La corriente que atraviesa la punta de un microscopio de efecto túnel se multiplica por diez cada ångström que la punta se acerca a la superficie. Ese número no es una casualidad experimental: sale de con , y corresponde exactamente a una barrera efectiva de 5,05 eV, que es la función de trabajo de un metal noble. La consecuencia práctica es la que hizo famoso al aparato: si la electrónica mantiene la corriente estable en un 1 %, la punta está siguiendo el relieve con una precisión de 0,43 picómetros, cuatro milésimas de ångström. Todo eso sale de resolver una ecuación diferencial en tres trozos.
La escala vertical es logarítmica y va marcando décadas. Mientras la energía esté por debajo de la cima, la curva es una recta: eso es lo que significa «exponencial», y la recta sigue siéndolo treinta órdenes de magnitud más abajo, donde ya ningún experimento llega y donde la fórmula escrita de la manera obvia devolvería cero. Sube la energía por encima de V₀ y la recta desaparece de golpe: queda una oscilación que toca el 1 exacto en unas anchuras concretas.
Estás en el punto que describe un microscopio de efecto túnel real. Lo que fija κ no es V₀ sino la barrera efectiva V₀ − E = 5.05 eV, que es prácticamente los 5.05 eV que producen el célebre factor 10 por ångström — aquí sale 10,00. Y la consecuencia está en el tercer recuadro: con una electrónica que mantenga la corriente estable en un 1 %, la punta sigue el relieve con 0.43 picómetros de precisión. Cuatro milésimas de ångström, con una aguja que en el mejor de los casos termina en un átomo.
La barrera, casada en dos puntos
Una barrera de potencial rectangular de altura y anchura L, con una partícula que llega desde la izquierda con :
con y . Fíjate en la diferencia con el artículo 02: dentro de la barrera hay los dos exponenciales, el creciente y el decreciente, y no se puede tirar ninguno. Allí se tiraba el creciente porque la región era infinita; aquí la región es finita y el exponencial creciente no explota. Esa es toda la diferencia entre un pozo y una barrera, y de ella sale el efecto túnel.
A la derecha sólo hay onda saliente: la partícula que ha atravesado no vuelve. Imponiendo continuidad de ψ y de ψ′ en x = 0 y en x = L salen cuatro ecuaciones con cinco incógnitas; como sólo interesan los cocientes, basta. El álgebra es tediosa y el resultado, limpio:
y , que el guion comprueba de forma independiente calculando las dos por separado a partir de las amplitudes: coinciden en doce cifras en cuatro barreras distintas. Tres lecturas inmediatas:
- T > 0 siempre. El seno hiperbólico es finito para cualquier argumento finito, así que T nunca es cero: toda barrera de altura y anchura finitas se atraviesa. Eso es el efecto túnel, y es una consecuencia aritmética de que la solución dentro sea una exponencial y no un cero.
- T < 1 siempre para , porque el corchete es mayor que 1.
- El resultado es simétrico en E y en el sentido de marcha. Sustituyendo por E no cambia nada en el prefactor, y —cosa menos evidente— T es el mismo si la partícula llega por la derecha. Una barrera transmite igual en los dos sentidos aunque sea asimétrica: no hay diodos hechos sólo de potencial. Eso no es una casualidad del rectángulo y se demuestra en una línea con la matriz de transferencia que introduce el problema 5 de la hoja. Cada interfaz aporta un determinante y cada tramo libre, 1, de modo que el producto telescopa y siempre que el número de onda sea el mismo a los dos lados. Para la partícula que llega por la derecha la matriz es , y con determinante 1 eso significa : el elemento que fija es el mismo, y T también.
Un número para no leer todo esto en abstracto. Con eV, E = 1 eV y L = 5 Å —una barrera de dos capas atómicas— la fórmula de arriba da T = 2,355 × 10⁻²: un electrón de cada cuarenta y dos pasa por donde clásicamente no cabe. Ése es el orden de magnitud del que vive todo el artículo, y conviene notar que no es minúsculo: es corriente.
La exponencial, y hasta dónde vale
Para una barrera opaca, , se puede aproximar y queda la fórmula que se usa en la práctica:
Todo el contenido físico está en la exponencial; el prefactor vale entre 0 y 4 y cambia poco. Y ahí está la característica que hace del túnel lo que es: T depende exponencialmente de la anchura y de la raíz de la altura. Duplicar el grosor no divide T por dos: lo eleva al cuadrado.
¿Desde cuándo vale la aproximación? Con eV y E = 1 eV para un electrón ( Å⁻¹):
| L | κL | T exacta | aproximada / exacta |
|---|---|---|---|
| 1 Å | 0,512 | 0,7775 | 1,847 |
| 2 Å | 1,025 | 0,4044 | 1,274 |
| 3 Å | 1,537 | 0,1690 | 1,095 |
| 5 Å | 2,562 | 2,355 × 10⁻² | 1,012 |
| 10 Å | 5,123 | 1,419 × 10⁻⁴ | 1,00007 |
El criterio, en un número: la aproximación yerra menos de un 1 % en cuanto , y menos de un 10 % desde κL = 1,51. Por debajo de κL ≈ 1 es directamente mala —sobreestima un 87 % en κL = 0,5— y hay que usar la fórmula exacta. Conviene saberlo porque la aproximación es la que aparece en todas partes y casi nunca con su condición de validez al lado.
