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398 de 398 términos
A
amplitud de probabilidad
Probability amplitude (ψ). El número complejo que la teoría asigna a cada manera de llegar a un resultado. No es medible: lo medible es su módulo al cuadrado. Que se sumen amplitudes y no probabilidades es todo el contenido de la doble rendija, y la diferencia entre |A₁ + A₂|² y |A₁|² + |A₂|² puede llegar a ser total — en un mínimo de interferencia llega cero cuando por cada camino por separado llegaría el máximo. I.2
anillos de Debye-Scherrer
Debye-Scherrer rings. Las circunferencias concéntricas que aparecen al atravesar una muestra policristalina, cuyos granos están orientados al azar y siempre tienen alguno en posición de Bragg en cada dirección. G. P. Thomson los obtuvo con electrones en 1927: con 30 kV sobre una lámina de oro, el primer anillo tiene 8,9 mm de radio a 30 cm. I.2
aberración esférica
Spherical aberration (C_s). El defecto por el que los rayos que atraviesan una lente lejos del eje se enfocan antes que los centrales. Scherzer demostró en 1936 que toda lente electrónica redonda y estática la tiene positiva y no se puede compensar con otra lente, de modo que fija la resolución en 0,23 nm a 200 kV con C_s = 1 mm. Los correctores modernos la bajan a 1 µm rompiendo la simetría de revolución. I.2
anchura natural de raya
Natural linewidth. La anchura irreducible de una raya espectral, ΔE = ħ/τ, consecuencia de que un estado con vida media τ decae exponencialmente y un exponencial decreciente no tiene una sola frecuencia. Es una igualdad y no una desigualdad, y es un teorema sobre transformadas de Fourier, no una relación de incertidumbre. La raya D₂ del sodio, con τ = 16,24 ns, tiene 9,80 MHz de ancho: 11,3 fm sobre 589 nm. I.3
apantallamiento
Screening (shielding). La reducción de la carga nuclear que siente un electrón exterior por culpa de los electrones interpuestos. En el sodio, los diez electrones internos rebajan los once protones a Z_ef = 2,20; el mismo 2,20 sale para los cinco alcalinos, del litio al cesio, y ésa es la razón cuantitativa de que se parezcan químicamente. I.4
acoplamiento espín-órbita
Spin-orbit coupling. La interacción entre el momento magnético de espín del electrón y el campo magnético que ve por su movimiento respecto al núcleo. Desdobla todo nivel con l ≥ 1 y deja intactos los s. En el sodio parte la raya amarilla en dos separadas 17,196 cm⁻¹ = 2,132 meV, y es un efecto relativista de orden (Zα)². I.4
autofunción
Eigenfunction. La función que un operador deja igual salvo un factor: Ĥψ_n = E_nψ_n. Un estado preparado en una autofunción de Ĥ devuelve E_n en toda medida de energía, con σ_E = 0 exacto. En el pozo infinito son ψ_n = √(2/a)·sen(nπx/a), y las de Ĥ forman un conjunto completo, así que cualquier estado se desarrolla en ellas. II.1
autovalor
Eigenvalue. El número que acompaña a una autofunción, y el único resultado que una medida del observable puede devolver. De ahí que preguntar cuánta energía tiene un estado que mezcla niveles no tenga respuesta: la mezcla al 50/50 de los dos primeros niveles del pozo de 1 nm tiene ⟨H⟩ = 0,940 eV, un valor que ninguna medida devuelve nunca porque no es autovalor de Ĥ; lo que devuelve es 0,376 o 1,504 eV, mitad y mitad. II.1
aproximación WKB
WKB approximation. Método semiclásico que da T ≈ e^(−2∫κ dx) para una barrera de forma cualquiera, extendiendo la integral a la región donde V es mayor que E. Se motiva cortando la barrera en rodajas y multiplicando sus transmisiones, lo que ignora las reflexiones entre rodajas; su justificación es un desarrollo asintótico en ħ que exige |dλ̄/dx| ≪ 1 —que la longitud de onda local cambie poco en una longitud de onda local—, y el exponencial desnudo no lleva prefactor: en el rectángulo el cociente T_exacta/e^(−2κL) no tiende a 1 sino a 16E(V₀−E)/V₀², que vale 4 en E = V₀/2. Falla en el amoníaco, donde sólo hay 2,13 cuantos por debajo de la cima. II.2
aproximación armónica
Harmonic approximation. Quedarse con el término cuadrático del desarrollo de Taylor de V alrededor de un mínimo y tirar el resto. Vale mientras el estado no llegue a la escala donde el cúbico cuenta, y no es exacta ni en el primer escalón: para el CO se equivoca un 0,31 % en la energía del fundamental y un 1,24 % en la posición de la banda que se mide. Su utilidad no es acertar, es acertar la estructura y dejar el error escrito como una corrección aparte. II.3
aproximación de Born-Oppenheimer
Born-Oppenheimer approximation. Separar el movimiento de los electrones del de los núcleos porque los primeros son muchísimo más ligeros y se reacomodan como si los segundos estuvieran quietos: en el CO, la masa reducida nuclear es 12 500 veces la del electrón. La consecuencia práctica es que la curva V(r) es una propiedad de la nube electrónica y no cambia al sustituir un isótopo — comprobado en el par ¹²C¹⁶O/¹³C¹⁶O, cuyas constantes de fuerza coinciden en dos partes en cien mil. II.3
anarmonicidad
Anharmonicity. Lo que el potencial real tiene de más allá de la parábola, y que la espectroscopia mide sin ambigüedad. En el ¹²C¹⁶O separa la frecuencia armónica del fondo del pozo, 2169,81 cm⁻¹, de la banda que el espectrómetro registra, 2143,27 cm⁻¹: 26,54 cm⁻¹ de diferencia medidos, un 1,24 %, gobernados por el único parámetro pequeño del problema, x_e = 6,124 × 10⁻³. El modelo de dos términos predice esa separación como 2ω̃_e x_e = 26,58 cm⁻¹, y las tres centésimas que sobran son su residuo, 1,6 × 10⁻⁵. II.3
adimensionalización
Nondimensionalisation. Reescribir una ecuación en las unidades que ella misma trae dentro, para que no le quede ninguna constante física. Con ξ = x/x₀ y ε = 2E/ħω, el oscilador queda en ψ″ = (ξ² − ε)ψ: la misma ecuación para el CO (x₀ = 4,761 pm, ħω = 269,0 meV) que para un electrón atrapado con x₀ = 1 nm (ħω = 76,20 meV). Toda la individualidad se refugia en las dos reglas de conversión. II.3
aproximación dipolar
Dipole approximation. Tratar el campo de la luz como uniforme sobre todo el sistema, lo que vale mientras la longitud de onda sea mucho mayor que el objeto. En la banda vibracional del CO la holgura es abrumadora: 4,666 µm frente a 112,832 pm, un factor 41 000. Es lo que permite quedarse sólo con el término lineal del momento dipolar y olvidarse del resto del desarrollo. II.3
anticonmutador
Anticommutator ({A, B} = AB + BA). El otro trozo en que se parte un producto de operadores centrados: ÃB̃ = ½{Ã, B̃} + ½[Ã, B̃]. De dos hermíticos sale hermítico, así que su valor esperado es real, y lo que mide es la correlación entre las dos magnitudes — la inclinación de la elipse de incertidumbre en el espacio de fases. Es el término que la relación de Robertson tira y la de Schrödinger conserva, y a veces vale más que el que se guarda: en la gaussiana con gorjeo b = 0,7, ⟨½{x̂, p̂}⟩ = 0,35 ħ, que es todo el 22,1 % que a ese estado le sobra sobre la cota de Kennard. A diferencia del conmutador, exige centrar: quitarle las tildes cambia el resultado. II.4
armónico esférico
Spherical harmonic (Y_ℓm). Las funciones de θ y φ que resuelven la parte angular de cualquier potencial central. Son autoestados simultáneos de L², con autovalor ħ²ℓ(ℓ+1), y de L_z, con autovalor ħm; hay 2ℓ+1 por cada ℓ y cambian de signo en ℓ−|m| paralelos. El más sencillo es una constante, Y₀₀ = 1/√(4π) = 0,28209, y es lo que hace esféricos a todos los orbitales s. Como su ecuación no ha visto el protón, sirven igual para el pozo esférico, para el modelo de capas del núcleo y para el fondo cósmico de microondas. II.5
agujero de intercambio
Exchange hole. El hueco que la antisimetría abre en la probabilidad de encontrar juntas a dos partículas, sin que ninguna fuerza intervenga. Es total en el contacto: la amplitud de un par antisimétrico se anula exactamente cuando x₁ = x₂, comprobado en 20 001 puntos de la diagonal, mientras que la del par simétrico se dobla ahí. En un pozo de 1 nm con n = 1 y n = 2 eso separa a los dos electrones 0,410 nm frente a los 0,196 nm del par simétrico; en el gas de electrones del cobre, el mismo hueco mide 134 pm de radio y rebaja la energía en 4,67 eV por electrón. II.7
Á
átomo de Rydberg
Rydberg atom. Átomo excitado hasta un número cuántico principal muy alto, con tamaño n²a₀ y ligadura 13,606 eV/n². Con n = 137 mide 993 nm —una micra, como una bacteria— y está ligado por 0,725 meV, treinta y seis veces menos que k_B T a temperatura ambiente: por eso sólo existen fríos y en vacío. I.4
álgebra de momento angular
Angular momentum algebra ([J_i, J_j] = iħ ε_ijk J_k). Las tres relaciones de conmutación que define cualquier terna de operadores hermíticos que merezca el nombre de momento angular, y el único ingrediente del que salen el espectro de J² y el número de peldaños del multiplete. Es cerrada —el conmutador de dos de ellos vuelve a ser uno de ellos— y no sabe de potenciales, de masas ni de coordenadas. Lo que cuantiza es 2j+1, no j: por eso admite j = 0, ½, 1, 3/2, …, y los quince multipletes de j = 0 a 7 que se le construyen la cumplen con desviación del orden de 10⁻¹⁵, que es ruido de coma flotante. II.6
B
balanza de Kibble
Kibble balance (antes «balanza de watios»). Instrumento que equilibra el peso de una masa contra una fuerza electromagnética medida con el efecto Josephson y el efecto Hall cuántico, y que por tanto compara un kilogramo con la constante de Planck. Alcanza incertidumbres relativas de 1 × 10⁻⁸, y es la razón de que desde 2019 el kilogramo se defina fijando h. I.1
biprisma electrónico
Electron biprism. Un hilo conductor finísimo, cargado, que desvía hacia el eje los electrones que pasan por sus dos lados y los hace solaparse: el equivalente electrónico del biprisma de Fresnel y la pieza con la que Merli (1976) y Tonomura (1989) construyeron sus interferómetros. Es mucho más eficiente que dos rendijas porque no tira casi ningún electrón. I.2
borrador cuántico
Quantum eraser. Montaje en el que la información de camino se marca —las franjas desaparecen— y luego se mide el marcador en una base que ya no responde a la pregunta «¿por cuál rendija?», con lo que las franjas reaparecen en los subconjuntos correspondientes. Propuesto por Scully y Drühl en 1982. El patrón total, sin separar en subconjuntos, nunca tiene franjas: nada viaja hacia atrás en el tiempo. I.2
bosón
Boson. Partícula de espín entero —fotón, ⁴He, cualquier núcleo con número par de nucleones— cuya función de onda es simétrica y que puede compartir estado con otras iguales; de hecho lo prefiere. De ahí el láser y el condensado de Bose-Einstein. El ⁴He es superfluido a 2,17 K y el ³He, que es fermión, no lo es hasta 2,5 mK —y sólo emparejando antes sus átomos de dos en dos—: casi mil veces más frío por un neutrón de diferencia. I.4
base de medida
Measurement basis. El conjunto de resultados que un aparato distingue: los dos ejes de un polarizador, las dos salidas de un Stern-Gerlach. No es un detalle técnico, es parte del experimento — el mismo estado es «definido» en una base y superpuesto en otra, y medir en una deja el sistema preparado en ella, no en la que traía. Un fotón polarizado a 0° es definido en la base de 0°/90° y está al 50 % en la de ±45°: el mismo fotón, dos aparatos, dos descripciones y ninguna más verdadera que la otra. I.5
base preferente
Preferred basis (einselection). Que el entorno, al interaccionar casi siempre a través de la posición, destruya antes las superposiciones de posiciones lejanas y deje sobrevivir los estados localizados. Es la parte del problema de la medida que la decoherencia sí resuelve: explica por qué el mundo grande parece hecho de cosas con sitio, y con números — un grano de 10 µm en aire pierde coherencia en 1,1 × 10⁻¹⁸ s. I.5
batido
Beat. La oscilación que aparece en |Ψ|² cuando se superponen dos estados estacionarios, con periodo T = h/ΔE — la frecuencia de la diferencia, no la de ninguno de los dos. En una caja de 1 nm con los niveles 1 y 2, ΔE = 1,128 eV y T = 3,666 fs. Que una superposición de estados estacionarios no sea estacionaria no contradice nada: la propiedad no es lineal, porque |Ψ|² no lo es. II.1
barrera de potencial
Potential barrier. Región de anchura finita donde V es mayor que la energía de la partícula. Su transmisión exacta es T = [1 + V₀²senh²(κL)/4E(V₀−E)]⁻¹, que nunca vale cero: toda barrera de altura y anchura finitas se atraviesa. Un electrón de 1 eV bajo una barrera de 2 eV y 5 Å pasa el 2,4 % de las veces. II.2
banda de energía
Energy band. Intervalo continuo de energías permitidas en un sólido cristalino, separado de los demás por bandas prohibidas. Sale de imponer periodicidad, no de la interacción entre electrones: basta un potencial periódico y una condición de contorno. El hueco medido del silicio a 300 K es de 1,12 eV, y el del diamante de 5,47 eV — la misma estructura cristalina y la diferencia entre un semiconductor y un aislante transparente. II.2
banda fundamental
Fundamental band. La transición vibracional 1 ← 0, la única que el oscilador armónico permite desde el estado fundamental y la que domina cualquier espectro infrarrojo a temperatura ordinaria. En el ¹²C¹⁶O está medida en 2143,2712 cm⁻¹, es decir 4,666 µm — y no en los 4,609 µm que da invertir la frecuencia armónica, que no es ninguna transición. II.3
base de número
Number basis (Fock basis). La base de autoestados |n⟩ del operador número, en la que a es la matriz con √1, √2, √3… en la primera superdiagonal y a† su traspuesta. Montarlas a 60 × 60 y multiplicarlas reproduce [a, a†] = 1 con una desviación de 1,4 × 10⁻¹⁴… salvo en la última esquina, que vale −59 exactamente: ningún par de matrices finitas puede cumplir esa relación, porque la traza de un conmutador es cero. II.3
banda caliente
Hot band. Una transición n+1 ← n con n ≥ 1, que sólo se ve si el nivel de partida está poblado. En el armónico caerían todas encima de la fundamental; la anarmonicidad las escalona 2ω̃_e x_e = 26,58 cm⁻¹ hacia el rojo, y la primera del CO cae en 2116,66 cm⁻¹. A 298,15 K son indetectables —2,835 de cada cien mil moléculas están en n = 1— y a 2000 K se ven a la vez que la fundamental. II.3
base ortonormal
Orthonormal basis. Conjunto de vectores {|n⟩} con ⟨n|m⟩ = δₙₘ en el que todo estado se desarrolla con cₙ = ⟨n|ψ⟩. Las dos condiciones son distintas y hacen falta las dos. La ortonormalidad no se supone, se comprueba: para la base del oscilador, integrando por cuadratura las 91 parejas con n, m ≤ 12, el peor |⟨n|m⟩ − δₙₘ| vale 1,6 × 10⁻¹⁵. II.4
barrera centrífuga
Centrifugal barrier. El mismo ħ²ℓ(ℓ+1)/2mr² del potencial centrífugo, nombrado por lo que hace: una pared repulsiva que mantiene fuera del origen a todo estado con ℓ > 0. Es la razón de que R_nℓ salga del origen como r^ℓ y de que |ψ(0)|² valga cero exacto en cuanto ℓ > 0, mientras que en el 1s vale 2,15 × 10³⁰ m⁻³. En r = a₀ con ℓ = 1 la barrera vale 27,2114 eV, tanto como el Coulomb en ese mismo punto, y es la forma cuantitativa de decir por qué los estados con momento angular están expulsados del núcleo. II.5
base mínima
Minimal basis. La base más pequeña posible: una función por orbital atómico ocupado, sin funciones de polarización ni exponentes libres. En el LCAO del H₂⁺ son dos 1s de hidrógeno rígidos —no se contraen, no se polarizan, no se les mezcla nada de 2p—, y ahí está todo el error del método: se deja el 36,8 % de la profundidad del pozo, con un fallo que sigue al solapamiento, del 0,6 % a 6,00 a₀ al 15,0 % a 1,50 a₀. II.7
C
cuerpo negro
Black body. Cuerpo ideal que absorbe toda la radiación que le llega, sin reflejar nada, y que por tanto emite el máximo posible a cada temperatura. Su espectro no depende de con qué esté hecho, sólo de T: ése es el motivo de que fuera el problema central de la física de 1900. Un agujero pequeño en una cavidad cerrada se comporta como uno con una fidelidad mejor del 1 %. I.1
catástrofe ultravioleta
Ultraviolet catastrophe. Nombre que Ehrenfest puso en 1911 al absurdo de la ley de Rayleigh-Jeans: integrada sobre todas las longitudes de onda da energía infinita. El nombre es posterior a Planck en once años, así que no fue lo que le llevó a su fórmula, aunque casi todos los libros lo cuenten así. I.1
cuanto
Quantum. La porción indivisible mínima en que una magnitud puede intercambiarse. Para la radiación de frecuencia ν vale E = hν: a 550 nm son 3,61 × 10⁻¹⁹ J, es decir 2,25 eV. El plural español es «cuantos», y el adjetivo «cuántico» no significa grande — significa que la magnitud viene a trozos. I.1
constante de Planck
Planck constant (h). La constante que relaciona la energía de un cuanto de radiación con su frecuencia, E = hν. Desde el 20 de mayo de 2019 es exacta por definición: h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s, y es ella la que define el kilogramo en lugar de al revés. I.1
constante de Planck reducida
Reduced Planck constant (ħ, «hache barra»). ħ = h/2π = 1,054 571 82 × 10⁻³⁴ J·s. Aparece siempre que la fórmula usa frecuencia angular en vez de frecuencia: E = ħω. Es la unidad natural del momento angular — el espín del electrón es ħ/2. I.1
constante de Rydberg
Rydberg constant (R). El factor de escala de todas las series espectrales del hidrógeno: R_H = 1,096 776 × 10⁷ m⁻¹ para el hidrógeno real, R_∞ = 1,097 373 × 10⁷ m⁻¹ para un núcleo de masa infinita. Es la magnitud medida con más precisión de toda la física, con doce cifras significativas. I.1
complementariedad
Complementarity. La imposibilidad de exhibir a la vez el comportamiento ondulatorio y el corpuscular en un mismo montaje. Enunciada por Bohr en 1927 como principio, hoy se escribe como una desigualdad medible, D² + V² ≤ 1 (Englert, 1996): no es un o lo uno o lo otro, es un intercambio continuo con franjas residuales a un lado y a otro. I.2
criomicroscopía electrónica
Cryo-electron microscopy (cryo-EM). Técnica que congela biomoléculas en hielo vítreo y reconstruye su estructura promediando cientos de miles de imágenes de dosis muy baja. El contraste no viene de la absorción, que sería nula, sino de la interferencia entre la onda dispersada y la directa: sin carácter ondulatorio del electrón no habría imagen. Llega hoy a 1,2 Å; Nobel de Química de 2017. I.2
cota de Margolus-Levitin
Margolus-Levitin bound. Un sistema con energía media E por encima de su estado fundamental no puede evolucionar a un estado ortogonal en menos de h/(4E). Con 1 eV disponible salen 1,03 fs, es decir un techo de 967 THz para cualquier ordenador imaginable, sea cual sea su tecnología. Es de 1998 y es la versión moderna y utilizable de la relación energía-tiempo. I.3
condensado de Bose-Einstein
Bose-Einstein condensate (BEC). Estado en el que una fracción macroscópica de un gas de bosones ocupa el mismo estado de menor energía, previsto en 1924 y obtenido en 1995 con unos dos mil átomos de rubidio-87 a 170 nanokelvin. A esa temperatura la longitud de onda de de Broglie del átomo vale 0,454 µm, mil setecientas veces su propio tamaño. I.4
carga nuclear efectiva
Effective nuclear charge (Z_ef). La carga que un electrón siente de verdad, Z_ef = Z − S, una vez descontado el apantallamiento de los demás. Es lo que fija el tamaño, r ≈ n*²a₀/Z_ef, y la energía de ionización. Sube 0,65 por cada paso dentro de un periodo, y por eso el átomo encoge del litio (167 pm) al neón (38 pm) mientras el núcleo gana siete protones. I.4
cota de Tsirelson
Tsirelson bound. El techo cuántico del parámetro CHSH, S ≤ 2√2 = 2,8284, demostrado en 1980. Es tan interesante como la cota clásica de 2: existen teorías imaginables, coherentes y sin señalización superluminal, que llegarían hasta 4, y la naturaleza no las usa. Por qué se para justo en 2√2 es una pregunta abierta. I.5
colapso espontáneo
Spontaneous collapse (GRW, CSL). Familia de teorías que modifican la ecuación de Schrödinger con localizaciones aleatorias: en la versión de Ghirardi, Rimini y Weber (1986), cada nucleón sufre una con probabilidad 10⁻¹⁶ por segundo sobre unos 100 nm. Como los ritmos se suman, un nucleón aguanta 3,2 × 10⁸ años y un gramo colapsa en 16,6 ns. Es la única lectura del formalismo que predice algo distinto, y por eso la única refutable. I.5
cuadrado integrable
Square-integrable. Propiedad de una función cuya integral de |Ψ|² converge, que es lo mínimo que se le exige a un estado físico. No basta con ella: Ψ ∝ (x² + a²)^{−1/2} es de cuadrado integrable —la integral vale π/a— y sin embargo ⟨x²⟩ diverge linealmente con el corte —5,43 al cortar en ±10 a, 62,7 en ±100 a y 636 en ±1000 a—, de modo que ese electrón tiene norma 1 y no tiene anchura. II.1
corriente de probabilidad
Probability current (j). j = (ħ/2mi)(Ψ*∂ₓΨ − Ψ∂ₓΨ*) = (ħ/m)·Im(Ψ*∂ₓΨ), en s⁻¹ en una dimensión. Mide cuánta probabilidad cruza un punto por segundo y vive entera en la fase: toda Ψ real da j ≡ 0 y ⟨p⟩ = 0. Para una onda plana se reduce a j = ρv, con v = 593 km/s en el electrón de 1 eV. II.1
conjunto completo
Complete set. Propiedad de una familia de funciones en la que cualquier otra se puede desarrollar: Ψ(x,0) = Σ c_nψ_n, con los c_n obtenidos proyectando. Las autofunciones del hamiltoniano la tienen: se usa aquí, y la comprobación por Parseval está hecha en el II.4 y el teorema que la sostiene —el espectral— es del III.1. Con ella resolver la ecuación dependiente del tiempo se reduce a un desarrollo. Además |c_n|² = P(E_n) y Σ|c_n|² = 1. II.1
cifras significativas
Significant figures. Los dígitos de un resultado que están respaldados por la medida. Norma del sitio: se dan tres como máximo salvo que la fuente justifique más, y jamás se arrastran los quince dígitos que escupe Python — un dato con precisión falsa es un dato mal citado. General
coeficiente de reflexión
Reflection coefficient (R). Fracción del flujo incidente que vuelve, R = |j_refl|/j_inc = |B/A|². No se define con probabilidades porque un estado de dispersión no es normalizable: se define con corrientes. Un escalón con E = 2V₀ refleja el 2,944 % cuando la física clásica dice que refleja cero. II.2
coeficiente de transmisión
Transmission coefficient (T). Fracción del flujo incidente que pasa, T = j_trans/j_inc. Lleva un factor de flujo que casi siempre se olvida: T = (k₂/k₁)|F/A|², no |F/A|². Sin él, un escalón con E = 2V₀ da R + T = 1,402 — el 140 % de una partícula—, y el error no canta porque 1,4 no parece absurdo. II.2
constante de fuerza
Force constant (k). La curvatura del potencial en su mínimo, k ≡ V″(0), que es lo que fija ω = √(k/μ). No es un parámetro que se elija: se mide, y es una propiedad del enlace y no de los átomos que cuelgan de él. En el ¹²C¹⁶O vale 1902 N/m — harían falta 1,90 N para estirar un milímetro un muelle que mide 113 picómetros. II.3
