Dos polarizadores cruzados dejan pasar cero fotones — no «casi cero»: cero exacto. Mete un tercero entre los dos, en diagonal, y por el montaje entero pasa el 25 %. Has añadido un objeto que lo único que sabe hacer es absorber luz, y ahora sale más. Con diez polarizadores escalonados hasta 90° pasa el 78,05 % y con sesenta, el 95,97 %. Eso, hecho con un fotón cada vez, es lo más cerca que se puede estar de tocar una superposición con las manos.
A la izquierda, fotones polarizados a 0°. A la derecha, un analizador a 90° que no deja pasar ninguno. Entre los dos puedes ir añadiendo polarizadores, repartidos en ángulos crecientes. Cada uno es un obstáculo más y cada uno sólo puede absorber; y sin embargo, cuantos más pones, más luz sale. Los fotones se simulan de uno en uno.
Éste es el resultado que hay que mirar despacio: con el polarizador de en medio a 45° pasa el 25 %. Has añadido un objeto que sólo absorbe y la transmisión ha subido de 0 a uno de cada cuatro. El motivo es que un fotón a 0° no es «ni de 45° ni de 135°»: es la superposición de los dos con amplitudes iguales, así que atraviesa el de 45° la mitad de las veces — y sale polarizado a 45°, que es lo importante. El siguiente ya no lo ve a 90°, sino a 45°, y lo deja pasar otra mitad. Medio por medio, un cuarto.
Tres polarizadores, y una cuenta que no cuadra
Un polarizador lineal deja pasar la luz cuya polarización coincide con su eje y bloquea la perpendicular. Con luz clásica lo que pasa está en la ley de Malus, de 1809: si la luz entra polarizada a un ángulo θ del eje, la intensidad transmitida es . Con fotones sueltos el enunciado cambia de forma pero no de contenido: cada fotón pasa entero o no pasa, y la probabilidad de que pase es cos²θ.
Pon dos cruzados —uno a 0° y otro a 90°— y no pasa nada, porque cos 90° = 0. Aquí no hay aproximación ni pérdida pequeña: la amplitud es exactamente nula. Ahora mete un tercero a 45° entre los dos. El fotón que salió del primero llega al de 45° con un desfase de 45°, y pasa con probabilidad cos²45° = 1/2. Y lo que hay al otro lado ya no es el fotón de antes: es un fotón polarizado a 45°, que ve al último analizador a 45° y no a 90°. Pasa otra vez con probabilidad 1/2.
Un cuarto de los fotones que salen del primer polarizador atraviesan un montaje que sin el obstáculo de en medio no dejaba pasar ninguno. Y el panel de arriba enseña que la cosa no se detiene ahí: con N polarizadores escalonados cada 90°/N, cada paso transmite cos²(90°/N) y el total es cos2N(90°/N), que crece con N y tiende al 100 %.
| N | Paso angular | Cada paso transmite | Total |
|---|---|---|---|
| 1 | 90° | 0 % | 0 % |
| 2 | 45° | 50 % | 25 % |
| 3 | 30° | 75 % | 42,19 % |
| 10 | 9° | 97,55 % | 78,05 % |
| 30 | 3° | 99,73 % | 92,10 % |
| 60 | 1,5° | 99,93 % | 95,97 % |
La aritmética de por qué esto no se desploma merece un renglón, porque es contraintuitiva: cada paso pierde una fracción que va como el cuadrado del ángulo —cos²x ≈ 1 − x²— mientras que el número de pasos sólo crece linealmente. Multiplicar N factores de tamaño 1 − (90°/N)² deja una pérdida total que se comporta como 1/N y se va a cero. A esto se le llama efecto Zeno cuántico, y aquí está en su versión más barata: una sucesión de medidas puede arrastrar un estado a donde quieras.
Superposición no es «no sabemos cuál»
La cadena de polarizadores no es una curiosidad de óptica: es el experimento que descarta la explicación cómoda. Prueba a explicar el 25 % diciendo que cada fotón lleva desde la fuente una polarización definida y que el polarizador se limita a comprobarla. Ese modelo —el botón «el fotón conserva su polarización» del panel— predice algo concreto: el fotón que sale de la fuente está a 0°, y el último analizador está a 90°, así que transmite cos²(90°) = 0 sea cual sea N. Cero con tres polarizadores, cero con sesenta. Se mide el 25 % y el 96 %. El modelo está muerto y ha bastado un fin de semana de laboratorio para matarlo.