Y hay una letra pequeña que casi nunca se dice, porque la tabla de arriba está hecha con E = y ahí no se ve. El cociente exacto es
de modo que la aproximación sobreestima siempre mientras , o sea con E entre y — la ventana en la que caen todos los ejemplos de este módulo. Fuera de ella el paréntesis se hace negativo, el «+1» del denominador exacto empieza a mandar y la aproximación subestima en cuanto la barrera se hace opaca. Un caso concreto: un electrón de 0,05 eV bajo una barrera de 1 eV y 1 Å tiene P = 5,26 y la aproximación se queda un 32 % por debajo de la exacta. «Sobreestima siempre» es verdad dentro de la ventana y falso fuera, y el panel de arriba lo dice al moverse por ella.
Calcular T sin que el ordenador diga cero
Esta sección existe porque el efecto túnel tiene un problema numérico propio y no es evidente. La fórmula exacta lleva , y en doble precisión el seno hiperbólico se desborda a infinito en un argumento de 710; su cuadrado, en 355,6. A partir de ahí, , y no un cero aproximado: cero exacto, sin ningún aviso. Un panel que dibuje log T se queda sin gráfica y un guion que compare vidas medias devuelve infinito.
Con la barrera de arriba, κL = 355,6 significa L = 694 Å. No es un caso académico: una barrera de sesenta y nueve nanómetros es una estructura de laboratorio perfectamente corriente —una capa de óxido gruesa, o el espaciador de una superred—, y su T de verdad vale 10⁻³⁰⁹, un número pequeñísimo pero no nulo — y su logaritmo, que es lo que se compara con un experimento, es un número de tamaño normal.
La cura no es más precisión: es no calcular T y luego su logaritmo, sino calcular directamente ln T, con la identidad
que para x grande es simplemente y para x pequeño se evalúa tal cual. Con ella, se calcula sin que nada crezca. El guion de verificación cruza esa aritmética contra mpmath a 120 cifras hasta 2κL ≈ 2000 —donde el camino ingenuo lleva mil unidades devolviendo cero— y coinciden en las doce cifras que un double tiene. El interactivo de arriba usa exactamente esa receta, y por eso su gráfica sigue siendo una recta treinta órdenes de magnitud más abajo.
Problema. En un microscopio de efecto túnel, una punta metálica se acerca a una superficie hasta que empieza a pasar corriente por túnel a través del vacío. La barrera es aproximadamente la función de trabajo del metal. (a) ¿Qué barrera efectiva produce el célebre «factor 10 por ångström»? (b) ¿Cuánto cambia la corriente si la punta se acerca 0,01 Å? (c) Si la electrónica mantiene la corriente constante dentro de un 1 %, ¿con qué precisión vertical sigue la punta el relieve? (d) ¿Cuánto cambia la corriente al pasar sobre un escalón monoatómico de oro, de 2,36 Å?
Solución. La corriente es proporcional a T y, para una barrera opaca, , de modo que acercarse dz multiplica la corriente por . (a) Para que ese factor valga 10 con dz = 1 Å hace falta Å⁻¹, o sea κ = 1,1513 Å⁻¹ y
Esa función de trabajo efectiva de 5,05 eV es muy razonable: la función de trabajo del oro son 5,3 eV, y la del wolframio policristalino —que es de lo que se hace una punta— 4,5 eV, aunque su cara (110) llegue a 5,25. Con 4,0 eV el factor sería 7,76 y con 5,5 eV, 11,06 — de ahí que «un orden de magnitud por ångström» sea una regla robusta y no un ajuste fino: la horquilla entera de funciones de trabajo de los metales usables cabe entre un factor 8 y un factor 11 por ångström. (b) : un 2,33 %. (c) Invirtiendo, 0,432 pm. (d) 229.
Resultado. El apartado (c) es el que explica el aparato entero, y conviene decirlo con precisión porque se cuenta mal a menudo. Un STM no resuelve picómetros porque tenga una punta de picómetros: la punta es una aguja tosca terminada, con suerte, en un solo átomo. Lo que resuelve picómetros es la exponencial, que convierte una medida de corriente ordinaria —un 1 % de estabilidad no es nada del otro mundo— en una medida de distancia extraordinaria. Y la misma exponencial explica la resolución lateral: como la corriente cae un factor 229 en 2,36 Å, el átomo de la punta que esté un ångström más cerca que sus vecinos se lleva prácticamente toda la corriente, y el microscopio acaba mirando por un solo átomo aunque nadie lo haya fabricado así. El instrumento que en 1986 dio el Nobel a Binnig y Rohrer es, en lo esencial, esta exponencial y un piezoeléctrico.
Por encima de la barrera: la transparencia perfecta
Con la partícula pasa por encima, y clásicamente no ocurre nada: pasa entera, siempre. Cuánticamente no. Sustituyendo con , el seno hiperbólico se convierte en seno y
Ahora T oscila. En general es menor que 1 —hay reflexión donde la física clásica no la permite, igual que en el escalón— pero vale exactamente 1 cuando el seno se anula:
Y eso es reconocible: la barrera es perfectamente transparente cuando cabe un número entero de semilongitudes de onda dentro de ella, igual que una lámina antirreflejante en óptica. Las dos reflexiones, la de entrada y la de salida, interfieren destructivamente. Son las resonancias de transmisión, y funcionan igual sobre un pozo: una partícula que pasa por encima de un pozo de anchura L se transmite entera cuando con q el número de onda dentro del pozo.
