momento angular orbital se define copiando la mecánica clásica, $\vec L = \vec r \times \vec p$, y sustituyendo los vectores por operadores:

De ahí en adelante no hace falta ninguna otra información sobre el sistema. Ni el potencial, ni la masa, ni si el problema es de un átomo o de una molécula. Basta la relación de conmutación canónica $[\hat x_i,\hat p_j] = i\hbar\,\delta_{ij}$ y las dos propiedades del conmutador que valen siempre: $[\hat A,\hat B\hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C]$ y su gemela por el otro lado.

Tómese $[\hat L_x,\hat L_y]$ y desarróllese. Salen cuatro términos, y tres de ellos se van: en cada uno aparece o bien un par posición-momento de ejes distintos, que conmuta, o bien dos posiciones o dos momentos, que también. Sobrevive el único cruce en el que la misma coordenada se encuentra con su propio momento, y lo hace dos veces con signos que no se cancelan:

Es un resultado con una propiedad que conviene no dejar pasar de largo: en el resultado no queda ninguna derivada. El conmutador de dos operadores diferenciales de primer orden podría haber sido cualquier cosa, y ha vuelto a ser un operador de la misma familia. Ese cierre es lo que convierte tres objetos en un álgebra, y es lo que permite razonar sobre ellos sin volver a mirar de qué están hechos.

Las otras dos salen igual, con las letras rotadas. Las tres se escriben de un golpe con el símbolo de Levi-Civita $\varepsilon_{ijk}$, que vale +1 si (i,j,k) es una permutación cíclica de (x,y,z), −1 si es anticíclica y 0 si hay un índice repetido:

Comprobado con álgebra simbólica sobre una función f(x,y,z) genérica —no sobre una malla, no sobre una función concreta, sino manteniendo f sin evaluar—: las tres identidades cíclicas dan resto cero, y también lo da la cuarta, $[\hat L_y,\hat L_x] = -i\hbar\hat L_z$, que se comprueba aparte precisamente porque el signo es el error que no chirría. El II.3 ya avisó de esto con sus propias palabras: un signo cruzado deja un texto que se lee perfectamente y es falso. Aquí hay tres oportunidades de cruzarlo.

La consecuencia física de estas tres líneas es inmediata y es dura: las tres componentes del momento angular no se pueden medir a la vez. El II.4 dejó demostrado que dos observables que no conmutan no tienen base común y que su producto de dispersiones está acotado por abajo por |⟨[A,B]⟩|/2. Con L_x y L_y esa cota es ħ|⟨L_z⟩|/2, que no es una constante: es una magnitud del estado. Un vector de momento angular con las tres componentes definidas a la vez no existe, salvo en un caso que la sección de los ejercicios pone sobre la mesa.

L² es el único que sobrevive a las tres

Si no se pueden fijar las tres componentes, la pregunta siguiente es qué sí se puede fijar. La respuesta la da un cálculo de dos líneas con la regla del producto. Sea $\hat L^{2} = \hat L_x^{2}+\hat L_y^{2}+\hat L_z^{2}$. Entonces

y sustituyendo $[\hat L_x,\hat L_z] = -i\hbar\hat L_y$ y $[\hat L_y,\hat L_z] = +i\hbar\hat L_x$ los cuatro sumandos se emparejan y se anulan de dos en dos:

Lo mismo con L_x y con L_y, por simetría de los índices. L² conmuta con las tres componentes a la vez, y es el único polinomio no trivial en ellas que lo hace. Un operador con esa propiedad tiene nombre propio en la teoría de grupos —es el operador de Casimir del álgebra—, y su papel aquí es el de etiqueta: lo que no cambia cuando se sube o se baja por la escalera.

El cálculo simbólico devuelve resto cero también aquí, con las derivadas puestas y sin simplificaciones a mano. Y —esto importa más de lo que parece— el mismo guion comprueba por separado que L² no es el operador nulo: aplicado a la función genérica devuelve algo distinto de cero. Sin esa segunda comprobación, «[L², L_z] = 0» sería una afirmación que se cumpliría igual de bien si L² fuese cero, y estaríamos midiendo que 0 = 0. Una comprobación cuyos dos lados se reducen al mismo símbolo no comprueba nada; es el defecto que el II.4 bautizó al aplicar Cauchy-Schwarz a un vector consigo mismo.