constante rotacional
Rotational constant (B_e). El parámetro que fija la escalera de rotación de una molécula, B_e = ħ/(4πcI) con I el momento de inercia. Se mide en microondas y es unas mil veces menor que la constante vibracional: en el ¹²C¹⁶O, B_e = 1,93128 cm⁻¹ frente a los 2169,81 de la vibración, y de ahí sale I = 1,449 × 10⁻⁴⁶ kg·m². Sirve para pesar la molécula sin tocarla. II.3
constante de anarmonicidad
Anharmonicity constant (ω̃_e x_e). El coeficiente del término en (v+½)² del desarrollo espectroscópico de los niveles vibracionales, G(v) = ω̃_e(v+½) − ω̃_e x_e(v+½)² + …, siempre con signo negativo. Para el ¹²C¹⁶O vale 13,288 cm⁻¹, y con ella sola se predicen la banda fundamental y el primer sobretono con errores de 10⁻⁵. II.3
conmutador
Commutator ([A, B] = AB − BA). Mide cuánto importa el orden de dos operadores, y es lo que decide casi todo en este módulo: si dos observables conmutan existe una base común de autovectores y se pueden medir a la vez; si no, no hay ni base común ni medida simultánea. De dos hermíticos sale un operador antihermítico, así que ⟨[A, B]⟩ es imaginario puro, y de ahí que la cota de Robertson lleve un módulo y un medio. Centrar los operadores no lo cambia —[Ã, B̃] = [A, B] exactamente, porque los números conmutan con todo—, cosa que al anticonmutador no le pasa. El caso con nombre es [x̂, p̂] = iħ: en el bloque de los 60 primeros niveles del oscilador, ‖[x̂, p̂] − iħ‖ = 1,8 × 10⁻¹⁴. II.4
constante de separación
Separation constant. El número al que quedan igualados los dos lados de una ecuación cuando cada uno depende de variables distintas: si mover r no altera el lado angular y mover los ángulos no altera el radial, los dos valen la misma constante. En el hidrógeno se la escribe ℓ(ℓ+1) por convenio, y en ese punto del desarrollo eso es sólo un nombre — cualquier real sirve, ℓ = 2,5 o ℓ = π incluidos. Que ℓ acabe siendo entero no lo decide la separación: lo decide la regularidad en los dos polos de la esfera, un artículo más adelante. II.5
convenio de Condon-Shortley
Condon-Shortley phase convention. El factor (−1)^m que se mete en la definición de los armónicos esféricos. Es una convención de signo, no física: afecta sólo a los m impares y no cambia ninguna |Y_ℓm|², así que ninguna densidad de probabilidad se entera. Lo que sí cambia de signo son las combinaciones reales p_x y p_y y los elementos de matriz de los operadores escalera, de modo que mezclar dos convenios se paga más tarde y en otro sitio. Comprobado que la biblioteca del panel y las expresiones cerradas usan el mismo: desviación máxima 2,2 × 10⁻¹⁵ sobre los 25 armónicos con ℓ ≤ 4. II.5
corrimiento de Lamb
Lamb shift. La separación entre dos niveles que la ecuación de Dirac predice degenerados —el 2s₁/₂ y el 2p₁/₂—, medida por Lamb y Retherford en 1947 y explicada por la electrodinámica cuántica: el electrón interactúa con el vacío. En el 1s vale 8172,874 MHz, o sea 0,03380 meV, y va en sentido contrario a la estructura fina. Es el 23 % de lo que separa a Schrödinger de la ionización medida del hidrógeno: que haga falta un desplazamiento en megahercios para clavar la quinta cifra de una energía de trece electronvoltios dice a qué escala se trabaja aquí. II.5
caída al centro
Fall to the centre. Lo que le pasa a un sistema cuyo hamiltoniano no está acotado por debajo: no significa «ligado muy fuerte» sino que no hay estado fundamental y el problema está mal planteado sin regularizar el origen. Se ve con un argumento de escalas: al encoger una función por un factor λ la energía cinética crece como λ² y un potencial −k/r^s baja como −λ^s, así que hay caída en cuanto s > 2. La frontera está en s = 2, donde los dos escalan igual y decide el coeficiente: con −β/r² el hamiltoniano aguanta mientras β ≤ ħ²/8m. Coulomb, con s = 1, está muy por debajo, y por eso el hidrógeno tiene fundamental. II.5
constante de Boltzmann
Boltzmann constant (k_B). k_B = 1,380 649 × 10⁻²³ J/K, exacta por definición desde 2019: convierte una temperatura en la energía típica del desorden térmico. En la moneda atómica vale 86,1733 µeV/K —un kelvin «son» 86 µeV—, y con ella un tesla sobre un magnetón equivale a 0,672 K. II.6
constante de estructura fina
Fine-structure constant (α). α = e²/4πε₀ħc, la constante adimensional que mide la intensidad de la interacción electromagnética y en la que se desarrollan las predicciones de la QED. Dividida entre 2π da 1,161 41 × 10⁻³, que reproduce al 0,15 % la anomalía medida del electrón sin ningún parámetro ajustable. II.6
coeficiente de Clebsch-Gordan
Clebsch-Gordan coefficient. El solape ⟨j₁m₁;j₂m₂|JM⟩ entre la base producto y la acoplada. No hace falta tabla: se obtienen bajando con J₋ desde el estado de M máximo y exigiendo ortogonalidad. Para el 2p salen √⅔ = 0,81650 y √⅓ = 0,57735, y la matriz completa es unitaria, o sea un giro. II.6
correlación de espín
Spin correlation (C_kk = ⟨S₁ₖS₂ₖ⟩). El valor esperado del producto de las componentes de los dos espines sobre el mismo eje. En |1,0⟩ y en |0,0⟩ C_zz vale −ħ²/4 en los dos, así que el eje z no los distingue; C_xx y C_yy cambian de signo, +ħ²/4 frente a −ħ²/4, y son las que sí. II.6
covarianza de posiciones
Position covariance. La magnitud cov(x₁,x₂) = ⟨x₁x₂⟩ − ⟨x₁⟩⟨x₂⟩, que vale cero si las dos coordenadas son independientes y aísla la correlación sin arrastrar la anchura de cada nube. Para un par simetrizado en dos orbitales ortogonales vale exactamente ±|⟨a|x|b⟩|², el mismo número con dos signos: +0,0324 nm² en el simétrico del pozo de 1 nm, −0,0324 nm² en el antisimétrico y 0 exacto con partículas distinguibles. II.7
cancelación catastrófica
Catastrophic cancellation. Lo que ocurre al restar dos cantidades parecidas: las cifras que coinciden se van y sobreviven justo las menos fiables, de modo que una precisión anunciada sobre un total no dice nada sobre la diferencia que se mide. En el helio, un error del 5,3 % en la energía total se convierte en un 17,0 % en la energía de ionización, que es la magnitud con la que se compara el experimento. II.7
coordenadas esferoidales prolatas
Prolate spheroidal coordinates. El sistema natural de un problema de dos centros: ξ = (r_A + r_B)/R en [1, ∞) y η = (r_A − r_B)/R en [−1, 1], con dV = (R³/8)(ξ² − η²) dξ dη dφ. Las superficies de ξ constante son elipsoides que envuelven los dos núcleos y las de η constante, hiperboloides; en ellas los dos polos del Coulomb caen en el borde del dominio y no en su interior, y por eso el H₂⁺ se resuelve en una malla en vez de aproximarse: salen R_e = 1,9972 a₀ = 105,7 pm y D_e = 2,7928 eV. II.7
curva de energía potencial
Potential energy curve. La función E(R) que da, para cada distancia internuclear fija, la energía electrónica más la repulsión de los núcleos; existe porque Born-Oppenheimer separa los dos movimientos, y es literalmente el potencial en el que después se mueven los núcleos. La del H₂⁺ tiene su mínimo en 1,9972 a₀ = 105,7 pm con D_e = 2,7928 eV, que no es lo que se mide: el espectro da D₀ = 2,651 eV, y los 0,142 eV de diferencia son la energía de punto cero. II.7
cociente de Rayleigh
Rayleigh quotient. E[ψ] = ⟨ψ|H|ψ⟩/⟨ψ|ψ⟩, el valor esperado de la energía sin exigir que ψ esté normalizada. El principio variacional dice que nunca baja del fundamental, con igualdad sólo si ψ es el propio fundamental; medido sobre 1500 estados de prueba al azar y cinco semillas distintas, ninguno baja. Es una media pesada de los autovalores con pesos |c_n|², y por eso no puede salir por debajo del menor de ellos. II.8
cúspide
Cusp. La esquina que la función de onda exacta tiene sobre el núcleo: en el 1s del hidrógeno dR/dr vale −1 en r = 0, no cero, y esa pendiente la exige la singularidad del Coulomb. Una prueba que llegue plana al origen se deja allí la parte más barata de la energía potencial —la gaussiana se pasa un 15,1 %—, y ponerla donde no la hay cuesta lo mismo: el ensayo con cúspide en el oscilador se pasa un 41,4 %, que es exactamente √2 − 1. II.8
corrección de Langer
Langer correction. La sustitución ℓ(ℓ+1) → (ℓ + ½)², hecha sólo dentro de la integral de acción radial, que arregla el WKB en un potencial central: sin ella el término centrífugo desaparece en ℓ = 0, el punto de retorno interior se va a r = 0 y la integral deja de estar definida. No es inventarse otro medio — sale de rehacer el desarrollo en ħ tras el cambio r = e^s, que convierte la semirrecta en la recta entera, y el ¼ lo pone el jacobiano —. Con ella el hidrógeno sale exacto; sin ella el 2p se equivoca un 9,16 %. II.8
D
difracción
Diffraction. El ensanchamiento de una onda al atravesar una abertura o rodear un obstáculo de tamaño d, con un primer mínimo en sen θ = λ/d. Es la firma que distingue una onda de un chorro de proyectiles, y por eso su observación con electrones en 1927 zanjó la hipótesis de de Broglie: a 54 V y con d = 216 pm, el ángulo es de 50°. I.2
distinguibilidad
Distinguishability (D). La medida cuantitativa de cuánta información de camino hay disponible, normalizada entre 0 y 1: si se acierta el camino una fracción p de las veces, D = 2p − 1. Acertar el 90 % da D = 0,80, y eso todavía permite una visibilidad de 0,60. I.2
decoherencia
Decoherence. La pérdida de coherencia entre las alternativas de una superposición por entrelazamiento con el entorno, que se lleva la información de camino aunque nadie la recoja. Se calcula y se mide: moléculas de C₇₀ calentadas por encima de unos 2 000 K pierden sus franjas porque emiten fotones térmicos de longitud de onda comparable a la separación entre caminos. Explica por qué la interferencia deja de verse, no por qué aparece un resultado concreto. I.2
desigualdad de Kennard
Kennard inequality. La forma exacta del principio de incertidumbre para posición y momento, Δx·Δp ≥ ħ/2 = 5,273 × 10⁻³⁵ J·s, demostrada por Earle Kennard en 1927 unos meses después del artículo de Heisenberg. Las dos deltas son desviaciones típicas medidas sobre muchas copias del mismo estado, así que la desigualdad no dice nada sobre la precisión de ninguna medida individual. I.3
desviación típica
Standard deviation (σ o Δ). La raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Es un estadístico de una distribución, no de un dato: hacen falta muchas medidas para tener una. Que las Δ del principio de incertidumbre sean desviaciones típicas es la razón de que el principio limite lo que se puede preparar y no lo que se puede medir. I.3
degeneración
Degeneracy. Que varios estados distintos tengan exactamente la misma energía. En el hidrógeno los cuatro orbitales de n = 2 —el 2s y los tres 2p— están todos a −3,401 eV, cosa peculiar del potencial de Coulomb puro. En cualquier átomo con más de un electrón esa degeneración se rompe, y romperla es lo que produce la tabla periódica. I.4
distribución radial de probabilidad
Radial probability distribution. P(r) = |R_nl(r)|²r², la probabilidad de encontrar el electrón en la cáscara esférica entre r y r+dr. El factor r² es lo que hace que P(0) = 0 aunque |ψ(0)|² sea máxima, y lo que sitúa el máximo del 1s en el radio de Bohr — a₀ = 52,9177 pm con el núcleo idealizado como infinitamente pesado, 52,9465 pm en el hidrógeno real, que lleva masa reducida. Su media es otra cosa: ⟨r⟩ = 3a₀/2 = 79,3766 pm, un 50 % más lejos, porque P(r) sube como r² y cae como una exponencial y esa cola arrastra la media hacia fuera. I.4
defecto cuántico
Quantum defect (δ). La corrección que hay que restarle a n para que un nivel de un átomo alcalino se escriba como uno del hidrógeno: E = −13,606 eV/(n−δ)². Mide cuánto penetra el orbital en las capas cerradas. Para el sodio vale 1,373 en los niveles s, 0,883 en los p y ≈ 0,01 en los d, que por eso son prácticamente hidrogenoides. I.4
distribución cuántica de claves
Quantum key distribution (QKD). Generar una clave secreta compartida a partir de medidas sobre estados cuánticos, de modo que un espía deje huella: interceptar destruye la coherencia y baja las correlaciones de forma medible. El satélite Micius repartió en 2017 pares entrelazados entre estaciones separadas 1203 km, con una violación de Bell de S = 2,37 ± 0,09 que certifica que nadie escuchaba. I.5
desigualdad de Bell
Bell inequality. Cota que cumple cualquier teoría de realismo local, demostrada por John Bell en 1964. En la versión de Clauser, Horne, Shimony y Holt (1969), S = E(a₀,b₀) − E(a₀,b₁) + E(a₁,b₀) + E(a₁,b₁) cumple |S| ≤ 2, y la demostración cabe en una línea: A₀(B₀−B₁) + A₁(B₀+B₁) vale ±2 para cada par. La cuántica predice 2,8284 y el experimento le da la razón. I.5
densidad de probabilidad
Probability density (ρ). ρ = |Ψ|², la probabilidad por unidad de longitud (m⁻¹ en una dimensión, m⁻³ en tres) de encontrar la partícula en un punto. No es densidad de materia ni de carga: el electrón llega siempre entero. Para el fundamental del hidrógeno vale 2,15 × 10³⁰ m⁻³ justo en el núcleo. II.1
desintegración alfa
Alpha decay. Emisión de un núcleo de helio-4 por un núcleo pesado, explicada por Gamow en 1928 como efecto túnel a través de la barrera de Coulomb. Las vidas medias van de 299 nanosegundos (Po-212) a 1,4 × 10¹⁰ años (Th-232) con energías que sólo se diferencian en un factor 2,2, y el modelo más crudo posible las reproduce todas con un error entre ×0,29 y ×2,3. II.2
desdoblamiento por túnel
Tunnelling splitting. Separación entre los dos niveles —simétrico y antisimétrico— en que se parte un nivel cuando dos pozos idénticos se acercan lo bastante para comunicarse por efecto túnel. Va como e^(−κb) con b la anchura de la barrera. En el amoníaco vale 98,4 µeV y produce un reloj de 42 ps; en el ND₃ cae a 6,57 µeV, una razón de 15,0 que sólo un mecanismo exponencial en √m puede explicar. II.2
deuterón
Deuteron. El núcleo del deuterio, un protón y un neutrón ligados por 2,2246 MeV. Es el único estado ligado del sistema y está atado por los pelos: con un alcance de 2,1 fm, el umbral de ligadura en tres dimensiones está en 23,2 MeV de profundidad y la que reproduce el dato es 33,7, sólo 1,45 veces el umbral. Su función de onda se extiende 4,32 fm, de modo que el 62,8 % del tiempo los dos nucleones están más lejos de lo que llega la fuerza que los une. II.2
diodo túnel resonante
Resonant tunnelling diode (RTD). Dispositivo de semiconductor hecho de dos barreras finas con un pozo en medio —en GaAs/AlGaAs, capas de unos pocos nanómetros— cuya curva corriente-tensión no es monótona: tiene un pico y después un valle, de modo que en un tramo la corriente BAJA mientras la tensión sube. Esa resistencia diferencial negativa es lo que permite usarlo como oscilador. Lo propusieron Tsu y Esaki en 1973 y se midió al año siguiente. II.2
desigualdad de Cauchy-Schwarz
Cauchy-Schwarz inequality. |⟨φ|ψ⟩|² ≤ ⟨φ|φ⟩⟨ψ|ψ⟩, con igualdad si y sólo si los dos vectores son paralelos. Se demuestra en cuatro renglones desde ⟨χ|χ⟩ ≥ 0 con χ = φ − λψ y λ = ⟨ψ|φ⟩/⟨ψ|ψ⟩ —la componente de φ a lo largo de ψ—, así que no es un préstamo del análisis: vale en L² y en ℂ² por igual. En 200 pares al azar el cociente |⟨φ|ψ⟩|²/(⟨φ|φ⟩⟨ψ|ψ⟩) no pasó nunca de 0,9737, y construyendo a propósito φ proporcional a ψ vale 1. Aplicada a dos operadores centrados es la relación de Robertson. II.4
distribución de Poisson
Poisson distribution. La ley P(n) = e^(−λ)λⁿ/n! sobre los enteros n ≥ 0, con media y varianza iguales las dos a λ. Aparece en este módulo sin que nadie la invoque: los pesos |cₙ|² de una gaussiana desplazada una distancia d sobre la base del oscilador son exactamente una Poisson de λ = d²/2, de modo que Parseval se reduce a la serie de la exponencial y da 1 para todo d, sin aproximar nada. Con d = 1, λ = 0,5 y los cuatro primeros pesos son 0,6065 · 0,3033 · 0,07582 · 0,01264. Su cola cae como un factorial y no como una exponencial: en λ = 4,5 y N = 12, el primer término omitido se lleva el 69 % de todo lo que falta. II.4
dominio
Domain (D(A)). El subconjunto del espacio de Hilbert donde un operador está de verdad definido, entendido como la condición de que Aψ vuelva a ser un vector del espacio. En dimensión finita sobra; en dimensión infinita decide qué funciones son estados y cuáles no, y es lo que separa «simétrico» de «autoadjunto», porque el adjunto trae su propio dominio. El caso del hidrógeno lo enseña con números: R ~ 1/r cerca del origen SÍ es de cuadrado integrable —el r² del volumen se come entero el 1/r² de |R|², y la norma converge a 1,0000 al bajar el corte de 10⁻² a 10⁻⁶ a₀—, y aun así no es un estado, porque su energía cinética diverge como 1/ε: con el corte en 10⁻⁶ a₀ la cuadratura da 999 999. Está en L² y fuera del dominio del hamiltoniano. II.4
desigualdad de Schrödinger
Schrödinger uncertainty relation, de 1930. σ_A²σ_B² ≥ ¼⟨{Ã, B̃}⟩² + ¼|⟨[A, B]⟩|²: la desigualdad completa que sale de Cauchy-Schwarz, con el término del anticonmutador puesto en vez de tirado. Es estrictamente más fina que la de Robertson, y cuánto no es un detalle: en 3000 tercias (A, B, ψ) al azar su margen mínimo es −8,9 × 10⁻¹⁶ —cero con el ruido de la coma flotante— frente a +7,1 × 10⁻⁶ de Robertson, y en la peor de las tercias su cota supera a la de Robertson en un 99 % del producto σ_Aσ_B. La gaussiana con gorjeo la satura para todo b. II.4
dispersión de energía
Energy spread (σ_E). La desviación típica del hamiltoniano en un estado, √(⟨H²⟩ − ⟨H⟩²). Fija por sí sola el ritmo máximo al que ese estado puede cambiar, porque la cota de Mandelstam-Tamm ħ/2σ_E no menciona ningún observable: un estado estacionario tiene σ_E = 0 y su cota está en el infinito, y en efecto no cambia nunca. Para una mezcla de dos niveles con pesos p₁ y p₂ vale √(p₁p₂)·ΔE, máxima en el reparto igualado: 0,564 eV en la mezcla 50/50 de los dos primeros niveles del pozo de 1 nm, y sólo 0,1122 eV si el reparto es 99/1. II.4
degeneración accidental
Accidental degeneracy. Que coincidan en energía estados con distinto ℓ, cosa que la simetría de rotación no exige: el 2s y el 2p resuelven ecuaciones radiales distintas —una con barrera centrífuga y otra sin ella— y salen iguales de todas formas. Es propia del 1/r, y de ella sale que la degeneración del nivel n sea n² en vez de 2ℓ+1. El nombre es malo, porque no es una casualidad numérica sino un teorema. Aquí no se declara, se mide: diagonalizada la radial hasta n = 5, los estados con la misma n coinciden dentro de 5 × 10⁻¹⁰ relativo, y romper el 1/r los separa. II.5
determinante de Slater
Slater determinant. La forma de escribir un estado antisimétrico de N partículas: el determinante N × N de φᵢ(xⱼ) dividido por √N!, una fila por espín-orbital y una columna por partícula. Intercambiar dos partículas es intercambiar dos columnas, y el determinante cambia de signo; repetir un espín-orbital deja dos filas iguales y lo anula idénticamente, que es de donde sale la exclusión sin postularla aparte. Comprobado contra la suma sobre permutaciones en 300 configuraciones de N = 2 a 6, con una discrepancia máxima de 7 × 10⁻¹⁵. II.7
desdoblamiento hiperfino
Hyperfine splitting. La separación de un nivel atómico por el acoplamiento del momento magnético nuclear con el electrón, dominada en los estados s por el término de contacto de Fermi y responsable de la raya de 21 cm. Es el más pequeño de los tres desdoblamientos del hidrógeno, pero su tamaño no lo fija la masa del protón: medido sobre el 1s vale 1/30,8 de la estructura fina y no 1/1836, sesenta veces más, porque el momento del protón no es un magnetón de Bohr — su g_p ≈ 5,59 es él solo casi un factor 6. II.6
desigualdad de Hardy
Hardy's inequality. ∫₀^∞ |u′|² dr ≥ ¼∫₀^∞ |u|²/r² dr para toda u con u(0) = 0. Dice exactamente cuánto −λ/r² puede tirar hacia abajo antes de que la energía cinética deje de poder sostenerlo: hasta λ = ¼ y no más. El ¼ es óptimo y NO se alcanza —ninguna función lo satura—, lo que hace que en λ = ¼ justo el operador siga acotado por abajo aunque sin mínimo. Medida sobre el problema radial: con λ = 0,20 el fundamental se queda en 7,92 unidades y con λ = 1 se desploma a −223 al refinar el corte. Cuidado con confundir este umbral con el de la unicidad de extensiones, que está en λ = −¾. III.1
E
emitancia espectral
Spectral exitance (M_λ). La potencia que un cuerpo emite por unidad de superficie y por unidad de intervalo de longitud de onda, en W·m⁻²·m⁻¹. Es la altura de la curva del cuerpo negro; su integral sobre todas las longitudes de onda da la emitancia total σT⁴, que a 5 772 K vale 6,29 × 10⁷ W/m². I.1
equipartición
Equipartition theorem. Resultado de la física estadística clásica según el cual cada grado de libertad cuadrático de un sistema en equilibrio se lleva ½kT de energía media: 2,07 × 10⁻²¹ J a 300 K. Aplicado a los infinitos modos de una cavidad produce la ley de Rayleigh-Jeans, y con ella el desastre. I.1
efecto fotoeléctrico
Photoelectric effect. Emisión de electrones por un metal iluminado. Lo raro no es que ocurra, sino que dependa del color y no del brillo: por debajo de una frecuencia umbral no sale ni un electrón por mucha luz que se eche, y el sodio deja de emitir a partir de 544 nm. I.1
electronvoltio
Electronvolt (eV). La energía que gana un electrón al atravesar una diferencia de potencial de un voltio: 1 eV = 1,602 176 634 × 10⁻¹⁹ J. Es la unidad natural de la física atómica porque los números salen del orden de la unidad — la luz visible va de 1,77 eV (700 nm) a 3,10 eV (400 nm). I.1
efecto Compton
Compton effect. Al dispersar rayos X en electrones, la longitud de onda de la radiación aumenta en Δλ = (h/m_e c)(1 − cos θ), con h/m_e c = 2,426 pm. Compton lo midió en 1923 y es la prueba que exige tratar la luz como partícula con momento definido, cosa que el efecto fotoeléctrico por sí solo no obliga a hacer. I.1
espectro de rayas
Line spectrum. El conjunto de longitudes de onda discretas que un gas caliente emite o absorbe, en vez del continuo que emite un sólido incandescente. Es la huella dactilar de cada elemento: las dos rayas amarillas del sodio a 589,0 y 589,6 nm identifican el sodio y nada más. I.1
estado fundamental
Ground state. El nivel de energía más bajo de un sistema ligado, del que no se puede caer. En el hidrógeno es el n = 1, a −13,606 eV; que exista y que tenga un tamaño definido —52,9 pm— es justo lo que la física clásica no sabía explicar. I.1
energía de ionización
Ionisation energy. La energía necesaria para arrancar del todo un electrón de un átomo. En el hidrógeno real son 13,598 eV —13,606 eV si se toma el núcleo como infinitamente pesado—, que corresponden a un fotón de 91,2 nm; en el helio, 24,59 eV, un valor que el modelo de Bohr no acierta ni de lejos. I.1
experimento de Franck-Hertz
