El mejor modelo imaginable en el que cada partícula lleve escrita de antemano su respuesta llega, como mucho, a S = 2,000. La mecánica cuántica predice 2,8284. La diferencia, 0,8284, se reparte en cuatro correlaciones que discrepan 0,2071 cada una, medidas con los analizadores a 22,5° uno del otro. Ese número —dos décimas en una correlación— es toda la distancia que separa el mundo que Einstein daba por hecho del que hay.
Una fuente manda un par de partículas, una a Alicia y otra a Bob. Cada uno elige al azar entre dos ángulos y anota +1 o −1. Con los cuatro promedios se arma la combinación de Clauser, Horne, Shimony y Holt: cualquier teoría en la que cada partícula lleve consigo su respuesta y nada viaje entre los dos lados obliga a S ≤ 2. Cambia la fuente y cuenta.
Todavía no hay ningún par. Empieza con «Lanzar ×4» y mira los cuatro primeros: son cuatro parejas de signos, nada más. La correlación no está en ninguno de ellos — está en el promedio, y por eso hace falta contar. Luego dispara ×40 000 con cada una de las dos fuentes, sin tocar los ángulos.
Los guantes, escritos con precisión
El artículo 02 acabó reconociendo que todo lo que había en él lo explica igual de bien un par de guantes en dos cajas. Antes de derribar esa idea hay que escribirla con cuidado, porque el mérito de Bell es precisamente haberla escrito de forma que se pueda comprobar.
Llámese realismo local a la conjunción de dos supuestos:
- Realismo. Cada partícula lleva consigo, desde la fuente, una respuesta definida para cada pregunta que se le pueda hacer. La lista de respuestas depende de una variable oculta λ que varía de par en par y que puede ser cualquier cosa — un número, un vector, un fichero entero.
- Localidad. La respuesta de Alicia depende de su ángulo y de λ, y no del ángulo de Bob; y viceversa. Es decir: A = A(a, λ) y B = B(b, λ), con las dos funciones devolviendo ±1.
Nótese lo poco que se está suponiendo. No se supone que las respuestas sean deterministas de ninguna manera concreta, ni que la teoría se parezca a la cuántica, ni que λ sea pequeña. Todo lo que Einstein, Podolsky y Rosen pedían en 1935 cabe aquí dentro, y también cabe cualquier teoría futura que satisfaga esas dos condiciones. Bell demostró en 1964 que esa familia entera, por grande que sea, tiene un techo.
El par de guantes del artículo 02 es el caso más tonto de esta familia: λ es «izquierdo aquí, derecho allí», las dos funciones devuelven lo que ponga la tarjeta y el modelo clava las dos cifras que se midieron allí — marginal 0,500 en cada lado y correlación +1 con los dos analizadores al mismo ángulo. Lo que viene a continuación es cuánto se queda corto ese modelo, y el de cualquiera, en cuanto los dos ángulos se separan 22,5°.
La aritmética de Bell: por qué el techo es 2
La forma que se usa en el laboratorio es la de Clauser, Horne, Shimony y Holt, de 1969. Alicia elige entre dos ángulos, a₀ y a₁; Bob entre dos, b₀ y b₁. Se mide la correlación E de cada una de las cuatro combinaciones y se arma
Ahora el argumento, entero. Fija un par concreto, con su λ. Las cuatro respuestas que ese par lleva escritas —A₀, A₁, B₀, B₁— valen todas ±1. Agrupa:
B₀ y B₁ valen ±1 cada uno, así que o son iguales o son distintos. Si son iguales, el primer paréntesis vale 0 y el segundo ±2. Si son distintos, el primero vale ±2 y el segundo 0. En los dos casos la suma entera vale exactamente ±2, para cada par y para cualquier λ. Y un promedio de números que valen +2 o −2 no puede salirse de ese intervalo:
Eso es todo. No hay cálculo, no hay operadores, no hay hipótesis sobre qué es λ. Lo único que se ha usado es que las cuatro respuestas existen a la vez, aunque sólo se midan dos de ellas. Ése es exactamente el supuesto de realismo, y es el que la cuántica no concede: el fotón que se midió a 0° no tiene, ni siquiera en principio, un valor asignado a 45°.
