En el aparato de Tonomura los electrones iban separados 124 kilómetros unos de otros, y el aparato medía metro y medio. Cada electrón lo cruzaba solo, en 12 nanosegundos, y dejaba un punto en la pantalla. A los veinte minutos, con 1,2 millones de puntos acumulados, había franjas de interferencia. Ningún electrón interfirió con otro, porque no había ningún otro dentro de la máquina.
Lanza electrones de uno en uno. Cada uno llega entero a un punto de la pantalla y deja una marca; ninguno llega repartido. El patrón no está en ningún electrón — aparece en el recuento, y sólo cuando hay unos cuantos miles. La curva de abajo es el cálculo: la suma de las dos amplitudes. Las barras grises son tus impactos, contados. El último mando es la información de camino disponible en el aparato: no hay nadie mirando en ninguna parte.
Arriba, la pantalla: 0 impactos en una ventana de 442 µm. Abajo, el recuento (barras) contra el cálculo (línea). La regla marca una interfranja.
Todavía no hay nada. Pulsa «1 electrón» unas cuantas veces antes de pedir seis mil: la pregunta que hay que hacerse mirando los tres o cuatro primeros impactos es dónde va a caer el siguiente. La teoría no lo dice, y no por falta de datos.
1961: las rendijas que Feynman creía imposibles
En las Lectures de 1963, Feynman abre el volumen de cuántica con la doble rendija de electrones y advierte al lector de que no intente montarla: «este experimento nunca se ha hecho de esta manera», dice, porque el aparato tendría que fabricarse a una escala imposiblemente pequeña. Se equivocaba por dos años. Claus Jönsson lo había publicado en 1961 en Tubinga, en alemán y en el Zeitschrift für Physik, con rendijas de una micra de separación abiertas en una película de cobre sobre colodión, y con electrones de 50 kV.
La razón de que fuera tan difícil se ve haciendo la cuenta, y es la misma que aparece en todo interferómetro de materia: la longitud de onda es diminuta y las franjas salen microscópicas. A 50 kV el electrón viaja al 41 % de la velocidad de la luz, así que la fórmula no relativista del artículo 01 ya se equivoca un 2,4 %; el valor correcto es λ = 5,36 pm.
Problema. Con λ = 5,36 pm, rendijas separadas d = 1 µm y una pantalla a L = 35 cm, ¿a qué distancia están las franjas?
Solución. La separación entre máximos consecutivos —la interfranja— es la misma de toda la óptica:
Resultado. Menos de dos micras. Nadie ve eso: está por debajo de lo que resuelve un microscopio óptico decente y muy por debajo del grano de una emulsión fotográfica. Jönsson tuvo que intercalar una lente electrostática que ampliara el patrón unas 500 veces antes de registrarlo, para llevar la interfranja al milímetro. Ésa es la dificultad real del experimento, y explica por qué la doble rendija de electrones tardó treinta y cuatro años en hacerse desde que se supo que el electrón difracta: no faltaba la idea, faltaba poder abrir dos ranuras de una micra en un material opaco a los electrones y luego ampliar el resultado sin destruirlo. La misma cuenta al revés dice dónde apuntar hoy: para que las franjas salgan de decenas de micras hay que bajar la energía, y por eso el experimento moderno del que se habla más abajo usa 600 voltios en vez de 50 000.
1989: de uno en uno
Jönsson registró el patrón acumulado en una película: un montón de electrones a la vez. Queda entonces una escapatoria evidente, y hay que cerrarla: ¿y si las franjas fueran un efecto colectivo, electrones empujándose entre sí, como las olas de un estadio?
La cerraron en Bolonia en 1976 Merli, Missiroli y Pozzi, y en 1989 lo repitió con mucho mejor detector el grupo de Akira Tonomura en Hitachi, con la secuencia de imágenes que desde entonces se reproduce en todas partes: 10 electrones, 100, 3 000, 20 000, 70 000. Los primeros parecen ruido. Los últimos son franjas. En vez de rendijas usaron un biprisma electrónico —un hilo finísimo cargado que dobla el haz por los dos lados y lo hace solaparse consigo mismo—, que es ópticamente equivalente y mucho más eficiente.