Lo que hay que poner en su lugar es la superposición. Un fotón polarizado a 0° es, escrito en la base de ±45°,
y eso no es una manera de decir «es una de las dos y no sabemos cuál». Es una identidad: el mismo estado escrito en otro sistema de coordenadas. Los dos números 1/√2 son amplitudes, y su cuadrado da el 50 % de cada rama por la regla de Born. El polarizador de 45° no descubre en cuál de las dos estaba: proyecta sobre una de ellas y deja el fotón ahí. Por eso la base de medida —el par de direcciones que el aparato distingue— es parte del experimento y no un detalle técnico.
La prueba que separa una superposición de una mezcla
Hace falta ser preciso, porque hay dos objetos que se parecen mucho y no son lo mismo. Una mezcla estadística es un montón de fotones del que la mitad está a +45° y la otra mitad a −45°, cada uno con su valor definido y nosotros sin saber cuál. Una superposición es cada fotón en el estado de arriba. Para una medida en la base de ±45° las dos cosas predicen exactamente lo mismo: 50 % y 50 %. Y sin embargo se distinguen sin ambigüedad ninguna.
La manera limpia de verlo es un interferómetro de Mach-Zehnder: un fotón, un divisor de haz que abre dos caminos, un desfase φ ajustable en uno de ellos y un segundo divisor que los vuelve a juntar. Si el estado que llega al segundo divisor es la superposición coherente de los dos caminos, las probabilidades de salir por cada puerta son
Con φ = 0 todos los fotones salen por la primera puerta y ninguno por la segunda. Si en cambio lo que hay es una mezcla —la mitad fue por arriba y la mitad por abajo, cada una con su camino definido— las probabilidades son 50 % y 50 % para todo φ, porque las intensidades se suman y no hay nada que interfiera.
| Desfase φ | Superposición: puerta 1 / puerta 2 | Mezcla: puerta 1 / puerta 2 |
|---|---|---|
| 0° | 100 % / 0 % | 50 % / 50 % |
| 60° | 75 % / 25 % | 50 % / 50 % |
| 90° | 50 % / 50 % | 50 % / 50 % |
| 180° | 0 % / 100 % | 50 % / 50 % |
Con cien fotones basta: la hipótesis «mezcla» predice 50 ± 5 en la puerta 1 y la hipótesis «superposición» predice 100. Son diez desviaciones típicas de diferencia, y con diez mil fotones son cien. Esto no es filosofía; es un contraste estadístico que se hace en una tarde. Fíjate además en la fila de 90°: ahí las dos hipótesis coinciden. Elegir mal el desfase es la forma más fácil de no ver nada, y es la misma lección que va a volver, mucho más afilada, en el artículo 03.
Problema. Coloca diez polarizadores entre 9° y 90°, uno cada 9°, delante de una fuente polarizada a 0°. ¿Qué fracción de fotones atraviesa el montaje? Compara con la estimación intuitiva «cada polarizador se come la mitad».
Solución. Cada paso gira 9° y transmite cos²9° = 0,9755. Diez pasos:
La estimación intuitiva daría (1/2)¹⁰ = 0,00098, es decir, un 0,1 %. Se equivoca por un factor de ochocientos. Y el panel de arriba lo comprueba fotón a fotón: con 20 000 disparos el recuento cae en 78,05 % con un error típico de 0,29 puntos.
Resultado. El origen del error intuitivo es suponer que un polarizador «pierde la mitad» siempre. Lo que pierde depende del ángulo respecto al estado que le llega, y ese estado lo ha fijado el polarizador anterior: cada uno reprepara. Ésa es la afirmación fuerte, y es la que hay que retener: medir no es leer, es rehacer. La consecuencia práctica se usa a diario — así funcionan los rotadores de polarización por etapas y, en su versión con medidas repetidas, la protección de un estado cuántico frente a su propia evolución. Y la consecuencia conceptual es que la palabra «polarización del fotón» no designa una propiedad que el fotón traiga puesta desde la fuente y que el aparato descubra; designa una relación entre el estado y la base que se elija para mirarlo.
Una superposición de energías es un reloj
Todo lo anterior es una superposición de dos direcciones. La versión que más se usa en física es otra: la superposición de dos energías, que no se queda quieta. Si un sistema está a la vez en dos niveles separados por ΔE, las dos amplitudes giran a ritmos distintos y su interferencia oscila con periodo . Es lo mismo que dos diapasones ligeramente desafinados produciendo pulsaciones, sólo que aquí la pulsación es el sistema.
