Un microscopio óptico no distingue dos puntos separados por menos de 240 nanómetros, y no hay lente que lo arregle. Un microscopio electrónico de 200 kilovoltios trabaja con una longitud de onda de 2,51 picómetros, 219 000 veces menor. Y su resolución no es 1,3 pm: es 0,23 nanómetros, ciento ochenta y siete veces peor de lo que la onda permitiría. Las tres cifras se calculan, y las tres dicen algo distinto sobre por qué la materia es una onda.
El techo de la luz
Dos puntos vistos por cualquier instrumento óptico no dan dos puntos, sino dos manchas de difracción. Cuando se solapan, dejan de distinguirse. El criterio de Rayleigh pone el límite en
donde NA es la apertura numérica del objetivo, que en el mejor de los casos —inmersión en aceite— llega a 1,4. Con luz verde de 550 nm sale δ = 240 nm. Es un límite de la onda, no de la calidad del vidrio: pulir mejor la lente no lo mueve. Por eso un virus de 100 nm, un ribosoma de 25 nm o la doble hélice del ADN, de 2 nm de ancho, son invisibles con luz por principio.
Conviene decir de paso que hay trampas legítimas para saltárselo —la microscopía de superresolución del Nobel de 2014 localiza moléculas fluorescentes de una en una y reconstruye posiciones con precisión de nanómetros—, pero no resuelven nada por debajo del límite: eligen qué emite en cada momento. Para ver de verdad más fino hace falta una longitud de onda más corta.
λ = h/p es el plano del microscopio
Y aquí está lo que convierte el módulo entero en algo más que historia. Se puede fabricar una sonda de longitud de onda arbitrariamente corta sin más que acelerar electrones, porque λ = h/p y el momento lo pone la fuente de alta tensión. Un microscopio electrónico de transmisión corriente trabaja entre 100 y 300 kV:
| Tensión | λ | Velocidad | Error de la fórmula no relativista |
|---|---|---|---|
| 100 kV | 3,70 pm | 0,548 c | +4,8 % |
| 200 kV | 2,51 pm | 0,695 c | +9,4 % |
| 300 kV | 1,97 pm | 0,777 c | +13,7 % |
Ninguno de estos aparatos es un experimento: hay decenas de miles funcionando en laboratorios de materiales, de semiconductores y de biología, y todos se diseñan con la fórmula de de Broglie. Si la materia no fuera onda, la expresión λ = h/p no significaría nada y no habría razón para que la resolución dependiese de la tensión de aceleración — y depende, exactamente como predice h/p.
Hay al menos tres sitios donde el carácter ondulatorio no es una interpretación sino el mecanismo:
- El propio límite de resolución. Es el mismo criterio de Rayleigh de la luz, con λ = h/p en lugar de la longitud de onda óptica.
- El patrón de difracción. Cualquier microscopio de transmisión saca, con pulsar un botón, los anillos y puntos del artículo 02, y de ellos se lee la estructura cristalina de lo que se está mirando.
- El contraste de fase. Una proteína en hielo apenas absorbe electrones: si la imagen dependiera de la absorción, saldría en blanco. Lo que se ve es la interferencia entre la onda que atravesó la muestra y la que se dispersó en ella, y para convertir ese desfase en contraste hay que desenfocar adrede una cantidad calculada. Ésa es la base de la criomicroscopía electrónica, que hoy resuelve estructuras de proteínas a 1,2 Å y que se llevó el Nobel de Química de 2017.
Problema. Calcula λ para electrones de 200 kV con la fórmula del artículo 01, λ = 1,226/√V nm, y con la expresión correcta. ¿Cuánto se pierde por usar la primera?
