Hoja de problemas del módulo II.2

Una caja de paredes infinitas ocupa $0 \le x \le a$ con a = 1 nm y contiene un electrón. Se introduce un tabique impenetrable e infinitamente delgado en x = b, con b = 0,4 nm.

(a) El mecanismo es el del ejercicio 3 del artículo 01 —dos cajas independientes—, pero con el tabique descentrado, que es lo que lo cambia todo: escribe el espectro resultante y da los seis niveles más bajos, en electronvoltios. (b) ¿Cuánta energía cuesta introducir el tabique, si el electrón estaba en el estado fundamental y el proceso es lo bastante lento? No es la respuesta de aquel ejercicio. (c) Dos de esos seis niveles coinciden exactamente. Identifícalos y demuestra que la coincidencia no es aproximada. (d) Deduce la condición general sobre b/a para que haya coincidencias, y di qué clase de números la cumplen. (e) El artículo 02 demostró que en una dimensión los estados ligados no están degenerados. Aquí acabas de exhibir dos que sí lo están. Localiza el paso exacto de aquella demostración que falla en este sistema, y enúncialo como la hipótesis que le faltaba al teorema.

Un electrón viaja por una región con V = 0 y llega a un punto donde el potencial baja bruscamente una cantidad D: V = −D para x > 0, con D = 3 eV. Clásicamente acelera y sigue, sin más.

(a) Halla $R(E)$ y evalúalo para un electrón de 5 eV. (b) Calcula R para un electrón térmico de 25,9 meV y comenta el resultado en una frase. (c) Estudia los dos límites, E → 0 y E → ∞, y explica físicamente el primero: ¿por qué una partícula lenta rebota en un escalón que la aceleraría? (d) ¿Existe una energía que maximice R? Contesta antes de derivar nada, razonando sobre la monotonía, y sólo después compruébalo. (e) Halla la energía a la que R = 1/2, en función de D. Demuestra que el cociente D/E es un número universal —el mismo para cualquier escalón y cualquier partícula— y dalo con cuatro cifras. (f) Usando el «índice de refracción» que el ejemplo resuelto 1 del artículo 03 ya define para este mismo escalón hacia abajo, ¿a qué energía refleja lo mismo que una cara de vidrio (n = 1,5)? Y con la R de (a), ¿refleja más o menos que el vidrio a 5 eV?

Dos pozos cuánticos de GaAs de 5 nm cada uno, separados por una barrera de AlGaAs de anchura b, con $V_0 = 0{,}24$ eV y $m^{*} = 0{,}067\,m_e$ en todo el material. Es una estructura real: se fabrica así y se llama pozo cuántico acoplado.

(a) Antes de calcular nada, argumenta con la paridad del artículo 02 cuántos estados salen del nivel fundamental de un pozo aislado cuando se ponen dos, y cuál de ellos tiene menos energía. (b) Plantea las condiciones de empalme para el estado simétrico y para el antisimétrico, y obtén las dos ecuaciones trascendentes. (c) Resuélvelas numéricamente con b = 2 nm y da las dos energías y el desdoblamiento $\Delta E$, en microelectronvoltios. (d) Prepara al electrón en el pozo de la izquierda —que no es un estado propio— y calcula cuánto tarda en estar en el de la derecha, usando $T = h/\Delta E$ del módulo II.1. Da el resultado en picosegundos y la frecuencia correspondiente en gigahercios. (e) Ahora la parte que enseña. Repite (c) para b = 1, 1,5, 2, 2,5, 3 y 4 nm, representa $\ln\Delta E$ frente a b y mide la pendiente. Compárala con la κ que corresponde a la barrera. ¿Coinciden? ¿Por qué tenían que coincidir? (f) El desdoblamiento del amoníaco vale 98,4 µeV. ¿Qué anchura de barrera de esta estructura lo reproduciría, y qué conclusión sacas sobre por qué el reloj del amoníaco late en picosegundos y no en femtosegundos?

El módulo II.1 resolvió el pozo delta atractivo $V = -\alpha\,\delta(x)$ integrando la ecuación a través del origen para obtener el salto $\psi'(0^{+})-\psi'(0^{-}) = -(2m\alpha/\hbar^{2})\psi(0)$, y encontró un único estado ligado. Aquí se usa la misma condición con la delta repulsiva, $V = +\alpha\,\delta(x)$ con α > 0, que no liga nada — pero dispersa.

(a) Escribe ψ a los dos lados con una onda que llega desde la izquierda, aplica continuidad de ψ y el salto de ψ′, y obtén r y t. (b) Halla T(E) y comprueba que R + T = 1. ¿Hace falta aquí el factor de flujo del artículo 03? Explica por qué. (c) Demuestra que T no tiene ninguna resonancia: es estrictamente creciente en E. ¿Qué le falta a esta barrera que sí tienen la rectangular y el pozo del artículo 04? (d) Halla la energía a la que T = 1/2 y compárala con la energía de ligadura del pozo delta atractivo de la misma α. El resultado no es una coincidencia: explícalo. (e) Con la α = 5,43 × 10⁻²⁹ J·m que el módulo II.1 obtuvo del ion H⁻, da esa energía en electronvoltios. (f) Comprueba tu fórmula como límite de la barrera rectangular del artículo 04: toma L → 0 con $V_0L = \alpha$ constante y verifica que la T exacta tiende a la tuya. Hazlo con números, no sólo con símbolos.