El ejemplo canónico es la molécula de amoníaco, NH₃: una pirámide con el nitrógeno arriba y los tres hidrógenos formando la base. El nitrógeno puede estar «arriba» o «abajo», y la barrera entre las dos configuraciones es alta — pero atravesable por efecto túnel. Los dos estados propios de la molécula no son «arriba» y «abajo»: son su suma y su diferencia, separadas por
Prepara la molécula con el nitrógeno arriba —que es una superposición de los dos estados propios— y 21,0 picosegundos después está abajo; a los 42,0 ps ha vuelto. Esa oscilación de 23,786 gigahercios cae en microondas, con longitud de onda de 1,26 centímetros, y no es una figura retórica: sobre una transición de esa misma banda de inversión construyeron Gordon, Zeiger y Townes el primer máser en 1954, seis años antes de que hubiera láseres. Y el reloj de amoníaco de 1949, en la Oficina Nacional de Normas estadounidense, fue el primer reloj atómico de la historia.
Problema. Si cada molécula de amoníaco es un reloj de 42 ps, ¿por qué una botella de amoníaco a temperatura ambiente no emite microondas de 23,8 GHz sin más?
Solución. Compara las dos energías que hay en juego. El desdoblamiento vale 98,4 µeV; la energía térmica a 300 K es kBT = 25,85 meV, que es
veces mayor. Los dos niveles están, a efectos térmicos, igual de poblados: la diferencia de población es del orden de ΔE/2kBT ≈ 0,19 %. Y una emisión neta exige más moléculas arriba que abajo.
Resultado. Por eso el máser de Townes no calienta amoníaco: lo separa. Un campo eléctrico no uniforme desvía de forma distinta a las moléculas de los dos niveles —el mismo truco de Stern y Gerlach del módulo I.4, con un campo eléctrico en lugar de magnético—, y el haz que entra en la cavidad lleva sólo las de arriba. La inversión de población no se consigue con termodinámica; se consigue tirando a la basura la mitad del haz. Ésa es la segunda lección, y vale para todo el ramo: ningún sistema en equilibrio térmico amplifica. Un láser o un máser son dispositivos fuera del equilibrio por construcción, y la energía que gastan va en mantenerlos ahí.
¿Hasta dónde llega? Veinticinco mil unidades de masa atómica
La pregunta obvia es dónde deja de valer todo esto, y tiene respuesta experimental con fecha. La superposición espacial se ha demostrado con electrones (1961), neutrones (1974), átomos, moléculas de C₆₀ de 720 u (1999) y, hasta la fecha, con moléculas de más de 25 000 u —unos dos mil átomos— cuya longitud de onda de de Broglie en el interferómetro era de 53 femtómetros, mil veces menor que el radio de Bohr. Una molécula que interfiere consigo misma con una longitud de onda mil veces menor que un átomo de hidrógeno sigue siendo un objeto químico normal, con sus enlaces y su espectro.
Lo importante es cómo se pierde el efecto cuando se pierde. No hay ninguna frontera de masa: lo que hay es decoherencia, que es el tema del artículo 04. Las moléculas de C₇₀ del módulo I.2 dejan de dar franjas si se las calienta por encima de unos 2000 K, no porque pesen más sino porque a esa temperatura emiten fotones infrarrojos que llevan escrita su posición. El límite es de aislamiento, no de tamaño, y por eso los experimentos avanzan a base de vacío y de frío.
«Estar en dos sitios a la vez» es una frase que conviene retirar. Sugiere que hay dos objetos, o uno partido en dos, y que la medida elige uno. Ninguna de las tres cosas es lo que dice la teoría. Lo que hay es un estado, que en la base de posición se escribe con dos amplitudes distintas de cero, y cuya predicción para cualquier experimento sale de sumar esas amplitudes antes de elevarlas al cuadrado. Que no haya dos objetos se comprueba: si los hubiera, dos detectores registrarían dos fotones alguna vez, y en un interferómetro bien hecho la correlación entre detectores es compatible con cero. Un fotón se detecta una vez, en un sitio, siempre.
Y hay un mito emparejado que también cae con datos: que la superposición «necesita un observador consciente». Lo que borra las franjas es la disponibilidad de la información de camino, no que alguien la lea — eso quedó cuantificado en el módulo I.2 con la desigualdad D² + V² ≤ 1, donde ni D ni V contienen nada relativo a un experimentador. Una molécula de C₇₀ que emite un fotón térmico pierde sus franjas en un aparato cerrado, de noche y sin nadie en el laboratorio.