Dónde hay que mirar: cuatro ángulos y 0,2071
La desigualdad de Bell sólo sirve si la cuántica la desobedece con ángulos concretos, y encontrarlos es la mitad del trabajo. Con E = cos 2(α−β), la elección que más separa las dos predicciones es a₀ = 0°, a₁ = 45° para Alicia y b₀ = 22,5°, b₁ = 67,5° para Bob:
| Término | Ángulos | |Δ| | Cuántico | Mejor modelo local |
|---|---|---|---|---|
| +E(a₀,b₀) | 0° · 22,5° | 22,5° | +0,7071 | +0,5000 |
| −E(a₀,b₁) | 0° · 67,5° | 67,5° | +0,7071 | +0,5000 |
| +E(a₁,b₀) | 45° · 22,5° | 22,5° | +0,7071 | +0,5000 |
| +E(a₁,b₁) | 45° · 67,5° | 22,5° | +0,7071 | +0,5000 |
| S | 2,8284 | 2,0000 |
Tres cosas de esta tabla merecen un renglón cada una. La primera: el modelo local no se queda corto, satura. Da 2,000 exactos, no 1,8; si diera menos, cualquier imperfección del laboratorio serviría de excusa. La segunda: los cuatro términos aportan lo mismo, 0,2071 de discrepancia cada uno, y 4 × 0,2071 = 0,8284 = 2√2 − 2. La violación no está concentrada en una medida difícil; está repartida en cuatro medidas fáciles. Y la tercera: el techo cuántico, 2√2, tampoco se puede superar. Se llama cota de Tsirelson, es de 1980, y es de las cosas más raras de la historia — hay teorías imaginables, coherentes y sin señales superluminales, que llegarían hasta 4, y la naturaleza no las usa.
Un detalle que se cuenta mal en todas partes, y que se caza calculando. Suele decirse que 22,5° es el ángulo donde más se separan la curva cuántica y la del mejor modelo local. No lo es. La separación cos 2Δ − (1 − Δ/45°) es máxima en Δ = 19,77°, donde vale 0,2105; en 22,5° vale 0,2071, un pelo menos. Los 22,5° son los que maximizan la suma de los cuatro términos, que es una optimización distinta y sale de que los cuatro ángulos tienen que encajar entre sí. La moraleja es de método: el óptimo de una suma no es la suma de los óptimos, y confundirlos produce afirmaciones que suenan bien y no resisten dos líneas de derivada.
Fíjate además, en el panel, en dónde coinciden las dos curvas: en 0°, 45° y 90°. Son justo los ángulos que cualquiera probaría primero, y el artículo 02 entero se hizo con ellos. Bell no encontró una contradicción escondida en el formalismo; encontró dónde había que mirar, y resultó ser en los ángulos raros.
Problema. Construye explícitamente un modelo de variable oculta que reproduzca las marginales de 0,500 y la correlación perfecta a Δ = 0°, y calcula su S con los cuatro ángulos de arriba. ¿Se puede hacer mejor?
Solución. Que cada par lleve una dirección λ, repartida al azar entre 0° y 180°, y que cada lado devuelva A = signo de cos 2(a − λ) — es decir, «+» si el analizador está a menos de 45° de λ. El modelo es local por construcción: la respuesta de cada lado sólo mira su propio ángulo y λ. Su correlación se calcula contando qué fracción de las λ hace que los dos lados discrepen, y sale una recta:
Vale +1 en 0°, 0 en 45° y −1 en 90° — igual que la cuántica en esos tres puntos. Con los cuatro ángulos del CHSH da E = 0,5 en los cuatro términos y por tanto S = 2,000. El panel de arriba lo comprueba lanzando pares: con la fuente local puesta y 40 000 pares —10 000 por ajuste, con |E| = 0,5 en los cuatro— el error del estimador vale 2√(0,75/10 000) = 0,017, y S se queda pegado a 2,00 dentro de él.
Resultado. No se puede hacer mejor, y ésa es la parte fuerte: el teorema de Bell dice que ningún modelo local pasa de 2, no que éste en concreto no pase. La segunda lección está en la forma de la curva. La cuántica da una cosenoide y el modelo local, una recta; las dos pasan por los mismos tres puntos, y entre ellos la cosenoide va por encima porque es cóncava. Toda la discusión de setenta años se reduce a si la correlación entre 0° y 45° es una recta o una curva, y ésa es una pregunta que se contesta con un goniómetro y paciencia — que es exactamente lo que la convirtió en física en lugar de en filosofía.
Los resquicios, y cómo se cerraron uno a uno
Entre el teorema y la conclusión hay un trecho, y el trecho duró cincuenta años. Un experimento real puede violar la desigualdad y aun así admitir una explicación local si deja abierto alguno de estos huecos, que en la literatura se llaman resquicios.
El resquicio de localidad. Si el ángulo de Alicia se elige con tiempo de sobra para que la información llegue al lado de Bob antes de que Bob mida, un modelo local puede hacer trampas legalmente. Se cierra separando los dos lados y eligiendo los ángulos tarde: cada medida tiene que terminar antes de que le pueda llegar un rayo de luz del otro lado. En el experimento de Delft de 2015 los dos laboratorios estaban a 1,3 kilómetros, que la luz recorre en 4,3 microsegundos; todo —elegir el ángulo, medir y registrar— tenía que caber ahí dentro.