Lo importante es la aritmética del ritmo. Los electrones salían del cañón a unos 1 000 por segundo y viajaban a 1,24 × 10⁸ m/s, es decir a 0,413 c. En un aparato de metro y medio, cada uno tarda 12 nanosegundos en cruzarlo, mientras que entre dos consecutivos pasa una milésima de segundo: ochenta mil veces más. La separación media entre electrones a lo largo del haz es v/ritmo = 124 km. La probabilidad de que dos coincidan dentro de la máquina es despreciable, y el patrón sale igual. Sea lo que sea lo que interfiere, no son unos electrones con otros.
Falta una tercera pieza, y es de 2013: el grupo de Herman Batelaan, en Nebraska, montó por fin la doble rendija literal de Feynman, con una máscara móvil capaz de tapar una rendija, la otra, o ninguna. Con electrones de 600 V (λ = 50,1 pm), rendijas de 62 nm separadas 272 nm y un detector a 24 cm, la interfranja calculada es de 44 µm, tamaño perfectamente cómodo para una placa de microcanales. Y el resultado, medido rendija por rendija, es el que Feynman había descrito sin haberlo visto: la distribución con las dos rendijas abiertas no es la suma de las dos distribuciones con una sola abierta.
Ésa es la desigualdad entera. Todo lo demás —las metáforas, las paradojas, los documentales— es comentario sobre ella. Y no es una diferencia sutil: en los mínimos, P₁₂ vale prácticamente cero donde P₁ + P₂ vale su máximo. Abrir un segundo camino hace que dejen de llegar electrones a sitios a los que llegaban con un camino solo.
Lo que borra las franjas es la información
Aquí es donde el experimento se convierte en el imán de disparates de la física, así que conviene ir despacio y con números.
La versión popular dice que «el observador colapsa la función de onda» y que hace falta una conciencia. No hay nada de eso en el formalismo ni en ningún experimento. Lo que hace desaparecer las franjas es que en algún sitio del universo quede disponible información de camino: una correlación entre el estado de algo —un detector, un fotón, un grado de libertad interno de la propia partícula— y por cuál de los dos caminos pasó. Que alguien la lea, la anote o la mire después es irrelevante. Basta con que exista.
La versión semipopular, algo mejor, dice que lo que estropea la interferencia es la perturbación: para saber por dónde va el electrón hay que golpearlo con un fotón, y ese empujón le desordena la fase. Es el microscopio de Heisenberg de 1927, y es un mecanismo real — pero no es el mecanismo. Que no lo es se demostró midiéndolo.
Problema. En un interferómetro de átomos de rubidio, la información de camino se guarda cambiando un estado interno del átomo con un fotón de microondas de 3,04 GHz. Las franjas se degradan. ¿Puede explicarse por el retroceso que le da ese fotón, si el interferómetro está construido con luz óptica de 780 nm?
Solución. El momento de un fotón es p = h/λ, así que basta comparar longitudes de onda. El fotón de microondas tiene λ = c/ν = 9,9 cm:
Es decir, una parte entre 127 000. En velocidades de retroceso del átomo de rubidio: 6,02 mm/s con un fotón óptico frente a 47,6 nm/s con el de microondas.
Resultado. La escala espacial del interferómetro la fija la luz óptica, y el empujón del fotón de microondas es cien mil veces demasiado pequeño para desordenar nada de esa escala. Y sin embargo las franjas se van. La conclusión es la que da título a la sección: lo que destruye la interferencia no es la patada, es que exista una correlación que distinga los caminos. Dicho de otro modo, el «principio de incertidumbre en acción» que se enseña a veces como explicación es una explicación insuficiente: hay casos —éste— en los que la incertidumbre posición-momento tiene margen de sobra y las franjas desaparecen igual. La raíz es el entrelazamiento con el marcador, y ése es un ingrediente que el microscopio de Heisenberg no contiene.
