Ilumina una placa de sodio con luz verde de 500 nm y salen electrones. Cambia a luz amarilla de 560 nm y no sale ni uno, por mucho que subas la potencia de la lámpara: puedes echarle mil veces más luz y seguirá sin salir nada. Ese umbral tan tajante no tiene explicación posible si la luz es una onda continua, y en 1905 le costó a Einstein cinco páginas y —dieciséis años después— el Nobel.
Éste es, con montaje moderno, el experimento con el que Millikan midió h en 1916 — y lo hizo intentando demostrar que Einstein se equivocaba. Elige un metal, elige un color, anota el potencial de frenado y repite. Con dos puntos ya hay recta; la pendiente, multiplicada por la carga del electrón, es la constante de Planck. El panel no la conoce de antemano: la ajusta por mínimos cuadrados con los puntos que tú le des.
Sin medidas no hay recta. Anota al menos dos colores distintos por encima del umbral: el sodio deja de emitir a partir de 544 nm y ahí no hay nada que medir por mucha luz que eches.
Cuatro hechos que la onda clásica no puede dar
Hertz descubrió el efecto fotoeléctrico en 1887 sin buscarlo, y Lenard lo midió con cuidado en 1902. Lo que sale de esas medidas son cuatro hechos, y los cuatro contradicen lo que predice tratar la luz como una onda que deposita energía de forma continua.
- Hay una frecuencia umbral. Por debajo de ν₀ no se emite ningún electrón, con independencia de la intensidad. Para el sodio, ν₀ = 5,51 × 10¹⁴ Hz, es decir 544 nm.
- La energía máxima de los electrones depende del color, no del brillo. Doblar la intensidad dobla el número de electrones y no cambia en nada su energía máxima.
- Esa energía máxima crece linealmente con la frecuencia, y la pendiente de la recta es la misma para todos los metales.
- No hay retraso. La emisión empieza en menos de 10⁻⁹ s, aun con luz débil.
El cuarto es el más demoledor y el que menos se cuenta. Si la energía llegara repartida por el frente de onda, un átomo de 0,1 nm de radio expuesto a una lámpara de 1 W/m² interceptaría 3,1 × 10⁻²⁰ W, y para reunir los 2,28 eV que cuesta arrancar un electrón del sodio necesitaría
Con luz cien veces más tenue, veinte minutos. En el laboratorio la corriente aparece instantáneamente. La única salida es que la energía no llegue repartida, sino concentrada en granos: cada uno de esos granos es un fotón.
Einstein 1905: la ecuación de una recta
La propuesta de Einstein es aritmética de instituto. Un fotón entrega toda su energía hν a un solo electrón; el electrón gasta una parte fija en salir del metal —la función de trabajo W— y se queda con el resto:
Es la ecuación de una recta de pendiente h y ordenada en el origen −W. Lo que se mide en el laboratorio no es Kmáx directamente, sino el potencial de frenado: se aplica una tensión inversa hasta que ni el electrón más rápido llega al colector, y entonces eV₀ = Kmáx. Repitiendo con varios colores se obtiene una nube de puntos, y la pendiente de la recta que los ajusta es h/e = 4,136 × 10⁻¹⁵ V·s. Eso es lo que hace el panel de arriba, y es literalmente todo el experimento.
Problema. Se ilumina sodio (W = 2,28 eV) con luz de 400 nm. ¿Qué potencial de frenado se mide? ¿A qué velocidad sale el electrón más rápido?
Solución. La energía del fotón, con la combinación hc = 1 239,84 eV·nm que conviene memorizar,
El potencial de frenado es, por tanto, 0,820 V. Para la velocidad, K = ½mv² con K = 0,820 × 1,602 × 10⁻¹⁹ J y me = 9,109 × 10⁻³¹ kg:
Resultado. 0,820 V y 537 km/s, el 0,18 % de la velocidad de la luz — lo bastante lento como para no tener que preocuparse por la relatividad, lo bastante rápido como para cruzar España en un segundo. Y fíjate en lo que no aparece en ningún sitio del cálculo: la potencia de la lámpara. Es la firma del efecto.
Millikan intentó refutarlo, y midió h
La ecuación de Einstein tardó diez años en aceptarse. El propio Planck, al proponerle en 1913 para la Academia Prusiana, escribió que no debía tenérsele en cuenta el haberse pasado de la raya con la hipótesis de los cuantos de luz. Robert Millikan pasó una década montando el experimento para demostrar que estaba mal: cortaba las superficies metálicas dentro del vacío, con una cuchilla accionada por un imán, para que no se oxidaran antes de medirlas.
En 1916 publicó los resultados. La recta era una recta, la pendiente daba h = 6,57 × 10⁻³⁴ J·s —un 0,85 % por debajo del valor actual— y Millikan escribió que la ecuación de Einstein «representa los hechos con exactitud» y, en el mismo artículo, que la teoría física que había detrás le parecía insostenible. Se puede tener razón en el número y equivocarse en la interpretación, y viceversa: por eso se miden las dos cosas por separado.
Problema. Un puntero láser verde de 1 mW emite a 532 nm. ¿Cuántos fotones por segundo salen? ¿Y por qué el haz parece continuo?
Solución. Cada fotón lleva E = 1 239,84/532 = 2,331 eV = 3,73 × 10⁻¹⁹ J. Dividiendo la potencia entre la energía por fotón:
Resultado. 2,68 billones de fotones cada milisegundo. Ahí está la respuesta a por qué nadie notó nunca el grano de la luz: en la escala del ojo o de un fotómetro, la llegada de 2,7 × 10¹⁵ paquetes por segundo es indistinguible de un chorro continuo, igual que la arena parece un fluido hasta que la miras de cerca. Para ver el grano hay que bajar a fotones sueltos, y eso no se supo hacer hasta los años setenta.
