El helio líquido, enfriado hasta la milésima de grado sobre el cero absoluto, no se congela. Hay que apretarlo a 25 atmósferas para conseguirlo, y es la única sustancia de la tabla periódica que se comporta así. La razón es un número: la energía que el principio de incertidumbre le obliga a tener aun sin ninguna temperatura vale 14,1 K en unidades de kB, y el pozo que trata de sujetarlo en la red cristalina sólo tiene 10,2 K de profundidad. El átomo se sacude a sí mismo fuera del cristal.
Dos costes que tiran en sentidos contrarios. Acercar el electrón al núcleo baja la energía de Coulomb como 1/a; confinarlo en un radio a le obliga, por la desigualdad, a un momento de al menos ħ/a, y eso sube la energía cinética como 1/a². El panel busca el mínimo de la suma sobre 4 800 puntos entre 0,01 fm y 100 nm — no lo despeja de ninguna fórmula— y luego enseña al lado lo que da la fórmula cerrada, para que compares.
Línea gruesa: la energía total. El punto es el mínimo encontrado por búsqueda. Eje horizontal logarítmico.
Con los valores reales, la búsqueda devuelve 52.918 pm y -13.606 eV. Ésos son el radio de Bohr y la energía de ionización del hidrógeno, y los dos están medidos en el laboratorio: 52,918 pm y 13,606 eV. No se ha usado ningún modelo de órbitas ni ningún postulado de cuantización — sólo el precio de confinar. Baja f a 0,5 y verás que el átomo se encoge a la mitad y se liga el doble: el tamaño de la materia lo fija ħ, y va como ħ².
Por qué el átomo tiene el tamaño que tiene
El modelo de Bohr del módulo I.1 daba el radio correcto postulando que el momento angular viene en múltiplos de ħ. Funcionaba con el hidrógeno y fracasaba con el helio, y el postulado no se seguía de nada. Con la desigualdad se puede hacer mejor: se puede calcular el tamaño del átomo sin postular ninguna órbita ni ninguna cuantización.
Encierra el electrón en una región de radio a. Dos cosas pasan a la vez:
- Baja la energía potencial. La atracción de Coulomb da V = −e²/(4πε₀a), que es más negativa cuanto menor sea a. Este término, solo, empuja el electrón hacia el núcleo sin freno.
- Sube la energía cinética. Confinar el electrón dentro de a le obliga a un momento del orden de p ≈ ħ/a, y con él a una energía cinética T = p²/2m = ħ²/(2m a²), que crece más deprisa al encoger porque va como 1/a² y no como 1/a.
Ahí está todo. Un término que crece como 1/a² peleando contra otro que crece como 1/a tiene, necesariamente, un mínimo:
El panel de arriba busca ese mínimo sobre 4800 puntos entre 0,01 femtómetros y 100 nanómetros, sin usar ninguna fórmula, y encuentra
Ésos son el radio de Bohr y la energía de ionización del hidrógeno, los dos medidos en el laboratorio con muchas cifras. Han salido de minimizar una suma de dos términos. Y de propina, el mínimo cumple V = −2T exactamente, que es el teorema del virial — el panel lo enseña a un lado y sale −0,5000 se muevan los mandos que se muevan.
Problema. Comprueba que el mínimo de E(a) cae en a₀ y saca de ahí cómo escala el tamaño de la materia con ħ, con la masa y con la carga del núcleo.
Solución. Igualando las derivadas de los dos términos —o, sin derivar, buscando dónde se cruzan sus ritmos de crecimiento— sale
De la primera expresión se lee todo lo demás: a ∝ ħ², a ∝ 1/m y a ∝ 1/Z para un núcleo de carga Ze.
Resultado. Cada uno de esos escalados se comprueba con un sistema real. Cambia el electrón por un muón, 206,8 veces más pesado, y el átomo se encoge en el mismo factor: el hidrógeno muónico mide unos 285 fm, cinco mil millonésimas partes de milímetro, tan poco que el muón pasa parte del tiempo dentro del propio protón — y eso es lo que lo convierte en la mejor regla que existe para medir el tamaño del protón. Sube la carga: un ion de Z = 26 con un solo electrón mide 2,03 pm y está ligado por 9,2 keV, que es el orden correcto de los rayos X característicos del hierro (el borde K real está en 7,1 keV, algo por debajo porque los otros electrones apantallan al núcleo). Y mueve ħ en el panel: con la mitad de ħ, el átomo mide una cuarta parte. El tamaño de la materia ordinaria —el tuyo— lo fija la constante de Planck, y va como su cuadrado. No hay ninguna otra escala de longitud en el problema.