Solución. La fórmula de libro da λ = 1,226/√200 000 = 2,742 pm. Pero un electrón de 200 keV lleva encima el 39 % de su energía en reposo (mec² = 511 keV) y va a 0,695 c, de modo que hay que usar la relación relativista entre energía y momento, pc = √(E(E + 2mec²)):
Resultado. La fórmula sencilla se pasa un 9,4 %. No es una corrección académica: la escala de una imagen de alta resolución y la indexación de un patrón de difracción salen directamente de λ, y un 9,4 % de error en la escala convierte un parámetro de red de 3,52 Å en uno de 3,85 Å, que es otro material. Fíjate en dónde empieza a doler: a 50 kV el error es del 2,4 %, a 100 kV del 4,8 %, y a 1 kV es de un 0,05 % irrelevante. La regla práctica que se saca de la tabla es que la fórmula no relativista vale hasta unos pocos kilovoltios y no más, y que todo microscopio electrónico vive del lado malo.
Por qué la resolución es 187 veces peor que λ
Si el límite fuera el de la onda, un aparato de 200 kV resolvería 1,3 pm, cuarenta veces menos que un átomo. No lo hace, y la razón es la que sigue poniendo el techo noventa años después.
Las lentes de un microscopio electrónico son bobinas: campos magnéticos con simetría de revolución. En 1936 Otto Scherzer demostró un teorema incómodo — toda lente electrónica redonda, estática y sin cargas en el eje tiene aberración esférica positiva. No se puede compensar con otra lente, como se hace en óptica con vidrios de índices distintos, porque no existe la lente electrónica divergente equivalente. Los rayos que entran lejos del eje se enfocan demasiado pronto y emborronan el punto.
El resultado es un compromiso: abrir mucho el haz mejora la difracción pero empeora la aberración. Optimizando los dos efectos a la vez se llega al límite de Scherzer
con Cs el coeficiente de aberración esférica, del orden del milímetro en una lente corriente. La forma de la fórmula ya dice mucho: la resolución no va como λ sino como λ3/4, de manera que subir la tensión rinde cada vez menos.
Problema. Con Cs = 1 mm, calcula el límite de Scherzer a 100 kV y a 300 kV. ¿Cuánto se gana? ¿Y con un corrector de aberración que baje Cs a 1 µm?
Solución. Con λ = 3,70 pm y 1,97 pm respectivamente:
La mejora es de un factor 1,61, que es exactamente (λ₁₀₀/λ₃₀₀)3/4 = (3,70/1,97)3/4. Triplicar la tensión mejora la resolución un 60 %. Con Cs = 1 µm el mismo cálculo da 34,7 pm a 300 kV: casi seis veces mejor sin tocar la tensión.
Resultado. El camino para ver átomos no fue subir la energía sino corregir las lentes, y ésa es la razón de que los correctores de aberración —multipolos no redondos, que esquivan el teorema de Scherzer porque rompen la simetría de revolución— fueran el gran salto de los años noventa. Hoy un microscopio corregido baja de 50 pm, y el récord por pticografía está en 39 pm: menos que el radio de Bohr (52,9 pm) y una cuarta parte de un enlace carbono-carbono (154 pm). Se ven átomos individuales y se ven separados. Y hay una razón física, no económica, para no subir simplemente a un megavoltio: por encima de unos 80 kV los electrones ya transfieren a un átomo de carbono energía suficiente para arrancarlo de una lámina de grafeno. A partir de cierto punto, más resolución significa fotografiar la muestra mientras la destruyes, y por eso muchos microscopios de materiales bidimensionales trabajan hoy a 60 u 80 kV a propósito.
Hasta dónde llega hoy la interferencia de materia
La otra manera de poner a prueba a de Broglie no es afinar la sonda, sino engordar lo que interfiere. En 1999 el grupo de Anton Zeilinger y Markus Arndt en Viena hizo interferir moléculas de C₆₀ — sesenta átomos de carbono, 720 unidades de masa atómica— en una red de difracción de 100 nm de paso. A 220 m/s su longitud de onda es de
280 veces menor que la propia molécula, que mide 0,71 nm de jaula. Con la red a 1,25 m del detector, la interfranja sale de 31,5 µm, que es lo que se midió. Una molécula que en su viaje se comporta como una onda de longitud trescientas veces menor que ella misma es una imagen que conviene no suavizar: no hay ninguna manera sensata de dibujar eso, y aun así el número sale.