Franck-Hertz experiment. Bombardeo de vapor de mercurio con electrones de energía creciente, en el que la corriente cae de forma periódica cada 4,9 V. Demuestra que el átomo sólo acepta energía a trozos, sin usar luz en ningún momento: es la prueba directa de que los niveles existen. I.1
estado de mínima incertidumbre
Minimum-uncertainty state. El estado que satura la desigualdad, con Δx·Δp = ħ/2 exactamente. Para posición y momento es único: la campana de Gauss. Cualquier otro estado queda estrictamente por encima — dos paquetes gaussianos separados 8σ dan 4,11 veces ħ/2. Por eso la desigualdad es un suelo y no una igualdad, y por eso «Δx·Δp = h» aplicado a una rendija cuadrada es un número que no existe. I.3
estado comprimido
Squeezed state. Estado de la luz en el que una de las dos cuadraturas del campo tiene menos ruido que el vacío, pagándolo con la otra: la desigualdad acota el producto, no cada factor. Es la prueba práctica de que el principio no prohíbe medir bien. LIGO lo usa desde 2019, y 6 dB de compresión bajan la desviación típica del ruido un factor 2. I.3
energía de punto cero
Zero-point energy (E₀). La energía que a un sistema ligado le queda cuando ya no se le puede quitar más, porque estar quieto en un punto exigiría posición y momento definidos a la vez. Para un oscilador de frecuencia ν vale hν/2: en la molécula de H₂ esa fórmula da 273 meV —equivalentes a 3166 K—, y la cifra real, con la anarmonicidad del enlace dentro, es 269 meV. La diferencia es la marca de que ningún enlace es una parábola exacta. Existe y se mide (efecto Casimir), pero no es un combustible: sólo se saca trabajo de una diferencia, y el vacío es el estado más bajo que hay. I.3
efecto Casimir
Casimir effect. La atracción entre dos superficies conductoras muy próximas, P = π²ħc/(240a⁴), causada por que entre ellas caben menos modos del campo electromagnético que fuera. Predicho en 1948 y medido desde 1997. A una micra da 1,30 mPa y a diez nanómetros 1,28 atmósferas. Juntar 1 cm² de placas de 1 µm a 100 nm libera 4,3 × 10⁻¹¹ J — y hay que devolverlos para repetirlo. I.3
enana blanca
White dwarf. El resto de una estrella de masa moderada cuando agota su combustible: una bola del tamaño de la Tierra sostenida por presión de degeneración de sus electrones. Su radio decrece con la masa, R ∝ M⁻¹/³, al revés que cualquier objeto ordinario. Sirio B tiene 1,018 masas solares y 5800 km de radio, con una densidad media de 2,5 toneladas por centímetro cúbico. I.3
ecuación de Schrödinger
Schrödinger equation. La ecuación de 1926 que gobierna la evolución de la función de onda y cuyas soluciones estacionarias en un potencial dado son los estados permitidos. En el potencial de Coulomb devuelve E_n = −13,606 eV/n² sin postular ninguna órbita: los niveles salen como condición para que la onda encaje, igual que las frecuencias de una cuerda salen de su longitud. I.4
experimento de Stern-Gerlach
Stern-Gerlach experiment. Paso de un haz atómico por un campo magnético no uniforme, que lo separa según la orientación del momento magnético. Con plata en 1922 dio dos haces, y con hidrógeno atómico (Phipps y Taylor, 1927) también: un número par, imposible para el momento angular orbital, que siempre da 2l+1 orientaciones. Es la prueba directa del espín. I.4
espín
Spin (s). Momento angular propio de una partícula, sin equivalente clásico. El del electrón vale ħ/2 y sólo admite dos orientaciones respecto a cualquier eje, con momento magnético de un magnetón de Bohr, 9,274 × 10⁻²⁴ J/T. No es una rotación: el electrón no tiene tamaño medido —el límite está por debajo de 10⁻¹⁸ m— y una esfera así girando superaría la velocidad de la luz. I.4
estructura fina
Fine structure. El desdoblamiento de los niveles atómicos por efectos relativistas, sobre todo el acoplamiento espín-órbita, de tamaño relativo del orden de α² = 5,3 × 10⁻⁵ en el hidrógeno. En el sodio el doblete D vale el 0,101 % de la transición; del litio al cesio crece 1650 veces, con un exponente efectivo en Z de 2,5 y no de 4. Se deduce de la ecuación de Dirac. I.4
energía de Fermi
Fermi energy (E_F). La energía del último estado ocupado a cero absoluto, E_F = (ħ²/2m)(3π²n)^(2/3). No contiene la temperatura. Para el cobre vale 7,03 eV, equivalente a 81 600 K y a electrones moviéndose a 1573 km/s; k_B T a 300 K es sólo el 0,37 % de esa cifra, y por eso el 99 % de los electrones de un metal no participa del calor. I.4
estabilidad de la materia
Stability of matter. El teorema de que la energía de N electrones y N núcleos está acotada por −C·N, es decir, linealmente: por eso juntar dos ladrillos da un ladrillo doble y no una explosión. Lo demostraron Dyson y Lenard en 1967, y Lieb y Thirring afinaron la constante en 1975. Para partículas bosónicas la energía se comporta como −N^(7/5) y la materia no sería extensa. I.4
efecto Zeno cuántico
Quantum Zeno effect. Que una sucesión de medidas frecuentes frene la evolución de un sistema, o lo arrastre a donde el experimentador quiera, en vez de dejarlo ir adonde iría solo. La versión de laboratorio más barata es óptica: una pila de N polarizadores repartidos entre 0° y 90° transmite el 25 % de la luz con dos, el 78,05 % con diez y el 95,97 % con sesenta, donde un solo analizador cruzado deja pasar el 0 %. Esas tres cifras son las de la luz a través de polarizadores y de nadie más: en otro sistema de dos niveles el ángulo del aparato y el del estado no tienen por qué ser el mismo, y las cifras cambian. I.5
entrelazamiento
Entanglement. Que el estado de un sistema compuesto no se pueda escribir como producto de estados de sus partes. Sus consecuencias son medibles: las partes dejan de tener estado propio —el de cada lado de un par de Bell es una mezcla al 50 %, con un bit entero de entropía— y sus resultados quedan correlacionados según E = cos 2(α−β). Es el caso genérico, no la excepción: los dos electrones de un átomo de helio lo están. I.5
estado producto
Product (separable) state. El que sí se factoriza, |ψ⟩⊗|φ⟩: cada parte tiene su propio estado y medir una no cambia la descripción de la otra. Describir N cúbits en estado producto cuesta 2N números; describirlos en general cuesta 2^N amplitudes, que para N = 300 son 2,04 × 10⁹⁰. Los estados producto son una esquina diminuta del espacio de estados. I.5
estado de Bell
Bell state. Cada uno de los cuatro estados máximamente entrelazados de dos cúbits; el más usado es |Φ⁺⟩ = (|HH⟩+|VV⟩)/√2. Con analizadores a α y β da P(++) = ½cos²(α−β) y correlación cos 2(α−β), que con los ángulos 0°/45° y 22,5°/67,5° produce S = 2√2 = 2,8284 y viola la desigualdad de Bell. Con espín 1/2 la correlación del singlete es −cos(α−β), sin el factor 2. I.5
estado reducido
Reduced state. La descripción de una parte de un sistema compuesto cuando se ignora el resto. Para un lado de un estado de Bell es la mezcla al 50 %, indistinguible de luz despolarizada, con entropía de entrelazamiento de un bit exacto. Es la razón matemática de que no se pueda enviar ningún mensaje: el estado reducido de Alicia no depende de lo que haga Bob. I.5
ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
Time-dependent Schrödinger equation (TDSE). iħ ∂Ψ/∂t = −(ħ²/2m)∂²Ψ/∂x² + VΨ. No se deduce de nada: se postula, y el argumento de la onda plana que suele presentarse como su deducción sólo vale con V = 0. Que sea de primer orden en t hace que Ψ(x,0) determine todo el futuro; su constante ħ²/2m_e = 3,810 eV·Å² fija la escala de todas sus energías. II.1
ecuación de Klein-Gordon
Klein-Gordon equation. Lo que sale de aplicar E = ħω y p = ħk a la relación relativista E² = (pc)² + (mc²)². Schrödinger la escribió antes que la suya y la descartó porque daba mal la estructura fina del hidrógeno, cuyo desdoblamiento del nivel n = 2 se mide en 10 969 MHz. Hoy es la ecuación de las partículas de espín 0, como el pión; la fase asociada a m_ec² gira una vuelta cada h/m_ec² = 8,09 zeptosegundos. II.1
ecuación de continuidad
Continuity equation. ∂ρ/∂t + ∂j/∂x = 0, la misma contabilidad local que gobierna la masa de un fluido o la carga de un circuito: la probabilidad no aparece ni desaparece, se mueve. Integrada de −∞ a +∞ y con j nula en los extremos da el teorema de conservación de la norma, que es lo que permite a un paquete de electrón de σ₀ = 1 nm ensancharse hasta 57,9 nm en 1 ps sin que ∫|Ψ|²dx se aparte de 1. II.1
ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Time-independent Schrödinger equation (TISE). Ĥψ = Eψ, es decir −(ħ²/2m)ψ″ + Vψ = Eψ. Sale de separar variables en la dependiente del tiempo y hay que resolverla una vez por cada potencial: ocupa entero el módulo II.2, vuelve en el II.3 y ocupará el II.5 cuando se publique. En el pozo de paredes infinitas de 1 nm devuelve E_n = n²h²/8ma², o sea 0,376 · 1,504 · 3,384 eV. II.1
estado estacionario
Stationary state. Solución separada Ψ = ψ(x)e^{−iEt/ħ}. Lo que no cambia es |Ψ|², no Ψ: la función de onda gira en el plano complejo a ω = E/ħ, que para el 1s del hidrógeno son 2,067 × 10¹⁶ rad/s, una vuelta cada 304 attosegundos. Tampoco significa quieto: ese mismo 1s tiene ⟨T⟩ = 13,606 eV y v_rms = αc = 2188 km/s, con ⟨p⟩ = 0. II.1
ecuación de Gross-Pitaevskii
Gross-Pitaevskii equation. La de Schrödinger con un término no lineal g|Ψ|²Ψ que modela la interacción media entre los átomos de un condensado de Bose-Einstein, en aproximación de campo medio. La no linealidad la escribe la longitud de dispersión: para el ⁸⁷Rb, a_s = 5,24 nm, y g = 4πħ²a_s/m. Esa no linealidad obliga a revisar una por una las propiedades que en la ecuación lineal se dan por hechas, y no todas corren la misma suerte. Es la ecuación con la que se calculan los perfiles de densidad, los vórtices y los solitones de un condensado. II.1
estado ligado
Bound state. Estado con E menor que el potencial en el infinito, de modo que ψ decae exponencialmente fuera de una región finita y es normalizable. Sólo existe para valores discretos de la energía: la condición de decaimiento por los dos lados sólo se puede cumplir con ciertas E. En un pozo cuántico de GaAs de 10 nm y 0,24 eV hay exactamente tres, en 32,4, 124,3 y 237,9 meV. II.2
estado de dispersión
Scattering state. Estado con E mayor que el potencial en el infinito: ψ oscila hasta el infinito, no es de cuadrado integrable y ninguna condición filtra la energía — todas valen. La pregunta deja de ser «¿qué energías hay?» y pasa a ser «¿qué fracción del flujo se refleja?», que se contesta con la corriente de probabilidad y no con |ψ|². II.2
ecuación trascendente
Transcendental equation. Ecuación que mezcla funciones algebraicas y trascendentes y que no se puede despejar, como la z·tan z = √(z₀²−z²) del pozo finito. Se razona con el dibujo —de ahí salen el recuento de niveles y el «siempre hay uno»— y se resuelve numéricamente. Leerla en un gráfico cuesta caro: un error del 1,6 % en z se traduce en 18 meV, el 69 % de k_BT a 300 K. II.2
efecto túnel
Quantum tunnelling. Paso de una partícula a través de una región donde no tiene energía para estar, con probabilidad T ≈ 16E(V₀−E)/V₀²·e^(−2κL). Es la predicción de la mecánica cuántica que menos se parece a nada clásico, y la más usada: sostiene el microscopio de efecto túnel, la desintegración alfa y la inversión del amoníaco. Depende exponencialmente de la anchura y de la raíz de la masa: en la misma barrera, un protón pasa 10³² veces menos que un electrón. II.2
efecto Ramsauer-Townsend
Ramsauer-Townsend effect. Caída profunda de la sección eficaz de choque de electrones lentos contra átomos de gases nobles, medida en 1921: hacia 0,35 eV el argón es casi transparente. Es una resonancia de transmisión, y el modelo unidimensional la reproduce con un pozo de 3,0 Å y 3,83 eV. El efecto real es tridimensional —lo que se anula es el desfase de la onda s—, así que el modelo da el orden y no la sección eficaz. II.2
emisión de campo
Field emission. Extracción de electrones de un metal por efecto túnel a través de la barrera triangular que crea un campo eléctrico intenso, V(x) = φ − eFx. El exponente vale (4/3)√(2m)φ^(3/2)/ħeF, y con φ = 4,5 eV hacen falta 1,45 GV/m para que valga 45 — de ahí que se use una punta afilada, donde 360 V sobre 50 nm bastan. Es la ley de Fowler-Nordheim. II.2
estado cuasiligado
Quasi-bound state (resonance). Nivel que un pozo tendría si estuviera cerrado, visto desde fuera cuando las paredes son atravesables: aparece como un máximo de la transmisión, con una anchura Γ en energía en vez de un valor exacto, y una vida media τ = ħ/Γ. Cuanto más opacas las paredes, más estrecha la resonancia y más larga la vida. La relación Γτ = ħ es la misma que fija la anchura de una raya espectral: el 2p del hidrógeno vive 1,596 ns y por eso su raya mide 412 neV. II.2
energía de disociación
Dissociation energy. La energía que hay que dar a una molécula para separarla en átomos. Hay dos y no son la misma: D_e se mide desde el fondo del pozo y D₀ desde el estado fundamental que la molécula realmente ocupa, con D_e − D₀ igual a la energía de punto cero real. En el CO, D₀ = 11,11 eV y D_e = 11,24 eV: la diferencia son los 134,1 meV que la molécula ya tenía puestos. II.3
ecuación de Hermite
Hermite equation. h″ − 2ξh′ + (ε−1)h = 0, lo que queda de la ecuación del oscilador tras factorizar la cola gaussiana con ψ = h·e^(−ξ²/2). Sólo tiene soluciones polinómicas —y por tanto sólo tiene soluciones normalizables— cuando ε = 2n+1 con n entero, que es exactamente E_n = ħω(n+½): 134,5 · 403,5 · 672,6 meV para los tres primeros niveles del CO. II.3
error de discretización
Discretisation error. La diferencia entre lo que da un cálculo sobre una rejilla finita y lo que daría el continuo; no es ruido, tiene un orden y se comprueba refinando. En este módulo se mide dos veces: la rejilla de 8001 puntos devuelve el fundamental del CO con 6 × 10⁻⁷ de error relativo frente a la fórmula, y al refinar el paso de un cálculo de orden dx² el error cae 0,0316 → 0,00791 → 0,00198 cm⁻¹, dividiéndose por cuatro cada vez. II.3
elemento de matriz
Matrix element. El número ⟨n|A|m⟩ que un operador coloca entre dos estados; es lo que hay que calcular para predecir una intensidad, no la función de onda entera. En el oscilador salen sin integrar nada: ⟨n|x|n+1⟩ = x₀√((n+1)/2), que en el CO da 3,366 · 4,761 · 5,830 · 6,732 pm para n = 0…3, y todo lo que no sea vecino inmediato vale cero exacto. II.3
efecto Raman
Raman effect. Dispersión inelástica de un fotón que deja —o se lleva— un cuanto de vibración de la molécula. El operador que interviene no es el dipolo permanente sino la polarizabilidad inducida, también lineal en x, así que la regla de selección vuelve a ser Δn = ±1. Lo que se tabula es un desplazamiento y no una longitud de onda: el del CO son 2143,27 cm⁻¹, los mismos que su banda infrarroja, y cambia de λ absoluta con cada láser. II.3
efecto isotópico cinético
Kinetic isotope effect. El cambio en la velocidad de una reacción al sustituir un átomo por un isótopo suyo. La curva de potencial no cambia —Born-Oppenheimer—, pero la energía de punto cero del enlace que se rompe sí, porque ω va como μ^(−1/2): pasar de C–H a C–D sube la masa reducida de 0,930 u a 1,725 u y baja la frecuencia un 26,6 %, con ella el punto cero, y con él la barrera efectiva. Un efecto de milielectronvoltios sobre energías de enlace de electronvoltios, y aun así medible en una constante de velocidad. II.3
estado coherente
Coherent state. Autoestado del operador de aniquilación, a|α⟩ = α|α⟩. No es un autoestado de la energía: es la superposición cuya distribución de números es una Poisson de media |α|², cuyo centroide recorre la trayectoria clásica y cuya anchura no cambia con el tiempo, saturando la desigualdad de Kennard en todo instante. El estado fundamental es el caso α = 0, con la σ_x de 3,366 pm del CO. II.3
espacio de Hilbert
Hilbert space. Espacio vectorial complejo dotado de un producto escalar que cumple tres axiomas —sesquilinealidad, simetría conjugada y ⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0 con igualdad sólo en el vector nulo— y que además es completo: toda sucesión de Cauchy converge dentro de él. L²(ℝ) es uno; ℂ², el del qubit, es el más pequeño que existe. Cuidado con la palabra: completo como espacio no es lo mismo que conjunto completo de vectores, que es Parseval. Los tres axiomas se comprueban sin tocar ninguna integral: sobre 400 tercias al azar en dimensiones de 2 a 8, la mayor desviación de la sesquilinealidad es 9,9 × 10⁻¹⁶ y las de la simetría conjugada y de Im⟨ψ|ψ⟩ son cero exacto. II.4
esfera de Bloch
Bloch sphere. La representación de los estados de un qubit como puntos de una esfera de radio 1, con coordenadas (⟨σ_x⟩, ⟨σ_y⟩, ⟨σ_z⟩): los puros están en la superficie y no dentro. El ángulo va a la mitad —el estado lleva θ/2 donde la esfera lleva θ—, de modo que |0⟩ y |1⟩, que son ortogonales, quedan en polos opuestos separados 180° de esfera. Sirve para leer de un vistazo dónde se satura una desigualdad: el lugar de saturación de Robertson para la pareja (σ_z, σ_x) son dos círculos máximos y no dos puntos, y de las 65 341 posiciones que barre el panel del artículo 03 saturan 1439, exactamente las de ⟨σ_x⟩⟨σ_z⟩ = 0. II.4
estado puro
Pure state. El estado que se puede escribir con un ket, ρ = |ψ⟩⟨ψ|, frente a la mezcla estadística, que es una lista de posibilidades con sus pesos y no tiene ninguna fase que recuperar. Los dos se separan con un número, la pureza: Tr ρ² vale 1 en un puro y menos en todo lo demás. En un qubit el mínimo es 0,5, que es exactamente lo que queda de (|0⟩+|1⟩)/√2 después de medir σ_z sin mirar el resultado. En la esfera de Bloch los puros son la superficie; las mezclas, el interior. II.4
evolución unitaria
Unitary evolution. La que genera el postulado V, |ψ(t)⟩ = U(t)|ψ(0)⟩ con U = e^(−iHt/ħ). U†U = 1̂ si y sólo si H† = H: la hermiticidad del hamiltoniano no es un adorno heredado del postulado II, es la condición exacta que conserva la norma —medido, ‖UU† − 1̂‖ hasta 2,0 × 10⁻¹⁵ en los cuatro instantes medidos—. Si se le añade a H una parte antihermítica −0,2i, la norma cae como e^(−0,2t) y la probabilidad como su cuadrado: en t = 3 queda el 30,1 %, no el 54,9 % que sugiere restar la norma de 1. Un modelo con norma no conservada describe un subsistema, no un sistema. II.4
ecuación asociada de Legendre
Associated Legendre equation. La que queda para la parte polar de un potencial central: d/dx[(1−x²)dP/dx] + [ℓ(ℓ+1) − m²/(1−x²)]P = 0, con x = cos θ en [−1, 1]. Tiene solución para cualquier ℓ real; lo que no tiene para cualquier ℓ es una solución finita en los dos polos a la vez. Medido disparando la EDO desde x = −1: con ℓ entero la solución llega al otro polo valiendo 1,00000 por muy cerca del polo que se cierre el corte, y con ℓ = 0,5 crece de 2,028 a 5,693 y no para. II.5
ecuación de Kummer
Kummer's equation, o hipergeométrica confluente: ρf″ + (b − ρ)f′ − af = 0. Es a lo que se reduce la radial del hidrógeno después de extraer su comportamiento en los dos extremos, u = ρ^(ℓ+1)e^(−ρ/2)f, con b = 2ℓ+2 y a = ℓ+1−λ. La factorización no supone nada —ni la potencia ni la exponencial se anulan en (0, ∞)—: sólo traslada el peso a una f que se espera mansa, y verificada en símbolos deja residuo 0. Sus soluciones polinómicas existen sólo cuando a es un entero no positivo, y ése es el renglón exacto donde aparece n. II.5
extrapolación de Richardson
Richardson extrapolation. Truco numérico para matar el término dominante del error sin refinar más la malla: si E(Δr) ≈ E + CΔr², la combinación [4E(Δr/2) − E(Δr)]/3 cancela el CΔr² y deja el orden siguiente. Aplicada a la ecuación radial del hidrógeno con las dos últimas mallas —16 000 y 32 000 puntos— devuelve −13,605693 eV, a 3,7 × 10⁻¹⁰ relativo de la forma cerrada, y repetida en dieciséis parejas (n, ℓ) hasta n = 7 recupera −13,6057 eV/n² en todas. Sólo vale si la ley del error se ha medido antes, no supuesto. II.5
escalera de momento angular
Angular momentum ladder operators (L± = L_x ± iL_y). Las dos combinaciones no hermíticas que suben y bajan m en una unidad, [L_z, L±] = ±ħL±. No son observables —no son hermíticas— sino herramientas de cálculo, como el â y el ↠del oscilador: de hecho [L_z/ħ, L₋] = −L₋ es literalmente el mismo conmutador que [N, a] = −a. La diferencia está en los extremos, y es la que produce la cuantización: la torre del oscilador no tiene techo —â†|n⟩ no se anula para ningún n— y el multiplete sí, porque L² conmuta con L± y no deja salir de él; medido en ℓ = 4, la norma de L₊|4,4⟩ es cero. II.6
espinor
Spinor (χ). Columna de dos números complejos que describe el estado de espín de una partícula de s = ½: |χ⟩ = a|+z⟩ + b|−z⟩ con |a|² + |b|² = 1. No es una función de θ y φ, y por eso la univaluación sobre la esfera —la que obliga a m entero— no se le aplica. Su periodo es 4π y no 2π: una rotación de 360° lo multiplica por −1 y hacen falta dos vueltas para devolverlo a sí mismo. II.6
efecto Zeeman
Zeeman effect. Desdoblamiento de un nivel en un campo magnético, ΔE = g μ_B B. Para el espín del electrón el orden queda invertido respecto de la intuición de la brújula: como μ_z es negativo, el espín arriba es el de mayor energía. El desdoblamiento es simétrico, y por eso ninguna medida espectroscópica delata un error de signo: a 1 T separa los dos estados 116 µeV, valga el signo lo que valga. II.6
electrodinámica cuántica
Quantum electrodynamics (QED). La teoría cuántica del campo electromagnético y de su interacción con las cargas. Sus predicciones se calculan como series en potencias de α, y su cuenta más famosa es la anomalía del electrón: el primer término, α/2π, ya acierta 1,159 65 × 10⁻³ con un error del 0,15 %. II.6
estado triplete
Triplet state. El multiplete S = 1 de dos espines ½: tres estados (M = +1, 0, −1), simétrico bajo el intercambio de las dos partículas, con ⟨S₁·S₂⟩ = +ħ²/4 en los tres. En el hidrógeno es el nivel hiperfino superior, y su degeneración 3 es la que fija el reparto 3:1 de poblaciones del gas interestelar. II.6
estado singlete
Singlet state. El único estado con S = 0 de dos espines ½, (|↑↓⟩ − |↓↑⟩)/√2, antisimétrico bajo intercambio. El menos va aquí y no en el triplete. Su ⟨S₁·S₂⟩ vale −3ħ²/4, tres veces mayor en módulo que el −ħ²/4 de la correlación C_zz con la que se confunde. II.6
espín-orbital
Spin-orbital. El producto de una función espacial de una partícula por un estado de espín; es la unidad que ocupa una fila de un determinante de Slater y el objeto sobre el que actúa la exclusión. Cada orbital espacial da dos espín-orbitales con espín ½, y de ahí las 2n² filas disponibles de la capa n: 2, 8, 18 y 32. II.7
energía de correlación