Con L² y L_z conmutando, el teorema del II.4 garantiza una base común. Se la escribe con dos etiquetas, y por ahora sólo son etiquetas — ningún significado, ningún rango, ninguna promesa de que sean enteras:

Los ħ y los ħ² están puestos para que λ y μ sean números puros; el momento angular tiene las dimensiones de una acción, exactamente las de ħ. Se ha elegido L_z por costumbre y no por física: ningún eje es especial mientras no haya un campo o un haz que lo señale. Eso, que suena a trivialidad, es la razón de que todo lo que sigue valga para cualquier dirección.

De un conmutador a una escalera

Aquí empieza el mecanismo, y es el mismo que el II.3 montó para el oscilador. Defínanse las dos combinaciones no hermíticas que forman la escalera de momento angular —no son observables, son herramientas de cálculo, igual que â y ↗:

El conmutador con L_z se calcula en un renglón:

Y ese resultado, por sí solo, ya es toda la escalera. El argumento cabe en tres líneas y conviene aprenderlo como argumento, no como resultado, porque es transferible:

Es decir: si L_±|λ,μ⟩ no es el vector nulo, es autovector de L_z con autovalor ħ(μ±1). L₊ sube un peldaño de exactamente ħ y L₋ baja otro tanto. No se ha resuelto ninguna ecuación: se ha leído un conmutador.

Falta un detalle sin el cual la escalera no serviría de nada: que al subir no se cambie de familia. Como $[\hat L^{2},\hat L_x] = [\hat L^{2},\hat L_y] = 0$, también $[\hat L^{2},\hat L_{\pm}] = 0$, y por tanto L_±|λ,μ⟩ sigue teniendo el mismo λ. La escalera se mueve dentro de un valor de L² y nunca lo abandona. Un conjunto de estados con el mismo λ y todos los μ que la escalera conecta se llama un multiplete, y es la unidad natural de todo este módulo.

Una identidad más, que se usará dos veces:

Las tres identidades se cumplen sobre las quince representaciones que el guion construye —j = 0, ½, 1, 3/2, … hasta 7, ciento veinte estados en total—, con residuos de coma flotante y nada más: las matrices construidas con las reglas de abajo cumplen de verdad el álgebra de arriba, que es lo que hay que comprobar.

Y una comprobación que sí tiene contenido, porque los dos lados salen de sitios distintos: tomando el valor esperado de $[\hat L_{+},\hat L_{-}] = 2\hbar\hat L_z$ en los tres estados de ℓ = 1 tiene que salir 2m. Diagonalizando por un lado y contando peldaños por el otro, sale +2, 0 y −2 para m = +1, 0 y −1. El cero de en medio no es una casualidad: es que en el estado del centro L₊ y L₋ tienen exactamente la misma norma.

La deuda del II.3, cobrada

El II.3 artículo 03 cerró con una promesa escrita con estas palabras: «ℓ(ℓ+1) sale del conmutador igual que n ha salido aquí de la cadena». Vale la pena cobrarla despacio, porque el parecido no es una analogía y la diferencia es el resultado de este artículo.

Allí, con $\hat N = \hat a^{\dagger}\hat a$, el conmutador era $[\hat N,\hat a] = -\hat a$. Aquí, con L_z/ħ en el papel de N y L₋ en el de â, el conmutador es $[\hat L_z/\hbar,\hat L_{-}] = -\hat L_{-}$. No se parecen: son la misma ecuación. El guion las mide una al lado de la otra —la del oscilador en un espacio de Fock truncado, la del momento angular en el multiplete ℓ = 4— y las dos dan residuo del orden de 10⁻¹⁵. El argumento de tres líneas de la sección anterior es, letra por letra, el que el II.3 usó para demostrar que los niveles del oscilador están equiespaciados.

