Un electrón encerrado en un átomo tiene que moverse a 2 187 km/s. No es que se mueva: es que no le queda otra, y la cota sale de una desigualdad de una línea. La misma desigualdad dice que una mota de polvo de un microgramo localizada dentro de una micra tiene una velocidad indeterminada de 5,3 × 10⁻²⁰ m/s, con la que recorrería dos centímetros y medio en toda la edad del universo. Las dos cifras salen de la misma fórmula, y la distancia entre ellas es la razón de que la cuántica no se note al cruzar una puerta.
Arriba se preparan partículas idénticas, todas en el mismo estado. Cada botón coge una y le hace una medida: o la posición o el momento, nunca las dos, porque medir una partícula la consume. Cada medida da un número exacto — un punto, no una mancha. Lo que la desigualdad limita no es la precisión de esos números: es la anchura de los dos histogramas a la vez.
Barras: tus medidas, contadas. Línea: la distribución calculada. Ventana de posición, 600.0 pm; de momento, ±6,3 × 10⁻²⁴ kg·m/s.
Todavía no hay ninguna medida. Empieza pulsando «Posición ×1» cuatro o cinco veces y mira dónde caen: cada electrón da un número, con todas las cifras que quieras. Ninguna de esas medidas es imprecisa. Luego haz lo mismo con el momento, y sólo entonces mira el producto.
La desigualdad estaba en la rendija de I.2
El módulo anterior terminó con una promesa concreta, y conviene cobrarla despacio porque es todo el argumento.
Toma un haz de electrones bien colimado, con todos los electrones moviéndose hacia adelante con momento p y sin componente transversal. Antes de la rendija no sabes nada de dónde está cada electrón en la dirección transversal: puede estar en cualquier punto del haz. Ahora pon una rendija de anchura d. Detrás de ella, la posición transversal de los que pasan está acotada: la conoces dentro de d. Has ganado información de posición.
Y en el mismo gesto has perdido otra. El haz ya no sale recto: la difracción lo abre un ángulo sen θ ≈ λ/d, y una partícula que se desvía θ lleva un momento transversal p·sen θ. Con λ = h/p:
El momento longitudinal p se ha cancelado solo. Lo que queda no depende de la energía del haz ni de qué partícula sea: sólo de la anchura de la rendija. Y entonces
La anchura desaparece también. No hay manera de elegir d —ni de elegir la energía, ni la partícula, ni el laboratorio— que baje ese producto por debajo del orden de h. Ésa es la primera forma del principio de incertidumbre, y ha salido de dibujar un hueco.
Problema. En el experimento de Bach y otros de 2013 —el del artículo 03 del módulo I.2— los electrones llevan 600 eV y cada rendija mide 62 nm. ¿Cuánto momento transversal les mete la rendija, y cuánto es eso comparado con el momento que ya llevaban?
Solución. A 600 eV, λ = 50,05 pm, así que el momento longitudinal es p = h/λ = 1,324 × 10⁻²³ kg·m/s. El ángulo de difracción es λ/d = 50,05 × 10⁻¹²/62 × 10⁻⁹ = 8,07 × 10⁻⁴ rad, es decir 0,807 milirradianes. El momento transversal es
Resultado. Es una parte entre 1240 del momento que llevaba. Ridículo, y sin embargo suficiente: ése es exactamente el desvío que separa las franjas 44 µm en la pantalla, que es lo que se midió. Fíjate en lo que hace la aritmética: estrechar la rendija a la mitad duplica ese momento transversal, y por eso rendijas más juntas dan franjas más separadas, que era la regla de diseño contraintuitiva del artículo 03 del I.2. Aquí se ve de dónde viene: no es una curiosidad de la óptica, es la desigualdad operando.
El enunciado de verdad, y el número que lleva
«Del orden de h» no es un enunciado de física, es un gesto. La versión exacta la escribió Earle Kennard en 1927, unos meses después del artículo de Heisenberg, y es la que se usa:
La desigualdad de Kennard es un teorema, no un postulado ni una regla práctica: se demuestra en tres líneas a partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, y lo hace el tercer artículo del módulo II.1. Aquí interesa otra cosa, que es lo que significan las dos deltas — porque casi todo lo que se dice mal sobre este principio se dice mal ahí.
Δx y Δp son desviaciones típicas, las de toda la estadística: la raíz del promedio de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Y como toda desviación típica, no son propiedades de una medida: son propiedades de una distribución. Para medir una hacen falta muchas copias del mismo estado, medidas una a una. Eso es lo que hace el panel de arriba: cada botón coge una partícula nueva del mismo preparado, le hace una sola medida —o de posición o de momento, nunca las dos, porque medirla la consume— y apunta el número. Δx es la anchura del histograma que sale.
De ahí salen dos consecuencias que valen todo el artículo siguiente y que conviene dejar dichas ya:
- Cada medida individual puede ser tan precisa como quieras. En el panel, cada punto es un número exacto. La desigualdad no le pone ninguna cota a la precisión de una medida suelta.