Éste es el argumento de por qué la materia no se hunde, y conviene ver dónde se queda corto. Baja a cero el mando del término cinético del panel y mira lo que pasa: la curva deja de tener fondo. El mínimo se va a a = 0 con energía −∞, y el panel se niega a enseñar un número porque no lo hay. Eso no es una patología matemática: es literalmente lo que predice la física clásica, donde un electrón acelerado radia y cae en espiral sobre el núcleo en 1,6 × 10⁻¹¹ segundos. La cuántica lo impide porque confinar cuesta, y el precio va como 1/a².
Lo que este argumento no explica es por qué un átomo de plomo, con 82 electrones, mide aproximadamente lo mismo que uno de hidrógeno en vez de 82 veces menos. Ahí hace falta un ingrediente más —el principio de exclusión, que impide a los electrones amontonarse en el mismo estado— y ése es el módulo I.4. Aviso para leer el panel con cuidado: el mando de Z modela iones hidrogenoides, con un solo electrón. Para átomos neutros la respuesta es otra.
La energía que no se puede quitar
El mismo argumento aplicado a algo que oscila da una consecuencia con nombre propio. Una partícula atrapada en un pozo no puede estar quieta en el fondo: estar quieta en un punto sería tener a la vez posición y momento definidos. Le queda siempre una energía residual, la energía de punto cero, que para un oscilador de frecuencia ν vale
No es una corrección pequeña. Las moléculas son osciladores, y sus frecuencias son altísimas:
| Molécula | Frecuencia | E₀ | En temperatura (E₀/kB) |
|---|---|---|---|
| H₂ | 132 THz | 273 meV | 3166 K |
| HCl | 86,5 THz | 179 meV | 2076 K |
| CO | 64,2 THz | 133 meV | 1542 K |
| I₂ | 6,43 THz | 13,3 meV | 154 K |
La molécula de hidrógeno, a cero absoluto y en el fondo de su pozo, vibra con 273 milielectronvoltios. Eso son 26,3 kJ por mol, comparable a la energía de un enlace de hidrógeno entero. Y a temperatura ambiente kBT vale 25,9 meV: la energía de punto cero del CO es 5,1 veces mayor que toda la agitación térmica disponible. En una molécula ligera, enfriar no apaga la vibración porque la vibración no viene del calor.
Por qué el helio no se congela
Aquí el efecto deja de ser una corrección y decide el estado de la materia.
Para que un elemento cristalice, cada átomo tiene que quedarse quieto en su sitio de la red. Pero quedarse quieto en un sitio es estar confinado, y estar confinado cuesta energía. Si ese coste supera la profundidad del pozo que sujeta al átomo, el cristal no se forma: los átomos se sacuden a sí mismos fuera.
La cuenta es directa. Un átomo confinado en una jaula cúbica de lado d tiene una energía mínima
y hay que compararla con la profundidad ε del pozo de van der Waals entre vecinos. Para el helio-4, con d = 3,57 Å en el sólido y ε/kB = 10,22 K:
| Elemento | E₀ de confinamiento | Pozo ε/kB | E₀/ε | ¿Solidifica a 1 atm? |
|---|---|---|---|---|
| ³He | 16,9 K | 10,2 K | 1,66 | no |
| ⁴He | 14,1 K | 10,2 K | 1,38 | no |
| Ne | 3,57 K | 35,6 K | 0,100 | sí, a 24,6 K |
| Ar | 1,27 K | 119,8 K | 0,011 | sí, a 83,8 K |
| Kr | 0,54 K | 171,0 K | 0,003 | sí, a 115,8 K |
La columna que importa es la cuarta. El helio es la única sustancia en la que la energía de punto cero supera al pozo, y por eso es la única que no solidifica por frío. Su vecino de la tabla, el neón, tiene un cociente treinta y ocho veces menor y congela sin problema. El salto no es gradual: es el helio, y nada más.