Y aquí está la diferencia, que es donde nace todo lo demás. La torre del oscilador no tiene techo. â†|n⟩ nunca es el vector nulo: su norma es √(n+1), que no se anula para ningún n ≥ 0. Lo único que la para es el suelo, porque N = â†â es semidefinido positivo y no admite autovalores negativos. Una escalera con suelo y sin techo tiene infinitos peldaños, y los enteros salen de contar desde el suelo.

La del momento angular está cerrada por los dos extremos. Medido: la norma de L₊|4,4⟩ es cero —cero, no pequeña—, mientras que â†|n⟩ no se anula para ningún n. Y ese techo es lo que produce la cuantización de L²: en el estado de arriba del multiplete ℓ = 4, el valor esperado de L² vale exactamente 20 ħ², que es 4 · 5 y no 4². Sin techo no habría relación entre λ y el peldaño más alto, y ℓ(ℓ+1) no existiría. La sección siguiente hace esa cuenta.

La cadena tiene que parar, y tiene que parar dos veces

El primer argumento es de positividad y no cuesta nada. Para cualquier operador hermítico  y cualquier estado normalizado, $\langle \hat A^{2}\rangle = \|\hat A|\psi\rangle\|^{2} \geq 0$. Aplicado a la combinación que sobra al restar:

Es decir, μ está acotado: la escalera no puede subir ni bajar indefinidamente. Comprobado diagonalizando L_x²+L_y² en los multipletes ℓ = 1 a 4 y comparando con ħ²(ℓ(ℓ+1) − m²): las discrepancias van de 4,4 × 10⁻¹⁶ a 3,6 × 10⁻¹⁵, y en los cuatro casos el menor autovalor del operador es positivo y vale exactamente ħ²ℓ — 1,00 · 2,00 · 3,00 · 4,00 en unidades de ħ². Volveremos sobre ese mínimo, que dice algo físico y no sólo algebraico.

Acotado y con peldaños de tamaño fijo ħ, sólo hay una salida: la cadena termina. Existe un μ máximo, llamémoslo ℓ, tal que

porque si no fuera cero habría un peldaño por encima y la cota se violaría. Ahora se necesita una identidad que traduzca ese cero en un número. Se obtiene multiplicando L₋ por L₊ y ordenando:

y su gemela, cambiando el orden de los factores, que cambia el signo del conmutador:

Las dos formas están medidas sobre las quince representaciones, con peor desviación 7,1 × 10⁻¹⁵ cada una. Son la misma identidad con el orden cambiado, y llevar las dos no es redundante: cada una sirve para un extremo de la escalera.

Aplíquese la primera al estado de arriba. El término L₋L₊ lo mata, y queda

Ahí está. El ℓ(ℓ+1) no se ha postulado ni se ha leído en una tabla de armónicos esféricos: ha salido de que la escalera tenga techo. El II.5 llegó al mismo sitio exigiendo que la solución de Legendre fuera finita en los dos polos, que es un argumento de análisis. Éste es un argumento de dos renglones que no sabe qué es un polo.

Repítase por abajo. Existe un μ mínimo, llamémoslo μ₀, con L₋|λ,μ₀⟩ = 0. Con la segunda forma de la identidad: λ = μ₀(μ₀ − 1). Igualando las dos expresiones de λ:

La segunda raíz se descarta sola: μ₀ es el mínimo y ℓ+1 es mayor que el máximo. Queda μ₀ = −ℓ, y con ella la simetría de la escalera, que nadie ha impuesto y que sale gratis.

Y ahora el paso que este artículo existe para dar despacio. Del peldaño de abajo al de arriba se sube de uno en uno, así que la distancia entre ellos tiene que ser un número entero de peldaños. Llámese N a ese entero:

Lo que el álgebra cuantiza es 2ℓ+1, no ℓ. El número de peldaños del multiplete es N+1 = 2ℓ+1, y ése es el que está obligado a ser un natural. De ahí ℓ puede ser entero o semientero, y el conmutador no tiene ningún argumento para preferir uno. Cualquier deducción que termine en «luego ℓ = 0, 1, 2, …» ha usado, en algún punto y sin decirlo, una información que no está en $[\hat L_i,\hat L_j] = i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat L_k$.