El resquicio de detección. Los detectores de fotones pierden fotones, y si uno se queda sólo con los pares detectados está suponiendo que son una muestra representativa. No tiene por qué serlo: hay modelos locales que reproducen cualquier violación si se les deja decidir cuándo no responder. Para cerrarlo hace falta una eficiencia por encima de un umbral, y el umbral es
con estados máximamente entrelazados. Eberhard demostró en 1993 que con estados no máximamente entrelazados —a costa de una violación más pequeña— el umbral baja al 66,7 %, y ése es el camino por el que se consiguió al final. Confundir los dos números es frecuente y convierte en «ya resuelto» un problema que costó veinte años más.
El resquicio de libertad de elección. Los dos anteriores suponen que los ángulos se eligen de verdad al azar. Si algo en el pasado común del aparato y de la fuente correlacionara las dos cosas, el argumento se cae. Se ha atacado por dos vías espectaculares: en 2018 el BIG Bell Test usó bits generados por más de 100 000 personas jugando desde sus móviles, y ese mismo año un experimento eligió los ángulos con la luz de dos cuásares emitida hace 7800 y 12 200 millones de años.
| Año | Qué | Resultado |
|---|---|---|
| 1935 | Einstein, Podolsky y Rosen plantean el problema | — |
| 1964 | Bell demuestra que es decidible | la desigualdad |
| 1969 | Clauser, Horne, Shimony y Holt la hacen medible | S ≤ 2 |
| 1972 | Freedman y Clauser, primera violación | con los dos resquicios abiertos |
| 1982 | Aspect, Grangier y Roger | S = 2,697 ± 0,015 (46 σ) |
| 1982 | Aspect, Dalibard y Roger, analizadores conmutados | S = 2,404 ± 0,080 (5,1 σ) |
| 1998 | Weihs y otros, ángulos aleatorios a 400 m | localidad cerrada |
| 2001 | Rowe y otros, iones atrapados | detección cerrada, localidad no |
| 2013 | Giustina y Christensen, con fotones | detección cerrada con luz |
| 2015 | Delft · Viena · NIST | los dos a la vez |
| 2017 | satélite Micius, 1203 km | S = 2,37 ± 0,09 |
| 2018 | BIG Bell Test · cuásares | libertad de elección |
| 2022 | Nobel a Aspect, Clauser y Zeilinger | — |
Problema. El experimento de Delft de 2015 midió S = 2,42 ± 0,20 con 245 ensayos. Comprueba que ese error es el que corresponde a esa estadística, y calcula cuántos ensayos harían falta para llegar a las cinco desviaciones típicas que exige la física de partículas.
Solución. Los 245 ensayos se reparten entre los cuatro ajustes, unos 61 cada uno. Cada correlación se estima con σ(E) = √((1−E²)/n), y con S = 2,42 cada término vale en media 0,605:
Es el ±0,20 que publicaron. La significación es (2,42 − 2)/0,203 = 2,1 σ, y para 5 σ harían falta unos 1400 ensayos, seis veces más.
Resultado. Sólo 2,1 σ, y aun así el experimento se considera decisivo. La razón está en el diseño y no en la estadística: los 245 ensayos de Delft son ensayos sin ningún resquicio, cada uno preparado con un protocolo de anuncio previo que separa los dos laboratorios 1,3 km y obliga a que todo ocurra en menos de 4,3 µs. Los mismos meses, en Viena y en Boulder, dos experimentos con fotones acumulaban millones de ensayos y daban valores p de 3,7 × 10⁻³¹ y 2,3 × 10⁻⁷. La segunda lección es que la significación estadística y la fuerza de un experimento no son lo mismo: un resultado de 46 σ con un resquicio abierto —el de Aspect en 1982— convence menos que uno de 2,1 σ sin ninguno, porque en el primero la hipótesis alternativa sigue viva y en el segundo no. Lo que se hace entonces es lo que se hizo: tres grupos independientes, con tres plataformas distintas, el mismo año.
Qué queda abierto, y qué NO demuestra el teorema
Queda un resquicio, y es el único que no se puede cerrar por diseño. Si los ángulos que Alicia y Bob eligen estuvieran correlacionados con λ desde el principio del universo, la desigualdad no obliga a nada. Eso se llama superdeterminismo, y hay que decir dos cosas de él: no está descartado, y prácticamente nadie trabaja en él, porque una teoría que puede explicar cualquier correlación conspirando con el pasado también puede explicar cualquier resultado de cualquier experimento, y con ello la propia idea de contrastar hipótesis deja de funcionar. Es una posición coherente y muy cara.