Problema. Hay una forma adimensional de decir lo mismo, y es más útil porque no depende de qué modelo de jaula uses. Se define el parámetro de de Boer como Λ = h/(σ√(mε)), donde σ y ε son el tamaño y la profundidad del potencial entre dos átomos. Calcúlalo para los gases nobles.
Solución. Λ compara la longitud de onda de de Broglie de un átomo con la energía ε disponible frente al tamaño σ del propio átomo. Para el ⁴He, con σ = 2,556 Å, ε/kB = 10,22 K y m = 4,003 u:
Y la lista entera: ³He 3,08 · ⁴He 2,68 · H₂ 1,73 · Ne 0,59 · Ar 0,19 · Kr 0,10 · Xe 0,06.
Resultado. El orden de la lista es el orden de «cuán cuántica» es la sustancia, y predice su comportamiento sin más cuentas. Por encima de Λ ≈ 1 no hay sólido a presión ambiente: sólo el helio, en sus dos isótopos. El ³He, más ligero, tiene Λ mayor y necesita 34 atmósferas para solidificar frente a las 25 del ⁴He: dos sustancias químicamente idénticas —los dos son helio, con los mismos electrones y el mismo enlace— que se comportan distinto sólo porque una pesa un 25 % menos. Es difícil imaginar una prueba más limpia de que lo que manda aquí es la masa en el denominador de ħ²/2md², y no la química. Y para completar el cuadro: la energía de punto cero es también la razón de que el ⁴He líquido tenga una densidad ridícula, 125 kg/m³, ocho veces menos que el agua. Los átomos se mantienen separados a sí mismos.
Y lo mismo, en una estrella
El argumento del tamaño del átomo se puede repetir a escala astronómica, y da un número que se comprueba con un telescopio.
Una enana blanca es lo que queda de una estrella como el Sol cuando agota su combustible: una bola de carbono y oxígeno del tamaño de la Tierra sin ninguna reacción nuclear que la sostenga. La gravedad debería aplastarla. No lo hace, y la razón es la misma que la del átomo, con una pieza más: apretar N electrones en un volumen R³ confina a cada uno en un cubito de lado (R³/N)^(1/3), y eso les cuesta energía cinética. La presión de degeneración que resulta no tiene nada que ver con la temperatura — una enana blanca fría aguanta igual.
Minimizando la suma de esa energía cinética y la energía gravitatoria, igual que antes, sale un radio de equilibrio que decrece con la masa:
Cuanto más masiva es una enana blanca, más pequeña es, al revés de lo que hace cualquier cosa normal. Los números del modelo, con dos nucleones por electrón:
| Masa | Radio calculado | Comparación |
|---|---|---|
| 0,5 M☉ | 9021 km | 1,4 radios terrestres |
| 0,6 M☉ | 8489 km | 1,3 radios terrestres |
| 1,018 M☉ | 7117 km | 1,1 radios terrestres |
La última fila es Sirio B, la compañera de la estrella más brillante del cielo, cuya masa y radio se han medido: 1,018 masas solares y 5800 km de radio. El modelo da 7117 km, un 23 % de más. Y ese error va en la dirección correcta y por una razón que se puede señalar: con esa masa los electrones ya son relativistas —su momento de Fermi corresponde a 0,552 MeV, es decir 1,08 veces su energía en reposo, y viajan a 0,73 c—, y el modelo no relativista de arriba sobreestima siempre su capacidad de resistir. Un cálculo relativista corrige el resto.
Ese mismo efecto relativista tiene un final: por encima de 1,46 masas solares la presión de degeneración deja de crecer lo bastante deprisa y no hay equilibrio posible. Es el límite de Chandrasekhar, es lo que convierte a las supernovas de tipo Ia en candelas patrón, y con ellas se midió en 1998 la expansión acelerada del universo. Una desigualdad sacada de pensar en una rendija acaba, por este camino, fijando el brillo de una explosión a mil millones de años luz.
