LIGO mide desplazamientos de 4 × 10⁻¹⁸ metros —una doscientosdiezava parte del radio de un protón— en espejos de 40 kilos, y lo hace con luz. Si el principio de incertidumbre dijera «no se puede medir con precisión», esa máquina sería imposible. Dice otra cosa, y la diferencia entre las dos frases es de lo que va este artículo.
El microscopio de Heisenberg: qué acierta y qué no
En el artículo de 1927, Heisenberg razona con un experimento mental que se ha contado desde entonces en todas partes. Para ver dónde está un electrón hay que iluminarlo, y para verlo con detalle hace falta luz de longitud de onda corta. Con un objetivo de semiapertura ε, la resolución vale
Pero el fotón que rebota lleva momento h/λ, y como puede entrar en el objetivo por cualquier punto de su apertura, el retroceso que le da al electrón queda indeterminado en
Multiplica: Δx·Δp ≈ h, y λ y ε se cancelan las dos. Con rayos γ de 1 pm y un objetivo de 30°, la resolución sale de 1 pm exacto y el retroceso de 6,63 × 10⁻²² kg·m/s; el producto es h, y sale h con cualquier otra elección. Es un argumento redondo, da el orden correcto y explica por qué la cota no depende del aparato.
Y es, como explicación, falso. Lo dijo Bohr al leer el borrador, y Heisenberg tuvo que añadir una nota al pie corrigiéndose antes de publicar. Tres razones, en orden creciente de gravedad:
- El montaje ni siquiera es inocente en su propio marco. Un fotón de 1 pm lleva 1,24 MeV, así que el electrón sale despedido con pc = 1,24 MeV, es decir a 0,92 c. No es una perturbación pequeña a la que aplicar una corrección: es una colisión que destruye el sistema.
- La desigualdad se cumple en estados que nadie ha mirado. El Δp de un electrón en un átomo, en su estado fundamental, no lo ha puesto ahí ninguna medida — está ahí antes de que nadie encienda nada, y es lo que fija el tamaño del átomo (artículo 03). La incertidumbre está en el estado, no en el acto de medir.
- Hay experimentos donde la información se obtiene sin patada apreciable y la interferencia se pierde igual. Ése es el resultado de Dürr, Nonn y Rempe de 1998 que ya salió en el módulo I.2: el fotón de microondas que marca el camino lleva 7,9 × 10⁻⁶ del momento de un fotón óptico, cien mil veces demasiado poco para desordenar nada, y las franjas se van igualmente.
Tres cosas distintas que se llaman «principio de incertidumbre». Separarlas es la mitad del trabajo:
1. Relación de preparación (Kennard 1927, Robertson 1929). Δx·Δp ≥ ħ/2, con Δ desviaciones típicas sobre muchas copias del mismo estado. Es un teorema y no se ha violado nunca. Es la única de las tres que se enuncia habitualmente bien.
2. Relación error-perturbación. «El error ε con que mides A por la perturbación η que le haces a B es al menos ħ/2.» Es lo que el microscopio de Heisenberg parece demostrar. Es falsa, y se verá abajo con números.
3. Relación de medida conjunta. «No hay un aparato que mida A y B a la vez con errores pequeños los dos.» Ésta sí es cierta, con la forma corregida, y es distinta de la 2.
Casi todo el ruido divulgativo sobre este tema consiste en enunciar la 1, justificarla con la 2 y sacar conclusiones que no valen para ninguna.
La relación error-perturbación es falsa, y se midió
En 2003 Masanao Ozawa demostró que la desigualdad ingenua ε(A)·η(B) ≥ ħ/2 no se sigue del formalismo, y dio en su lugar una relación error-perturbación con tres términos que sí es un teorema. En 2012 dos grupos la pusieron a prueba: Erhart y otros con espines de neutrones en Viena, y Rozema y otros con fotones en Toronto. Los dos midieron productos ε·η por debajo del suelo ingenuo.