Correlation energy. Lo que le falta a la mejor función de onda que sigue siendo un producto —o un solo determinante— para dar la energía verdadera. No se arregla con ningún exponente: por bien elegido que esté, los dos electrones siguen sin enterarse el uno del otro, y para bajarla hay que meter r₁₂ dentro de la función de onda. En el helio pesa 1,144 eV: de los 1,53 eV que le faltan al mejor 1s² de un parámetro, 0,382 eV son todavía relajación del orbital y se cobran sin r₁₂. El II.8 la desarrolla. II.7
estado metaestable
Metastable state. Estado excitado cuya desexcitación al fundamental está prohibida por las reglas de selección, de modo que vive órdenes de magnitud más que un excitado corriente. El 2³S del helio dura 2,19 horas —lo protege exactamente lo mismo que impide un fundamental de triplete—, y como carga 19,820 eV de energía interna, cada átomo que llega a un detector deja su propia señal. II.7
efecto Stark
Stark effect. El corrimiento y el desdoblamiento de los niveles atómicos en un campo eléctrico. Sobre un estado de paridad definida el primer orden se anula —z es impar— y el efecto es cuadrático, con la polarizabilidad como coeficiente: el fundamental del hidrógeno baja con α = 9/2 a₀³. Que sea de segundo orden no es un detalle técnico sino una predicción falsable, porque el corrimiento va como ℰ² y no cambia de signo al invertir el campo. Sólo es lineal donde hay degeneración entre paridades distintas, y entonces hay que diagonalizar dentro del multiplete. II.8
ecuación de Dirac
Dirac equation. La ecuación de onda relativista del electrón, cuya solución exacta en el potencial de Coulomb da una energía que depende sólo de n y de j: la estructura fina entera, sin desarrollar en α. La fórmula E_nj de orden α² que se obtiene por perturbaciones es su primer término. En el intervalo 2p₃/₂ − 2p₁/₂ del hidrógeno, lo que la Dirac exacta añade por encima de ese orden vale +0,364 MHz, el 1,84 % del hueco entre el cálculo y la medida: el α⁴ no explica ese hueco, lo explica la electrodinámica cuántica. II.8
efecto Paschen-Back
Paschen-Back effect. El límite de campo magnético fuerte, cuando el Zeeman domina sobre la estructura fina: los números cuánticos buenos vuelven a ser m_ℓ y m_s, la energía es μ_B B (m_ℓ + g_e m_s), y es la estructura fina la que pasa a tratarse como perturbación. En el n = 2 del hidrógeno el régimen no empieza hasta 17,6 T y el campo débil no llega más allá de 0,161 T: entre los dos no vale ninguna de las dos fórmulas y hay que diagonalizar, y esa tierra de nadie incluye los imanes de resonancia magnética que se compran. II.8
espectro continuo
Continuous spectrum. La parte del espectro de un operador autoadjunto que no está hecha de autovalores: no hay ningún vector del espacio al que el operador multiplique por ese número. El de p̂ en toda la recta es ℝ entero, y sus «autofunciones» e^{ipx/ħ} tienen módulo 1 en todo punto, de modo que ninguna es de cuadrado integrable. No es un régimen aparte del discreto sino lo que queda de él cuando el número de modos por debajo crece: en un anillo de 1 nm el hueco entre los dos primeros modos vale 4,5124 eV, y estirando la misma caja a 1 µm el estado de 1,5 eV pasa a ser el modo n = 999 y ese hueco relativo cae al 0,0500 %. El contenido operativo de la palabra no es un sitio al que se llega: es un valor de n. III.1
extensión autoadjunta
Self-adjoint extension. Cada una de las maneras de agrandar el dominio de un operador simétrico hasta que coincida con el de su adjunto. No es un tecnicismo: cada extensión es un observable FÍSICO distinto, con espectro distinto, y la expresión diferencial no elige entre ellas. Para p en un intervalo de longitud L las extensiones son las condiciones ψ(L) = e^(iα)ψ(0) con α ∈ [0, 2π), y su espectro es p_n = ħ(2πn + α)/L: una escalera del mismo paso h/L = 6,626 × 10⁻²⁵ kg·m/s a 1 nm, desplazada en bloque por α. La caja Dirichlet y el anillo periódico son dos extensiones distintas del mismo −d²/dx², y sus huecos difieren en un factor 2 exacto. III.1
F
función de trabajo
Work function (W o φ). La energía mínima que hay que dar a un electrón para arrancarlo de la superficie de un metal. Va de 2,14 eV en el cesio a 5,65 eV en el platino; el sodio está en 2,28 eV. Depende de la cara del cristal y de la limpieza de la superficie, así que las tablas dan valores medios. I.1
frecuencia umbral
Threshold frequency (ν_0). La frecuencia por debajo de la cual un metal no emite electrones, ν_0 = W/h. Para el sodio son 5,51 × 10¹⁴ Hz, es decir 544 nm: luz verde sí, luz amarilla no, y da igual cuánta se eche. I.1
fotón
Photon (γ). El cuanto del campo electromagnético, de energía hν y momento hν/c. El nombre es de 1926 y no de Einstein: lo acuñó el químico Gilbert Lewis. Un puntero láser verde de 1 mW emite 2,68 × 10¹⁵ fotones por segundo. I.1
función de onda
Wave function (ψ). La función compleja que contiene todo lo que la teoría dice de un sistema. No es medible; lo medible es |ψ|², la densidad de probabilidad. Para el estado fundamental del hidrógeno, |ψ|² es máxima justo en el núcleo y vale 2,15 × 10³⁰ m⁻³, lo que no impide que el electrón esté casi siempre a 50 pm: eso lo decide la distribución radial, no |ψ|². I.4
función de onda antisimétrica
Antisymmetric wave function. La que cambia de signo al intercambiar dos partículas idénticas: ψ(1,2) = −ψ(2,1). Si las dos estuvieran en el mismo estado, ψ sería igual a menos sí misma y por tanto cero, que es de dónde sale la prohibición de Pauli. Es la propiedad que define a los fermiones, y es además un estado que no se puede factorizar en un estado de cada partícula. I.4
fermión
Fermion. Partícula de espín semientero —electrón, protón, neutrón, ³He— cuya función de onda es antisimétrica y que por tanto obedece el principio de exclusión. Un gas de fermiones tiene energía aunque esté a cero absoluto: los del cobre se mueven a 1573 km/s, y su presión de degeneración es de 38 GPa. I.4
función de trabajo efectiva
Effective barrier height (φ). Altura de la barrera de vacío que un electrón atraviesa en un microscopio de efecto túnel, medida a partir de la caída de la corriente con la distancia. Un factor 10 por ångström corresponde exactamente a φ = 5,05 eV; funciones de trabajo de 4,0 y 5,5 eV dan factores 7,76 y 11,06, de modo que «un orden de magnitud por ångström» es una regla robusta y no un ajuste fino. II.2
factor de Gamow
Gamow factor. Exponente 2γ = (2/ħ)∫√(2m(V−E))dr que gobierna la probabilidad de que una partícula alfa escape del núcleo atravesando la barrera de Coulomb. Va de 32,6 en el polonio-212 a 89,9 en el torio-232, y esos 57 puntos de diferencia son los que convierten un factor 2,2 en energía en veinticuatro órdenes de magnitud de vida media. II.2
función error complementaria
Complementary error function (erfc). erfc(z) = 1 − erf(z), la cola de una gaussiana normalizada a partir de z. Aparece en cuanto se pregunta cuánta probabilidad hay más allá de un punto en un estado gaussiano, y da la forma cerrada del resultado más citado del oscilador: la fracción del fundamental fuera del retorno clásico vale erfc(1) = 0,157299, o sea el 15,73 %, sin ninguna aproximación. II.3
función de Airy
Airy function (Ai). La solución de ψ″ = sψ, que es en lo que se convierte cualquier ecuación de Schrödinger cerca de un punto de retorno al linealizar el potencial. Su papel aquí es dar la escala de esa zona: en unidades de ξ mide (2b)^(−1/3) con b = √(2n+1), y de ahí sale la ley con la que se apaga la cola prohibida, P ≃ 0,134 (n+½)^(−1/3). Ai(0) = 0,3550. II.3
factor de Boltzmann
Boltzmann factor. El peso e^(−E/k_BT) con el que el equilibrio térmico reparte las moléculas entre los niveles disponibles. En un espectro equiespaciado la suma sale en forma cerrada y da P_n = (1 − e^(−x))e^(−nx) con x = θ_vib/T. Para el CO a 298,15 K, x = 10,47 y e^(−x) = 2,8 × 10⁻⁵: el 99,997 % de las moléculas están en el estado fundamental. II.3
fase global
Global phase. El factor e^(iθ) que multiplica al estado entero. No es física: el valor esperado de cualquier operador lleva el vector dos veces, una de ellas conjugada, y las dos fases se cancelan sin que haga falta que el operador sea hermítico. Comprobado con 200 fases repartidas entre 0 y 2π y cuatro observables, el mayor cambio de un ⟨A⟩ es 7,0 × 10⁻¹⁶. Ojo con la palabra «entero»: una fase sólo es global mientras multiplique a todo el estado, y en cuanto un trozo evoluciona distinto del otro —que es justo lo que hace el postulado V— se ha vuelto relativa y ya se mide. II.4
fase relativa
Relative phase. La fase que hay entre los sumandos de una superposición, y lo único que distingue dos estados con los mismos módulos. En (|0⟩ + e^(iφ)|1⟩)/√2 se lee entera recorriendo el ecuador de la esfera de Bloch: ⟨σ_x⟩ = cos φ y ⟨σ_y⟩ = sen φ, mientras ⟨σ_z⟩ = 0 no se entera de nada — que una fase sea observable depende también de qué se mide. Un signo menos metido dentro de la superposición mueve ⟨σ_x⟩ de +1 a −1, o sea de la certeza de un resultado a la certeza del contrario: la misma operación es invisible aplicada fuera y máxima aplicada a un solo sumando. II.4
función univaluada
Single-valued function. La que asigna un valor y sólo uno a cada punto del espacio. Aplicada a la parte azimutal del hidrógeno es lo que cuantiza m: φ y φ + 2π son el mismo punto, así que e^(i2πm) = 1 y m tiene que ser entero. La condición la pone el espacio, no la física, y se comprueba cambiándolo: en un cono de apertura α el cierre pide m = 2πk/α, y con α = 4π sale m = 1/2 sin que nada se rompa. Es la primera de las tres condiciones de regularidad de las que salen los tres números cuánticos del átomo. II.5
fórmula de Edlén
Edlén's formula. La expresión empírica del índice de refracción del aire en función de la longitud de onda, la temperatura y la presión. Hace falta porque los catálogos espectroscópicos clásicos dan las rayas visibles medidas en aire a 15 °C y 101,325 kPa, no en vacío: la frecuencia no cambia al entrar en el aire, pero λ sí, dividida por n. A 656 nm el índice vale 1,000 276 24, y ése es el paso que convierte los 656,470 nm de vacío de la Balmer α en 656,288 nm en aire — 0,181 nm, del mismo tamaño que el desplazamiento isotópico entre el hidrógeno y el deuterio, que son 0,17858 nm. Lo que Edlén NO cubre es el último tramo: el catálogo da 656,279 nm, y esos 9,31 pm de resto no son del aire sino estructura fina, que Schrödinger no ve. II.5
factor g
g-factor (g). El número por el que hay que multiplicar la razón giromagnética clásica q/2m para obtener la verdadera. Vale exactamente 1 para el momento angular orbital y 2 para una partícula puntual de espín ½ según Dirac; el electrón mide 2,002 319 en módulo —CODATA lo publica con signo, g_e = −2,002 319 304 360 92, y ese signo es el de su carga—, el protón 5,586 y el neutrón −3,826. Una desviación del orden de α es corrección radiativa; una del orden de la unidad es estructura. II.6
frecuencia de Larmor
Larmor frequency (f_L). La frecuencia a la que precesa un momento magnético en un campo, f_L = g μ_B B/h, y también la de la transición entre sus dos niveles Zeeman. Para el espín del electrón, 28 024,95 MHz/T. Ojo con la versión angular ω_L = g μ_B B/ħ: se diferencian en 2π — y el módulo entero se escribe en f, no en ω. II.6
frecuencia de ciclotrón
Cyclotron frequency (f_c). La frecuencia con que la fuerza de Lorentz hace girar a una carga libre, f_c = qB/2πm; resultado clásico que no sabe nada de espín. Para el electrón, 27 992,49 MHz/T, exactamente lo que daría la precesión de Larmor si g fuera 2, porque e/2πm_e ≡ 2μ_B/h. II.6
fórmula de Breit-Rabi
Breit-Rabi formula. La solución exacta del hiperfino de un átomo de espín nuclear ½ en campo magnético: f(B) = (A/h)√(1+x²), con x = (g_eμ_B + g_pμ_N)B/A. En el hidrógeno x = 1 a 50,6 mT, pero la raya ya se ha corrido un 1 % a 7,17 mT: la escala en la que un término se nota no es la escala en la que domina. II.6
factor de Landé
Landé g-factor (g_J). El factor que convierte m_j en corrimiento Zeeman de campo débil: g_J = 1 + (g_e − 1)[j(j+1) + s(s+1) − ℓ(ℓ+1)]/[2j(j+1)]. Con g_e = 2 exacto salen los 4/3 y 2/3 de manual; con el g_e medido son 1,334 106 y 0,665 894 para el 2p₃/₂ y el 2p₁/₂, que se apartan de aquéllos 0,58 ‰. Van con seis cifras —excepción del §2 del contrato— porque la diferencia vive en la cuarta y redondear borra justo lo que se está diciendo. II.8
función de prueba
Trial function. La ψ normalizable con la que se evalúa ⟨H⟩ en el método variacional: no tiene que resolver nada, sólo ser admisible, y lo único que se mide de ella es cuánto se pasa por arriba. En el fundamental del hidrógeno la exponencial acierta, la gaussiana se queda un 15,1 % por encima y la lorentziana un 19 %; en el pozo infinito la parábola x(L−x), sin un solo parámetro, da 10/π² = 1,0132 del valor exacto — un 1,32 % de más. II.8
fórmulas de conexión
Connection formulas. Las reglas que empalman la solución WKB de la región permitida con la de la prohibida a través del punto de retorno, que es justo donde el método no vale: se obtienen linealizando el potencial ahí y resolviendo exactamente con funciones de Airy. Todo su contenido cabe en una línea —la fase que Airy exige es la integral de acción más π/4—, y de ese π/4 por cada retorno blando sale entero el índice de Maslov. II.8
función de marco
Frame function. Una asignación de probabilidades hecha sólo con geometría: una f que a cada dirección unitaria del espacio de Hilbert le da un número de [0, 1] de modo que, para toda base ortonormal, la suma sobre sus vectores valga 1. No supone la regla de Born, ni que haya matriz densidad, ni linealidad: sólo aditividad sobre bases. El teorema de Gleason dice que en dimensión 3 o mayor toda función de marco es f(n) = ⟨n|ρ|n⟩ para un único ρ positivo de traza 1 —o sea que la regla de Born deja de ser un postulado independiente—, y en dimensión 2 es falso, porque las bases son pares antipodales que no se solapan y no se obligan unas a otras. El contraejemplo cabe en una línea: con u la componente z del vector de Bloch, f = (1 + u³)/2 cumple la condición de marco de forma exacta y dista 0,125 —un octavo, y el valor sale del polinomio de Chebyshev— de la regla de Born más próxima. III.1
G
gas de electrones libres
Free electron gas. Modelo en el que los electrones de conducción de un metal no ven ni a los iones ni entre sí, sólo las paredes. Con la sola densidad de electrones predice el módulo de compresibilidad del cesio con un 8 % de error y el del potasio con un 13 %. Falla donde los iones pesan: el cobre sale la mitad de duro de lo que es y el aluminio, tres veces más. I.4
gorjeo
Chirp. Fase cuadrática en un paquete de ondas, ψ ∝ e^(−ξ²/2)·e^(ibξ²/2): lo que le queda a un paquete gaussiano después de dejarlo correr un rato, y el pan de cada día de un pulso láser. No cambia |ψ|², así que σ_ξ sigue valiendo 1/√2 = 0,7071, y aun así aleja el estado de la cota de Kennard, porque lo que crece es el momento: con b = 0,7 salen σ_π = 0,8631 y σ_ξσ_π = 0,6103, un 22,1 % por encima de ħ/2. Comprimir un pulso con una pareja de redes de difracción es devolver b a cero, o sea anular un anticonmutador y no una anchura. II.4
grupo SO(3)
SO(3) group. El grupo de las rotaciones del espacio de tres dimensiones: las matrices 3 × 3 reales, ortogonales y de determinante +1. Es lo que uno llama «girar» sin más — un vector de la vida cotidiana, una flecha, el ⟨S⟩ de un espín— y su propiedad definitoria aquí es que una vuelta entera devuelve todo a su sitio, R(2π) = 1. Un espinor NO vive en él: vive en SU(2), que lo cubre dos veces. II.6
grupo SU(2)
SU(2) group. El de las matrices 2 × 2 unitarias de determinante 1, que son las rotaciones de un espinor: U = e^(−iθσ·n/2). Cubre el grupo de rotaciones del espacio SO(3) dos veces —a cada rotación le corresponden U y −U— porque el ángulo del espinor entra a la mitad. Medido sobre 300 ejes al azar: el vector de Bloch ⟨σ⟩ gira el ángulo entero mientras el espinor gira la mitad, y U(2π) = −1 mientras R(2π) = +1. II.6
H
hamiltoniano
Hamiltonian (Ĥ). El operador de la energía total, Ĥ = −(ħ²/2m)∂²/∂x² + V(x), con el que la ecuación se escribe iħ ∂Ψ/∂t = ĤΨ. Su parte cinética mide curvatura: cuanto más se dobla ψ, más energía cuesta. La constante que la fija es ħ²/2m_e = 3,810 eV·Å², y con ella un electrón encerrado en 1 nm tiene ya 0,376 eV sin que nadie lo empuje. II.1
hartree
Hartree (E_h). La unidad atómica de energía: el Coulomb de dos cargas elementales separadas un radio de Bohr, E_h = e²/4πε₀a₀ = 27,2114 eV. No es el rydberg, que vale exactamente la mitad, 13,6057 eV, y confundirlos es un factor 2 que no hace sonar mal ninguna frase — de ahí que sea la primera trampa del tema. Que la ligadura del fundamental del hidrógeno resulte ser E_h/2 y no E_h no es convenio ni casualidad: es el teorema del virial. II.5
hidrogenoide
Hydrogen-like, o hydrogenic. Todo sistema de un solo electrón —o un solo muón— ligado a una carga +Ze: H, He⁺, Li²⁺, y también un núcleo pesado con un muón encima. Todo el hidrógeno vale con la sustitución e² → Ze², de modo que las escalas van como a₀/Z y las energías como −13,6057 Z² eV/n². Lo que no es hidrogenoide es cualquier átomo con dos electrones, porque el término e²/4πε₀|r₁−r₂| ni es central ni se separa en esféricas: aplicado al helio neutro el escalado Z² predice 54,4 eV de ionización y se miden 24,59 eV. II.5
haz efusivo
Effusive beam. El que sale de un horno por un agujero pequeño frente al recorrido libre medio. Su distribución de velocidades no es la de Maxwell del gas de dentro: el flujo pesa cada velocidad por la propia v, así que va como v³e^(−mv²/2k_BT) y su máximo está en √(3k_BT/m) y no en √(2k_BT/m). Para la plata a 1000 °C son 543 m/s, y usar la velocidad del gas —443 m/s— se queda un 18 % corto. II.6
I
información de camino
Which-path information (Welcher-Weg). Cualquier correlación, esté donde esté, entre el estado de algo y la rendija por la que pasó la partícula. Es lo que destruye la interferencia, y no hace falta que nadie la lea: en el experimento de Viena de 2004 el «detector» era un fotón térmico emitido por la propia molécula y perdido en las paredes de la cámara. I.2
interferómetro de Talbot-Lau
Talbot-Lau interferometer. Interferómetro de tres redes que no necesita un haz coherente de entrada, lo que lo hace el único viable con moléculas grandes y lentas. Con él se hizo interferir en 2019 el objeto más pesado hasta la fecha: moléculas de 25 000 dalton, unos 2 000 átomos, con una longitud de onda de 53 fm. I.2
interacción de intercambio
Exchange interaction. La contribución energética que aparece al exigir que la función de onda sea antisimétrica. El nombre engaña: no es una interacción, no está en el hamiltoniano y no transmite momento. Lo que hace es encarecer las configuraciones en que las nubes electrónicas se solapan, y ése es el origen de la rigidez de un sólido y de que dos átomos neutros dejen de acercarse. I.4
interferómetro de Mach-Zehnder
Mach-Zehnder interferometer. Montaje de dos divisores de haz y dos espejos que abre dos caminos y los vuelve a juntar. Con un desfase φ entre ellos, las probabilidades de salida son cos²(φ/2) y sen²(φ/2): en φ = 0 toda la luz sale por una sola puerta. Es la prueba operativa de coherencia, y por eso es el aparato con el que se define qué significa que una superposición sobreviva. I.5
interpretación de Copenhague
Copenhagen interpretation. La lectura estándar de los libros de texto: el colapso es un postulado que no se explica y la frontera entre sistema cuántico y aparato clásico se pone donde convenga. Predice exactamente lo mismo que las demás lecturas, y su precio es no decir dónde está ese corte — precisamente la pregunta que el problema de la medida plantea. I.5
interpretación de muchos mundos
Many-worlds (Everett, 1957). Que no haya colapso: la evolución es siempre unitaria y todas las ramas de la superposición ocurren, cada una con su versión del observador. No añade nada a la ecuación y por tanto no predice nada distinto. Su deuda es la regla de Born: si todas las ramas ocurren, hay que explicar de dónde salen los pesos |ψ|², y el debate sigue abierto. I.5
isotopólogo
Isotopologue. Una molécula idéntica a otra salvo por el isótopo de alguno de sus átomos: mismo enlace, misma nube electrónica, distinta masa. Es el mejor banco de pruebas que hay para separar lo que depende del potencial de lo que depende de los núcleos: la constante de fuerza que se deduce del ¹²C¹⁶O y la que se deduce del ¹³C¹⁶O coinciden en dos partes en cien mil, 1901,86 frente a 1901,91 N/m. II.3
identidad de polarización
Polarization identity. ⟨φ|ψ⟩ = ¼ Σₖ iᵏ‖ψ + iᵏφ‖², con k de 0 a 3: el producto escalar entero, fase incluida, se reconstruye midiendo cuatro longitudes y ninguna componente. Comprobada contra la suma directa Σφ*ψ en 400 pares al azar, con una desviación máxima de 4,6 × 10⁻¹⁶. De ahí que la norma determine toda la geometría: misma norma, mismos ángulos y mismas ortogonalidades. En un espacio real sólo sobreviven dos términos y se recupera la parte real, que allí es todo lo que hay. II.4
identidad de Parseval
Parseval's identity. Σₙ|cₙ|² = ⟨ψ|ψ⟩, con cₙ = ⟨n|ψ⟩ sobre una base ortonormal. Si se cumple para toda ψ del espacio, el conjunto es completo — y la asimetría entre confirmar y refutar es toda la gracia: ningún número finito de comprobaciones la demuestra, y una sola ψ en la que falle la refuta de golpe. En dimensión finita es Pitágoras y no hay nada que medir; lo que hay que medir es el caso infinito. La gaussiana desplazada un x₀ sobre la base del oscilador da |c₀|² = 0,6065, y su suma hasta n = 12 vale 1 con catorce cifras. II.4
integral de Coulomb
Coulomb integral (J). J = ⟨ab|1/r₁₂|ab⟩, la repulsión electrostática entre las dos nubes de carga |a|² y |b|², que es lo único de la separación que un cálculo clásico también predeciría. Es la generalización directa del 5Z/8 del 1s²: con orbitales hidrogenoides 1s y 2s vale 17Z/81 E_h, o sea 11,42 eV en el helio. II.7
integral de intercambio
Exchange integral (K). K = ⟨ab|1/r₁₂|ba⟩, el mismo operador de repulsión entre productos cruzados. No tiene equivalente clásico ninguno y sólo es distinta de cero donde los dos orbitales se solapan; separa el singlete del triplete por 2K, con el triplete abajo. En el 1s2s del helio se lee del espectro sin calcular nada —es la mitad del desdoblamiento medido de 0,796 eV—, y sale K = 0,398 eV. II.7
integral de solapamiento
Overlap integral (S). S(R) = ⟨1s_A|1s_B⟩, la medida de cuánto se pisan dos orbitales centrados en puntos distintos; con dos 1s de hidrógeno vale e^(−R)(1 + R + R²/3) en unidades atómicas. No es cero, y por eso el denominador de la combinación no es √2 sino √(2 ± 2S): a 2,00 a₀ vale 0,586, y S = ½ cae en 2,33 a₀. II.7