- Lo que la desigualdad prohíbe es preparar una colección de partículas en la que los dos histogramas salgan estrechos a la vez. Es una condición sobre el estado, no sobre el aparato.
Hay además una versión general, la relación de Robertson de 1929, que vale para cualquier par de magnitudes y dice que el suelo del producto lo fija lo poco que conmutan entre sí. Para posición y momento devuelve ħ/2; para dos componentes del espín devuelve otra cosa, y para dos magnitudes compatibles devuelve cero, que es como se dice «éstas dos sí se pueden afinar a la vez». El módulo II.1 la deduce para x y p; el II.4 la generaliza sobre el formalismo de operadores hermíticos que le corresponde.
Cuidado con el factor 4π, porque cambia el argumento. La estimación de la rendija dio Δx·Δp ≈ h; la desigualdad dice ħ/2. Entre las dos hay un factor h/(ħ/2) = 4π = 12,57. No es una errata de nadie: la rendija da una estimación por arriba de un caso concreto y la desigualdad da el suelo universal, y ningún estado real tiene por qué estar en el suelo.
Y hay algo peor escondido ahí, que conviene decir en vez de disimular: para una rendija rectangular de verdad, Δp no existe. El estado que sale de una rendija dura tiene una distribución de momento cuyas colas caen como 1/p², y con eso el promedio de p² no converge: la integral diverge. Calculada con un corte artificial, la Δp crece como la raíz del corte y no se para en ningún sitio. Con el corte en 10π/d el producto sale 2,6 veces ħ/2; con el corte cien veces más lejos, 25,8 veces; mil veces más lejos, 81,7. No hay número al que converja.
La lección no es que la desigualdad falle —se cumple con muchísimo margen en todos los casos—, sino que el borde duro es una idealización violenta, y que «Δx·Δp = h para una rendija» es una frase con un número que no existe. El estado que sí satura la desigualdad, con igualdad exacta, es la campana de Gauss: el estado de mínima incertidumbre. Ponle 0 al mando de separación del panel y verás que el producto converge a 1,000 y no baja de ahí.
Los números, de un extremo al otro
La desigualdad se lee mejor despejada como velocidad. Si una partícula de masa m está localizada dentro de Δx, su velocidad está indeterminada en al menos
Con la masa dividiendo, la misma fórmula da esto:
| Qué | Δx | Δv mínima |
|---|---|---|
| Electrón en un átomo | 50 pm | 1,16 × 10⁶ m/s |
| Átomo de cesio en una trampa | 1 µm | 0,24 mm/s |
| Molécula de C₆₀ | 1 nm | 4,4 cm/s |
| Mota de polvo de 1 µg | 1 µm | 5,3 × 10⁻²⁰ m/s |
| Pelota de tenis de 58 g | 1 mm | 9,1 × 10⁻³¹ m/s |
Veintiséis órdenes de magnitud entre la primera fila y la última. El electrón del átomo va a mil kilómetros por segundo por obligación aritmética; la pelota de tenis, con la posición fijada al milímetro, tiene una velocidad indeterminada que en la edad del universo la movería 4,0 × 10⁻¹³ m, la doscientosava parte de un átomo. Ésa es la respuesta cuantitativa a «¿por qué no se nota la cuántica?»: se nota, y la magnitud del efecto es ésa.
La mota de polvo merece un momento, porque el número sorprende. Con Δv = 5,3 × 10⁻²⁰ m/s y 13 800 millones de años por delante, recorre 2,3 centímetros. No es cero. Es sencillamente irrelevante para cualquier cosa que le pase a una mota de polvo en un laboratorio, y ésa es la forma correcta de decir «la cuántica no se aplica a los objetos grandes»: se aplica, y da un número que se puede escribir.
Problema. Antes de 1932 se creía que el núcleo contenía electrones, para cuadrar la carga con la masa. Un núcleo mide del orden de 1 fm = 10⁻¹⁵ m. ¿Qué energía tendría un electrón confinado ahí?
Solución. Con Δx = 1 fm, Δp ≈ ħ/Δx, y como el resultado va a ser enorme conviene trabajar con pc, usando ħc = 197,327 MeV·fm:
Como mec² = 0,511 MeV, eso es 386 veces la energía en reposo del electrón: ultrarrelativista sin discusión, así que la energía cinética es prácticamente pc menos la masa, 197 MeV.
Resultado. La energía que liga a un nucleón dentro del núcleo es de unos 8 MeV. Un electrón metido ahí tendría veinticinco veces la energía que hace falta para escaparse, y ninguna fuerza conocida lo retendría. La conclusión es que en el núcleo no hay electrones, y se sacó exactamente así, antes de que Chadwick descubriera el neutrón en 1932. Compara con el protón, que es 1836 veces más pesado: confinado en el mismo femtómetro le corresponden 20,7 MeV, todavía grande pero del orden de lo que la fuerza nuclear puede sujetar. La partícula pesada cabe y la ligera no, y quien lo decide es la masa en el denominador de Δv.