El montaje de neutrones se puede seguir con aritmética de instituto, y merece la pena porque es el sitio donde el asunto deja de ser una discusión de palabras. Se quiere medir una componente del espín, llamémosla A; se dispone de un aparato que en realidad mide otra componente girada un ángulo φ, y se usa su resultado como estimación de A. Con la definición de Ozawa —el error es la raíz del promedio del cuadrado de la diferencia entre lo que el aparato registra y lo que A vale de verdad—, sale
en las unidades naturales del problema, donde el suelo ingenuo vale 1.
| φ | error ε(A) | perturbación η(B) | ε·η | ¿cumple el suelo ingenuo? |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0,000 | 2,000 | 0,000 | no |
| 20° | 0,347 | 1,879 | 0,653 | no |
| 30° | 0,518 | 1,732 | 0,897 | no |
| 48° | 0,813 | 1,338 | 1,089 | sí |
| 60° | 1,000 | 1,000 | 1,000 | sí (justo) |
| 90° | 1,414 | 0,000 | 0,000 | no |
El producto falla el suelo ingenuo en el 73 % del recorrido, y en el resto lo pasa por poco: su máximo en todo el rango es 1,089, alcanzado en φ = 48,2°. Dicho de otro modo, la desigualdad que casi todo el mundo asocia con el nombre de Heisenberg es falsa la mayor parte del tiempo, y cuando se cumple se cumple raspando.
El caso φ = 0 es el más limpio de todos: ahí el aparato mide A exactamente, con error cero, y sin embargo el producto es cero y no ħ/2. Lo que la relación ingenua tendría que impedir —error nulo— pasa sin más. Lo que la de Ozawa dice es que entonces la perturbación se dispara a su valor máximo, y sus tres términos suman 2,000, por encima de 1. Se cumple en todos los ángulos de la tabla, con un mínimo de 1,414.
Problema. Si la relación error-perturbación es falsa, ¿por qué el microscopio de Heisenberg da Δx·Δp ≈ h, que es el orden correcto? ¿Es casualidad?
Solución. No es casualidad, y la clave está en qué se ha calculado de verdad. Lo que sale del cálculo del microscopio es el producto de la resolución del instrumento por la indeterminación del retroceso. Ese segundo factor no es un error de medida: es la anchura real de la distribución de momento del electrón después de la interacción, porque el fotón puede entrar por cualquier punto de la apertura y ninguna lectura dice por cuál entró. O sea, el microscopio de Heisenberg calcula bien una Δp de preparación, la del estado en que el electrón queda, y la llama «perturbación».
Resultado. El cálculo es correcto y la etiqueta es falsa. Lo que el montaje demuestra es que una medida de posición fina deja al sistema en un estado de momento ancho —que es la relación 1 aplicada al estado final— y no que exista un límite a la precisión de las medidas. La prueba de que la lectura habitual sobra es que la desigualdad de Kennard se cumple en sistemas con los que nadie ha interactuado: el electrón del hidrógeno tiene Δp ≈ 2 × 10⁻²⁴ kg·m/s en su estado fundamental, sin fotones, sin microscopios y sin nadie mirando. Ningún argumento basado en el acto de medir puede explicar un número que está ahí cuando no se mide.
«No se puede medir con precisión» es falso, y aquí está la máquina
LIGO detecta ondas gravitacionales midiendo cuánto se estira un brazo de cuatro kilómetros. La deformación de la primera detección fue de 10⁻²¹, es decir un cambio de longitud de
la doscientosdiezava parte del radio de un protón, sobre espejos de 40 kg. Cada medida individual es tan fina como haga falta; lo que hay son ruidos técnicos y ruido cuántico, y ninguno de los dos es la desigualdad de Kennard prohibiendo nada.