A partir de aquí se recupera la notación de costumbre: el estado se etiqueta |ℓ,m⟩ en vez de |λ,μ⟩, con $\hat L^{2}|\ell,m\rangle = \hbar^{2}\ell(\ell+1)|\ell,m\rangle$ y $\hat L_z|\ell,m\rangle = \hbar m|\ell,m\rangle$, y con m recorriendo los 2ℓ+1 valores de −ℓ a +ℓ de uno en uno. El ℓ y el m del II.5 son estos mismos, y su rango es el mismo. Lo que ha cambiado es de dónde viene.

El coeficiente de subida, deducido y no citado

El apartado (b) del ejemplo resuelto es en realidad el caso general, y conviene dejarlo escrito porque es la herramienta que se usa a diario. La norma de L_±|ℓ,m⟩ sale de una identidad que ya está deducida, y el estado resultante es proporcional a |ℓ,m±1⟩, que está normalizado. Así que:

Tres observaciones sobre esa raíz, y las tres se usan:

• Se anula exactamente donde debe. Con m = +ℓ el corchete es ℓ(ℓ+1) − ℓ(ℓ+1) = 0 en la rama de subida, y con m = −ℓ lo mismo en la de bajada. Los dos extremos de la escalera están dentro de la fórmula; no hay que añadirlos como caso aparte.
• Es simétrica al recorrer el multiplete al revés. El coeficiente para subir de m a m+1 y el de bajar de m+1 a m son el mismo número, lo que es obligatorio: son los elementos de matriz de dos operadores adjuntos entre los mismos dos estados.
• El signo no lo da el álgebra. De la norma sólo sale el módulo; que la fase se elija real y positiva es el convenio de Condon-Shortley, y es un convenio, no un resultado. El II.5 ya se topó con él al comparar sus armónicos con los de una biblioteca. Cambiar de convenio cambia signos de coeficientes y no cambia ninguna probabilidad.

Que la fórmula deducida por álgebra pura describe lo que hace el operador de verdad está medido, y medido en el terreno del otro camino: el guion aplica L₊ = ħe^iφ(∂_θ + i cot θ ∂_φ) a los armónicos esféricos con álgebra simbólica, y compara con ħ√(ℓ(ℓ+1) − m(m+1)) Y_ℓ,m+1. Doce coeficientes —todos los de ℓ = 1, 2 y 3—, resto cero en los doce, más los tres topes L₊Y_ℓℓ = 0. Es la comprobación cruzada que importa: la fórmula sale de contar peldaños y se verifica derivando funciones de θ y φ, dos cálculos que no comparten ni una línea.

La utilidad práctica es que cualquier elemento de matriz de L_x o L_y se obtiene sin integrar nada, porque L_x = (L₊+L₋)/2 y L_y = (L₊−L₋)/2i. Un elemento de matriz ⟨ℓ,m′|L_x|ℓ,m⟩ es distinto de cero sólo si m′ = m ± 1, y entonces vale la mitad del coeficiente correspondiente. Eso es ya una regla de selección —Δm = ±1— obtenida sin mirar un solo fotón: no es una propiedad de la luz, es una propiedad de la escalera. El II.3 obtuvo la suya, Δn = ±1, por el mismo procedimiento y con la misma clase de argumento.

Qué añade exactamente el paso al entero

Hay dos cotas sobre m en circulación y se confunden con facilidad, porque las dos se escriben con las mismas letras y una es mucho más floja que la otra. Conviene separarlas con números delante.

La primera es la de positividad, y es la que salió sola en la sección anterior: μ² ≤ λ, es decir |m| ≤ √(ℓ(ℓ+1)). Para ℓ = 1 eso da 1,4142. Para ℓ = 2, 2,4495; para ℓ = 3, 3,4641; para ℓ = 4, 4,4721. En los cuatro casos la cota es mayor que ℓ, y no un poco: para ℓ = 1 sobra un 41,4 % de margen. La positividad, ella sola, no dice |m| ≤ ℓ. Lo único que dice es que m vive en un intervalo, y ese intervalo es más ancho que el conjunto de valores que m acaba tomando.