Ejercicios
Con dos polarizadores cruzados no pasa nada; con un tercero a 45° en medio pasa el 25 %. Alguien propone que el polarizador de 45° «desvía» algunos fotones y por eso salen. Da un experimento barato que lo desmonte y di qué predice cada modelo.
Solución
Gira el polarizador de en medio y mide la transmisión en función de su ángulo θ. El modelo de «desviación» no tiene ninguna razón para predecir una forma concreta; la superposición predice P(θ) = cos²θ · cos²(90° − θ) = ¼ sen²(2θ), que vale cero en θ = 0° y θ = 90°, tiene su máximo exacto en 45° y cae a la mitad de ese máximo en 22,5° y 67,5°. Es una curva con cuatro predicciones contrastables y sin ningún parámetro ajustable.
La segunda lección es cómo se elige un experimento que decida. No sirve de nada volver a medir el 25 %: los dos modelos ya «explican» ese número, uno de ellos a posteriori. Lo que separa modelos es una predicción que uno haga y el otro no pueda hacer, y la manera de encontrarla es variar un mando. Aquí el mando es θ; en el artículo 03 será también un ángulo, y el criterio será exactamente el mismo.
Un haz de átomos de plata pasa por un aparato de Stern-Gerlach orientado según z; te quedas con la salida «arriba». Ese haz entra en un segundo aparato orientado según x, y te quedas otra vez con una de las dos salidas. Ese haz entra en un tercer aparato, otra vez según z. ¿Qué sale, y por qué es el resultado más incómodo de toda la cuántica elemental?
Solución
Sale 50 % arriba y 50 % abajo. El primer aparato dejó pasar sólo átomos con espín «arriba en z»; el tercero es idéntico al primero y encuentra la mitad «abajo». La medida intermedia en x no ha añadido información: ha borrado la que había. En números: la probabilidad de que un estado «arriba en x» dé «arriba en z» es cos²(90°/2) = 1/2, y para espín 1/2 el ángulo entra a la mitad, no al doble como en la polarización de un fotón.
La segunda lección es que esto elimina de raíz la idea de una lista de propiedades. Si cada átomo llevase escritos su valor de z y su valor de x, el tercer aparato tendría que devolver «arriba» el 100 % de las veces, porque el valor de z estaba escrito y nadie lo tocó. La única salida es que no hay tal lista: fijar el valor en x deja el de z indefinido, no oculto. Y conviene señalar la diferencia con la cadena de polarizadores del panel: allí las medidas sucesivas construían un estado nuevo con poca pérdida porque los ángulos eran pequeños; aquí, con 90°, la reprogramación es total. Es el mismo mecanismo con el mando en el otro extremo.
El desdoblamiento de inversión del amoníaco vale 98,4 µeV y produce un reloj de 42,0 ps. Un nivel electrónico típico de un átomo está a unos 2 eV de otro. ¿Cuánto dura el ciclo de una superposición de esos dos niveles, y qué te dice eso sobre por qué la química no parece cuántica?
Solución
El periodo es T = h/ΔE. Con ΔE = 1 eV sale 4,136 fs, así que con 2 eV son 2,07 femtosegundos: veinte mil veces más rápido que el reloj del amoníaco. Y ese número no es casual: T = h/ΔE es exactamente el periodo de la luz que esa transición emitiría, la de 620 nm, naranja. La regla útil para llevarse: 1 eV ↔ 4,14 fs ↔ 1240 nm, y el periodo es inversamente proporcional a la separación de energías.
La segunda lección es la que explica el paisaje entero. Una superposición se manifiesta a través de su oscilación, y para verla hay que medir en menos tiempo del que dura un ciclo o mantener el sistema coherente durante muchos. Los estados que la química maneja a diario están separados por electronvoltios, es decir, laten en femtosegundos; hasta que hubo láseres de pulso corto —los años ochenta, y el Nobel de Zewail en 1999— eso era sencillamente inobservable. En cambio los estados separados por microelectronvoltios laten en nanosegundos y se manipulan con electrónica de microondas corriente: por eso los cúbits superconductores y los relojes atómicos trabajan ahí abajo, y no porque sean «más cuánticos». La escala de energías fija la escala de tiempos, y la escala de tiempos decide qué tecnología hace falta.