Ese caso tiene nombre experimental. En 1921 Ramsauer y, por separado, Townsend midieron la sección eficaz de choque de electrones lentos contra átomos de gases nobles y encontraron un mínimo profundo hacia 0,35 eV en el argón: a esa energía el gas es casi transparente para los electrones. Es el efecto Ramsauer-Townsend, y es una resonancia de este tipo. Con un modelo unidimensional crudo —un pozo de 3,0 Å, la escala de un átomo de argón— la primera resonancia cae en 0,35 eV si la profundidad es 3,83 eV, un valor perfectamente razonable para el potencial medio que ve un electrón dentro del átomo. Y aquí va el aviso, porque es donde este cálculo se hace mal: la resonancia n = 1 exige , y ese número puede salir negativo. Con un pozo de 10 eV y 3 Å sale −5,82 eV: la primera resonancia de dispersión de ese pozo no existe, y la más baja que existe es la n = 2, a 6,71 eV. Para poner el mínimo del argón en su sitio hay que elegir la profundidad, no la anchura. Y hay que decir además que el efecto de verdad es tridimensional: lo que se anula es el desfase de la onda s, no un seno de una dimensión. El modelo de aquí da la idea y el orden; no da la sección eficaz.
Barreras que no son rectángulos
Nada en la naturaleza es un rectángulo. La barrera que retiene a una partícula alfa dentro de un núcleo es una repulsión de Coulomb, que cae como 1/r; la barrera que un electrón atraviesa al salir de una punta metálica sometida a un campo intenso es un triángulo. Hace falta una manera de tratarlas, y hay una que se puede motivar en dos líneas.
Corta la barrera en rodajas finas, cada una prácticamente rectangular de anchura dx y altura V(x). Si cada rodaja aporta un factor y los factores se multiplican,
con la integral extendida a toda la región donde V > E. Esto no es una demostración y hay que decirlo con todas las letras: multiplicar las transmisiones de rodajas sucesivas ignora las reflexiones múltiples entre ellas, que es justo lo que produce las resonancias de la sección anterior. El resultado es correcto —es la aproximación WKB— pero su justificación necesita un desarrollo asintótico en ħ que corresponde al módulo II.8, y su condición de validez es que V varíe poco en una longitud de onda local. Se usa aquí porque sin ella no hay manera de escribir las dos anclas que siguen, y se usa declarando la deuda.
Para hacerse una idea de lo que esa integral va a producir, adelanto el número más extremo del artículo: la barrera de Coulomb que retiene a la alfa dentro de un núcleo de uranio-238 da 88,7, es decir . Compáralo con el de la barrera de 1 Å del principio del artículo: la misma fórmula, ochenta y siete unidades de diferencia en el exponente, y en medio están los casi cuarenta órdenes de magnitud que separan un contacto de túnel de la edad del universo.
Problema. En la desintegración alfa, una partícula alfa dentro de un núcleo está retenida por la barrera de Coulomb que ella misma ve al salir, con Z la carga del núcleo hijo. Estima la vida media de seis emisores alfa cuyas energías de desintegración van de 4,08 a 8,95 MeV, y compara con lo medido.
Solución. El modelo, que es el de Gamow de 1928, tiene tres piezas y ninguna más —el exponente que sale de ellas se llama factor de Gamow—. Una: la alfa sale del radio de contacto fm y tiene que llegar hasta , donde la barrera cae por debajo de su energía. Dos: el exponente vale
que es la integral de arriba hecha en forma cerrada (el guion la cruza contra cuadratura numérica y coinciden en dieciséis cifras). Tres: la alfa golpea la barrera con frecuencia , del orden de veces por segundo, y cada golpe tiene probabilidad de salir, así que .
| Nucleido | E | 2γ | T | t½ predicha | t½ medida | razón |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Po-212 | 8,954 MeV | 32,6 | 6,9 × 10⁻¹⁵ | 87 ns | 299 ns | 0,29 |
| Po-214 | 7,833 MeV | 39,4 | 7,9 × 10⁻¹⁸ | 81 µs | 164 µs | 0,49 |
| Rn-222 | 5,590 MeV | 61,4 | 2,2 × 10⁻²⁷ | 4,1 días | 3,8 días | 1,08 |
| Ra-226 | 4,871 MeV | 73,4 | 1,3 × 10⁻³² | 2033 años | 1600 años | 1,27 |
| U-238 | 4,270 MeV | 88,7 | 2,9 × 10⁻³⁹ | 9,9 × 10⁹ años | 4,5 × 10⁹ años | 2,21 |
| Th-232 | 4,081 MeV | 89,9 | 8,9 × 10⁻⁴⁰ | 3,3 × 10¹⁰ años | 1,4 × 10¹⁰ años | 2,32 |
Resultado. Mira las dos columnas de los extremos antes que nada. Las vidas medias abarcan 24,2 órdenes de magnitud —de 299 nanosegundos a catorce mil millones de años— y las energías, un mísero factor 2,2. Ésa es la firma de una exponencial, y no hay ningún otro mecanismo que la produzca: la relación empírica entre log t½ y que Geiger y Nuttall habían encontrado en 1911 se quedó sin explicación durante diecisiete años, hasta que Gamow la sacó de este exponente. Y el error del modelo es de un factor entre 0,29 y 2,3 sobre 24 órdenes de magnitud, es decir, medio orden de magnitud sobre veinticuatro: en la escala del logaritmo, un acierto del 98 %. Con un núcleo modelado como una esfera dura, una alfa preformada que nadie ha justificado, y ninguna estructura nuclear en absoluto. Lo que el modelo no da es el factor de preformación —la probabilidad de que dos protones y dos neutrones estén agrupados como una alfa antes de salir— y ahí es donde vive el factor 2 que sobra; se nota que el error crece sistemáticamente con la vida media, que es exactamente lo que cabe esperar cuando falta un factor constante en el prefactor.