integral de resonancia
Resonance integral (H_AB). H_AB = ⟨A|Ĥ_el|B⟩ = −S/2 − ⟨A|1/r_A|B⟩, el término que no tiene lectura clásica ninguna: sólo es distinto de cero donde los dos orbitales tienen amplitud a la vez —o sea, entre los núcleos— y es el que baja la energía del estado simétrico. A R = 3,00 a₀ vale −0,373 403 E_h. No hace falta la exclusión para que aparezca: en el H₂⁺ hay un solo electrón. II.7
integral de acción
Action integral (S₀ = ∫p dx). El primer término del desarrollo en ħ de la fase de la función de onda, y literalmente la acción de la partícula clásica de esa energía: la misma que aparece en Hamilton-Jacobi. Es lo que se cuantiza. En el pozo infinito vale L√(2mE) y se hace de cabeza, y la condición con μ = 4 devuelve E_n = n²π²ħ²/2mL² —el resultado exacto— sin resolver ninguna ecuación diferencial. II.8
Í
índice de Maslov
Maslov index (μ). El entero que cuenta la fase que la función de onda acumula en los extremos del pozo y fija el término constante de la regla de cuantización, ∫p dx = (n + μ/4)πħ. Cada punto de retorno blando aporta 1 y cada pared dura aporta 2, de modo que el oscilador va con μ = 2 —el ½ de siempre— y el pozo infinito con μ = 4. El ½ no es una propiedad del método WKB sino de los extremos del pozo: escribirlo siempre multiplica por 2,25 el fundamental del pozo infinito. II.8
índices de defecto
Deficiency indices. El par (n₊, n₋) que cuenta, para un operador simétrico, cuántas soluciones de A†φ = ±iφ son de cuadrado integrable. Decide el destino del operador sin resolver ningún espectro: si n₊ = n₋ = 0 ya es autoadjunto y no hay nada que elegir; si n₊ = n₋ = n > 0 admite toda una familia de extensiones autoadjuntas parametrizada por las isometrías entre los dos espacios de defecto —una U(n)—; y si n₊ ≠ n₋ no admite NINGUNA. Los tres casos se dan en el mismo p = −iħd/dx cambiándole sólo el dominio: (0, 0) en la recta, (1, 1) en el intervalo [0, L] —con normas² 0,43233 y 3,1945— y (1, 0) en la semirrecta (0, ∞), que es la razón matemática de que no exista un operador de momento en media recta. III.1
L
ley de Stefan-Boltzmann
Stefan-Boltzmann law. La potencia total que radia un cuerpo negro por unidad de superficie crece con la cuarta potencia de la temperatura absoluta: M = σT⁴, con σ = 5,670 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Duplicar la temperatura multiplica por 16 la potencia emitida. I.1
ley de desplazamiento de Wien
Wien's displacement law. La longitud de onda a la que un cuerpo negro emite más se corre hacia el azul al calentarse: λ_max = b/T, con b = 2,898 × 10⁻³ m·K. A 5 772 K (el Sol) sale 502 nm, en pleno verde; a 310 K (una persona), 9,35 µm, en infrarrojo lejano. I.1
ley de Rayleigh-Jeans
Rayleigh-Jeans law. La predicción clásica del espectro del cuerpo negro, M_λ = 2πckT/λ⁴, obtenida contando modos de la cavidad y dándole kT a cada uno. Acierta a longitudes de onda largas —un 6 % de error a 20 µm para el Sol— y diverge sin límite hacia el ultravioleta: a 100 nm predice 2,7 × 10⁹ veces la emisión real. I.1
límite de Duane-Hunt
Duane-Hunt limit. La longitud de onda mínima que emite un tubo de rayos X, λ_min = hc/eV, correspondiente al electrón que entrega toda su energía en un solo fotón. A 35 kV son 35,4 pm, y medir ese corte es una de las formas más limpias de obtener h. I.1
longitud de onda de de Broglie
De Broglie wavelength (λ). La longitud de onda que corresponde a cualquier partícula con momento p, λ = h/p. No tiene excepciones ni condiciones: vale para un electrón (167 pm a 54 V) y para una pelota de tenis a 200 km/h (2,06 × 10⁻³⁴ m). Lo que decide si hay algo que ver no es λ, sino λ dividido por el tamaño del obstáculo. I.2
ley de Bragg
Bragg's law. La condición de interferencia constructiva entre planos atómicos separados una distancia d: 2d·sen θ = nλ. Impone que la sonda tenga una longitud de onda comparable a lo que se quiere resolver, y por eso la cristalografía se hace con rayos X, electrones o neutrones y nunca con luz visible. En níquel (d = 249 pm), un electrón de menos de 6,1 eV ya no puede difractar. I.2
límite de Scherzer
Scherzer limit. La resolución óptima de un microscopio electrónico una vez optimizado el compromiso entre difracción y aberración esférica: δ ≈ 0,66·C_s^(1/4)·λ^(3/4). El exponente 3/4 es la firma del compromiso, y significa que triplicar la tensión de aceleración sólo mejora la resolución un 60 %. I.2
ley de Malus
Malus's law. La intensidad transmitida por un polarizador es I₀cos²θ, con θ el ángulo entre la polarización incidente y su eje (Malus, 1809). Con fotones sueltos el enunciado es probabilístico —cada fotón pasa entero con probabilidad cos²θ— y el polarizador además reprepara: lo que sale está polarizado según su eje, no según el de entrada. De ahí el 25 % de tres polarizadores a 0°, 45° y 90°. I.5
longitud de penetración
Penetration depth (δ = 1/κ). Distancia en la que la función de onda cae un factor e dentro de una región clásicamente prohibida: δ = ħ/√(2m(V−E)). Es finita cuando E tiende a cero —ħ/√(2mV₀)— y diverge cuando E se acerca al borde. Un neutrón ultrafrío entra 9,20 nm en el níquel, unos treinta átomos, y por eso las botellas de neutrones pierden neutrones en la pared. II.2
longitud natural del oscilador
Oscillator length (x₀). x₀ = √(ħ/μω) = (ħ²/μk)^(1/4), la única longitud que se puede construir con ħ, μ y ω, de modo que cualquier respuesta sobre tamaños en este problema es x₀ por un número puro. Es además el punto de retorno clásico del estado fundamental. En el ¹²C¹⁶O vale 4,761 pm, el 4,22 % de la distancia de enlace. II.3
ley del paralelogramo
Parallelogram law. ‖a+b‖² + ‖a−b‖² = 2‖a‖² + 2‖b‖². Sale en dos renglones de los axiomas del producto escalar, porque los términos cruzados aparecen con signo opuesto y se cancelan. Lo notable es el recíproco, teorema de Jordan y von Neumann: una norma procede de algún producto escalar si y sólo si cumple esa identidad — no es una consecuencia curiosa, es el certificado. La norma de Hilbert la cumple con una desviación relativa máxima de 5,6 × 10⁻¹⁶ sobre 400 pares al azar; la ℓ¹ da 8 frente a 4, cociente exactamente 2. II.4
LCAO
Linear combination of atomic orbitals (LCAO). Construir el orbital molecular como suma y resta de los orbitales atómicos de cada centro, sin ningún parámetro ajustable. Es el método más barato que existe y acierta el signo y el orden de magnitud, pero no más: en el H₂⁺ da R_e = 2,49 a₀ (132 pm) y D_e = 1,764 eV frente a los 1,9972 a₀ (105,7 pm) y 2,7928 eV exactos, o sea un 24,8 % de más en la distancia y un 36,8 % de menos en la profundidad. II.7
longitud de onda local
Local (reduced) wavelength (λ̄ = ħ/p(x)). La longitud de onda de de Broglie dividida por 2π y evaluada punto a punto. Con ella la condición de validez de WKB se escribe sin margen de interpretación, |dλ̄/dx| ≪ 1: la longitud de onda tiene que cambiar poco en una longitud de onda. Es lo que se enuncia como «que V varíe poco», ahora evaluable en cualquier punto de cualquier potencial, y explica por qué el método falla siempre en el punto de retorno — allí p → 0 y λ̄ diverge. II.8
M
modelo de Bohr
Bohr model. Modelo de 1913 que impone al átomo de hidrógeno órbitas de momento angular nħ y prohíbe radiar dentro de ellas. Da los niveles E_n = −13,606 eV/n² y el radio a_0 = 52,9 pm con precisión asombrosa — y falla con el helio, que tiene dos electrones. I.1
microscopio electrónico de transmisión
Transmission electron microscope (TEM). Microscopio que ilumina una muestra fina con electrones acelerados a 100-300 kV y forma la imagen con lentes magnéticas. Su longitud de onda es de 2,51 pm a 200 kV —219 000 veces menor que la luz verde—, y toda su óptica se diseña con λ = h/p: es la comprobación industrial diaria de la hipótesis de de Broglie. I.2
módulo de compresibilidad
Bulk modulus (B). Lo que cuesta reducir el volumen de un material: B = −V·∂P/∂V. Para un gas de electrones degenerado vale (2/3)nE_F, sin ningún parámetro ajustable: 3,17 GPa para el potasio frente a 2,81 medidos. El del acero es 160 GPa, así que empujar con una atmósfera acerca sus átomos 5,2 × 10⁻¹⁷ m, la dieciseisava parte de un radio de protón. I.4
mezcla estadística
Statistical mixture. Un conjunto en el que cada sistema está en un estado definido y sólo hay ignorancia sobre cuál. Se distingue de una superposición por interferencia y no por una sola medida: en un Mach-Zehnder equilibrado con desfase nulo, la superposición manda el 100 % de los fotones por una puerta y la mezcla, el 50 % por cada una. Con cien fotones esa diferencia son diez desviaciones típicas. I.5
masa efectiva
Effective mass (m*). Masa que hay que poner en la ecuación de Schrödinger para que un electrón dentro de un cristal se comporte como una partícula libre, y que recoge el efecto del potencial periódico de la red. En el GaAs vale 0,067 m_e, quince veces menos que la del electrón libre, y eso multiplica por quince todas las energías de confinamiento respecto de las que darían con la masa desnuda. Pero el sentido de la corrección es una propiedad del material y no una ley: en un metal simple se mide como el cociente γ_medido/γ_libre del calor específico electrónico y sale mayor que 1 en los cinco del II.7 —1,38 en el cobre, 0,695 frente a 0,503 mJ·mol⁻¹·K⁻²—, o sea que allí la red frena al electrón en vez de aligerarlo. II.2
microscopio de efecto túnel
Scanning tunnelling microscope (STM). Instrumento que mide el relieve de una superficie por la corriente de túnel entre ella y una punta metálica. Como I va como e^(−2κz), una barrera efectiva de 5,05 eV multiplica la corriente por diez cada ångström; con una electrónica estable al 1 %, eso sigue el relieve con 0,43 picómetros de precisión. Nobel de 1986 a Binnig y Rohrer. II.2
matriz de transferencia
Transfer matrix. Matriz 2 × 2 que lleva el par de amplitudes (derecha, izquierda) de un lado a otro de un tramo o de una interfaz, de modo que una estructura de muchas capas se resuelve multiplicando matrices y T = |1/M₁₁|². Es la técnica estándar para pozos múltiples, barreras dobles y superredes, y el control de que está bien montada es que R + T valga 1 a toda energía. II.2
masa reducida
Reduced mass (μ). μ = m₁m₂/(m₁+m₂), la masa que convierte el problema de dos cuerpos que vibran uno contra otro en el de una sola partícula en un potencial. Para el ¹²C¹⁶O vale 6,856 u = 1,139 × 10⁻²⁶ kg, y el mismo número sale por un camino independiente —la constante rotacional medida y I = μr_e²—, con una discrepancia de 3 × 10⁻⁷. II.3
método de Frobenius
Frobenius method. Resolver una ecuación diferencial lineal proponiendo una serie de potencias y obligando a que cada potencia se anule por separado. En el oscilador da la recurrencia a_(k+2) = (2k+1−ε)a_k/[(k+1)(k+2)], que salta de dos en dos y por tanto genera dos series independientes, la par y la impar. La cuantización aparece ahí como aritmética: con ε = 11 el numerador se anula en k = 5, y con cualquier ε que no sea 2n+1 no se anula jamás. II.3
momento dipolar
Electric dipole moment. q·x para una carga, o Σ qᵢxᵢ para varias. Es el operador con el que la luz de longitud de onda larga acopla a un sistema: la probabilidad de transición va con |⟨n|x|m⟩|². Lo que decide si una molécula absorbe no es tenerlo, sino que cambie al vibrar; las homonucleares tienen dμ/dx = 0 y son invisibles en el infrarrojo. En el CO, ⟨0|x|1⟩ = 3,366 pm. II.3
modo normal
Normal mode. Cada una de las coordenadas colectivas en las que un sistema de osciladores acoplados se parte en osciladores independientes, con su propia frecuencia y su propio medio cuanto. Una molécula lineal de N átomos tiene 3N−5: el CO₂ tiene cuatro, dos flexiones degeneradas en 667 cm⁻¹ (15,0 µm), la elongación simétrica en 1333 cm⁻¹ y la antisimétrica en 2349 cm⁻¹. Cuál de ellos absorbe no se hereda del recuento: lo decide, modo a modo, si ese movimiento cambia el momento dipolar, y eso se calcula. II.3
matrices de Pauli
Pauli matrices (σ_x, σ_y, σ_z). Las tres hermíticas 2 × 2 de traza nula que, con la identidad, generan todos los observables de un qubit. Cumplen σᵢ² = 1̂ —de donde la dispersión de cualquiera de ellas en cualquier estado sale gratis, √(1 − ⟨σᵢ⟩²), sin calcular nada—, anticonmutan entre sí y cierran el álgebra [σ_z, σ_x] = 2iσ_y, que hace que la cota de Robertson de esa pareja sea |⟨σ_y⟩|: una magnitud medible del estado y no una constante. Sus tres valores esperados son las coordenadas del punto de Bloch, y en todo estado puro cumplen ⟨σ_x⟩² + ⟨σ_y⟩² + ⟨σ_z⟩² = 1. II.4
matriz densidad
Density matrix (ρ). La descripción de un estado que sigue valiendo cuando no hay ningún ket: operador hermítico, positivo y de traza 1, con ⟨A⟩ = Tr(ρA). Un estado puro es ρ = |ψ⟩⟨ψ|; el resto son mezclas. Es lo que hace falta para escribir la versión no selectiva del postulado IV, ρ ↦ Σ_a P_a ρ P_a. Para (|0⟩+|1⟩)/√2 y una medida de σ_z, la matriz ½[[1,1],[1,1]] pasa a ½·1̂: los términos de fuera de la diagonal se van con toda la información de fase relativa, la pureza cae de 1 a 0,5 y ⟨σ_x⟩ pasa de la certeza al azar. II.4
momento angular orbital
Orbital angular momentum (L = r × p). El momento angular que una partícula tiene por moverse alrededor de un punto, sin contar el espín. Sus tres componentes no conmutan entre sí, así que sólo se pueden fijar a la vez L² y una de ellas: L²Y = ħ²ℓ(ℓ+1)Y y L_zY = ħmY. Su módulo es ħ√(ℓ(ℓ+1)) y no ħℓ, que es lo que suponía Bohr — para ℓ = 1 la diferencia es del 41,4 %, no un matiz de tercera cifra. En esféricas L_z = −iħ ∂/∂φ, de una sencillez sospechosa, y de ahí sale la cuantización de m. II.5
multiplete
Multiplet. El conjunto de estados con el mismo autovalor de L² que la escalera L± conecta entre sí. Tiene 2ℓ+1 peldaños, uno por cada valor de m de −ℓ a +ℓ de uno en uno, y ése es el número que el álgebra obliga a ser natural. Con ℓ entero siempre es impar (1, 3, 5, 7…) y con ℓ semientero siempre par: por eso un haz atómico que se parte en dos trazas no puede estar midiendo momento angular orbital, sea cual sea el átomo. II.6
momento angular semientero
Half-integer angular momentum (j = ½, 3/2, 5/2, …). Los valores de j que el álgebra del momento angular admite y que ninguna función de θ y φ puede representar. Que el álgebra los admite está medido: las matrices 2 × 2 de j = ½ cumplen [J_x, J_y] = iħJ_z y J² = ¾ħ² con desviación cero exacto. Que la esfera los rechaza, también: e^(i2πm) vale −1 para m = ½, y la ecuación asociada de Legendre integrada con ℓ = ½ diverge con pendiente 0,3183 = 1/π en vez de estabilizarse en 1. No es una contradicción sino un cambio de dominio: el semientero existe en cuanto el estado deja de ser una función sobre una esfera. II.6
momento magnético
Magnetic moment (μ). Vector que mide cómo responde un objeto a un campo magnético: su energía es −μ·B y la fuerza en un campo no uniforme, F_z = μ_z ∂B_z/∂z. Un campo uniforme no lo empuja, sólo lo hace precesar: lo que separa un haz en un Stern-Gerlach es el gradiente. El del electrón vale −1,001 160 magnetones de Bohr en el estado m_s = +½, con el signo menos que le pone su carga. II.6
magnetón de Bohr
Bohr magneton (μ_B). μ_B = eħ/2m_e = 9,274 010 066 × 10⁻²⁴ J/T, la unidad natural de momento magnético del electrón: lo que la física clásica predice para un momento angular de un ħ. En las cuatro monedas del laboratorio vale 57,9 µeV/T, 0,672 K/T y 14,0 GHz/T, y cada una contesta una pregunta distinta. II.6
momento magnético anómalo
Anomalous magnetic moment (a). La desviación relativa del factor g respecto del 2 de Dirac, a ≡ (|g|−2)/2. Para el electrón, 1,159 65 × 10⁻³, o sea 67,1 neV/T de momento de más sobre el magnetón; para el muón, 1,165 92 × 10⁻³, cinco partes por mil mayor, porque los términos que la producen dependen de la masa. II.6
magnetón nuclear
Nuclear magneton (μ_N). μ_N = eħ/2m_p = 5,050 784 × 10⁻²⁷ J/T = 31,5 neV/T, el magnetón de Bohr con la masa del protón. Es μ_B/1836,15, y el atajo de dividir por 1836 redondo sólo vale a tres cifras: yerra 8,3 × 10⁻⁵. II.6
momento angular total
Total angular momentum (J = J₁ + J₂). La suma de dos momentos angulares, que vuelve a cumplir la misma álgebra porque J₁ y J₂ actúan sobre factores distintos. J² conmuta con J_z pero no con J₁z: por eso, en cuanto el hamiltoniano contiene J₁·J₂, m₁ y m₂ dejan de conservarse, y lo que queda son J y M — 4 = 3+1 estados para dos espines ½, los mismos contados en otra base. II.6
método de Dalgarno-Lewis
Dalgarno-Lewis method. Calcular la corrección de segundo orden sin sumar sobre estados: se despeja |n⁽¹⁾⟩ de su propia ecuación, (H₀ − E_n⁽⁰⁾)|n⁽¹⁾⟩ = −(H′ − E_n⁽¹⁾)|n⟩, que es una ecuación diferencial ordinaria, y después E⁽²⁾ = ⟨n|H′|n⁽¹⁾⟩. No aproxima la suma infinita: la elimina, y con ella entra el continuo sin nombrarlo. En el Stark del hidrógeno da la polarizabilidad exacta 9/2 a₀³, donde la suma sobre los np ligados se queda en el 81,4 %. II.8
método de Rayleigh-Ritz
Rayleigh-Ritz method. Minimizar el cociente de Rayleigh dentro de una familia de funciones de prueba con parámetros, en vez de sobre una sola función: cada parámetro compra precisión y ninguno rompe la cota. En el pozo infinito, pasar de la parábola a la familia x^p(L−x)^p da p* = 1,11 y baja el error del 1,32 % al 0,298 %, un factor 4,4 por un solo grado de libertad. El mínimo de una familia no es el fundamental salvo que la familia lo contenga, y ésta no lo contiene. II.8
N
nivel de energía
Energy level. Cada uno de los valores discretos de energía que un sistema ligado puede tener. En el hidrógeno son E_n = −13,606 eV/n², y se apiñan hacia el límite de ionización: del n = 1 al n = 2 hay 10,2 eV, y del n = 10 al n = 11 sólo 0,023 eV. I.1
número cuántico principal
Principal quantum number (n). El entero que numera los niveles de energía de un átomo hidrogenoide, n = 1, 2, 3… La energía va como −13,606 eV/n² y el tamaño típico como n²a_0: un átomo excitado a n = 50 mide 132 nm, más que un virus pequeño. I.1
neutrón térmico
Thermal neutron. Neutrón moderado hasta quedar en equilibrio térmico con la materia que lo frena, con energías del orden de 25 meV. Su longitud de onda de de Broglie es entonces de 180 pm, del tamaño justo de las distancias interatómicas: por eso la difracción de neutrones es una técnica estándar de cristalografía, y la única que ve bien los átomos de hidrógeno. I.2
número cuántico azimutal
Azimuthal (orbital angular momentum) quantum number (l). Toma los valores 0, 1, …, n−1 y fija el módulo del momento angular orbital, |L| = √(l(l+1))·ħ. De él salen los nombres s, p, d, f y el número de nodos radiales, n − l − 1. Para l = 1 vale 1,49 × 10⁻³⁴ J·s, es decir √2 ħ, y no ħ. I.4
número cuántico magnético
Magnetic quantum number (m). Toma los 2l+1 valores de −l a +l y fija la proyección del momento angular sobre un eje, L_z = mħ. Es el número que separa un haz atómico en un campo magnético no uniforme: con l = 1 se esperan tres haces, y el experimento de Phipps y Taylor con hidrógeno atómico (1927) dio dos, que es un número par y por tanto imposible para cualquier l. I.4
nodo radial
Radial node. Cáscara esférica donde la función de onda cambia de signo y la probabilidad es exactamente cero. Hay n − l − 1 de ellos, así que el 3s tiene dos, en 100,6 y 375,6 pm, y tres lóbulos con máximos en 39,2 · 221,5 · 691,9 pm. El más alto es el exterior, pero es el interior —con sólo el 1,43 % de la probabilidad— el que permite a un electrón s penetrar las capas cerradas, y de ahí sale el orden de llenado de la tabla periódica. I.4
normalización
Normalization. La condición ∫|Ψ|²dx = 1, que convierte |Ψ|² en una probabilidad. Se impone una sola vez, en t = 0: que siga cumpliéndose después no se impone, es un teorema que sale de la propia ecuación siempre que V sea real y Ψ decaiga en el infinito. Siempre se puede conseguir, porque la ecuación es lineal y homogénea; para ψ = A e^{−κ|x|} da A = √κ, y con la ligadura medida del H⁻, 0,754 eV, sale 1/κ = 224,8 pm. II.1
nodo
Node. Punto donde la función de onda vale exactamente cero. En una dimensión, el nivel n de un pozo tiene n−1 nodos interiores, y ése es el criterio con el que se numeran los niveles de cualquier pozo, tenga la forma que tenga. Más nodos significa más curvatura y por tanto más energía cinética, porque ⟨p²⟩ = ħ²∫|ψ′|²dx. No confundir con el nodo radial de un orbital atómico. II.2
neutrón ultrafrío
Ultracold neutron (UCN). Neutrón tan lento que se refleja totalmente en cualquier ángulo contra ciertos materiales y se puede guardar en una botella. El níquel le presenta un escalón de 245 neV, o sea una velocidad crítica de 6,85 m/s y una temperatura equivalente de 2,84 mK. Penetra 9,20 nm en la pared en cada rebote, y ahí es donde se pierde. II.2
número de onda espectroscópico
Spectroscopic wavenumber (ν̃). El inverso de la longitud de onda, tabulado en cm⁻¹ porque es proporcional a la energía y evita arrastrar constantes: 1 cm⁻¹ = 0,123984 meV = 1,43878 K. El dato de partida del CO es ω̃_e = 2169,81 cm⁻¹, que es la frecuencia armónica del fondo del pozo y no la de ninguna transición. II.3
norma
Norm (‖ψ‖). La longitud de un vector. En un espacio de Hilbert es ‖ψ‖ = √⟨ψ|ψ⟩, pero no toda norma viene de un producto escalar, y la diferencia separa un espacio donde hay ángulos de otro donde sólo hay longitudes. El certificado es la ley del paralelogramo: la norma ℓ¹ sobre ℝ² con a = (1,0) y b = (0,1) da 8 en un lado y 4 en el otro, y en ese espacio la pregunta «¿son ortogonales?» no tiene respuesta, porque no hay nada que pueda valer cero. Sin ortogonalidad no hay base ortonormal, ni Parseval, ni regla de Born. II.4
notación de Dirac
Dirac notation (bra-ket). Taquigrafía y no física nueva: |ψ⟩ es el vector, ⟨φ| el funcional lineal que le saca el producto escalar a cualquier vector, ⟨φ|ψ⟩ el número que resulta. La ganancia inmediata es escribir ⟨n|x̂|m⟩ sin dibujar una integral. Lo que sí es nuevo es juntar los dos al revés: |n⟩⟨m| es un operador, y sumando los diagonales de una base ortonormal se obtiene Σₙ|n⟩⟨n| = 1̂, que es Parseval escrito como operador y se puede insertar en cualquier sitio. II.4
nodo polar
Polar node. El paralelo de la esfera donde un armónico esférico cambia de signo, y donde por tanto |ψ|² vale exactamente cero. La regla que casi todo el mundo recuerda —«ℓ nodos angulares»— sólo vale para m = 0; en general son ℓ − |m|, así que Y₃₃ no tiene ninguno pese a su ℓ = 3. No se enuncia, se cuenta: por cambios de signo sobre una malla de 20 001 puntos, los 15 armónicos con ℓ ≤ 4 y m ≥ 0 dan ℓ − |m| sin una sola excepción. II.5
número cuántico bueno