Se puede decir aún mejor, porque hay una desigualdad que lo cuantifica. Si se define la distinguibilidad D como la fiabilidad con que la información almacenada permite acertar el camino, y la visibilidad de las franjas V como el contraste del patrón, entonces
Ésta es la complementariedad escrita como una cuenta y no como un aforismo. No es «o partícula o onda»: es un intercambio continuo. Con D = 0,6 —se acierta el camino el 80 % de las veces— la visibilidad no puede pasar de 0,8, y las franjas siguen ahí, más flojas. Mueve el último mando del panel de arriba y verás que el patrón se degrada suavemente, sin ningún interruptor. Un mundo con «observadores» que encienden y apagan el colapso tendría que dar un escalón, y da una curva.
El ejemplo que zanja el asunto no tiene ni marcador ni observador. En 2004, el grupo de Viena hizo interferir moléculas de C₇₀ en una red de 990 nm de paso y las fue calentando por dentro con un láser. Una molécula caliente emite radiación térmica, y por la ley de Wien del módulo I.1 esos fotones tienen su máximo en 1,16 µm a 2 500 K — del mismo orden que la separación entre los dos caminos. Un fotón de esa longitud de onda que se escapa de la molécula lleva encima, para quien quisiera recogerlo, la información de por dónde iba. Nadie lo recoge: se pierde en las paredes de la cámara de vacío. Y la visibilidad de las franjas se desploma exactamente cuando la temperatura interna sube lo suficiente para que se emitan esos fotones. El «observador», aquí, es el vacío del laboratorio.
El borrador cuántico, y lo que no dice
Si lo que destruye las franjas es la información disponible, la pregunta obvia es qué pasa si se destruye la información. Scully y Drühl lo propusieron en 1982 y desde entonces se ha hecho de varias maneras: se marca el camino, se comprueba que las franjas desaparecen, y luego se mide el marcador en una base distinta, elegida de forma que el resultado ya no diga por dónde fue la partícula. Las franjas vuelven. Eso es un borrador cuántico, y conviene subrayar que no se ha «deshecho» ninguna medida: se ha elegido leer el marcador de una manera que no contesta a la pregunta «¿por cuál rendija?».
La versión que más titulares ha dado es la de elección retardada (Kim y otros, 2000), en la que el marcador se mide después de que la partícula haya llegado a la pantalla. De ahí sale la frase de que «el futuro cambia el pasado». Conviene ver qué se mide de verdad, porque es concreto:
- El patrón registrado en la pantalla, contando todos los impactos, no tiene franjas nunca, se borre o no se borre después.
- Las franjas aparecen sólo al separar esos mismos impactos en subconjuntos según lo que dio el marcador, y los dos subconjuntos tienen franjas complementarias: donde uno tiene máximos, el otro tiene mínimos. Sumados, se cancelan y devuelven la curva lisa.
- Para hacer esa separación hay que llevar el resultado del marcador hasta donde están los datos de la pantalla, y eso viaja hacia adelante en el tiempo y como mucho a la velocidad de la luz.
Es decir: nada retrocede y nada se transmite. Lo que el experimento enseña —y no es poco— es que la correlación entre los dos conjuntos de datos contiene una estructura de interferencia que ninguno de los dos tiene por separado. La versión mística de este experimento se sostiene sólo mientras no se mire la curva total.
Qué mide el experimento y qué le añadimos nosotros. Lo medido son dos cosas: que cada electrón llega entero a un punto, y que la distribución de puntos con las dos rendijas abiertas no es la suma de las dos distribuciones de una rendija. Eso es todo. La frase «el electrón pasa por las dos rendijas a la vez» no es un resultado experimental: es una imagen que se le pone encima al formalismo, y de hecho no todas las interpretaciones la aceptan. Merece la pena guardar el mismo escrúpulo que el módulo I.1 aplicó al efecto fotoeléctrico, donde el hecho de que la luz arranque electrones por cuantos no demuestra por sí solo que existan fotones. Aquí igual: el hecho es la distribución, y esa distribución es exactamente el cuadrado de una suma de dos amplitudes.
Y el eslogan de Dirac tampoco es literal. «Cada fotón interfiere sólo consigo mismo», escribió, y es una regla práctica excelente — pero es falsa como enunciado general: Pfleegor y Mandel obtuvieron en 1967 franjas superponiendo la luz de dos láseres independientes, con intensidades tan bajas que casi nunca había más de un fotón en el aparato. La lección que hay debajo, y que sí es general, es que lo que interfiere son amplitudes de caminos indistinguibles, y que el que los caminos salgan de la misma fuente o de dos es un detalle del montaje.