La segunda es la del cierre de la escalera, y es la que sí da |m| ≤ ℓ. No sale de una desigualdad sino de dos igualdades: el peldaño de arriba está en m = +ℓ porque ahí se anula L₊, el de abajo en m = −ℓ porque ahí se anula L₋, y entre ellos se avanza de uno en uno. Dicho en corto: la positividad prueba que la escalera acaba; el cierre dice dónde. Sustituir la segunda por la primera es el error de extrapolar una cota fuera del sitio donde se dedujo, y produce afirmaciones perfectamente creíbles y falsas — por ejemplo, que un multiplete de ℓ = 1 podría alojar un estado con m = 1,4.

La diferencia entre las dos cotas no es un tecnicismo: es la misma cantidad que el II.5 publicó como el 41,4 % de exceso del módulo |L| = ħ√2 sobre el ħ que Bohr le asignaba a la primera órbita. Con ℓ mayor el exceso baja —22,5 % para ℓ = 2, 15,5 % para ℓ = 3, 11,8 % para ℓ = 4— y en el límite clásico desaparece, que es el principio de correspondencia haciendo su trabajo. Pero para los ℓ pequeños, que son los que gobiernan la química, la diferencia entre √(ℓ(ℓ+1)) y ℓ es lo primero que hay que tener claro.

La última columna es la lectura física de la penúltima. El mínimo de L_x²+L_y² dentro de un multiplete vale ħ²ℓ, y es estrictamente positivo siempre que ℓ > 0: es la porción de |L|² que no cabe en el eje z ni en el mejor de los casos. Es, exactamente, la diferencia de los cuadrados de las dos columnas anteriores —ℓ(ℓ+1) − ℓ² = ℓ—, escrita como una magnitud con unidades en vez de como un porcentaje.

El semientero: lo que el álgebra admite y la esfera rechaza

Volvamos al resultado central. El álgebra deja ℓ = 0, ½, 1, 3/2, 2, … y no tiene con qué eliminar los semienteros. La pregunta obvia es si los semienteros son un artefacto del razonamiento —un caso que se cuela porque el argumento es descuidado— o si realmente existen objetos matemáticos con esas reglas. La respuesta se puede construir a mano, y es que sí.

Dese ℓ = ½. El multiplete tiene 2ℓ+1 = 2 estados, con m = +½ y m = −½. El coeficiente de escalera dice que L₊|½,−½⟩ = ħ√(¾ − (−½)(+½))|½,+½⟩ = ħ|½,+½⟩, y que L₊|½,+½⟩ = 0. Con eso ya están escritas las matrices 2 × 2 de L₊, L₋ y L_z, y de ellas las de L_x y L_y. Nada más hace falta.

Y ahora la comprobación, que es el número del titular. Esas matrices cumplen [J_x, J_y] = iħJ_z y J² = ħ²·¾·1̂ con desviación cero exacto, que es una cosa distinta y más fuerte que «cero hasta el último bit». La razón del cero perfecto es prosaica y vale la pena decirla para que nadie la confunda con un milagro: los elementos de esas matrices son ±½ y ±i/2, que se representan sin error en coma flotante, así que la aritmética no tiene dónde redondear. Los semienteros mayores ya no salen exactos, pero lo que sale es ruido de la última cifra de un double, no desacuerdo.

De modo que el semientero no es un descuido: es una representación legítima del álgebra, tan buena como la de ℓ = 1. El guion construye quince —j = 0, ½, 1, 3/2, … hasta 7— y las quince cumplen el álgebra, la hermiticidad de las tres componentes (esta última con desviación cero exacto) y $\hat J^{2} = j(j+1)\hbar^{2}\hat{\mathbf 1}$. Suman ciento veinte estados, y siete de las quince —j = ½, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2 y 13/2— son semienteras.

Entonces, ¿por qué el hidrógeno no tiene ℓ = ½?

Porque el momento angular orbital no es sólo un juego de tres operadores que cierran un álgebra: es $\vec r\times\vec p$ actuando sobre funciones de la posición, y esas funciones viven sobre una esfera. Ahí entra una condición que el conmutador no conoce.