La inversión del amoníaco, y por qué aquí se calcula una razón y no un número. El módulo I.5 contó que el nitrógeno de una molécula de NH₃ atraviesa por túnel el plano de los tres hidrógenos, que los dos estados propios están separados por ΔE = 98,4 µeV —23,786 GHz— y que de ahí sale un reloj de 42 ps y el primer máser. Lo que aquel módulo no podía hacer es deducir el desdoblamiento, porque para eso hace falta esta exponencial. Y ahora que se tiene, conviene ser honesto con lo que da y lo que no.
Lo que no da: el valor absoluto. Con la barrera de inversión medida por espectroscopía (2020 cm⁻¹ = 0,250 eV), la masa reducida del movimiento (2,487 u) y la geometría real, el exponente sale y el desdoblamiento predicho es un millón de veces menor que el medido. No es un error de cuenta: es que la barrera del amoníaco sólo tiene cuantos por debajo de la cima, y la aproximación exponencial pide muchos. El amoníaco está justo fuera de su rango de validez, y eso hay que decirlo en vez de tapar el desacuerdo con un factor de ajuste.
Lo que sí da: la dependencia con la masa del desdoblamiento por túnel, que es la que prueba el mecanismo. En el exponente, , así que sustituir los tres hidrógenos por deuterios —masa reducida de 2,487 a 4,221 u, — tiene que dividir el desdoblamiento por un factor grande. Tomando el exponente que el propio NH₃ medido implica (2γ = 5,94) y escalándolo con la masa y con la energía de punto cero corregida, sale un desdoblamiento de 9,5 µeV para el ND₃, o sea una razón NH₃/ND₃ de 10,3. Lo medido son 6,57 µeV y una razón de 15,0.
Un factor 1,45 de discrepancia parece poco impresionante hasta que se compara con la alternativa. Si la inversión fuera un proceso clásico por encima de la barrera, lo único que cambiaría al deuterar sería la frecuencia de asalto, que va como : la razón predicha sería 1,30. Es decir, la predicción del túnel se equivoca en un factor 1,45 y la clásica, en un factor 11,5. Ése es el argumento, y es el que hay que saber montar: un efecto isotópico exponencial en no lo produce ningún mecanismo que pase por encima. El mismo razonamiento identifica el túnel en las reacciones químicas con transferencia de protón, donde los efectos isotópicos H/D medidos superan con mucho el que permite la teoría clásica de velocidades de reacción.
Ejercicios
Un electrón de 1 eV frente a una barrera de 4 eV.
Los apartados (a) y (f) los sabe hacer el panel del principio de este artículo: hazlos a mano y úsalo sólo para contrastar. El trabajo del ejercicio está en (d) y (e), que el panel no alcanza — es de electrones y no demuestra nada.
(a) Calcula κ y evalúa T exacta para L = 1, 2, 3 y 5 Å. (b) Calcula la aproximación exponencial en los mismos puntos y da el cociente. (c) ¿A partir de qué L el error baja del 1 %? Exprésalo también como κL. (d) Demuestra, a partir de la identidad , que el cociente aproximada/exacta vale exactamente con , y deduce en qué condiciones la aproximación sobreestima. Compara denominadores completos, no contra : ahí está la trampa. ¿Se cumple esa condición en esta barrera de 4 eV? ¿Y con E = 0,05 eV bajo 1 eV? (e) Repite el apartado (a) con un protón de 1 eV y la misma barrera. ¿Qué le pasa a T con L = 1 Å? (f) Vuelve al electrón y calcula, para esta barrera de 4 eV, el factor por el que se multiplica T al estrechar la barrera un ångström, y el ΔL que la cambiaría un 1 %. Compara los dos números con los del microscopio de efecto túnel del ejemplo resuelto 1 y di, en una frase, qué barrera daría mejor resolución vertical y por qué.
Solución
(a) Å⁻¹, y con : T = 0,4244 · 8,375 × 10⁻² · 1,4546 × 10⁻² · 4,2006 × 10⁻⁴. (b) La aproximación es : 0,5086 · 8,622 × 10⁻² · 1,4617 × 10⁻² · 4,2012 × 10⁻⁴, con cocientes 1,198 · 1,030 · 1,005 · 1,0001.
(c) El error baja del 1 % en L = 2,60 Å, o sea , y del 10 % en L = 1,35 Å (κL = 1,20). Un poco antes que en el caso del texto —allí κL = 2,65— y la diferencia está en el prefactor: el término que se desprecia es −2 frente a , y pesa relativamente menos cuanto mayor sea , que aquí vale 4/3 y en el texto valía 1. (d) Aquí está el ejercicio de verdad, y la trampa es comparar con y olvidar el +1 del denominador exacto. Hay que comparar los denominadores enteros: frente a . Sustituyendo la identidad, , de donde
Es mayor que 1 —sobreestima— exactamente cuando , cosa que se cumple siempre si . En esta barrera P = 4/3 < 2, así que aquí sí sobreestima en todo el rango, y los cuatro cocientes de (b) son mayores que uno. Con E = 0,05 eV bajo 1 eV la cosa cambia: P = 5,26, y con L = 1 Å (κL = 0,499) el cociente vale 0,679 — la aproximación se queda un 32 % por debajo. La frase «la aproximación sobreestima siempre» sólo vale dentro de la ventana . (e) Con eV·Å², κ = √(3/2,075 × 10⁻³) = 38,02 Å⁻¹, 42,9 veces mayor. Con L = 1 Å, 2κL = 76,05 y T = 2,82 × 10⁻³³.