Un paquete confinado no se queda quieto
Hay una consecuencia dinámica que se sigue sin más aritmética que la anterior y que suele contarse como si fuera otra cosa. Si preparas un paquete de ondas estrecho, de anchura σ₀, su Δp vale al menos ħ/2σ₀. Pero un momento indeterminado significa velocidades indeterminadas, y velocidades indeterminadas significan que el paquete se ensancha por sí solo, sin que nada lo empuje. La anchura crece con el tiempo como
y lo interesante es la velocidad a la que pasa. Un electrón preparado en 50 pm —el tamaño de un átomo— se ensancha hasta una micra en 0,86 picosegundos, y hasta un milímetro en 0,86 nanosegundos. Un neutrón, dos mil veces más pesado, tarda 1,6 ns en llegar a la micra. Una molécula de C₆₀ preparada en 1 nm tarda 23 microsegundos en llegar a la micra. Y una mota de polvo de un microgramo preparada en 1 µm tarda un millón de años en llegar a 2 µm.
Ése es, con números, el motivo de que el mundo se vea clásico: no es que la cuántica se apague, es que para un objeto pesado los tiempos de ensanchamiento se van a escalas geológicas. Y para el electrón no: 0,86 ps es tan poco que todo lo que hace un electrón en un átomo pasa en ese régimen.
Ejercicios
Un divulgador escribe: «como Δx·Δp ≥ ħ/2, no podemos conocer la posición y la velocidad de un coche a la vez». ¿Cuánta razón tiene? Toma un coche de 1200 kg y localízalo con un radar al milímetro.
Solución
Δv ≥ ħ/(2mΔx) = 1,055 × 10⁻³⁴/(2 × 1200 × 10⁻³) = 4,4 × 10⁻³⁵ m/s. Para hacerse una idea: a esa velocidad el coche tardaría 1,2 billones de años —ochenta y ocho veces la edad del universo— en moverse el diámetro de un protón. Técnicamente el divulgador tiene razón. Prácticamente ha dicho algo vacío.
La segunda lección es cuál es la frase correcta, porque sí la hay: la desigualdad no distingue entre coches y electrones, y ése es su mérito. Es una sola ley que se aplica a todo, y es el valor de ħ el que decide dónde se nota. Escribir «no se aplica a los objetos grandes» es falso; escribir «se aplica y da 4,4 × 10⁻³⁵ m/s» es cierto, es más corto y además enseña algo. Compara con el electrón del átomo: 1,2 × 10⁶ m/s. Cuarenta órdenes de magnitud de diferencia, y una sola fórmula.
En el panel de arriba, pon la separación entre paquetes a 8 σ y mira el histograma de momento. Aparecen franjas. ¿De dónde salen, si nadie las ha dibujado y no hay ninguna pantalla?
Solución
Son la doble rendija de I.2, vista en momento. El estado es la suma de dos paquetes separados una distancia s, es decir dos amplitudes que hay que sumar antes de elevar al cuadrado. Al pasar a momento, esas dos amplitudes se diferencian en una fase que crece con k, y su suma da una interferencia con ceros separados 2π/s. Exactamente la misma cuenta que la interfranja λL/d, con otras letras.
La segunda lección está en un detalle del panel: los ceros caen en 2π/s exactamente, pero los máximos no. Con s = 8 σ se corren hacia el centro un 10,7 %, porque la envolvente gaussiana de cada paquete tira de ellos. Es el mismo efecto que la envolvente de una rendija en el interactivo del I.2, y la misma moraleja: si quieres medir un periodo en un patrón modulado, mide los ceros. Un cero multiplicado por una envolvente positiva sigue siendo un cero; un máximo, no.
Quieres construir un microscopio que localice un electrón dentro de 1 pm, cien veces mejor que la mejor imagen del módulo I.2. ¿Viola eso el principio de incertidumbre? ¿Y qué pasa con ese electrón inmediatamente después?
Solución
No viola nada, y ésta es la confusión más común del tema. La desigualdad no dice que no puedas medir una posición con la precisión que quieras; dice que no puedes preparar un conjunto de electrones con las dos anchuras pequeñas. Una medida de posición muy fina es perfectamente legal — de hecho el módulo I.2 ya contó que la pticografía llega a 39 pm.
La segunda lección es qué le pasa al electrón después, que es donde la desigualdad sí muerde. Al quedar localizado en Δx = 1 pm, su momento pasa a estar indeterminado en al menos ħ/2Δx, es decir Δv ≥ 5,8 × 10⁷ m/s, el 19 % de la velocidad de la luz. Y por el ensanchamiento del apartado anterior, ese electrón deja de estar en 1 pm casi instantáneamente: en 3,0 × 10⁻²⁰ s ya mide el doble. Localizar mucho no es gratis, pero lo que cuesta no es la precisión de la medida: es que el estado resultante dura poquísimo.