Aquí hacen falta dos ingredientes, no uno, y conviene no atribuirle todo a la incertidumbre. El coste de confinar es lo que da la energía cinética, pero lo que obliga a los electrones a ocupar cubitos distintos —en vez de amontonarse todos en el estado de menor energía, que saldría mucho más barato— es el principio de exclusión de Pauli. Sin él, la enana blanca se hundiría igual. La materia se sostiene porque ocurren las dos cosas a la vez, y la segunda es el asunto del módulo I.4.
Ejercicios
En el panel del átomo, baja el mando del término cinético a f = 0,25 con Z = 1 y el electrón. ¿Qué sale, y qué universo describiría eso?
Solución
Sale a = 13,23 pm y E = −54,42 eV: el átomo mide una cuarta parte y está ligado cuatro veces más fuerte. Es lo que dicen los escalados a ∝ f y E ∝ 1/f, que son los mismos a ∝ ħ² y E ∝ 1/ħ² con otro nombre, porque f multiplica a ħ² en el término cinético.
La segunda lección es qué mundo sería ése, y conecta con el ejercicio de la pelota de tenis del módulo I.2. Con la mitad de ħ toda la materia ordinaria mediría una cuarta parte y sería dieciséis veces más densa; las energías de enlace químico se multiplicarían por cuatro, así que las reacciones bioquímicas a temperatura ambiente serían imposibles; y la luz visible dejaría de estar en resonancia con nada. El valor de ħ no es un parámetro decorativo: fija la escala de tamaños, de energías y de colores de todo el mundo que ves. Y fíjate en que el panel no tiene ningún mando de «tamaño»: el tamaño sale.
El hidrógeno molecular es todavía más ligero que el helio. ¿Por qué el H₂ sí solidifica a presión ambiente (a 14 K) si su parámetro de de Boer, 1,73, también pasa de 1?
Solución
Porque los dos criterios no son el mismo, y el H₂ es justo donde se separan. Λ mide la energía de punto cero tomando σ, el diámetro del potencial entre dos moléculas, como longitud de confinamiento. Pero en el cristal las moléculas no están a σ: están a la distancia de vecinos d, que para el H₂ sólido vale 3,79 Å frente a un σ de 2,93 Å. Como la energía de confinamiento va como 1/d², esa diferencia del 29 % en la longitud vale un factor 1,7 en la energía. Con la cuenta buena sale E₀ = 24,8 K contra un pozo de 37,0 K, es decir E₀/ε = 0,67: por debajo de 1, y el cristal aguanta. Con poco margen, eso sí — el hidrógeno sólido es un cristal notoriamente blando.
La segunda lección es qué hacer cuando dos criterios que deberían decir lo mismo discrepan: mirar cuál de los dos incorpora el dato medido. Λ es un estimador que supone que el átomo se confina dentro de su propio diámetro, y eso vale mientras d ≈ σ, que es lo que ocurre en toda la serie de los gases nobles — por eso los ordena bien. En cuanto d se despega de σ, Λ deja de ser fiable y hay que volver a E₀/ε con la distancia real. La virtud de un número adimensional —no depender de los detalles— es exactamente su límite.
Una enana blanca de 0,6 M☉ tiene 8489 km de radio. ¿Cuánto pesa un centímetro cúbico de ella, y por qué no le pasa nada al enfriarse?
Solución
Su densidad media es M/(4πR³/3) = 4,7 × 10⁸ kg/m³, es decir 0,47 toneladas por centímetro cúbico. Una cucharilla de café de ese material pesaría dos toneladas y cuarto. Sirio B, con casi el doble de masa y menos radio, llega a 2,5 t/cm³: la densidad va como M/R³ y R también cambia, así que el 70 % más de masa se convierte en cinco veces más densidad.
La segunda lección es la respuesta a la segunda pregunta, y es lo que hace especial a este objeto. La presión que sostiene una estrella normal es térmica: P ∝ nkBT, así que si se enfría, se contrae, y si se contrae sin combustible, colapsa. La presión de degeneración no lleva T dentro — sale sólo de que los electrones no caben en el mismo estado y confinarlos cuesta. Una enana blanca puede enfriarse hasta el cero absoluto sin cambiar de tamaño; se apaga, pero no se hunde. Ése es el destino del Sol dentro de unos 5 000 millones de años, y el motivo de que las enanas blancas más viejas del disco galáctico sirvan de cronómetro para datarlo.