El II.5 la escribió en una línea: en esféricas L_z = −iħ ∂/∂φ, sus autofunciones son e^imφ, y como φ y φ + 2π son el mismo punto del espacio, la univaluación obliga a e^i2πm = 1. Con m = ½ eso vale −1: medido, |e^iπ + 1| sale 1,2 × 10⁻¹⁶, que es cero en coma flotante. La función cambia de signo al dar una vuelta, y una función que no vale lo mismo en el mismo punto no es una función.

El otro filtro del II.5 es la ecuación de θ, y ése deja una medida en vez de una imposibilidad. Disparando la ecuación asociada de Legendre desde un polo hacia el otro con ℓ continuo y cerrando el corte a una distancia ε del segundo polo, la solución con ℓ entero llega valiendo 1 pase lo que pase con ε, y la de ℓ semientero crece sin parar, con una pendiente frente a ln(1/ε) que el II.5 midió y que vale |sen ℓπ|/π:

Los tres semienteros comparten pendiente porque |sen ℓπ| vale 1 en todos ellos, y 0,3183 es 1/π. Ése es el número que separa los dos caminos de este módulo: el álgebra le da a ℓ = ½ una representación de dimensión 2 con residuo cero, y la esfera le da una divergencia logarítmica con pendiente 1/π. No es que un camino se equivoque. Cada uno responde a su pregunta: el álgebra responde «qué valores son coherentes con el conmutador», y la esfera responde «cuáles de ésos se pueden escribir como una función de θ y φ». Las respuestas son distintas porque las preguntas lo son.

Y de ahí sale el enunciado que hay que llevarse, que es la tercera de las herramientas de este artículo: ℓ semientero está prohibido para el momento angular orbital, y no está prohibido para el momento angular. Un sistema cuyo momento angular no sea r × p de nada —que no tenga una función de onda sobre una esfera de la que dar la vuelta— no está sujeto a la univaluación y puede perfectamente tener ℓ = ½. Se llama espín, y el artículo 02 lo pone sobre la mesa.

Que eso no es una escapatoria retórica lo dice un recuento que se hace sin física ninguna: 2ℓ+1 con ℓ entero es siempre impar —comprobado para ℓ de 0 a 11—, mientras que con ℓ semientero es siempre par. Un experimento de Stern-Gerlach que separe un haz en dos no puede estar midiendo ningún momento angular orbital, por grande o pequeño que sea, porque ningún multiplete orbital tiene un número par de estados. La cuenta es de una línea y no admite discusión; lo que sigue es el artículo 02.

Qué no se ha usado

Merece la pena hacer el inventario al revés, porque es lo que hace que este argumento se pueda mudar a otros sitios. No se ha usado: ningún potencial, ningún hamiltoniano, ninguna masa, ninguna derivada en el argumento central, ninguna integral, ninguna condición de contorno, ninguna función de onda. Lo único que se ha usado es que tres operadores hermíticos cumplan $[\hat J_i,\hat J_j] = i\hbar\varepsilon_{ijk}\hat J_k$ y que el espacio donde actúan tenga producto escalar definido positivo.

Por eso todo lo anterior se aplica sin cambiar una letra a cualquier terna de operadores con esa estructura, se llamen como se llamen: al momento angular orbital de una partícula, al de muchas sumadas, al espín, y a la suma de un espín con un momento orbital. Las tres cosas están en los tres artículos que siguen. Cuando en el artículo 02 aparezcan las matrices de Pauli —que el II.4 ya usó como observables de un qubit— no serán una novedad como matrices: la novedad será que son, exactamente, la representación j = ½ de este álgebra, la de dos estados que el conmutador admitía y la esfera no.

Y queda una cuenta pendiente que este artículo deja preparada y no cierra. El I.4 publica que las capas del átomo alojan 2, 8, 18 y 32 electrones, es decir 2n². El II.5 llega al n² contando los ℓ < n con sus 2ℓ+1 valores de m cada uno, y ahí se queda: el 2 no está en ninguna parte del momento angular orbital, porque todos sus multipletes tienen un número impar de estados. Ese 2 es la dimensión de la representación j = ½ y no es la dimensión de ninguna otra cosa. La lista que el álgebra ha producido en este artículo es el sitio de donde sale.

Ejercicios