El récord actual es de 2019 y es del mismo grupo: moléculas de 25 000 dalton, unos 2 000 átomos, en un interferómetro de Talbot-Lau con redes ópticas de 266 nm.
Cincuenta y tres femtómetros: treinta y una veces el diámetro de un protón, y 113 000 veces menor que la molécula que interfiere. Para tener esa longitud de onda con esa masa hay que ir a 301 m/s, que es la velocidad a la que salían del horno. La hipótesis que en 1924 no tenía un solo experimento a favor se ha comprobado sobre un objeto 34 veces más pesado que un C₆₀ y 4,6 × 10⁷ veces más pesado que un electrón.
Por qué no un virus, y por qué eso no es una frontera de principio. La tentación es decir que ahí acaba la cuántica y empieza el mundo clásico. La respuesta honesta es que ahí acaba, de momento, la ingeniería. Toma un virus pequeño, 10⁻²⁰ kg. Para darle una longitud de onda de 100 nm —cómoda para una red de difracción óptica— habría que llevarlo a 0,66 µm/s, con lo que tardaría diecisiete días en recorrer un metro de interferómetro. Durante esos diecisiete días tendría que no chocar con ninguna molécula de gas, no emitir ni absorber ningún fotón térmico —el mecanismo medido con el C₇₀ en el artículo 03— y no notar ninguna vibración. Nada de eso es imposible en principio: todo es cuantificable, y de hecho se cuantifica.
Es más honesto —y más interesante— decir cuál es el obstáculo que decretar una frontera. Los obstáculos conocidos son la decoherencia por el entorno, que crece con el tamaño porque un objeto grande interacciona más, y el tiempo de vuelo, que crece porque λ pequeña obliga a ir despacio. Hay además propuestas de que exista un mecanismo de colapso físico que escale con la masa, y esas propuestas son falsables: predicen que la interferencia se perderá a cierta masa aunque se elimine toda la decoherencia. Los experimentos de Viena las están acorralando, y ése es hoy el sentido de subir el récord de 720 a 25 000 dalton. No es una carrera de marcas: es un intento de refutar teorías concretas.
Ejercicios
Un fabricante anuncia un microscopio electrónico de 1 MV y afirma que resolverá «cuatro veces mejor que uno de 100 kV, porque la longitud de onda es cuatro veces menor». ¿Cuánto mejorará de verdad?
Solución
Primero, λ. A 1 MV, con mec² = 511 keV, la corrección relativista es enorme: λ = 0,872 pm frente a los 3,70 pm de 100 kV, un factor 4,24. Hasta ahí el fabricante tiene razón. Pero la resolución va como λ3/4, así que la mejora real es 4,243/4 = 2,96: tres veces, no cuatro. Con Cs = 1 mm, δ pasa de 313 pm a 106 pm.
La segunda lección es que el exponente 3/4 no es un detalle de contabilidad, sino la firma de que hay dos efectos peleándose. Si la difracción mandara sola, el exponente sería 1; si mandara sola la aberración esférica, la resolución no dependería de λ en absoluto. El 3/4 es lo que sale de optimizar el ángulo de apertura entre las dos, y cualquier fórmula de resolución con un exponente raro debería hacerte sospechar —correctamente— que describe un compromiso y no un límite puro.
¿Cuánto tendría que valer la constante de Planck para que una pelota de tenis de 58 g lanzada a 200 km/h difractara de forma visible al cruzar una puerta de 80 cm, digamos con un ángulo de 1°?
Solución
Se pide λ/d = sen 1° = 0,0175, es decir λ = 0,0140 m con d = 0,80 m. Como λ = h/p y p = 3,22 kg·m/s, hace falta h = λp = 0,0140 × 3,22 = 4,5 × 10⁻² J·s, unos 6,8 × 10³¹ veces el valor real de 6,626 × 10⁻³⁴ J·s.