Qué mide el panel de arriba, y qué no
Merece la pena jugar con dos mandos a la vez. Sin error de lectura, dos puntos cualesquiera devuelven h exacta: la física es una recta y punto. Con ±20 mV de error —que es un montaje docente razonable— pasa algo instructivo: dos medidas próximas, a 250 y 300 nm, dan h con un +2,9 % de desviación, mientras que dos medidas separadas, a 200 y 500 nm, la dan con un −0,03 %. No es cuestión de tener más puntos, sino de tener más brazo: el mismo error de lectura pesa menos cuanto mayor es el intervalo de frecuencias sobre el que se apoya la recta. Es la primera lección de análisis de datos de cualquier laboratorio, y aquí se ve en dos clics.
El efecto fotoeléctrico no demuestra que existan los fotones. Se dice constantemente, y es falso — con una falsedad interesante. En 1926 Wentzel y Beck, y con todo detalle Lamb y Scully en 1969, mostraron que si se cuantiza el átomo pero se deja el campo electromagnético como onda clásica, salen igualmente los cuatro hechos de arriba: umbral, linealidad con la frecuencia, independencia de la intensidad y respuesta inmediata. El umbral aparece porque los niveles del metal son discretos, no porque la luz lo sea.
Lo que sí obliga a los fotones es otra cosa. El efecto Compton (1923) exige que la luz lleve momento en paquetes: la longitud de onda dispersada aumenta en Δλ = 2,426 pm × (1 − cos θ), y eso sale de una colisión entre dos partículas. Y sobre todo, el experimento de anticorrelación de Grangier, Roger y Aspect (1986): un solo fotón lanzado contra un divisor de haz se detecta en un lado o en el otro, nunca en los dos. Cualquier teoría con campo clásico exige un parámetro α ≥ 1 en ese montaje; ellos midieron α = 0,18 ± 0,06.
Nada de esto le quita mérito a Einstein: su ecuación es correcta, su Nobel de 1921 fue por ella y su idea de cuantizar el campo resultó ser cierta. Lo que cambia es el argumento, y en un sitio que presume de números el argumento importa tanto como la conclusión.
Ejercicios
El cinc tiene W = 4,33 eV. ¿Emitirá electrones con luz solar directa? ¿Y una placa de cesio (W = 2,14 eV)? Estima qué fracción del espectro solar sirve en cada caso.
Solución
Los umbrales son λ₀ = 1 239,84/4,33 = 286 nm para el cinc y 1 239,84/2,14 = 579 nm para el cesio. La atmósfera corta el ultravioleta por debajo de unos 300 nm (el ozono), así que el cinc no emite con luz solar a nivel del mar aunque sí lo haría en el espacio o bajo una lámpara de mercurio. El cesio, en cambio, responde a todo lo que sea más azul que el amarillo: prácticamente la mitad del visible.
La segunda lección: ésta es la razón de que las células fotoeléctricas clásicas y los fotomultiplicadores usen cesio y otros alcalinos. No es casualidad química, es que su función de trabajo es la más baja de la tabla periódica, y en este experimento la función de trabajo es la especificación del aparato.
En el panel de arriba, elige cobre (W = 4,70 eV) y pulsa «Barrer 6 longitudes de onda». Verás que las seis medidas se apiñan entre 190 y 243 nm. ¿Por qué el ajuste del cobre sale peor que el del sodio con el mismo ruido?
Solución
Porque el cobre sólo emite por debajo de 264 nm, así que las seis medidas caben en un intervalo de frecuencias estrecho: de 1,23 a 1,58 × 10¹⁵ Hz, un brazo de 0,35 × 10¹⁵ Hz. El sodio, con umbral en 544 nm, permite barrer de 0,60 a 1,58 × 10¹⁵ Hz, casi tres veces más. Con ±20 mV de error el cobre da h con un −0,41 % y el sodio con un +0,015 %.
Es el mismo principio del ejercicio anterior visto al revés: la función de trabajo baja no sólo hace que el metal responda a más colores, sino que hace que mida mejor. En un experimento, elegir la muestra ya es la mitad del diseño.
Un compañero sostiene que si iluminas sodio con un láser rojo de 650 nm y 10 W —mil veces más potente que un puntero— acabarás arrancando electrones, porque «al final la energía se acumula». ¿Qué le respondes con números?
Solución
Cada fotón de 650 nm lleva 1 239,84/650 = 1,907 eV, y hacen falta 2,28 eV. Faltan 0,37 eV y no hay forma de juntarlos: un electrón absorbe un fotón o no absorbe ninguno, y no hay ninguna caja donde vaya guardando medio cuanto. Subir a 10 W multiplica por 10⁴ el número de fotones —3,3 × 10¹⁹ por segundo— y no cambia lo que lleva cada uno.
La segunda lección, y la honesta: a intensidades enormes esto deja de ser cierto. Con un láser pulsado de 10¹³ W/cm², un mismo electrón puede absorber dos fotones antes de relajarse, y hay emisión multifotónica; se observó por primera vez en 1964 y hoy es una técnica de rutina. La regla «un fotón, un electrón» no es una ley de la naturaleza, es la aproximación válida cuando la luz es débil — que es abrumadoramente el caso normal, y desde luego el de la lámpara de Millikan.