Lo que queda abierto, dicho como tal. Todo lo anterior explica por qué la interferencia deja de verse cuando hay información de camino en el entorno: es decoherencia, y se calcula. Lo que no explica es por qué, al final, aparece un punto en la pantalla y no otro. Ese hueco tiene nombre —el problema de la medida—, lleva abierto desde 1927, y hay varias propuestas serias sobre la mesa que no son equivalentes entre sí. El módulo I.5 lo trata entero, con las opciones y sus problemas; el módulo III.5 hace las cuentas de la decoherencia. Lo que conviene retener aquí es la frontera exacta: la decoherencia explica la desaparición de las franjas, no la aparición de un resultado. Confundir las dos cosas es el error técnico más frecuente en la divulgación de este tema, y se comete también en artículos serios.
Ejercicios
En el panel de arriba, deja D = 0 y sube la anchura de las rendijas hasta la mitad de su separación (a = 0,5 d). Desaparecen unas franjas. ¿Cuáles, y por qué?
Solución
Desaparecen las de orden par: la segunda, la cuarta… La razón es que en la pantalla se multiplican dos cosas. La interferencia entre las dos rendijas pide máximos donde d·sen θ = mλ; la difracción de cada rendija por separado tiene ceros donde a·sen θ = kλ. Con a = d/2, el primer cero de la difracción cae justo donde la interferencia pedía su segundo máximo, y el producto es cero. Son los órdenes ausentes.
La segunda lección es que ahí se ve, sin ninguna filosofía, que el patrón no es «franjas» a secas sino un producto de dos factores, y que el panel los está calculando por separado. Es también la comprobación más simple de que el cálculo del interactivo es una suma de amplitudes y no un coseno dibujado: un dibujo de franjas no sabe que tiene que borrarse cuando a llega a d/2.
Un detector marca el camino con una fiabilidad tal que aciertas por cuál rendija pasó el electrón el 90 % de las veces. ¿Cuánto contraste puede quedar en las franjas, como máximo?
Solución
Acertar el 90 % de las veces cuando el azar puro da el 50 % corresponde a una distinguibilidad D = 2 × 0,90 − 1 = 0,80. La cota da entonces V ≤ √(1 − 0,80²) = √0,36 = 0,6. Queda un contraste del 60 %: unas franjas perfectamente visibles.
La segunda lección está en lo que eso desmonta. Con información de camino casi completa —nueve de cada diez aciertos— todavía hay más de la mitad del contraste. La imagen de «o miras o interfiere» no describe esto; la cota sí, y además dice cuánto. Fíjate también en el otro extremo: para que V llegue a cero hace falta D = 1 exactamente, es decir información de camino perfecta. Cualquier marcador real, imperfecto, deja franjas residuales, y medirlas es como se comprueba experimentalmente la desigualdad.
Quieres repetir el experimento de Bach en casa con un cañón de electrones de 600 V. Sólo consigues fabricar rendijas separadas 10 µm en vez de 272 nm. ¿Qué interfranja tendrías a 24 cm, y por qué eso mata el experimento?
Solución
Con λ = 50,1 pm, L = 0,24 m y d = 10 µm: Δy = λL/d = 50,1 × 10⁻¹² × 0,24 / 10⁻⁵ = 1,2 × 10⁻⁶ m = 1,2 µm, treinta y siete veces menor que los 44 µm de Bach. Ninguna placa de microcanales resuelve eso: sus canales miden entre 5 y 25 µm.
La segunda lección es la regla de diseño de todo interferómetro de materia, y explica la historia entera de este artículo: la interfranja va como λL/d, así que rendijas más juntas dan franjas más separadas, al revés de lo que dice la intuición. Jönsson, con d = 1 µm, necesitó una lente de aumento; Bach, con d = 272 nm, no necesita ninguna. Todo el progreso técnico entre 1961 y 2013 en este experimento consistió en aprender a fabricar rendijas más juntas, no detectores mejores.