Good quantum number. El autovalor de un operador que conmuta con el hamiltoniano y que por tanto se conserva. Cuál lo es depende del hamiltoniano, no del sistema: con S₁·S₂ encendido lo son S y M, y dejan de serlo m₁ y m₂. En el hiperfino del hidrógeno hay dos escalas y no una: la raya ya se ha corrido un 1 % a 7,17 mT, pero el campo no empieza a mandar hasta el cruce x = 1, en 50,6 mT, siete veces más tarde. Notarse y dominar no son la misma escala, y entre las dos no vale ninguna de las dos formas simples. II.6
normalización intermedia
Intermediate normalisation. El convenio ⟨n|n(λ)⟩ = 1 con el que se fija la libertad de escala del autovector perturbado: en vez de exigir norma 1, se exige que el estado corregido tenga proyección unidad sobre el de partida. Su consecuencia operativa es que todas las correcciones del estado quedan ortogonales a él, ⟨n|n⁽¹⁾⟩ = ⟨n|n⁽²⁾⟩ = 0, y proyectar cada orden sobre ⟨n| pasa a ser inmediato. Sin ella las dos fórmulas de Rayleigh-Schrödinger no salen limpias: es lo que deja el −21/8 del segundo orden del oscilador cuártico en un solo renglón. II.8
O
orbital
Orbital. Cada solución estacionaria de la ecuación de Schrödinger para un electrón, etiquetada por (n, l, m). El nombre es una herencia desafortunada del modelo de Bohr: no hay ninguna trayectoria debajo, y el orbital 1s del hidrógeno tiene momento angular exactamente cero. Es exacto sólo para un electrón; en un átomo con varios es una aproximación de campo promedio. I.4
onda plana
Plane wave. Ψ = A e^{i(kx−ωt)}, la solución más simple de la ecuación libre. Es la única onda con momento p = ħk perfectamente definido, y por eso mismo no es un estado físico: ∫|Ψ|²dx diverge. Se usa como ladrillo, nunca como estado. Para un electrón de 1 eV, k = 5,123 × 10⁹ m⁻¹ y λ = 1,226 nm. II.1
operador
Operator (Q̂). Una operación que se aplica a la función de onda y devuelve otra función; los observables se representan con ellos, no con números. La receta es escribir la magnitud clásica Q(x, p) y sustituir p por −iħ∂ₓ. Tiene un agujero conocido: para Q = xp los dos órdenes dan operadores distintos, y hace falta simetrizar, que es del II.4. II.1
operador momento
Momentum operator (p̂). p̂ = −iħ ∂/∂x. No es un postulado: sale de exigir que m·d⟨x⟩/dt sea el momento, y la cuenta obliga a esa expresión y a ninguna otra. Aplicado a la onda plana e^{ikx} devuelve ħk multiplicando a la propia función: 5,403 × 10⁻²⁵ kg·m/s para el electrón de 1 eV, exactamente m_ev con v = 593 km/s. II.1
operador hermítico
Hermitian operator. El que cumple ∫f*(Q̂g)dx = ∫(Q̂f)*g dx, propiedad que garantiza que ⟨Q⟩ sea real — un observable con valor esperado complejo no significaría nada. Todos los observables lo son. Que entonces los autovalores son reales y los autoestados ortogonales se demuestra en el II.4; la diferencia entre hermítico y autoadjunto en dimensión infinita es del III.1. II.1
orden de magnitud
Order of magnitude. La potencia de diez a la que pertenece una cantidad. Sirve para decidir si un resultado es plausible antes de calcularlo con precisión: si el número que te sale se separa tres órdenes del que esperabas, el error está en el planteamiento, no en la calculadora. General
oscilador armónico
Harmonic oscillator. El potencial V = ½kx², o sea el primer término que sobrevive en el Taylor de cualquier mínimo. Su espectro es E_n = ħω(n+½), equiespaciado, y el fundamental no puede tener energía cero. El ¹²C¹⁶O se le parece mucho: k = 1902 N/m y ħω = 269,0 meV dan E₀ = 134,5 meV en el modelo armónico; la medida, con la anarmonicidad dentro, es 134,1 meV. II.3
operador de aniquilación
Annihilation operator (a). a = (X̂ + iP̂)/√2 con X̂ = x̂/x₀ y P̂ = x₀p̂/ħ; baja un escalón de la escalera, a|n⟩ = √n |n−1⟩, y mata el fundamental, a|0⟩ = 0. No es hermítico, así que no hay aparato que lo mida: es una herramienta de cálculo. De su condición a|0⟩ = 0 —una ecuación diferencial de primer orden— sale la gaussiana del fundamental y con ella los 3,366 pm de anchura del CO. II.3
operador de creación
Creation operator (a†). El adjunto de a; sube un escalón, a†|n⟩ = √(n+1) |n+1⟩, y construye toda la torre desde el fundamental como |n⟩ = (a†)ⁿ|0⟩/√(n!). No tiene tope: la norma √(n+1) no se anula nunca, y por eso el oscilador armónico tiene infinitos estados ligados. El CO real no llega: su pozo se acaba hacia v = 81. II.3
operador escalera
Ladder operator (a, a†). a baja un escalón del oscilador y a† lo sube, con [a, a†] = 1. El hamiltoniano es ħω(a†a + ½) y el espectro entero sale de pedir que a|0⟩ = 0, sin resolver ninguna ecuación diferencial. a|n⟩ = √n |n−1⟩; a†|n⟩ = √(n+1) |n+1⟩. Cada peldaño del CO vale ħω = 269,0 meV, el mismo entre cualquier par de vecinos. II.3
operador adjunto
Adjoint operator (A†). El operador que cumple ⟨φ|Aψ⟩ = ⟨A†φ|ψ⟩; si coincide con el propio A, el operador es hermítico y es un observable. a y a† no lo son por separado, pero su producto N = a†a sí, y además es semidefinido positivo porque ⟨N⟩ = ‖a ψ‖² ≥ 0. De esa desigualdad, y de ninguna otra cosa, sale que el espectro tenga suelo: los 134,5 meV del CO. II.3
operador número
Number operator (N). N = a†a, hermítico y semidefinido positivo, cuyos autovalores son los enteros no negativos: N|n⟩ = n|n⟩. Con él el hamiltoniano se escribe H = ħω(N + ½), de modo que contar escalones y medir energía son la misma operación. En el CO, el nivel n = 5 son cinco cuantos de 269,02 meV más el medio de siempre: 1479,6 meV. II.3
orden normal
Normal ordering. Reescribir un producto de operadores escalera con todas las creaciones a la izquierda, usando aa† = a†a + 1. No es cosmética: el 1 que aparece al reordenar es el conmutador, y es literalmente el medio cuanto del oscilador. Para el ¹²C¹⁶O, ese 1 mal contado se lleva 134,5 meV por delante. II.3
origen de banda
Band origin. La posición que tendría una transición vibracional si el estado de rotación no cambiara: el centro alrededor del cual se despliegan las ramas de rayas finas que el espectrómetro sí resuelve. Es el número que se compara con la teoría, y para el ¹²C¹⁶O está tabulado en 2143,2712 cm⁻¹ — con ocho cifras, varios órdenes mejor que el error del modelo armónico. II.3
operador de desplazamiento
Displacement operator (D(α) = e^(αa†−α*a)). El unitario que traslada la coordenada del oscilador y no hace nada más: D†(α) ξ̂ D(α) = ξ̂ + √2 α para α real. Aplicado al vacío entrega el estado coherente de α, cuya función de onda es la del fundamental corrida √2 α, y sus coeficientes salen en forma cerrada, ⟨n|D(α)|0⟩ = e^(−α²/2)αⁿ/√n!. Esa forma cerrada se comprueba exponenciando la matriz 90 × 90 de αa† − α*a en un Fock truncado, donde no hay gaussianas ni polinomios: coincide en 6,9 × 10⁻¹⁶. II.4
observable
Observable. El operador que representa una magnitud medible. La exigencia mínima es que ⟨A⟩ sea real en todo estado, y en un espacio complejo eso equivale exactamente a A = A†: ésa es la única equivalencia del tema, y el espectro real no lo es. Cuando falla, falla con número: la mayor parte imaginaria alcanzable vale ‖(A − A†)/2i‖, que en [[1,1],[0,2]] son 0,5 —hay un estado en el que el formalismo devuelve 1,5 + 0,5i— frente a 3,3 × 10⁻¹⁶ en una hermítica cualquiera. Y lo que la hermiticidad protege no es el espectro sino la interpretación: sin autovectores ortogonales la suma de Born recorre de 0,293 a 1,707 según el estado. II.4
operador antihermítico
Anti-Hermitian operator. El que cumple A† = −A. Su valor esperado es imaginario puro y su espectro también. Todo operador se parte en una parte hermítica y una antihermítica, A = (A+A†)/2 + i·(A−A†)/2i, y es la segunda la que estropea las medidas. El caso que decide una fórmula del curso: D = d/dx es antihermítico sobre funciones que se anulan en el infinito —medido con dos gaussianas desplazadas, ⟨g₁|Dg₂⟩ = −0,6968 frente a ⟨Dg₁|g₂⟩ = +0,6968—, así que iD sí es hermítico y el espectro de D es imaginario puro (máx |Re λ| = 7,8 × 10⁻¹⁵ en la matriz discretizada). Ahí está el porqué del −i de p̂ = −iħ d/dx: no es una convención de fase, es el factor que convierte un antihermítico en un observable. II.4
operador normal
Normal operator. El que conmuta con su adjunto, [A, A†] = 0. El teorema espectral general dice que normal equivale a ser diagonalizable en base ortonormal, de modo que la ortogonalidad de los autovectores se decide con un conmutador y no resolviendo el problema de autovalores. Con eso el enunciado correcto queda «hermítica ⟺ normal y espectro real», y las dos hipótesis hacen falta: [[1,1],[0,2]] tiene espectro real {1, 2} y no es normal, y sus autovectores forman 45° en vez de 90°; y al revés, una unitaria es normal con base ortonormal de autovectores y su espectro vive en el círculo unidad, así que puede no tener ni uno real — la 5 × 5 al azar del verificador llega a |Im λ| = 0,999. II.4
operador unitario
Unitary operator (U†U = 1̂). El que conserva el producto escalar, y con él la norma y las probabilidades. Es normal, así que tiene base ortonormal de autovectores —una 5 × 5 al azar da un peor |⟨vᵢ|vⱼ⟩ − δᵢⱼ| de 4,4 × 10⁻¹⁶—, y sus autovalores viven en el círculo unidad, con partes imaginarias de hasta 0,999 y ‖U − U†‖ = 1,38: base perfecta y ni un autovalor real. Es el contraejemplo de que «autovectores ortogonales» implique hermítica, y es la forma que el postulado V impone a la evolución. II.4
operador de Casimir
Casimir operator (L²). El operador que conmuta con todos los generadores de un álgebra a la vez; para el momento angular es L² = L_x² + L_y² + L_z², y su papel es el de etiqueta: es lo único que no cambia al subir o bajar por la escalera, de modo que un multiplete entero comparte su autovalor ħ²ℓ(ℓ+1). Que conmute con las tres componentes se demuestra en dos líneas con la regla del producto, y hay que comprobar aparte que no es el operador nulo: [L², L_z] = 0 se cumpliría igual de bien si L² valiera cero. En el estado más alto de ℓ = 4 vale 20 ħ², que es 4·5 y no 4². II.6
operador de intercambio
Exchange operator (P₁₂). El operador que intercambia los argumentos de la función de onda: P₁₂ψ(x₁,x₂) = ψ(x₂,x₁). Como P₁₂² = 1 y conserva el producto escalar, es hermítico y sus únicos autovalores son +1 y −1; no hay un tercero. Conmuta con el hamiltoniano de dos partículas idénticas y deja de hacerlo en cuanto los parámetros de las dos difieren, aunque sólo sea la masa. Sobre el par (1,2) del pozo de 1 nm, sus dos autoestados tienen separaciones medias de 0,196 y 0,410 nm. II.7
ortohelio
Orthohelium. El helio con los dos espines electrónicos paralelos —parte de espín en el triplete y parte espacial antisimétrica—. No tiene fundamental: hace falta que los dos electrones ocupen orbitales distintos, y el primero que lo permite es el 1s2s, cuyo 2³S está 19,820 eV sobre el fundamental. Queda por debajo de su pareja de parahelio, el 2¹S, porque el espacial antisimétrico paga menos repulsión: 0,796 eV menos, medidos. II.7
orbital molecular
Molecular orbital. Función de onda de un electrón que se extiende sobre varios núcleos en vez de sobre uno. En el H₂⁺ con base mínima sólo hay dos, ψ± = (1s_A ± 1s_B)/√(2 ± 2S), y la simetría del problema las obliga a ser la suma y la resta, sin más libertad. A R = 3,00 a₀ dan E₊ = −15,21 eV y E₋ = −10,00 eV: uno liga y el otro no. II.7
orbital ligante
Bonding orbital. El orbital molecular simétrico ψ₊, con amplitud entre los núcleos y sin nodo ahí, que baja la energía por debajo de la de los fragmentos separados. En el H₂⁺ es el único que lo hace: a R = 3,00 a₀ queda 1,61 eV por debajo de H + p, y su curva llega a −0,564 831 E_h, más hondo que el −½ E_h del átomo suelto. II.7
orbital antiligante
Antibonding orbital. El orbital molecular antisimétrico ψ₋, con un plano nodal entre los núcleos. No liga a ninguna distancia: su curva decrece monótonamente hacia −½ E_h y nunca baja de ahí. A R = 3,00 a₀ está 3,60 eV por encima de H + p mientras el ligante está 1,61 eV por debajo, y esa asimetría —que viene de los denominadores 1 + S y 1 − S— es la razón de que el He₂ no exista. II.7
operador autoadjunto
Self-adjoint operator (A = A*). El que no sólo cumple ⟨φ|Aψ⟩ = ⟨Aφ|ψ⟩ —eso lo cumple cualquier operador simétrico, y es lo que en dimensión finita se llama hermítico— sino que además tiene el mismo dominio que su adjunto. Fuera de dimensión finita las dos palabras dejan de coincidir, y la que hace falta es ésta: sólo un operador autoadjunto tiene teorema espectral, y por tanto sólo él es un observable. El ejemplo que las separa está medido: p = −iħ d/dx con Dirichlet en un intervalo de 1 nm es simétrico y no tiene ni un autovector, mientras que su adjunto —la misma expresión sobre un dominio más ancho, sin condiciones de contorno— admite todo el plano complejo por autovalor, con residuo relativo por debajo de 2,3 × 10⁻¹¹ en los 200 valores de z probados. III.1
P
potencial de frenado
Stopping potential (V_0). La tensión inversa que hay que aplicar para que ni el electrón más rápido llegue al colector: eV_0 = K_max. Se mide con un voltímetro y una lámpara, y es la magnitud que hace de la constante de Planck algo medible en una mesa: sodio a 400 nm da 0,820 V. I.1
potencial interno
Inner potential (V₀). El pozo de potencial medio que un electrón encuentra al entrar en un sólido, de unos 15 eV en el níquel. Aumenta su energía cinética dentro del cristal y acorta su longitud de onda —de 167 a 148 pm para un electrón de 54 V—, de modo que el cristal se comporta como un medio con índice de refracción 1,13 para electrones. Sin él, varios picos de Davisson-Germer no caen donde deberían. I.2
principio de incertidumbre
Uncertainty principle. El nombre común de tres enunciados distintos que conviene no mezclar: la relación de preparación (Δx·Δp ≥ ħ/2, un teorema), la relación error-perturbación (falsa en su forma ingenua, y medida falsa con neutrones en 2012) y la relación de medida conjunta. El único que se cumple siempre es el primero, y no habla de medidas: habla de qué estados se pueden preparar. I.3
paquete de ondas
Wave packet. Una superposición de ondas de distintas longitudes de onda que se suman en una región del espacio y se cancelan fuera, de modo que describe algo localizado. Cuanto más estrecho se hace, más longitudes de onda distintas necesita y más ancha es su distribución de momento. Un paquete libre se ensancha solo: un electrón preparado en 50 pm llega a una micra en 0,86 ps. I.3
partícula virtual
Virtual particle. Un término interno de un desarrollo perturbativo, no un objeto que exista y se pueda detectar. La imagen de que «toma prestada energía durante Δt = ħ/ΔE» es falsa: la energía se conserva exactamente en cada vértice. Lo que ocurre es que la línea interna está fuera de su capa de masas. La cuenta del «préstamo» para un par e⁺e⁻ da 193 fm, que no es más que la mitad de la longitud de onda Compton reducida del electrón. I.3
parámetro de de Boer
De Boer parameter (Λ). Número adimensional Λ = h/(σ√(mε)) que mide cuán cuántica es una sustancia comparando su energía de punto cero con la profundidad ε de su pozo de interacción. Ordena los gases nobles: ³He 3,08 · ⁴He 2,68 · Ne 0,59 · Ar 0,19 · Kr 0,10. Por encima de 1 no hay sólido a presión ambiente, y sólo el helio lo supera. I.3
presión de degeneración
Degeneracy pressure. La presión que ejerce un gas de fermiones comprimido, que no viene del calor sino de que no pueden ocupar todos el mismo estado y confinarlos cuesta energía cinética. No lleva la temperatura dentro, así que una enana blanca fría aguanta igual que una caliente. En Sirio B corresponde a electrones con momento de Fermi de 0,552 MeV/c, viajando a 0,73 c. I.3
principio de exclusión
Pauli exclusion principle. En un átomo no puede haber dos electrones con los cuatro números cuánticos iguales (Pauli, 1925). Su forma profunda es la antisimetría de la función de onda. No es una fuerza: no añade ningún término al hamiltoniano, sólo elimina estados del catálogo. De él salen las capacidades 2n² y, con ellas, los periodos de la tabla periódica: 2, 8, 8, 18, 18, 32. I.4
problema de la medida
Measurement problem. Que la teoría contenga dos evoluciones incompatibles —la de Schrödinger, lineal, determinista y reversible, y el colapso, aleatorio e irreversible— sin decir dónde acaba una y empieza la otra. Aplicando sólo la primera, medir deja al aparato entrelazado con el sistema y no produce ningún resultado. Sigue abierto, y coexiste con una teoría que acierta el momento magnético del electrón hasta la parte por billón. I.5
principio de superposición
Superposition principle. Si Ψ₁ y Ψ₂ resuelven la ecuación con el mismo potencial, c₁Ψ₁ + c₂Ψ₂ también, para cualesquiera constantes complejas: es álgebra de operadores lineales, no una hipótesis física. Lo que no se superpone es lo observable, porque |Ψ|² lleva un término cruzado que oscila con frecuencia (E₂−E₁)/ħ — 4,136 fs de periodo si los niveles distan 1 eV. II.1
potencial óptico
Optical potential. Potencial complejo V = V_R − iW con el que la física nuclear describe un nucleón que entra en un núcleo y desaparece del canal elástico. Rompe a propósito la hipótesis del teorema de conservación de la norma: N(t) = N(0)e^{−2Wt/ħ}. Con W = 5 MeV, τ = ħ/2W = 6,58 × 10⁻²³ s y un neutrón de 20 MeV (β = 0,203 relativista) recorre 4,01 fm, el 56 % del radio del plomo. II.1
problema de autovalores
Eigenvalue problem. La forma Q̂ψ = qψ: un operador aplicado a una función devuelve la misma función multiplicada por un número. Que la energía esté cuantizada no se postula en ningún sitio — sale de exigir que las soluciones de Ĥψ = Eψ sean normalizables, y por eso el módulo I.1 tuvo que imponer los niveles de Bohr y aquí no hace falta. II.1
pozo de paredes infinitas
Infinite square well. El potencial más simple que confina: cero dentro de un segmento de anchura a e infinito fuera. Sus soluciones son ψ_n = √(2/a)·sen(nπx/a) con E_n = n²h²/8ma², y el número entero no sale de la ecuación sino de exigir ψ(a) = 0. Para un electrón, E_n[eV] = 37,60 n²/(a[Å])²: 0,376 eV el primer nivel en 1 nm. II.2
pozo cuántico
Quantum well. Capa delgada de un semiconductor intercalada entre dos de banda más alta, que confina a los electrones en una dimensión. El caso canónico es GaAs entre AlGaAs, con un salto de banda de conducción de unos 0,24 eV. Con 10 nm de anchura el primer nivel cae en 32,4 meV, 1,25 veces k_BT a 300 K: por eso los pozos se fabrican de ese espesor y no de veinte nanómetros. II.2
punto cuántico
Quantum dot. Región de semiconductor lo bastante pequeña como para confinar a un electrón en las tres direcciones, de modo que su espectro es discreto como el de un átomo. La energía va como 1/mL², así que el color que emite se ajusta con el tamaño: un punto de 6 nm da un nivel de 10,4 meV en cada dirección, comparable a los 25,9 meV de la agitación térmica a 300 K. II.2
peine de Dirac
Dirac comb (Kronig-Penney model). Potencial periódico hecho de deltas idénticas, V = αΣδ(x−ja); el modelo resoluble más simple de un cristal unidimensional, y el único en el que la estructura de bandas se obtiene a mano. Todo él cabe en un solo número sin dimensiones, β = mαa/ħ², que mide lo opaca que es cada delta frente al paso de la red; con a = 5 Å, la energía de referencia ħ²/2ma² vale 0,1524 eV. II.2
paridad
Parity. El signo que toma ψ al invertir la coordenada: ψ(−x) = ±ψ(x). Si V(x) = V(−x) el hamiltoniano conmuta con la inversión, y como en una dimensión los estados ligados no son degenerados, cada autoestado tiene que ser par o impar: no es un resultado del cálculo, está decidido antes por la simetría del potencial. En el pozo y en el oscilador la alternancia sale ordenada, ψₙ tiene paridad (−1)ⁿ, y el número de nodos la delata sin integrar nada. La consecuencia que se mide es que en esos autoestados |ψ|² es par, así que todo observable impar tiene valor esperado nulo — en el oscilador, ⟨x⟩ y ⟨(x̂p̂+p̂x̂)/2⟩ salen cero exacto por cuadratura en los cinco primeros niveles. II.2
potencial de Morse
Morse potential. V = D_e(1 − e^(−ax))², la curva resoluble más simple que tiene mínimo y se aplana en el infinito con profundidad finita. Su cociente entre el término cúbico y el cuadrático vale exactamente −ax, de modo que 1/a es la escala en la que Taylor se rompe, sin factores de ajuste. Para el ¹²C¹⁶O, D_e = 10,98 eV y a = 2,325 Å⁻¹, es decir 1/a = 43,0 pm en un enlace de 112,8 pm. II.3
polinomio de Hermite
Hermite polynomial (H_n). El polinomio de grado n que multiplica a la gaussiana en ψ_n del oscilador. Cumple H_(n+1) = 2ξ H_n − 2n H_(n−1), con H₀ = 1 y H₁ = 2ξ, y es ortogonal a los demás con peso e^(−ξ²): ∫ e^(−ξ²) H_n² dξ = 2ⁿ n! √π. No se memoriza; se recorre, porque la recurrencia es estable y la fórmula cerrada con factoriales se muere de cancelación. II.3
punto de retorno clásico
Classical turning point. El punto donde una partícula clásica de energía E agota su energía cinética, E = V(x), y se para. En el oscilador está en x = ±x₀√(2n+1), de modo que en el estado fundamental coincide exactamente con la longitud natural: 4,761 pm en el CO. La cuántica no se para ahí — el 15,73 % de la probabilidad del fundamental está más allá. II.3
principio de correspondencia
Correspondence principle. La exigencia de que la descripción cuántica se confunda con la clásica cuando los números cuánticos son grandes. Se cumple, pero conviene ver a qué ritmo: en el oscilador la cola prohibida baja como (n+½)^(−1/3), del 15,73 % en n = 0 al 2,28 % en n = 200, sin llegar nunca al cero clásico, y ⟨ξ⁴⟩ se separa del valor clásico en 3/8 exactos sea cual sea n. Lo cuántico no se apaga: se hace pequeño comparado con lo que se mide. II.3
polarizabilidad
Polarisability (α). Lo fácil que es deformar la nube electrónica de un sistema con un campo, α(x) ≃ α₀ + (dα/dx)₀ x. Su orden tensorial se refiere a los índices de polarización de la luz, no a la potencia de x: el término activo es lineal, igual que en el dipolo. Estirar una molécula homonuclear no crea dipolo pero sí cambia α, y por eso el N₂ y el O₂ atmosféricos, invisibles en el infrarrojo, se miden con lidar Raman. La polarizabilidad atómica ESTÁTICA es otra magnitud con el mismo nombre y otra unidad de medida: el coeficiente del corrimiento cuadrático de la energía en un campo eléctrico constante, α = −2E⁽²⁾/ℰ², que en el fundamental del hidrógeno vale exactamente 9/2 a₀³. II.3
producto escalar
Inner product (⟨φ|ψ⟩). El número complejo que el espacio de Hilbert asigna a cada par de vectores, y de donde salen la norma, los ángulos y la ortogonalidad. El convenio de la física —y no el de las matemáticas— es antilineal en el primer argumento y lineal en el segundo, lo que hace que ⟨φ| se comporte como una fila y |ψ⟩ como una columna. En L²(ℝ) se calcula como ∫φ*ψ dx, pero esa integral es un caso y no la definición: discretizando [−30, 30] en 60 001 puntos y tratando las dos funciones como vectores de ℂᴺ, el producto escalar coincide con la cuadratura adaptativa en 1,2 × 10⁻¹². II.4