La segunda lección es qué mundo sería ése. Con esa h, un solo cuanto de luz verde llevaría hc/λ = 2,5 × 10¹³ J, la energía de una bomba de seis kilotones, y el átomo de hidrógeno —cuyo tamaño va como h²— mediría 4,6 × 10⁶³ veces más que hoy. No habría materia ordinaria, ni pelotas, ni puertas. Ésta es la respuesta cuantitativa a «¿y si la cuántica se notara a nuestra escala?»: no es que fuera raro, es que la pregunta se destruye a sí misma. El valor de h no es un parámetro ajustable de un decorado, es lo que fija el tamaño de todo lo que hay dentro.
La cristalografía de rayos X necesita cristales; la criomicroscopía electrónica no. Con lo de este módulo, ¿por qué se puede resolver una proteína suelta con electrones y no con rayos X de la misma longitud de onda?
Solución
Porque un electrón interacciona con la materia entre 10⁴ y 10⁵ veces más fuerte que un rayo X de energía comparable: el electrón siente el potencial eléctrico de núcleos y electrones, mientras que el fotón sólo se dispersa en la nube electrónica. Con rayos X, una sola molécula dispersa tan poquísimo que la señal se pierde en el ruido, y por eso hace falta un cristal con 10¹⁵ copias idénticas que sumen sus amplitudes en fase. Con electrones, una sola molécula da señal medible.
La segunda lección es que ese mismo factor 10⁴ es también el problema: si interacciona mucho, deposita mucha energía y destruye la muestra deprisa. La solución de la criomicroscopía es congelar la proteína en hielo vítreo, iluminarla con una dosis ridícula —tan baja que cada imagen individual es casi puro ruido— y promediar cientos de miles de imágenes de moléculas distintas orientadas al azar. La resolución que se consigue no sale de un instrumento mejor: sale de la estadística. Es la misma lección del artículo 03, con otra ropa: el patrón está en el recuento, no en el suceso individual.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para leerse dentro de seis meses sin releer nada. Si te falta aquí un dato que el módulo usó, la tabla ha fallado.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Relación de de Broglie | λ = h/p = h/mv, sin excepciones | art. 01 |
| Electrón acelerado, forma práctica | λ [nm] = 1,226/√V [voltios]; 54 V → 167 pm | art. 01 |
| Electrón, forma relativista | λ = hc/√(E(E + 2mec²)); 200 kV → 2,51 pm | art. 04 |
| Cuándo hace falta la relativista | +2,4 % a 50 kV · +9,4 % a 200 kV · +13,7 % a 300 kV | art. 03, 04 |
| Condición de Bohr como onda | 2πr = nλ ⟺ mevr = nħ; n = 1 → λ = 2πa₀ = 332,5 pm | art. 01 |
| Ángulo de difracción por un hueco | sen θ = λ/d; primer mínimo de una rendija de anchura d | art. 01 |
| Objetos macroscópicos | pelota de tenis 58 g a 200 km/h → λ = 2,06 × 10⁻³⁴ m | art. 01 |
| Persona andando | 70 kg a 1 m/s → λ = 9,47 × 10⁻³⁶ m = 0,59 longitudes de Planck | art. 01 |
| Neutrón térmico | 25,3 meV → λ = 180 pm; kBT = 25,9 meV a 300 K | art. 01, 02 |
| Átomo de helio a 295 K | v = 1 360 m/s, λ = 73,5 pm (Estermann-Stern, 1930) | art. 01, 02 |
| Escalado con la masa | a igual energía, λ(e⁻)/λ(p) = √(mp/me) = 42,8 | art. 01 |