(f) Con κ = 0,8874 Å⁻¹, el factor por ångström es 5,90, y el cambio del 1 % pide ΔL = ln(1,01)/2κ = 0,561 pm — los dos números que el panel del principio imprime si le pones eV y E = 1,00 eV, que es exactamente para lo que sirve: para contrastar, después de haberlo hecho. En el microscopio del ejemplo resuelto, con una barrera efectiva de 5,05 eV, salían 10 y 0,432 pm. La barrera más alta da mejor resolución, porque κ va como √φ y la resolución como 1/κ: un microscopio con una punta de una función de trabajo baja —cesio, 2,14 eV— tendría κ = 0,749 Å⁻¹, un factor 4,48 por ångström y una resolución de 0,664 pm, un 54 % peor que con oro.
La segunda lección es el apartado (e), y es la razón de que el efecto túnel sea un fenómeno de electrones en la práctica de laboratorio. El mismo obstáculo que un electrón atraviesa el 42 % de las veces es impenetrable para un protón, con treinta y dos órdenes de magnitud de diferencia, y para un átomo entero ni se plantea. La masa entra en el exponente por la raíz, y una raíz dentro de una exponencial sigue siendo demoledora: el factor 42,9 en κ se convierte en un factor en T. Todo el efecto isotópico del amoníaco —y de la química del protón— vive en ese mismo .
Barrera de eV y L = 5 Å, con un electrón de energía E > 2 eV.
(a) Deduce la condición de transparencia perfecta y da las tres primeras energías de resonancia. (b) ¿Cuál es el valor de T justo por encima de la cima, en E = 2,001 eV, y cómo se compara con T en la primera resonancia? (c) Demuestra que la separación entre resonancias consecutivas crece con n, y di a qué se parece esa escalera. (d) Repite (a) para un pozo de 3,0 Å —la escala de un átomo de argón, y no los 5 Å de la barrera de arriba— y profundidad 3,83 eV, y comprueba que la primera resonancia cae en 0,35 eV — el mínimo de Ramsauer del argón. (e) Con ese mismo pozo, ¿qué pasa si se intenta poner la resonancia n = 1 en 0,35 eV manteniendo eV y cambiando L?
Solución
(a) T = 1 cuando , o sea y : con L = 5 Å, 3,504 · 8,016 · 15,54 eV. (b) En E = 2,001 eV el prefactor es enorme —el denominador tiende a cero— pero también, y el límite es finito: . O sea que justo por encima de la cima se refleja el 77 %, y a 3,50 eV no se refleja nada: la transmisión no es monótona en E. (c) , que crece: es la escalera de un pozo infinito de anchura L, montada encima de . No es casualidad — son los mismos modos, los que caben un número entero de veces.
(d) Con V = −3,83 eV en la región, , y con L = 3 Å exige E + 3,83 = 3,810(π/3)² = 4,178, o sea E = 0,348 eV. Y conviene notar por qué el enunciado cambia la anchura: con los 5 Å de la barrera de los apartados anteriores saldría E = 3,810(π/5)² − 3,83 = −2,33 eV, o sea un estado ligado y no una resonancia — el error que el apartado (e) existe para denunciar, cometido aquí mismo. (e) No se puede con esa anchura: con eV la condición n = 1 da , y para que valga 0,35 hace falta L = 1,91 Å, que no es el tamaño de un átomo de argón. Con L = 3 Å fijo, la n = 1 caería en −5,82 eV: una energía negativa, es decir, un estado ligado y no una resonancia. La primera resonancia real de ese pozo es la n = 2, en 6,71 eV.
La segunda lección está en (e) y es un aviso que vale para cualquier ajuste de un modelo a un dato: al despejar un parámetro hay que comprobar que la solución esté en el rango donde la fórmula significa lo que crees. La condición es una identidad algebraica y no sabe que E tiene que ser positiva; escribir «con un pozo de 10 eV y 3 Å la primera resonancia cae en 0,35 eV» es una frase que suena bien y describe un estado ligado. Es exactamente el tipo de error que sólo se caza calculando, y este módulo lo cazó así.
En la emisión de campo, un campo eléctrico intenso F aplicado a una superficie metálica hace que la barrera que retiene a un electrón deje de ser un escalón y se convierta en un triángulo: , medida desde el nivel del electrón.
(a) Halla dónde acaba la región prohibida. (b) Calcula y demuestra que vale . (c) Con φ = 4,5 eV, evalúa T para F = 1, 3 y 5 GV/m. (d) ¿Qué campo hace falta para que , que es el orden en que una punta empieza a emitir corriente medible? (e) Un campo de esa magnitud aplicado a una superficie plana la destruiría. ¿Cómo se consigue en la práctica, y qué le ocurre al exponente si el radio de la punta es de 50 nm y la tensión aplicada, de 100 V?