proyector
Projector (P). Operador que cumple P² = P y P† = P: recortar dos veces es recortar una. El de un vector de la base es Pₙ = |n⟩⟨n|, que se queda con la componente n y tira el resto; en el Fock truncado, Pₙ² − Pₙ y PₙP_m con n ≠ m salen cero exacto. Con degeneración el proyector va sobre el autoespacio entero, y ahí está su utilidad: no depende de qué base se elija dentro de él, así que la probabilidad de Born tampoco. Medido, ‖P|ψ⟩‖² = 0,5278 se mantiene con una desviación de 5,6 × 10⁻¹⁶ bajo 200 rotaciones internas al azar del autoespacio. II.4
PT-simetría
PT symmetry. Invariancia bajo el producto de la inversión espacial y la inversión temporal. Un operador PT-simétrico puede tener espectro enteramente real sin ser hermítico, y ésa es la trampa más difícil de ver del tema: la familia H(γ) = [[iγ, 1], [1, −iγ]] tiene λ = ±√(1 − γ²) —±0,866 en γ = 0,5, ±0,141 en γ = 0,99— y no es hermítica para ningún γ ≠ 0. Por encima de γ = 1 el espectro se vuelve imaginario puro: ±1,118 i en γ = 1,5. Ni es normal ni es hermítica, y aun así consigue espectro real en un tramo entero. II.4
punto excepcional
Exceptional point. El valor del parámetro en el que dos autovectores de un operador no hermítico se funden en uno y la matriz deja de ser diagonalizable. No es la degeneración de una hermítica, donde el autoespacio crece y la base nunca encoge: aquí lo que falla no es la ortogonalidad, es que haya base. En la familia PT-simétrica el solape vale |⟨v₊|v₋⟩| = γ por debajo de 1 y 1/γ por encima: 0,500 en γ = 0,5, 0,990 en γ = 0,99 y 0,999999 en γ = 0,999999. II.4
pseudoespín
Pseudospin. Un observable construido como una matriz de Pauli sobre dos niveles cualesquiera de un sistema que no es un espín: |1⟩⟨2| + |2⟩⟨1| es el σ_x del plano que generan esos dos niveles, y el hamiltoniano restringido a ese plano es Ē + (ΔE/2)σ_z. No es exótico: en esa base es la parte no diagonal del operador posición, que es lo que un espectroscopista mide sin darse cuenta. En la mezcla 50/50 de los dos primeros niveles del pozo de 1 nm satura la cota de Mandelstam-Tamm en todo instante —0,58347 fs en los seis instantes medidos del ciclo, con una desviación máxima de 6,7 × 10⁻¹⁰—, mientras que la posición se queda un 26 % por encima en su mejor momento. II.4
postulados de la mecánica cuántica
Postulates of quantum mechanics. Los cinco enunciados en los que cabe el formalismo: I, el estado es un vector normalizado de un espacio de Hilbert, salvo fase global; II, cada magnitud medible es un operador hermítico y una medida devuelve uno de sus autovalores; III, la probabilidad del autovalor a es ‖P_a|ψ⟩‖²; IV, obtenido a, el estado pasa a P_a|ψ⟩/‖P_a|ψ⟩‖; V, entre medidas |ψ(t)⟩ = e^(−iHt/ħ)|ψ(0)⟩. No están al mismo nivel: I y II son convenios productivos, V está forzada en cuanto se exige conservar la norma y III se motiva con Gleason, mientras que IV no se deduce de nada de lo anterior. Y eso último es una medida, no una opinión: medir lleva la pureza de 1 a 0,5 y V la conserva con un error de 3,0 × 10⁻¹⁵. II.4
pureza
Purity. Tr ρ², el número que dice si detrás de un estado hay un ket: vale 1 si y sólo si es puro, y baja hasta 1/d en la mezcla máxima —0,5 en un qubit—. Es un invariante exacto de toda evolución unitaria, porque Tr[(UρU†)²] = Tr ρ² por la ciclicidad de la traza, y eso está medido: 200 unitarias al azar la mueven 3,0 × 10⁻¹⁵. Como medir la lleva de 1 a 0,5, no existe ninguna U que reproduzca una medida — catorce órdenes de magnitud entre las dos cosas, y ésa es la forma medible de decir que el colapso no es una evolución unitaria. II.4
postulado de proyección
Projection postulate. El postulado IV: si la medida de A ha dado a, el estado inmediatamente después es P_a|ψ⟩/‖P_a|ψ⟩‖, la proyección entera sobre el autoespacio y no un autovector concreto — con degeneración sigue siendo, en general, una superposición dentro de él. Su evidencia directa es que el aparato se repite: tras obtener +1 midiendo σ_z, volver a medir σ_z devuelve +1 con probabilidad 1, y ⟨σ_x⟩ vale 0 exacto. No dice que haga falta un observador, ni cuánto tarda, ni qué cuenta como aparato: es una regla de actualización, del género de la de Bayes. Y tampoco perturba siempre — medir un observable del que el estado ya era autoestado deja la pureza en 1. II.4
potencial de Coulomb
Coulomb potential. La energía de interacción entre dos cargas, V(r) = −e²/4πε₀r para el protón y el electrón. Es el único ingrediente físico del átomo de hidrógeno: todo lo demás sale de resolverlo. Su escala natural es e²/4πε₀a₀ = 27,2114 eV, el doble de la ligadura del fundamental. Y lo que hace resoluble el problema no es el 1/r sino que V dependa sólo de r; el 1/r se cobra aparte, en forma de una degeneración en ℓ que ningún otro potencial central tiene. II.5
potencial central
Central potential. Un potencial que depende sólo de la distancia al origen, V = V(r), y no de los ángulos. Basta eso —no hace falta que sea el 1/r— para que ψ = R(r)Y(θ,φ) parta la ecuación de Schrödinger en tres ordinarias, y para que la parte angular sea idéntica en todos ellos: el pozo esférico, el oscilador isótropo y el hidrógeno comparten armónicos esféricos y sólo se diferencian en la radial. La separación se paga con un término que no estaba en V, ħ²ℓ(ℓ+1)/2mr², que en r = a₀ y ℓ = 1 vale 27,2114 eV. II.5
potencial centrífugo
Centrifugal potential. El término ħ²ℓ(ℓ+1)/2mr² que la separación en esféricas añade a la ecuación radial. No está en V: lo pone el ángulo. Es la energía cinética del movimiento angular disfrazada de potencial, y su análogo clásico es exacto —el L²/2mr² de una órbita—. Repulsivo para todo ℓ ≠ 0 y creciente como 1/r², le gana siempre al Coulomb cerca del origen, que sólo crece como 1/r: las dos curvas se cruzan en r_c = ℓ(ℓ+1)a₀/2, y en r = a₀ con ℓ = 1 valen las dos 27,2114 eV. II.5
punto singular regular
Regular singular point. El punto donde el coeficiente principal de una EDO lineal se anula, pero con la suavidad justa para que una de las dos soluciones independientes siga siendo finita allí. En la ecuación de Legendre son los dos polos, x = ±1, porque 1 − x² se anula; la otra solución se va como el logaritmo de la distancia al polo. Elegir la finita en un polo es gratis; exigirlo también en el otro es una ecuación con una incógnita, y sólo la cumplen los ℓ enteros. La pendiente del crecimiento vale |sen ℓπ|/π: 0,31831 con ℓ = 0,5 y cero exacto en todo entero. II.5
polinomio asociado de Laguerre
Associated Laguerre polynomial (L_k^α). Las soluciones polinómicas de la ecuación de Kummer, y por tanto la parte no exponencial de las radiales del hidrógeno: R_nℓ ∝ ρ^ℓ e^(−ρ/2) L_(n−ℓ−1)^(2ℓ+1)(ρ). El nombre es un dato de biblioteca y no hay que memorizar ninguno: lo que hace falta es la condición bajo la cual existen, que es que la serie corte, porque de ella sale la cuantización. Su grado es n − ℓ − 1, que es también el número de nodos radiales — dos en el 3s, uno en el 3p, ninguno en el 3d. II.5
potencial de Yukawa
Yukawa potential. El Coulomb multiplicado por una exponencial que lo corta a una distancia D: V(r) = −(e²/4πε₀)e^(−r/D)/r. Sigue siendo central —así que los tres 2p tienen que seguir coincidiendo entre ellos— y deja de ser 1/r, de modo que es el experimento numérico limpio para saber de cuál de las dos cosas venía la degeneración s–p. Viene del 1/r: el desdoblamiento 2s−2p pasa de 0,054 meV con D = 500 a₀ a 92,4 meV con D = 10 a₀, creciendo como D⁻², y siempre con el 2s por debajo del 2p — el mismo signo que el defecto cuántico del sodio. II.5
partículas idénticas
Identical particles. Dos o más partículas para las que no existe ninguna medida que las distinga, porque todos los parámetros que entran en el hamiltoniano —masa, carga, espín, momento magnético— son los mismos. No es una semejanza grande: si difieren en cualquiera de ellos, el hamiltoniano deja de conmutar con el operador de intercambio y el postulado de simetrización no se aplica. Dos electrones en un pozo de 1 nm con n = 1 y n = 2 distan 0,196 o 0,410 nm según el signo del estado; si fueran distinguibles, 0,321 nm. II.7
postulado de simetrización
Symmetrization postulate. La exigencia —que no se deduce de la ecuación de Schrödinger— de que el estado de N partículas idénticas sea autoestado de todos los operadores de intercambio, con +1 para los bosones y −1 para los fermiones. No añade ningún término al hamiltoniano: poda el espacio de estados. Con dos partículas en los orbitales 1 y 2 de un pozo, los ocho kets de partículas distinguibles se quedan en cuatro si son fermiones de espín ½ y en uno si son bosones de espín 0, sin que la energía 5E₁ cambie. II.7
parahelio
Parahelium. El helio con los dos espines electrónicos apareados —parte de espín en el singlete y parte espacial simétrica—. El fundamental 1s² sólo puede ser parahelio: poner los dos electrones en el mismo espín-orbital deja dos filas iguales en el determinante de Slater y lo anula, así que no existe un helio fundamental de espines paralelos. Su primer estado del mismo tipo, el 2¹S, está 20,616 eV sobre el fundamental. II.7
principio variacional
Variational principle. El valor esperado del hamiltoniano en cualquier estado normalizado es mayor o igual que la energía del fundamental, así que una función de prueba sólo puede equivocarse por arriba. Eso convierte la comparación en una barra medida y no en una discusión: la curva del LCAO del H₂⁺ queda por encima de la exacta en las cinco distancias medidas, desde 2,3758 eV a 1,50 a₀ hasta 0,0782 eV a 6,00 a₀. Para un estado excitado la misma desigualdad vale sólo si la prueba es ortogonal al fundamental exacto; sin esa condición el mínimo se va hacia E₀ y devuelve un número creíble que no acota nada. II.7
plano nodal
Nodal plane. Superficie plana en la que la función de onda se anula idénticamente. En el antiligante del H₂⁺ es el plano perpendicular al eje internuclear que pasa por el punto medio: allí r_A = r_B y la resta de las dos exponenciales es cero exacto, no una cancelación numérica. Barrido en 501 puntos y a tres distancias, el mayor |ψ₋| que aparece es cero hasta el último bit, mientras que el ligante no baja de 0,0564 en unidades atómicas. II.7
perturbación degenerada
Degenerate perturbation theory. Cuando el nivel de partida tiene varios estados, la corrección de primer orden no es ⟨n|H′|n⟩ estado por estado: es el espectro de H′ restringido a ese subespacio, porque la base no está determinada y es la perturbación quien elige la buena. Quedarse con la diagonal no reparte mal la energía —la traza coincide hasta la decimosexta cifra— sino el desdoblamiento, que es la observación entera: en el bloque 3 × 3 medido en el artículo la diagonal da una anchura de 1,414 donde la verdadera es 5,915. II.8
precesión de Thomas
Thomas precession. La corrección cinemática que explica el factor ½ del acoplamiento espín-órbita: el sistema propio del electrón no es inercial, y la rotación que acumula a lo largo de la órbita reduce a la mitad el corrimiento que da la cuenta ingenua del campo magnético visto desde el electrón. No es un ajuste ni un descuido —sale sola al reducir la ecuación de Dirac—, y sin ella la estructura fina del hidrógeno saldría del doble de tamaño. II.8
Q
QBismo
QBism (quantum Bayesianism). Lectura en la que el estado cuántico no describe el sistema sino el grado de creencia de un agente, y el colapso es la actualización de esa apuesta al recibir un dato. Disuelve el problema de la medida negando que hubiera que describir nada objetivo; su precio es que no dice qué hay ahí fuera. Como las demás salvo los modelos de colapso, no predice ningún número distinto. I.5
qubit
Qubit. Sistema cuántico de dos niveles: ℂ², el espacio de Hilbert más pequeño que existe. Sus estados puros se escriben |θ,φ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ)sen(θ/2)|1⟩ y llenan la superficie de la esfera de Bloch. Tiene una peculiaridad que es de dimensión y no de álgebra: para dos observables cualesquiera, Ã|ψ⟩ y B̃|ψ⟩ son los dos ortogonales a |ψ⟩, y en ℂ² el complemento ortogonal de un vector tiene dimensión uno, así que están obligados a ser paralelos y Cauchy-Schwarz es siempre una igualdad —comprobado en 2000 parejas de hermíticas 2 × 2 al azar, donde la separación entre |⟨ÃB̃⟩| y σ_Aσ_B se queda en el orden de 10⁻¹⁴, o sea cero con el ruido de la máquina dentro—. Consecuencia: en un qubit la relación de Robertson sólo puede fallar por el término que tira. II.4
R
radiación térmica
Thermal radiation. Las ondas electromagnéticas que emite cualquier cuerpo por el hecho de estar a una temperatura distinta del cero absoluto. No hay que calentar nada al rojo para que ocurra: tu piel a 33 °C emite unos 500 W/m² en infrarrojo de unos 9,5 µm. I.1
radio de Bohr
Bohr radius (a_0). La escala natural de tamaño del átomo, a_0 = 5,291 772 × 10⁻¹¹ m = 52,9177 pm. En el modelo de Bohr es el radio de la órbita n = 1; en la cuántica de verdad es la distancia más probable del electrón al núcleo en el estado fundamental — pero de un átomo idealizado con el núcleo infinitamente pesado. El hidrógeno real lleva masa reducida y su máximo cae en 52,9465 pm: 0,0288 pm más lejos, el 0,054 %, que es exactamente m_e/m_p. A tres cifras las dos versiones son 52,9 pm; a cinco no, y la diferencia se mide. I.1
regla de Born
Born rule. La receta, propuesta por Max Born en 1926 y en una nota a pie de página, que conecta el formalismo con el laboratorio: la probabilidad de un resultado es el módulo al cuadrado de su amplitud. Es lo que permite que un patrón de interferencia se construya con impactos individuales, como los 1,2 millones de puntos del experimento de Tonomura. Es un postulado, no un teorema, y deducirla sigue siendo un problema abierto. I.2
relación de Robertson
Robertson relation. La generalización de 1929 del principio de incertidumbre a cualquier par de magnitudes: el suelo del producto de sus dispersiones lo fija cuánto dejan de conmutar sus operadores. Para posición y momento devuelve ħ/2; para dos magnitudes compatibles devuelve cero. El recíproco es falso, y ése es el error que más veces se lee: una cota que sale cero no prohíbe nada y no dice que las dos magnitudes se puedan afinar a la vez. El artículo 03 lo enseña con un qubit en (60°, 0°), donde la cota se anula con el conmutador [σ_z, σ_x] = 2iσ_y bien vivo y el producto de dispersiones vale 0,433. Se deduce de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. I.3
relación error-perturbación
Error-disturbance relation. La afirmación de que el error ε con que un aparato mide A por la perturbación η que le causa a B no puede bajar de ħ/2. Es lo que el microscopio de Heisenberg parece demostrar y es FALSA: Ozawa dio en 2003 la forma correcta, con tres términos, y en 2012 se midió con neutrones un producto ε·η por debajo del suelo ingenuo. En el montaje de Erhart la relación ingenua falla en el 73 % del recorrido. I.3
relación de Mandelstam-Tamm
Mandelstam-Tamm relation. Enunciado correcto de 1945 de lo que suele escribirse como «ΔE·Δt ≥ ħ/2»: para cualquier observable B, el tiempo característico τ_B ≡ σ_B/|d⟨B⟩/dt| cumple τ_B ≥ ħ/2σ_E. Léase con cuidado, porque no es una duración: es una dispersión dividida por un ritmo, o sea lo que tardaría ⟨B⟩ en recorrer una σ_B si siguiera moviéndose a la velocidad que lleva en ese instante. La cota no promete que nada tarde eso, ni que exista un observable que lo consiga. En la mezcla 50/50 del pozo de 1 nm las tres cifras que la frase de manual junta en una son distintas: la cota vale 0,583 fs, el mínimo real de σ_x/|d⟨x⟩/dt| sobre el ciclo es 0,7363 fs, y el centroide tarda 0,781 fs en desplazarse una σ_x. Tampoco es el tiempo que tarda el estado en volverse ortogonal a sí mismo, que es otra magnitud y sale mayor. I.3
regla de Madelung
Madelung (Klechkowski) rule. Las subcapas se llenan por orden creciente de n+l, y a igualdad de n+l, por orden creciente de n: 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p… Reproduce las longitudes de los periodos (2, 8, 8, 18, 18, 32) y tiene una veintena de excepciones, como el cromo (3d⁵4s¹) o el paladio ([Kr]4d¹⁰). No se ha deducido de la ecuación de Schrödinger: Löwdin la señaló en 1969 como problema abierto y sigue siéndolo. I.4
reglas de Slater
Slater's rules. Receta empírica de 1930 para estimar el apantallamiento: cada electrón de la misma capa apantalla 0,35; cada uno de la capa inmediatamente interior, 0,85; los de más adentro, 1,00. Con n* = 3,7 · 4,0 · 4,2 para n = 4 · 5 · 6 da radios con un 5 % de error en los dos primeros periodos y un 42 % en el cesio. Es un ajuste, no una deducción. I.4
radio de van der Waals
Van der Waals radius. La mitad de la distancia a la que dos átomos que NO se enlazan se tocan. Para el neón vale 154 pm, cuatro veces el radio calculado de 38 pm, y las dos cifras son correctas porque miden cosas distintas. La comprobación: el mínimo del potencial entre dos átomos de neón cae en 309 pm y el doble de 154 son 308 — un 0,2 % de diferencia. I.4
realismo local
Local realism. La conjunción de dos supuestos: que cada partícula lleve consigo una respuesta definida para cada medida posible (realismo) y que su respuesta no dependa del ajuste del aparato lejano (localidad). Formalmente, A = A(a, λ) y B = B(b, λ) con valores ±1. Todo lo que Einstein, Podolsky y Rosen pedían en 1935 cabe aquí, y el techo de esa familia entera es S ≤ 2. I.5
resquicio
Loophole. Hueco experimental que permitiría explicar una violación medida con un modelo local. Los tres clásicos son el de localidad (los dos lados deben elegir y medir en menos tiempo del que tarda la luz en cruzar: 4,3 µs para los 1,3 km de Delft), el de detección (eficiencia por encima de 2(√2−1) = 82,84 %, o del 66,7 % con estados de Eberhard) y el de libertad de elección. Los dos primeros se cerraron a la vez en 2015. I.5
relación de dispersión
Dispersion relation. La función ω(k) que una ecuación de ondas impone a sus soluciones planas. La de Schrödinger libre es ω = ħk²/2m, cuadrática, y de ahí que la velocidad de fase ω/k = v/2 sea la mitad de la de grupo dω/dk = v: 297 y 593 km/s para el electrón de 1 eV. Con la relación relativista sale otra ecuación distinta, la de Klein-Gordon. II.1
relación de conmutación canónica
Canonical commutation relation. [x̂, p̂] = iħ, que se demuestra en dos líneas haciendo actuar los dos órdenes sobre una función cualquiera. Es una identidad entre operadores, no una afirmación sobre ningún estado, y de ella sale σ_xσ_p ≥ ħ/2 = 5,273 × 10⁻³⁵ J·s sin mencionar en ningún momento un aparato de medida. II.1
región clásicamente prohibida
Classically forbidden region. Zona donde V es mayor que E y una partícula clásica no podría estar. Allí ψ no se anula: decae exponencialmente con longitud 1/κ = ħ/√(2m(V−E)). No es un sitio donde la partícula «esté» —localizarla ahí exige darle energía suficiente para que deje de estarlo—, es el camino por el que pasa en el efecto túnel. El tercer nivel de un pozo de GaAs de 10 nm pasa ahí el 76,2 % del tiempo. II.2
resonancia de transmisión
Transmission resonance. Energía a la que una barrera o un pozo se vuelve perfectamente transparente, T = 1 exacto, porque cabe un número entero de semilongitudes de onda dentro y las reflexiones de entrada y salida se cancelan: la condición es qL = nπ. Es el mismo mecanismo que una lámina antirreflejante. Con V₀ = 2 eV y L = 5 Å, las tres primeras caen en 3,504, 8,016 y 15,54 eV. II.2
relación de ortogonalidad
Orthogonality relation. La integral que anula el solape de dos elementos distintos de una familia de funciones, con un peso que forma parte del enunciado. Para Hermite, ∫ e^(−ξ²) H_n H_m dξ = 2ⁿ n! √π δ_nm, y el peso e^(−ξ²) es justamente el módulo al cuadrado de la gaussiana: la ortogonalidad con peso de los H_n es la ortogonalidad sin peso de las ψ_n. Los primeros valores son 1,772 · 3,545 · 14,18 · 85,08. II.3
regla del trapecio
Trapezoidal rule. Aproximar una integral sumando trapecios entre puntos consecutivos de una rejilla. Su error es de orden dx², lo que da la prueba que distingue un método bueno de un número afortunado: doblar el número de puntos tiene que dividir el error por cuatro. Colocar los extremos de tramo sobre los puntos especiales del problema es lo que bajó el error relativo de la cola del fundamental de 2,21 × 10⁻² a 3,8 × 10⁻⁵, casi tres órdenes de magnitud. II.3
regla de selección
Selection rule. La condición sobre Δn (o Δℓ, Δm) para que un elemento de matriz no se anule. En el oscilador, el dipolo qx sólo conecta n con n±1, y por eso el espectro de absorción es una sola raya — la banda 1←0 del CO, medida a 2143,27 cm⁻¹ (4,666 µm). II.3
regla de suma de Thomas-Reiche-Kuhn
Thomas-Reiche-Kuhn sum rule. La suma Σ_m (E_m − E_n)|⟨n|x|m⟩|² vale ħ²/2μ en cualquier potencial y en cualquier nivel, porque sale de un doble conmutador que sólo ve la energía cinética. Para el CO son 4,884 × 10⁻⁴³ J·m², idénticos en n = 0 y en n = 3. Sirve de auditoría: si a alguien no le sale ese valor, ha perdido estados por el camino. II.3
resolución de la identidad
Resolution of the identity. Σₙ|n⟩⟨n| = 1̂ sobre una base ortonormal. No dice nada nuevo —es Parseval escrito como operador— y su utilidad es que se puede meter en cualquier sitio: es el «multiplicar por uno» del formalismo. Que la palabra «completo» signifique algo se mide quitándole un término: retirar |0⟩⟨0| y aplicarla al paquete gaussiano desplazado un x₀ deja una norma al cuadrado de 0,3935 = 1 − e^(−1/2), o sea que se pierde el 60,65 % de la probabilidad por tirar un vector de una base infinita. La respuesta no queda un poco peor: queda equivocada por una cantidad calculable de antemano. II.4
radio más probable
Most probable radius. El r donde la distribución radial P(r) = |R_nℓ|²r² alcanza su máximo, que no es el radio medio. En el 1s, maximizar r²e^(−2r/a₀) da exactamente a₀ = 52,9177 pm, mientras que ⟨r⟩ = 3a₀/2 = 79,3766 pm: 26,4589 pm más lejos, un 50 %. La diferencia no es un matiz de definición sino la asimetría de P(r), que sube como r² por la izquierda y cae como una exponencial por la derecha, de modo que la cola larga arrastra la media hacia fuera sin contrapeso. Es lo único que el modelo de Bohr acertó de este átomo. II.5
razón giromagnética