| Davisson-Germer | D·sen φ = nλ; D(Ni 111) = 215,8 pm, φ = 50° → 165 pm | art. 02 |
| Ley de Bragg | 2d·sen θ = nλ | art. 02 |
| Umbral por debajo del cual no hay difracción | λ > 2d; en níquel, E < 6,1 eV | art. 02 |
| Potencial interno del níquel | ≈ 15 eV; índice de refracción 1,13 para electrones | art. 02 |
| Interfranja de dos rendijas | Δy = λL/d; Bach 2013: 600 V, d = 272 nm, L = 24 cm → 44 µm | art. 03 |
| Envolvente de una rendija | ceros en a·sen θ = kλ; órdenes ausentes si d/a es entero | art. 03 |
| Jönsson 1961 | 50 kV, d = 1 µm, L = 35 cm → 1,87 µm; hizo falta ampliar ×500 | art. 03 |
| Tonomura 1989 | 0,413 c · 12 ns de vuelo · 124 km entre electrones consecutivos | art. 03 |
| El hecho experimental, entero | P₁₂(y) ≠ P₁(y) + P₂(y) | art. 03 |
| Complementariedad cuantitativa | D² + V² ≤ 1; D = 0,80 → V ≤ 0,60 | art. 03 |
| Información sin patada | Dürr 1998: p(microondas)/p(óptico) = 7,9 × 10⁻⁶ | art. 03 |
| Decoherencia medida | C₇₀ a 2 500 K emite en 1,16 µm ≈ paso de red (990 nm) | art. 03 |
| Límite de un microscopio óptico | δ = 0,61λ/NA = 240 nm con 550 nm y NA = 1,4 | art. 04 |
| Límite de un microscopio electrónico | δ = 0,66·Cs1/4·λ3/4; 200 kV, Cs = 1 mm → 0,234 nm | art. 04 |
| Con corrector de aberración | Cs = 1 µm → 41,6 pm a 200 kV; récord 39 pm | art. 04 |
| C₆₀ interfiriendo (Viena, 1999) | 720 u a 220 m/s → λ = 2,52 pm, 280 veces menor que la molécula | art. 04 |
| Récord de masa (Viena, 2019) | 25 000 Da, ~2 000 átomos, λ = 53 fm a 301 m/s | art. 04 |
| Escalas de cabecera | a₀ = 52,9 pm · mec² = 511 keV · hc = 1 239,84 eV·nm | art. 01, 04 |
Fin del módulo I.2 · Qué llevas y qué falta. Con esto ya sabes que λ = h/p vale para todo lo que tiene momento, que la condición de Bohr era la de una onda que se cierra sobre sí misma, y que la materia difracta de verdad: electrones en níquel al 1 % de lo predicho, átomos de helio sin carga, neutrones, moléculas de 2 000 átomos. Y sabes lo que destruye la interferencia, que es la información de camino disponible en cualquier parte del universo —lo lleve alguien o no—, con una desigualdad que lo cuantifica: D² + V² ≤ 1.
Lo que falta es la consecuencia que este módulo ha estado rozando sin enunciar. Vuelve al ángulo de difracción del artículo 01: al hacer pasar una onda de longitud λ por una rendija de anchura d, el haz sale abierto sen θ ≈ λ/d, y eso significa que la partícula ha adquirido un momento transversal de hasta p·λ/d = h/d. Es decir: al confinar la posición dentro de d, el momento se ensancha en h/d, y el producto de las dos incertidumbres no baja de h. Eso ya es el principio de incertidumbre, y ha salido de dibujar una rendija. El módulo I.3 lo escribe como Δx·Δp ≥ ħ/2 y le pone números: por qué un electrón encerrado en un átomo tiene que moverse a 2 200 km/s, por qué eso —y no ninguna fuerza— fija el tamaño del átomo y le impide caer al núcleo, y de dónde sale la energía de punto cero. Y también lo que el principio no dice: no es el microscopio de Heisenberg, no es «perturbar al medir» —el experimento de Dürr del artículo 03 ya lo ha dejado en evidencia— y no lo sufre nada que puedas ver.