Y hay una vuelta de tuerca que zanja el asunto. El ruido cuántico de la luz también obedece a una desigualdad de este tipo —entre las dos cuadraturas del campo—, y como es una desigualdad y no una igualdad, se puede repartir: fabricar luz con una de las dos cuadraturas más silenciosa de lo que permite el vacío, pagando con la otra. Eso es un estado comprimido, LIGO lo usa desde 2019, y funciona. Con 6 decibelios de compresión el ruido en la cuadratura buena baja un factor 2 en desviación típica; con 3 dB, un factor 1,41.
Mira lo que significa eso, porque es el argumento entero: una técnica estándar de la ingeniería óptica consiste en bajar una de las dos incertidumbres por debajo de su valor «natural». Si el principio fuera una prohibición de medir bien, esa técnica no existiría. Como es una condición sobre el producto, existe y se vende.
Ni conciencia, ni energía gratis
De aquí salen dos afirmaciones populares que hay que desmontar con cifras y no con desprecio.
La primera: que la conciencia del observador interviene. No hay nada de eso en el formalismo. En la desigualdad de Kennard no aparece ningún observador; aparecen un estado y dos magnitudes. El módulo I.2 ya midió el caso decisivo: en el experimento de Viena de 2004 el «detector» que borra las franjas es un fotón térmico que la propia molécula emite y que se pierde en las paredes de la cámara de vacío. Nadie lo recoge, nadie lo lee, y las franjas se van igual. Qué queda realmente abierto —por qué al final aparece un resultado y no otro— es el problema de la medida, tiene nombre propio, y el módulo I.5 lo trata entero con sus opciones y sus problemas. Es un hueco real de la teoría, y taparlo con la palabra «conciencia» no es resolverlo: es cambiar un misterio por otro peor definido.
La segunda: la energía de punto cero como fuente de energía gratis. Ésta merece números, porque la energía existe de verdad y se puede tocar. El efecto Casimir es la manifestación más limpia: dos placas conductoras paralelas separadas una distancia a se atraen con una presión
A una micra da 1,30 milipascales, que son 1,3 × 10⁻⁸ atmósferas. A diez nanómetros —donde las placas son casi imposibles de mantener paralelas— sube a 1,28 atmósferas, y ahí ya es una fuerza respetable que se mide en el laboratorio desde 1997.
Problema. Toma dos placas de 1 cm² separadas 1 µm y déjalas acercarse hasta 100 nm. La fuerza de Casimir trabaja a tu favor todo el camino. ¿Cuánta energía has extraído del vacío?
Solución. La energía por unidad de área es u(a) = π²ħc/(720 a³), y el trabajo es el área por la diferencia:
Resultado. Cuarenta y tres picojulios, o 2,7 × 10⁸ eV. Compáralo: una pila de petaca guarda unos 10 000 J, es decir 2,3 × 10¹⁴ veces más. Un mosquito volando durante un segundo gasta unos 10⁻⁷ J, 2 300 veces más. Y viene lo importante: para repetir la jugada hay que separar las placas otra vez, contra la misma fuerza, gastando exactamente los mismos 43 picojulios. El balance de un ciclo completo es cero, como en cualquier muelle. La energía de Casimir no es un combustible: es una energía de ligadura, igual que la de un imán pegado a una nevera. Nadie propone alimentar una ciudad despegando imanes, y la razón es la misma.
Y ahora la parte incómoda, que también es verdad. Si se suma la energía de punto cero de todos los modos del campo electromagnético hasta la escala de Planck, sale una densidad de energía del vacío de unos 4,6 × 10¹¹³ J/m³. Lo que la cosmología mide es 3,7 × 10⁻¹⁰ J/m³. El cociente es 1,3 × 10¹²³: la estimación se pasa por 123 órdenes de magnitud, y ésa es la peor predicción cuantitativa de la historia de la física.