Solución
(a) Donde : , que con φ = 4,5 eV y F = 3 GV/m son 1,5 nm. (b)
(c) 2γ = 65,21 · 21,74 · 13,04, o sea T = 4,80 × 10⁻²⁹ · 3,63 × 10⁻¹⁰ · 2,17 × 10⁻⁶. (d) Despejando, F = 1,45 GV/m. (e) Con una punta afilada: el campo en el vértice de un radio r sometido a una tensión V es del orden de V/kr con k ≈ 5, así que 100 V sobre 50 nm dan F ≈ 100/(5 × 5 × 10⁻⁸) = 0,4 GV/m, y 2γ = 163, o sea T ≈ 1,6 × 10⁻⁷¹: no emite ni un electrón en la edad del universo. Hacen falta unos 360 V con esa punta, o bajar el radio a 13,8 nm manteniendo los 100 V.
La segunda lección es la dependencia , que es la ley de Fowler-Nordheim y que se comprueba experimentalmente representando frente a : sale una recta cuya pendiente da la función de trabajo. Fíjate en lo que ha cambiado respecto de la barrera rectangular: allí el exponente iba como con L fija; aquí la anchura de la barrera la fija el propio campo, , y por eso el exponente lleva en vez de . Cambiar la forma de la barrera cambia el exponente, no sólo el prefactor, y ésa es la razón por la que hacía falta la integral y no bastaba con una barrera rectangular equivalente.
Un electrón de 1 eV frente a una barrera de 2 eV ( Å⁻¹).
(a) Calcula T para L = 10, 100 y 1000 Å usando la fórmula exacta tal cual, en una calculadora o en una hoja de cálculo. ¿Qué ocurre? (b) Localiza el valor de κL a partir del cual desborda un número de coma flotante de doble precisión, sabiendo que el mayor representable es . Tradúcelo a una anchura de barrera. (c) Reescribe el cálculo en logaritmos usando y da en los tres casos de (a). (d) ¿Por qué no se puede arreglar el problema usando simplemente la aproximación exponencial, que no tiene ningún seno hiperbólico? (e) ¿En qué situación física real importa esto, si un T de 10⁻³⁰⁰ es indistinguible de cero en cualquier experimento?
Solución
(a) Con L = 10 Å sale 1,419 × 10⁻⁴ y con 100 Å, 1,267 × 10⁻⁴⁴, los dos correctos. Con L = 1000 Å, κL = 512 y ya desborda: la respuesta es 0 exacto, o un error, según la herramienta. El valor verdadero es , o sea 4,1 × 10⁻⁴⁴⁵. (b) , que desborda cuando , es decir x = 355,6, o L = 694 Å. (c) ln T = −8,860 · −101,08 · −1023,2. Ojo con el del medio, que es donde se cae casi todo el mundo: −102,46 es −2κL, no ln T. Falta el +ln 4 del prefactor, que aquí vale 1 y deja ; el −2 ln(1+e⁻²ᵏᴸ) es despreciable con κL = 51,2 y el ln 4 no lo es. La comprobación está en el apartado (a): T(100 Å) = 1,267 × 10⁻⁴⁴, cuyo logaritmo es −101,08, mientras que sale un factor 4 por debajo.
(d) Porque también desborda por abajo: el menor número normal de doble precisión es , así que la aproximación devuelve cero a partir de L = 691 Å — casi el mismo sitio. El problema no es la fórmula que se use, es pretender guardar T en un double. Lo que hay que guardar es su logaritmo.
(e) La segunda lección, y es la que hace que esta sección exista. Primero, porque lo que se compara con el experimento suele ser el logaritmo: el ejemplo resuelto 2 abarca 24 órdenes de magnitud, y un ajuste de Geiger-Nuttall es una recta en escala logarítmica. Un cero exacto en mitad de esa recta la parte. Segundo, porque un cálculo de estructura de bandas o de transporte encadena muchos de estos factores, y un cero prematuro se propaga a magnitudes que sí son observables. Y tercero, porque el fallo no avisa: no lanza ninguna excepción, no produce un NaN, devuelve un número perfectamente plausible —cero— que además es casi correcto. Es la peor clase de error numérico que hay, y la única defensa es saber dónde está el límite antes de acercarse a él.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Cada
fila se ha recalculado desde los datos, no copiado del
párrafo que la enuncia: el recálculo está en