Y hace falta ser igual de estricto con lo que el teorema no dice, porque casi todo lo que se lee sobre él es una de estas tres cosas:
- No demuestra que algo viaje más rápido que la luz. El artículo 02 lo cerró con números: las marginales no cambian, no hay canal. Bell y no señalización conviven sin problema.
- No demuestra que la mecánica cuántica sea correcta. Demuestra que una familia de teorías es falsa. Que la cuántica acierte los 2,8284 es un hecho experimental aparte, y de hecho se mide para comprobar que tampoco se pasa de la cota de Tsirelson.
- No obliga a elegir «la partícula no tenía valor definido». Lo que cae es la conjunción de localidad y realismo. Se puede salvar el realismo pagando con localidad explícita —eso hace la teoría de De Broglie y Bohm, que reproduce toda la cuántica y es no local a las claras— o negar que la medida tenga un resultado único, que es lo que hacen los muchos mundos. Cuál se prefiera es el asunto del artículo 04.
Ejercicios
Un estudiante monta la fuente de pares y mide las correlaciones a 0°, 45° y 90° con mucho cuidado y mucha estadística. Todo cuadra con la cuántica y no ve ninguna violación de nada. ¿Qué ha hecho mal?
Solución
Ha elegido justamente los tres ángulos donde las dos predicciones coinciden. En Δ = 0° las dos dan E = +1; en 45°, las dos dan 0; en 90°, las dos dan −1. Con esos datos el mejor modelo local —E = 1 − Δ/45°— reproduce todo lo medido sin despeinarse. Para ver algo hay que medir en ángulos intermedios: en 22,5° la cuántica da 0,7071 y el modelo local, 0,5000.
La segunda lección es que un experimento puede confirmar una teoría sin distinguirla de su rival, y eso es lo más fácil de hacer sin darse cuenta. La pregunta correcta antes de montar nada no es «¿concuerda con la teoría?» sino «¿en qué punto del rango discrepan las dos candidatas, y cuánto?». Aquí la respuesta es 0,2071 en torno a 22,5°, y de ahí sale todo el diseño: si el error experimental por punto es mayor que dos décimas, el experimento no sirve, por mucha estadística que se acumule en los ángulos equivocados.
Con detectores de eficiencia η, un modelo local puede aparentar una violación si se le permite «no responder» cuando le conviene. Explica el truco y por qué el umbral de 82,84 % lo cierra.
Solución
El truco es que la variable oculta λ incluya, además de las respuestas, la instrucción de callarse ante ciertos ángulos. Los pares que darían un resultado incómodo para la desigualdad se declaran «no detectados», y el experimentador, que sólo analiza las coincidencias registradas, mide un S mayor que 2 sin que nada no local haya ocurrido. Con eficiencia baja el modelo tiene mucho margen; el umbral aparece cuando los pares descartados ya no bastan para tapar la discrepancia, y con estados máximamente entrelazados eso ocurre en η = 2(√2 − 1) = 82,84 %.
La segunda lección es la hipótesis que el experimentador introduce sin escribirla: la muestra justa, es decir, que los pares detectados se parezcan a los perdidos. Es la clase de supuesto que se cuela en cualquier medida con pérdidas y que no se ve en las ecuaciones, y aquí es exactamente la puerta por la que se escapa el resultado. Nótese también que el problema no se arregla con estadística: multiplicar por mil los pares registrados no cambia en nada el sesgo, sólo estrecha la barra de error alrededor de un número equivocado. Es la diferencia entre error estadístico y error sistemático, y es la razón de que hicieran falta veinte años de mejorar detectores en lugar de veinte años de tomar más datos.
Un divulgador escribe: «los experimentos de Bell demuestran que el universo no es local y que la información viaja más rápido que la luz». Corrige la frase en dos partes, y di qué versión sí es defendible.
Solución
La segunda mitad es falsa sin matices: las marginales de cada lado no dependen de lo que haga el otro —cancelación exacta, artículo 02—, así que no hay ningún canal ni señal, y de hecho la cuántica es compatible con la relatividad especial precisamente por eso. La primera mitad está incompleta: lo que los experimentos descartan es la conjunción de localidad y valores preexistentes. Una teoría puede quedarse con los valores preexistentes y renunciar a la localidad, o al revés.
La versión defendible es: ninguna teoría en la que cada partícula lleve escrita su respuesta y en la que nada influya a distancia puede reproducir lo que se mide. La segunda lección es de higiene al leer y sirve para cualquier resultado negativo de la física: un teorema de imposibilidad descarta una lista de supuestos, y sólo dice algo útil si se enumeran todos. Los de Bell son tres —realismo, localidad y libertad de elección— y el que se abandone es una decisión, no un descubrimiento. Lo que sí es un descubrimiento, y muy grande, es que la lista completa sea incompatible con el laboratorio.