Gyromagnetic ratio (γ). El cociente entre momento magnético y momento angular. La mecánica clásica la fija en q/2m para cualquier órbita, y por eso ningún modelo de tamaño puede explicar que el electrón la tenga al doble. Tabulada como γ/2π vale 28 024,95 MHz/T para el electrón y 42,58 MHz/T para el protón. II.6
resonancia magnética nuclear
Nuclear magnetic resonance (NMR). Transición entre los estados de espín de un núcleo en un campo magnético, provocada por radiofrecuencia a su frecuencia de precesión. Para el protón, 42,58 MHz/T. Su señal es intrínsecamente débil porque el momento magnético del protón es 658 veces menor que el del electrón. II.6
raya de 21 cm
21-cm line (H I). La transición entre los dos niveles hiperfinos del hidrógeno neutro, con λ = 21,1061 cm y f = 1420,405 751 7667 MHz. Su energía equivale a 68,2 mK, tres órdenes de magnitud por debajo de la temperatura del gas frío de la Galaxia, y por eso el nivel de arriba está poblado 3:1 a cualquier temperatura del medio interestelar: el brillo cuenta átomos, no mide temperatura. II.6
radio de convergencia
Radius of convergence (R). La distancia del origen a la singularidad más próxima de E_n(λ) en el plano complejo: dentro de |λ| < R la serie de perturbaciones converge y fuera diverge. No se puede leer en ningún término de la serie —no lo fija que las correcciones parezcan pequeñas, lo fija una singularidad que puede estar en un λ negativo o imaginario, donde el problema físico ni siquiera existe—. En un sistema de dos niveles separados por Δ sale Δ/2, con la singularidad en un acoplamiento imaginario; en el oscilador cuártico vale cero, y aun así los dos primeros órdenes sirven hasta λ = 0,161. II.8
repulsión de niveles
Level repulsion. A segundo orden una perturbación separa dos niveles empujando al de abajo hacia abajo y al de arriba hacia arriba, y con la misma cantidad, |v|²/(E₂ − E₁). De ahí que la corrección de segundo orden del fundamental sea siempre ≤ 0 —todos sus denominadores E₀ − E_k son negativos— y que pueda ser positiva para un estado excitado. Vale cero exactamente sólo si la perturbación no mezcla ese estado con ningún otro. II.8
regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld
Bohr-Sommerfeld quantisation rule. ∫p dx = (n + μ/4)πħ entre los puntos de retorno: la condición de que la función de onda construida desde los dos extremos hacia el centro sea la misma función. No es la regla de la cuántica antigua con otro nombre, porque el término constante ya no se postula — lo cuenta el índice de Maslov —, y con el recuento bien hecho devuelve el espectro exacto del oscilador armónico y el del pozo infinito, con discrepancia relativa por debajo de 10⁻¹⁵. II.8
relación de incertidumbre entrópica
Entropic uncertainty relation. Una desigualdad que acota por abajo la suma de las entropías de Shannon de las distribuciones de dos observables: H(A) + H(B) ≥ log₂(1/c), con c el mayor |⟨a_i|b_j⟩|² de la matriz del cambio de base. Su virtud frente a Robertson es que en el lado derecho no hay estado —la cota se calcula abriendo la matriz del cambio de base y vale antes de preparar nada, mientras que ⟨[A,B]⟩ puede anularse por cancelación en un estado concreto—. Para σ_z y σ_x el cambio de base es el de Hadamard dividido por √2, todos sus elementos valen 1/√2 en módulo, c = ½ y la cota es 1 bit exacto: una búsqueda sobre 200 000 estados al azar da un mínimo de 1,0000 bits y ninguno baja. La versión de Maassen y Uffink (1988) es más del doble que la primera, la de Deutsch (1983), que para ese mismo par de bases vale 0,4569 bits. III.1
relaciones de Weyl
Weyl relations. El conmutador canónico escrito entre unitarios en vez de entre x y p: con U(a) = e^{−ipa/ħ}, que traslada, y V(b) = e^{−ixb/ħ}, que multiplica por una fase, U(a)V(b) = e^{iab/ħ}V(b)U(a). La ventaja no es estética. U y V son acotados y están definidos sobre todo el espacio, así que la identidad vale sin dominio y sin letra pequeña, mientras que [x, p] = iħ exige componer dos operadores no acotados y sólo significa algo donde esa composición existe — de hecho ningún par de operadores acotados puede cumplirla. Medida sobre una rejilla de 256 puntos, la relación da un residuo relativo de 1,6 × 10⁻¹⁵, y dos construcciones de U(a) que no comparten cuenta coinciden en 1,3 × 10⁻¹³. Con el signo cambiado en el exponente el residuo sube a 1,27: no es una convención de notación. III.1
S
serie de Balmer
Balmer series. Las rayas del hidrógeno que caen al nivel n = 2, cuatro de ellas en el visible: 656,3 nm (roja), 486,1 nm, 434,0 nm y 410,2 nm, medidas en aire. Balmer dio en 1885 la fórmula que las reproduce con cuatro cifras sin tener la menor idea de por qué funcionaba. I.1
superposición
Superposition. Que un estado se escriba como suma de otros con amplitudes complejas, y que esa suma sea el estado y no una descripción de nuestra ignorancia. Un fotón polarizado a 0° es (|+45°⟩+|−45°⟩)/√2 en la base diagonal, y por eso atraviesa una cadena de sesenta polarizadores escalonados hasta 90° el 95,97 % de las veces cuando dos polarizadores cruzados sin nada en medio dejan pasar exactamente cero. I.5
superdeterminismo
Superdeterminism. La salida de que los ajustes de los aparatos estén correlacionados con la variable oculta desde el pasado común de todo. No está descartado y casi nadie trabaja en él, porque una teoría capaz de explicar cualquier correlación conspirando con las condiciones iniciales también puede explicar cualquier resultado de cualquier experimento. Los ataques experimentales usan bits de 100 000 personas (2018) y luz de cuásares de hace 12 200 millones de años. I.5
sobretono
Overtone. Una transición con Δv mayor que uno, prohibida en el oscilador armónico y visible en cualquier molécula real. Nunca cae en el múltiplo exacto de la fundamental: el v-ésimo se queda v(v−1)ω̃_e x_e por debajo. El primero del CO, 2 ← 0, está medido en 4260,06 cm⁻¹ (2,347 µm), 26 cm⁻¹ menos que los 4286,54 que daría duplicar la banda fundamental. II.3
sucesión de Cauchy
Cauchy sequence. Sucesión cuyos términos acaban tan juntos entre sí como se quiera. Un espacio es completo cuando toda sucesión de Cauchy converge a un elemento suyo, y eso es una propiedad del espacio, no de la sucesión: 1 · 1,4 · 1,41 · 1,414… es de Cauchy en los racionales y su límite, √2, no lo es. Que L²(ℝ) sí sea completo es el teorema de Riesz y Fischer, de 1907, y es lo que impide que una sucesión de funciones perfectamente respetables se acerque a algo que no está dentro. Este módulo lo usa y no lo demuestra. II.4
serie de Lyman
Lyman series. Las rayas del hidrógeno que terminan en n = 1, todas en el ultravioleta lejano. La primera, Lyman α (2 → 1), lleva 10,2043 eV y cae en 121,502 nm con masa infinita y en 121,568 nm con masa reducida, que es la medida. El límite de la serie —el salto desde n = ∞— lleva el mismo apellido, y sin él la cifra no significa nada: 91,127 nm con masa infinita, 91,1763 nm con la del hidrógeno. Y ese segundo número es Ry_H, no la ionización medida: la medida es 13,598 434 6 eV y cae en 91,1753 nm, un picómetro más acá, porque entre las dos hay 0,147 meV de Dirac y de Lamb. Por encima del límite hay rayas con nombre y por debajo un continuo, porque el electrón ya está libre. La serie de Balmer, que acaba en n = 2, tiene su límite exactamente cuatro veces más allá: 364,507 y 364,705 nm. II.5
símbolo de Levi-Civita
Levi-Civita symbol (ε_ijk). El objeto de tres índices que vale +1 si (i,j,k) es una permutación cíclica de (x,y,z), −1 si es anticíclica y 0 si algún índice se repite. Sirve para escribir de un golpe las tres identidades cíclicas [L_x,L_y] = iħL_z, [L_y,L_z] = iħL_x y [L_z,L_x] = iħL_y, y es el mismo símbolo que cierra el álgebra de las matrices de Pauli, σ_iσ_j = δ_ij + iε_ijkσ_k. Su virtud práctica es el signo: la cuarta, [L_y,L_x] = −iħL_z, sale sola del cambio de paridad, y es justo el error que no chirría cuando se escribe a mano. II.6
serie de Clebsch-Gordan
Clebsch-Gordan series. La lista de momentos totales que produce acoplar dos: j₁ ⊗ j₂ = |j₁−j₂| ⊕ … ⊕ j₁+j₂. Su comprobación es dimensional: (2j₁+1)(2j₂+1) = Σ(2J+1), o sea 4 = 3+1 para dos espines ½ y 9 = 5+3+1 para 1 ⊗ 1. II.6
serie asintótica
Asymptotic series. Serie cuyos primeros términos se acercan al valor exacto y cuyos términos posteriores, a partir de un orden que depende del parámetro, se alejan sin volver: sirve truncada, no sumada, y saber dónde truncar exige información que ella misma no da. Es la situación normal en teoría de perturbaciones y no la excepción — la del oscilador cuártico tiene radio de convergencia cero y sus dos primeros órdenes aciertan al 1 % —, y el desarrollo en ħ de la aproximación WKB es otra. La electrodinámica cuántica está en ese mismo caso y se le conocen catorce cifras. II.8
T
teorema del virial
Virial theorem. Para un estado ligado, 2⟨T⟩ = ⟨x·dV/dx⟩; si V ∝ xⁿ eso da 2⟨T⟩ = n⟨V⟩. Con n = −1 (Coulomb) sale ⟨V⟩ = −2⟨T⟩: en el hidrógeno, ⟨T⟩ = 13,606 eV y ⟨V⟩ = −27,211 eV, cuya suma es la energía de ligadura. Con n = 2 (oscilador armónico) sale ⟨T⟩ = ⟨V⟩ = E/2, y por eso la energía de un oscilador se reparte a partes iguales. No hay que imponerlo: sale solo al minimizar la energía frente al tamaño. I.3
teorema espín-estadística
Spin-statistics theorem. Demostrado por Pauli en 1940: en cualquier teoría cuántica de campos relativista y con energías acotadas por abajo, el espín semientero obliga a estadística de Fermi-Dirac y el entero a la de Bose-Einstein. No es una regla empírica; es la razón de que no existan fermiones de espín entero. Sin él, la correspondencia entre el espín 1/2 del electrón y la tabla periódica sería una coincidencia. I.4
teorema de no comunicación
No-communication (no-signalling) theorem. Que ninguna operación local sobre un sistema entrelazado cambie las estadísticas del otro lado. Con el estado de Bell la comprobación es de una línea: P_A(+) = ½cos²(α−β) + ½sen²(α−β) = ½, y β desaparece. Con 10 000 pares, Bob espera 5000 «+» con σ = 50 sea cual sea el ángulo de Alicia, y la diferencia de medias es exactamente cero. I.5
teleportación cuántica
Quantum teleportation. Transferir un estado cuántico desconocido midiendo conjuntamente el original y una mitad de un par entrelazado y enviando el resultado —dos bits clásicos— al otro extremo, que aplica una de cuatro operaciones. No viaja materia, se destruye el original y el canal clásico es obligatorio: entre dos puntos a 1200 km, esos dos bits tardan como mínimo 4,00 ms. Se demostró de tierra a satélite en 2017, a más de 1400 km. I.5
teoría de De Broglie-Bohm
De Broglie-Bohm (pilot-wave) theory. Que además de la función de onda haya partículas con posición definida en todo momento, guiadas por ella. Reproduce todas las predicciones de la cuántica ordinaria y no hay colapso; el precio es una no localidad explícita en las ecuaciones —el guiado de cada partícula depende de la posición instantánea de las demás—, coherente con el teorema de Bell, que obliga a renunciar a la localidad o al realismo. I.5
término de interferencia
Interference term. El sumando 2Re(c₁*c₂Ψ₁*Ψ₂) que aparece al elevar al cuadrado una superposición y que no está en ninguno de los dos estados por separado. Es lo único de |Ψ|² que se mueve cuando se suman dos estados estacionarios. En una caja de 1 nm con los niveles 1 y 2, un periodo cada 3,666 fs. II.1
teorema de Ehrenfest
Ehrenfest's theorem (1927). m·d⟨x⟩/dt = ⟨p⟩ y d⟨p⟩/dt = −⟨∂V/∂x⟩: los valores esperados obedecen las ecuaciones de Newton. Se cita casi siempre de más — lleva la media de la fuerza, no la fuerza en la posición media, y las dos coinciden sólo si V es a lo sumo cuadrático. Es exacto en un campo uniforme: un electrón en 1 kV/m acelera a 1,759 × 10¹⁴ m/s² sea cual sea su paquete. II.1
teorema de Bloch
Bloch's theorem. En un potencial periódico de periodo a, las soluciones cumplen ψ(x+a) = e^(iKa)ψ(x) con K real. No son normalizables ni periódicas, pero su módulo sí lo es, de modo que la partícula está igual de repartida por todas las celdas. Impuesto sobre un peine de deltas de paso a = 5 Å da cos(Ka) = cos(qa) + β·sen(qa)/(qa), con β = mαa/ħ². En el módulo II.2 se enuncia y se usa sin demostrar, y así queda declarado. II.2
temperatura vibracional
Vibrational temperature (θ_vib). θ_vib ≡ ħω/k_B, la temperatura a la que la agitación térmica iguala un cuanto de vibración. Es una escala, no un umbral: el sistema no hace nada brusco al cruzarla. Para el ¹²C¹⁶O vale 3122 K y para el N₂ 3393 K, diez veces la temperatura ambiente, y por eso la vibración de esos gases está congelada y no cobra calor específico a 300 K. II.3
teoría de perturbaciones dependiente del tiempo
Time-dependent perturbation theory. El aparato que convierte un elemento de matriz en una probabilidad de transición por unidad de tiempo, y de ahí en una intensidad de raya: la intensidad va con el cuadrado del elemento de matriz. Este módulo usa su conclusión sin deducirla, y lo declara. La consecuencia medible es directa: |⟨1|x|2⟩|²/|⟨0|x|1⟩|² = 2, el factor que hay entre la banda caliente y la fundamental a igualdad de población. II.3
teoría de perturbaciones
Perturbation theory. Si H = H₀ + W y H₀ se sabe resolver, el nivel n se corrige en ⟨n|W|n⟩ a primer orden y en Σ_(m≠n) |⟨m|W|n⟩|²/(E_n − E_m) a segundo. No sirve sin declarar cuán pequeña es W, y ése es el número que casi nunca se calcula. En el oscilador molecular es lo que produce el desarrollo espectroscópico G(v), cuya primera constante para el CO vale 13,288 cm⁻¹. II.3
tiempo de ortogonalidad
Orthogonalization time (t⊥). Lo que tarda un estado en volverse ortogonal a sí mismo, es decir completamente distinguible del que era. No es la escala τ de Mandelstam-Tamm —τ es una dispersión dividida por un ritmo, y t⊥ una duración— y, a diferencia de ella, no siempre existe: en la mezcla 90/10 de n = 1 y n = 3 del pozo de 1 nm el solape recorre una circunferencia de radio 0,1 centrada en 0,9 y no baja nunca de 0,8 = |p₁ − p₃|, así que el estado no llega a ser ortogonal a sí mismo jamás. Cuando existe compiten dos cotas inferiores, la de Mandelstam-Tamm y la de Margolus-Levitin, y cuál de las dos manda depende del estado. II.4
teorema de Gleason
Gleason's theorem, de 1957. En un espacio de Hilbert de dimensión tres o más, la única manera de asignar probabilidades a los proyectores que sea aditiva sobre familias ortogonales es p(P) = Tr(ρP), o sea la regla de Born: no hay ninguna alternativa que elegir. Es mucho, y aun así no es una deducción de los demás postulados sin hipótesis añadidas, por lo que este módulo trata la regla de Born como postulado y remite la demostración al III.1. La dimensión dos queda fuera del teorema — y es justamente la de casi todos los ejemplos del curso. II.4
término espectroscópico
Spectroscopic term (^(2S+1)L_J). Etiqueta que resume el momento angular de un átomo: la multiplicidad de espín 2S+1 como superíndice, el momento orbital total L como letra (S, P, D, F…) y el momento angular total J como subíndice. La plata es ²S₁/₂: S = ½, L = 0 y J = ½, o sea 2J+1 = 2 manchas en un Stern-Gerlach y nada orbital que se pueda partir. II.6
trampa de Penning
Penning trap. Confinamiento de una sola partícula cargada con un campo magnético uniforme más un campo eléctrico cuadrupolar. Mide g sin conocer el campo, y no dividiendo dos frecuencias grandes: se mide la diferencia —la frecuencia de anomalía ν_a = f_L − f_c— frente a la de ciclotrón, y g/2 = 1 + ν_a/f_c, con B cancelado. Los 32,5 MHz/T que separan las dos frecuencias del electrón son la anomalía entera. II.6
término de Schwinger
Schwinger term (α/2π). El primer término de la serie de la QED para la anomalía, calculado por Schwinger en 1948. Vale 1,161 41 × 10⁻³ frente a los 1,159 65 × 10⁻³ medidos: acierta las tres primeras cifras, y los 1516 ppm que faltan son los términos siguientes de la serie, no ruido experimental. II.6
término de contacto de Fermi
Fermi contact term. La parte de la interacción entre un dipolo magnético nuclear y un electrón que sólo actúa donde el electrón está encima del núcleo: ΔE ∝ |ψ(0)|²·S_e·S_p. Sólo la sienten los orbitales s, porque R(r) ~ r^ℓ anula los demás en el origen. En el 1s del hidrógeno da 1422,808 MHz sin corregir el radio de Bohr por la masa reducida. II.6
término molecular
Molecular term symbol. La etiqueta de un estado molecular, del tipo ¹Σ_g⁺: delante la multiplicidad de espín 2S+1, la letra griega para el momento angular alrededor del eje internuclear (Σ para 0, Π para 1) y el subíndice g o u según que la función no cambie o sí cambie de signo al invertir por el punto medio. El fundamental del H₂ es ¹Σ_g⁺: multiplicidad 1, momento angular nulo sobre el eje y par, que es justo lo que hace ψ₊. II.7
término de Darwin
Darwin term. El tercero de los sumandos de la estructura fina, procedente del *Zitterbewegung*: el electrón de Dirac no ve el potencial en un punto, sino promediado sobre una longitud de onda Compton, y por eso el término es una delta, H_D ∝ δ³(r). Sólo lo sienten los orbitales s, los únicos con |ψ(0)|² = 1/(πn³a₀³) ≠ 0, que son justo aquellos en los que el acoplamiento espín-órbita se anula: en el 1s del hidrógeno pone +26,626 µE_h contra los −33,282 del relativista, y la suma deja los −6,656 que da la fórmula cerrada E_nj. II.8
teorema de proyección
Projection theorem. Dentro de un multiplete de j fijo, la parte diagonal de cualquier operador vectorial es proporcional a J: sólo sobrevive su componente a lo largo del momento angular total. Es lo que convierte ⟨L_z + g_e S_z⟩ en g_J m_j ħ y hace aparecer el factor de Landé. Aquí no se cita, se comprueba: los seis estados del 2p coinciden con g_J m_j con un residuo de 1,1 × 10⁻¹⁶. Es el caso vectorial del teorema de Wigner-Eckart. II.8
teorema espectral
Spectral theorem. El enunciado que sustituye a «hay una base de autofunciones» cuando la dimensión es infinita. En dimensión finita un observable se escribe A = Σ_a a|a⟩⟨a| y esa suma es el teorema; en L² el enunciado correcto no habla de autovectores sino de una familia de proyectores E(Ω) indexada por conjuntos de números reales —una medida— con A = ∫ λ dE(λ) y 1̂ = ∫ dE(λ), y el espectro es el soporte de esa medida. Para p̂ en la recta, E(Ω) es «filtra las componentes de Fourier con momento en Ω», que es un proyector legítimo por muy poco normalizables que sean las ondas planas que lo describen. Sólo lo tienen los operadores autoadjuntos, y ésa es toda la razón de que la palabra importe: con Dirichlet en 1 nm, p es simétrico y su adjunto tiene los 200 autovalores complejos probados con residuo 2,3 × 10⁻¹¹, así que ninguno de los dos es un observable. III.1
teorema de Plancherel
Plancherel's theorem. La transformada de Fourier es una isometría de L²(ℝ) sobre L²(ℝ): conserva el producto escalar entero y en particular ∫|ψ(x)|²dx = ∫|φ(p)|²dp. Es el Parseval de la base discreta con la suma cambiada por una integral, y es lo que hace que «la probabilidad de que el momento caiga entre p y p + dp vale |φ(p)|²dp» no sea una convención añadida a mano: sin conservación de la norma esa densidad no sumaría uno. Medido sobre tres anchuras por dos algoritmos que no comparten cuentas —cuadratura frente a FFT—, las dos integrales coinciden con discrepancia relativa 6,8 × 10⁻¹³. Y conviene saber qué no da: que la unitaria esté definida en todo L² no implica que a cualquier ψ se le pueda preguntar por su momento, porque el operador p sí tiene dominio. III.1
teorema de Stone-von Neumann
Stone–von Neumann theorem (1930-1931). Toda representación de las relaciones de Weyl que sea irreducible, fuertemente continua y sobre un espacio de Hilbert separable, con un número finito de grados de libertad, es unitariamente equivalente a la de Schrödinger sobre L²(ℝⁿ), con x̂ la multiplicación por la coordenada y p̂ = −iħ∇. Es decir: no hay «otra mecánica cuántica» en la recta con las mismas relaciones canónicas, y las representaciones de posición y de momentos no son dos teorías compatibles por casualidad sino la misma con la transformada de Fourier por unitario que las conecta. Su letra pequeña se lee donde el teorema no habla: en un anillo no hay par de Weyl, y el mismo conmutador [φ, L_z] vale iħ derivando φψ y 0 pasando L_z al bra, con una discrepancia de 1,000 ħ medida en cada uno de los tres |m⟩ probados. III.1
término de borde
Boundary term. Lo que sobra al integrar por partes ⟨φ|Aψ⟩ − ⟨Aφ|ψ⟩, y lo único que separa a un operador hermítico de uno autoadjunto. Para p = −iħd/dx en [0, L] vale −iħ[φ*ψ]₀^L, y anularlo NO obliga a que ψ se anule en los extremos: basta con que la fase dé la vuelta igual en los dos, que es de dónde salen las extensiones. Es la razón de que la hermiticidad se pueda comprobar en una pizarra y la autoadjunción no: la primera es una identidad formal, la segunda es una afirmación sobre dominios. III.1
U
unidades atómicas
Atomic units (a.u.). El sistema en que ħ = m_e = e = 4πε₀ = 1: las longitudes salen en radios de Bohr, a₀ = 52,9177 pm, y las energías en hartree, con 1 E_h = 27,2114 eV = 2 Ry. Sirve para que las fórmulas se lean, no para ahorrar teclas. Aviso, porque cuesta una frase y ahorra una discusión: éste es el a₀ de masa nuclear infinita, y el hidrógeno real con masa reducida da 52,9465 pm — dos constantes distintas con el mismo nombre, separadas un 0,054 %. II.7
V
vieja teoría cuántica
Old quantum theory. El conjunto de reglas de 1900-1925 —cuantos de Planck, fotones de Einstein, órbitas de Bohr, condiciones de Sommerfeld— que imponía la cuantización a mano sobre la mecánica clásica. Predice el hidrógeno con cuatro cifras y fracasa con el helio: fue un andamio, no un edificio. I.1
visibilidad de las franjas
Fringe visibility (V). El contraste de un patrón de interferencia, V = (I_max − I_min)/(I_max + I_min). Vale 1 cuando los mínimos son cero y 0 cuando no hay franjas. Junto con la distinguibilidad cumple D² + V² ≤ 1, así que D = 0,6 obliga a V ≤ 0,8. I.2
variable oculta
Hidden variable (λ). El contenido que un par de partículas se llevaría de la fuente y que fijaría sus respuestas. Puede ser cualquier cosa; el teorema de Bell no supone nada sobre ella. El mejor modelo local con las marginales correctas da una correlación en línea recta, E = 1 − Δ/45°, que coincide con la cuántica en 0°, 45° y 90° y se separa 0,2071 en 22,5°. I.5
valor esperado
Expectation value (⟨Q⟩). ⟨Q⟩ = ∫Ψ*Q̂Ψ dx, la media de los resultados de medir Q sobre muchas copias del mismo estado, cada una una vez. El nombre engaña dos veces: ni es el resultado que se espera de una medida —en el segundo nivel de un pozo de 1 nm, ⟨x⟩ = 0,500 nm cae justo en un nodo, donde la probabilidad es cero— ni es una media temporal sobre una partícula, porque medirla la cambia. II.1