scripts/verificar-pozos.py, sección 5. Pensado para leerse dentro
de seis meses sin releer nada. Convenio: el pozo finito va de −a a +a
(anchura 2a) con V = 0 dentro y
V₀ fuera, y las energías se miden desde el fondo.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| La ecuación que se resuelve | ψ″ = (2m/ħ²)(V−E)ψ; E > V ⇒ oscila, E < V ⇒ exponencial | art. 01 |
| Estado ligado frente a estado de dispersión | E < V(±∞) ⇒ discreto y normalizable; E > V(±∞) ⇒ continuo, se trabaja con flujos | art. 01, 03 |
| Cota inferior del espectro | E > Vmín siempre (teorema de curvatura, del II.1) | art. 01 |
| Continuidad de ψ y ψ′ | ψ siempre; ψ′ salvo donde V tenga un infinito o una delta | art. 01 |
| Pozo infinito: solución | ψn = √(2/a)·sen(nπx/a), n = 1, 2, 3… ; n = 0 da ψ ≡ 0 | art. 01 |
| Pozo infinito: espectro | En = n²π²ħ²/2ma² = n²h²/8ma² | art. 01 |
| … en unidades de trabajo | En[eV] = 37,60·n²/(a[Å])² para un electrón | art. 01 |
| … anclado | e⁻ en 1 Å: 37,60 eV · en 1 nm: 0,376 eV · protón en 1 nm: 0,205 meV | art. 01 |
| Propiedades de ψn | n−1 nodos interiores; par/impar alternando; ∫ψnψm = δnm | art. 01 |
| Escalado | E ∝ 1/ma²; nucleón en 10 fm: 2,05 MeV = 37,60 eV × 10⁸/1838,7 | art. 01 |
| Pozo cuántico de GaAs, paredes infinitas | m* = 0,067 me, 10 nm: 56,1 · 224,5 · 505,1 meV; E₁/kBT(300 K) = 2,17 | art. 01 |
| … anchura con E₁ = kBT | 14,7 nm | art. 01 |
| Contorno periódico (anillo) | En = 2π²ħ²n²/mL², n = 0, ±1, ±2…; n = 0 permitido, degeneración 2 | art. 01 |
| … anclado: benceno | L = 834 pm, E₁ = 2,162 eV, HOMO→LUMO 6,487 eV = 191 nm (medido 180–200) | art. 01 |
| Tabique en el centro de una caja | E₁ → 4E₁; cuesta 1,128 eV en la caja de 1 nm | art. 01 |
| No degeneración en 1D | W = ψ₁ψ₂′−ψ₂ψ₁′ constante y nula si ambos decaen ⇒ ψ₁ ∝ ψ₂ | art. 02 |
| … y de ahí la paridad | V par + no degeneración ⇒ ψ(−x) = ±ψ(x) | art. 02 |
| Pozo finito: los dos números de onda | k = √(2mE)/ħ, κ = √(2m(V₀−E))/ħ, con k²+κ² = 2mV₀/ħ² | art. 02 |
| Variables sin dimensiones | z = ka, l = κa, z₀ = (a/ħ)√(2mV₀); z²+l² = z₀² | art. 02 |
| Ecuaciones trascendentes | pares: z tan z = √(z₀²−z²) · impares: −z cot z = √(z₀²−z²) | art. 02 |
| Recuento de estados ligados | N = ⌈2z₀/π⌉ (comprobado en 120 pozos al azar) | art. 02 |
| Siempre hay al menos uno | N ≥ 1 en 1D para todo z₀ > 0; con z₀ = 2,56 × 10⁻⁴: ligadura 6,6 × 10⁻¹⁴ eV, 1/κ = 0,76 mm | art. 02 |
| Límite superficial | Elig → mα²/2ħ² con α = 2aV₀ (el pozo delta del II.1); error ∝ z₀² | art. 02 |
| Límite profundo | En → pozo infinito de anchura 2a; con z₀ = 300, error 0,67 % | art. 02 |
| Anchura efectiva | 2a + 2/κ en la fórmula del pozo infinito: 2,4 % de error en el GaAs frente al 73 % | art. 02 |
| Pozo de GaAs real (0,24 eV, 10 nm) | z₀ = 3,248, N = 3: 32,4 · 124,3 · 237,9 meV | art. 02 |
| … penetración y fuga | 1/κ = 1,66 · 2,22 · 16,6 nm; P(fuera) = 3,36 % · 15,9 % · 76,2 % | art. 02 |
| P(fuera), forma cerrada | [cos²z/κ] / [a(1+sen2z/2z) + cos²z/κ] para los niveles pares | art. 02 |
| Medio pozo (pared dura en un lado) | Sólo sobreviven las impares ⇒ hay umbral: z₀ ≥ π/2, o V₀L² ≥ π²ħ²/8m; 94,0 meV con L = 1 nm | art. 02 |
| Umbral en 3 dimensiones | V₀R² ≥ π²ħ²/8m: 23,2 MeV con R = 2,1 fm | art. 02 |
| … anclado: el deuterón | Eb = 2,2246 MeV ⇒ V₀ = 33,7 MeV = 1,45 × umbral; 1/κ = 4,32 fm; P(r > R) = 62,8 %; el dineutrón no existe | art. 02 |
| Flujo, no probabilidad | j = (ħk/m)|A|² = v|A|²; R = |jr|/ji, T = jt/ji, R+T = 1 | art. 03 |
| Escalón, E > V₀: amplitudes | r = (k₁−k₂)/(k₁+k₂), t = 2k₁/(k₁+k₂) | art. 03 |
| El factor de flujo | T = (k₂/k₁)|t|², NO |t|²; sin él R+|t|² = 1,402 con E = 2V₀ | art. 03 |
| Escalón: R con números | E/V₀ = 1,11 → 27,0 % · 2 → 2,944 % · 3,025 → 1 % · 8,414 → 0,1 %; límite (V₀/4E)² | art. 03 |