Se llama el problema de la constante cosmológica, lleva abierto desde los años sesenta y no está resuelto. Merece decirse aquí por dos motivos. Uno, porque es honesto: este módulo está desmontando afirmaciones exageradas sobre la energía del vacío y sería tramposo callarse que hay un agujero de 123 órdenes en nuestra manera de contarla. Dos, porque el agujero apunta en el sentido contrario al que suelen invocar los vendedores de energía libre: el problema no es que sobre energía disponible, es que la cuenta ingenua da una cifra absurdamente grande que no se observa. Lo que se observa es minúsculo.
Ejercicios
Un texto afirma: «como la energía de punto cero de cada modo es ħω/2 y hay infinitos modos, el vacío de un centímetro cúbico contiene más energía que todas las estrellas». Suponiendo que la suma se corta en la escala de Planck, ¿es cierto? ¿Y qué se sigue de ello?
Solución
Con el corte de Planck, la densidad sale 4,6 × 10¹¹³ J/m³, así que un centímetro cúbico llevaría 4,6 × 10¹⁰⁷ J. La energía en reposo del Sol es M☉c² = 1,8 × 10⁴⁷ J y en el universo observable hay del orden de 10²³ estrellas, o sea unos 10⁷⁰ J. La afirmación, tomada literalmente, es correcta por treinta y siete órdenes de magnitud.
La segunda lección es que de ahí no se sigue absolutamente nada útil, y por dos razones distintas. La primera es que la propia estimación está refutada: si el vacío tuviera esa densidad de energía, su gravedad habría enrollado el universo sobre sí mismo en una fracción de segundo, y lo que se mide son 3,7 × 10⁻¹⁰ J/m³. La segunda es la de fondo, y vale aunque el número fuera bueno: energía no es energía extraíble. Sólo se puede sacar trabajo de una diferencia, y el vacío es, por definición, el estado de energía más baja que hay — no hay nada por debajo a lo que caer. El efecto Casimir se cobra una vez y hay que devolverlo para repetirlo.
Alguien objeta: «vale, la relación error-perturbación es falsa, pero eso da igual porque la de Kennard sigue en pie». ¿Qué se pierde exactamente al confundirlas?
Solución
Se pierde la capacidad de saber qué experimentos son posibles. Con la lectura ingenua, un aparato que mida una magnitud con error cero está prohibido; con la buena, está permitido y lo único que se sigue es que la magnitud complementaria queda muy perturbada. Ésa es la diferencia entre creer que la metrología cuántica tiene un techo infranqueable y saber que lo que tiene es un reparto negociable — que es exactamente lo que explotan la luz comprimida de LIGO, los relojes atómicos y las medidas de no demolición.
La segunda lección es sobre cómo se descubrió: no argumentando mejor, sino midiendo. Ozawa dio en 2003 un contraejemplo formal y en 2012 se montó el experimento con neutrones. Una desigualdad se refuta con un experimento igual que cualquier otra afirmación física, y el que un enunciado lleve el nombre de Heisenberg y ochenta años de repetición no lo pone a salvo de eso.
Compara los dos «mecanismos» que borran la interferencia en el módulo I.2: la patada del fotón y la información de camino. Con lo de este artículo, ¿cuál de los dos tiene algo que ver con Δx·Δp ≥ ħ/2?
Solución
Ninguno de los dos, y eso es lo interesante. La patada sí puede borrar franjas, y cuando lo hace es por un desorden de fase que se calcula con Δp — pero el experimento de Dürr mostró que las franjas también desaparecen cuando la patada es 100 000 veces demasiado pequeña. La información de camino es lo que decide, y su desigualdad es otra: D² + V² ≤ 1, que no lleva ħ dentro.
La segunda lección es que en cuántica hay varias desigualdades distintas y no todas dicen lo mismo. Kennard acota lo que se puede preparar; Englert-Greenberger acota lo que se puede saber y ver a la vez; Ozawa acota errores y perturbaciones de un aparato; Bell —que llega en el módulo I.5— acota qué correlaciones puede producir un modelo con variables locales. Meterlas todas en el saco de «el principio de incertidumbre» es la forma más rápida de no entender ninguna, y es lo que hace la mayor parte de la divulgación de este tema.