Una estructura de GaAs ($m^{*}=0{,}067\,m_e$) con dos barreras idénticas de $V_0 = 0{,}30$ eV y 6 nm de anchura, separadas por un pozo de 5 nm.

La herramienta. Cada interfaz y cada tramo se puede escribir como una matriz de transferencia de 2 × 2 que lleva el par de amplitudes $(A, B)$ —la que va hacia la derecha y la que va hacia la izquierda— de un lado al otro. Un tramo de longitud d con número de onda $q$ multiplica por $\mathrm{diag}(e^{-iqd}, e^{iqd})$, y una interfaz que pasa de $q_1$ a $q_2$ multiplica por $\tfrac12\begin{pmatrix} 1+q_2/q_1 & 1-q_2/q_1\\ 1-q_2/q_1 & 1+q_2/q_1\end{pmatrix}$. Multiplicando todas en orden sale la matriz M de la estructura, y $T = |1/M_{11}|^{2}$. Dentro de una barrera, $q = i\kappa$ y todo funciona igual con aritmética compleja.

(a) Calcula T de una sola barrera de 6 nm a E = 90 meV. (b) Alguien razona: «si cada barrera deja pasar una fracción $T_1$, las dos dejarán pasar $T_1^{2}$». Da ese número. (c) Ahora calcula T de la estructura completa barriendo E entre 0 y 0,30 eV, y localiza los máximos. ¿Cuánto vale T en el primero? Compara con (b) y di por cuánto se equivoca el razonamiento. (d) ¿Por qué falla? Explícalo con lo que el artículo 04 dijo sobre las resonancias de transmisión y sobre lo que ignora la receta de multiplicar transmisiones. (e) Comprueba que las energías de los máximos coinciden con los niveles ligados del pozo de 5 nm cerrado por barreras infinitamente gruesas de 0,30 eV. (f) Mide la anchura $\Gamma$ del primer pico a media altura y obtén la vida media del estado cuasiligado con $\tau = \hbar/\Gamma$. Compárala con la estimación ingenua «frecuencia de asalto × probabilidad de salir por cada golpe», con la T de una sola barrera evaluada en la energía de la resonancia, que es donde vive el estado. (g) Este objeto es un diodo túnel resonante. Al aplicar una tensión, la energía de la resonancia baja respecto de la de los electrones que llegan del electrodo emisor, que ocupan una banda con un tope —el nivel de Fermi del módulo I.4—. Con la gráfica de (c) delante, di qué le pasa a la corriente mientras la resonancia baja dentro de esa banda y qué le pasa en cuanto la resonancia queda por debajo del fondo de la banda, y explica por qué eso es una región de resistencia diferencial negativa.

Un electrón en un potencial periódico hecho de deltas repulsivas idénticas, $V(x) = \alpha\sum_{j}\delta(x-ja)$, con a = 5 Å. Es el peine de Dirac, el modelo más simple de un cristal unidimensional, y de él sale, entera, la razón de que los sólidos tengan bandas de energía.

La herramienta que falta. En un potencial periódico, la solución no es normalizable ni periódica, pero cumple $\psi(x+a) = e^{iKa}\psi(x)$ con K real — es el teorema de Bloch, que aquí se usa sin demostrar. Basta imponerlo.

(a) Escribe ψ en la celda $0 \lt x \lt a$ como $A\operatorname{sen}(qx)+B\cos(qx)$ con $q=\sqrt{2mE}/\hbar$, impón la condición de Bloch en x = a junto con la continuidad de ψ y el salto de ψ′ del problema 4, y demuestra que

(b) El lado izquierdo vale entre −1 y 1. El derecho, no. ¿Qué significa físicamente un valor de qa para el que el lado derecho vale 1,4? (c) Con β = 10, halla numéricamente los bordes de las tres primeras bandas permitidas, en electronvoltios, y las dos primeras bandas prohibidas. (d) Comprueba dos límites: β → 0 (¿qué queda?) y β → ∞ (¿qué queda?). Da la anchura de la primera banda con β = 0,5 · 2 · 10 · 50 · 200 y describe la tendencia en una frase. (e) Demuestra que el borde superior de la primera banda vale exactamente lo mismo para todo β, y di qué sistema conocido tiene ese nivel. (f) Un cristal real tiene N celdas, no infinitas. Argumenta cuántos niveles tiene entonces cada banda, y comprueba tu respuesta resolviendo numéricamente el caso de N celdas con paredes duras en los dos extremos, para N = 1, 2, 4, 8 y 20. (g) Con esto en la mano, explica en tres frases por qué un sólido conduce o no conduce.