| Es la fórmula de Fresnel | n ≡ k₂/k₁ = √(1−V₀/E); Ni con Vi = 15 eV a 54 eV: n = 1,130, R = 0,375 %; a 1 eV, R = 36 % | art. 03 |
| Escalón hacia abajo | R depende de |k₁−k₂|, no del signo: un e⁻ de 1 eV que cae 1 eV rebota el 2,944 %, lo mismo que uno de 2 eV que sube 1 | art. 03 |
| El escalón abrupto es una idealización | Perfil de Eckart V₀/(1+e−x/d): R = [senh(πd(k₁−k₂))/senh(πd(k₁+k₂))]² → e−4πdk₂; e⁻ de 1 eV sobre 0,5 eV: 2,944 % (d = 0) · 0,396 % (1 Å) · 0,0080 % (2 Å); mitad en d = 0,552 Å | art. 03 |
| Escalón, E < V₀ | r = (k−iκ)/(k+iκ), |r| = 1 exacto; desfase φ = −2 arctan(κ/k) | art. 03 |
| Densidad en la pared | |ψ(0)|²/|A|² = 4E/V₀ (¡el doble de la incidente con E = V₀/2!) | art. 03 |
| Longitud de penetración | δ = 1/κ = ħ/√(2m(V₀−E)); finita en E → 0, diverge en E → V₀ | art. 02, 03 |
| Probabilidad dentro de la pared | ∫₀^∞|ψ|²dx = |t|²/2κ = 2E/(V₀κ): 0,390 Å con e⁻ de 1 eV y V₀ = 5 eV | art. 03 |
| … anclado: neutrones ultrafríos | Ni: V₀ = 245 neV, vc = 6,85 m/s, 2,84 mK, λ = 57,8 nm, 1/κ = 9,20 nm | art. 03 |
| Barrera: T exacta | T = [1 + V₀²senh²(κL)/4E(V₀−E)]⁻¹; R = 1−T; igual en los dos sentidos | art. 04 |
| Aproximación exponencial | T ≈ 16E(V₀−E)/V₀² · e−2κL; aprox/exacta = 1 + (4/P−2)e−2κL + e−4κL con P = V₀²/4E(V₀−E) | art. 04 |
| … sobreestima, pero no siempre | Sobreestima si P ≤ 2, o sea 0,146 V₀ < E < 0,854 V₀; fuera de ahí subestima (E = 0,05 eV bajo 1 eV, L = 1 Å: 32 % por debajo) | art. 04 |
| … y su validez | Error < 1 % desde κL = 2,65 y < 10 % desde κL = 1,51 (con E = V₀/2); en κL = 0,5, +87 % | art. 04 |
| Barrera con números | e⁻ de 1 eV bajo 2 eV: T = 0,778 (1 Å) · 2,355 × 10⁻² (5 Å) · 1,419 × 10⁻⁴ (10 Å) | art. 04 |
| El desbordamiento | senh² desborda en κL = 355,6 (L = 694 Å) y T da cero exacto; se calcula ln T con ln senh x = x + ln(1−e−2x) − ln 2 | art. 04 |
| Por encima de la barrera | T = [1 + V₀²sen²(qL)/4E(E−V₀)]⁻¹; T = 1 en qL = nπ | art. 04 |
| … con números | V₀ = 2 eV, L = 5 Å: resonancias en 3,504 · 8,016 · 15,54 eV; justo sobre la cima, T = 0,234 | art. 04 |
| Ramsauer-Townsend | Mínimo del argón a 0,35 eV; pozo 1D de 3,0 Å lo reproduce con V₀ = 3,83 eV (con 10 eV la n = 1 sale a −5,82 eV: no existe) | art. 04 |
| Barrera de forma cualquiera | T ≈ e−2γ, γ = (1/ħ)∫√(2m(V−E))dx — es WKB, se usa y se paga en el II.8 | art. 04 |
| Microscopio de efecto túnel | Barrera efectiva φ = V₀ − E = 5,05 eV ⇔ factor 10 por Å (κ = 1,1513 Å⁻¹); con φ = 4,0 y 5,5 eV, factores 7,76 y 11,06 | art. 04 |
| … su resolución vertical | 1 % de corriente ⇔ 0,432 pm; escalón monoatómico de 2,36 Å ⇔ ×229 | art. 04 |
| Desintegración alfa (Gamow) | 2γ = (2/ħ)√(2mαE)·b·[arccos√x − √(x(1−x))], x = R/b, b = 2Ze²/4πε₀E | art. 04 |
| … lo que predice | 2γ = 32,6 (Po-212) a 89,9 (Th-232): 24,2 órdenes de vida media con un factor 2,2 de energía, y un error entre ×0,29 y ×2,3 | art. 04 |
| Emisión de campo (barrera triangular) | 2γ = (4/3)√(2m)φ3/2/ħeF; con φ = 4,5 eV, 2γ = 21,7 a 3 GV/m; 2γ = 45 pide 1,45 GV/m | art. 04 |
| Inversión del amoníaco | Medido: 98,4 µeV (NH₃) y 6,57 µeV (ND₃), razón 15,0. Túnel predice 10,3; clásico, 1,30. El valor absoluto no se predice: sólo hay 2,13 cuantos bajo la cima | art. 04 |
| Efecto de la masa en el túnel | κ ∝ √m: el protón tiene κ 42,9 veces mayor que el electrón; con 1 eV bajo 4 eV y L = 1 Å, T pasa de 0,4244 a 2,82 × 10⁻³³ (factor 1,5 × 10³²) | art. 04 |
| Constantes que usa el módulo | ħ²/2me = 3,810 eV·Å² · π²ħ²/2me = 37,60 eV·Å² · ħ²/2mp = 2,075 × 10⁻³ eV·Å² · ħ²/2mn = 20,72 MeV·fm² · ħ²/2μnp = 41,47 MeV·fm² · kBT(300 K) = 25,85 meV · hc = 1239,84 eV·nm · m*GaAs = 0,067 me · mp/me = 1836,15 · mn/me = 1838,68 | todo el módulo |