Hoja de problemas del módulo II.4

El ejercicio 5 del artículo 02 clasificó $A_3 = \bigl(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ en tres casillas —normal, espectro real, hermítica— y ahí la dejó. Aquí se toma su traspuesta y se le pregunta lo que aquella clasificación no pregunta: dónde están sus autovectores.

Datos. $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}\bigr)$, las matrices de Pauli $\sigma_x = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\sigma_y = \bigl(\begin{smallmatrix}0&-i\\i&0\end{smallmatrix}\bigr)$, $\sigma_z = \bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}\bigr)$. Para el apartado (e): un electrón en un anillo de perímetro L = 1,000 nm, con m = m_e; el II.2 publica que su primer modo está en 1,504 eV, cuatro veces la E₁ = 0,376 eV del pozo del mismo tamaño. La derivada se discretiza en 64 nodos equiespaciados con diferencias centradas, $(D\psi)_j = (\psi_{j+1}-\psi_{j-1})/2\,\Delta x$, y los índices se cierran en círculo.

(a) Escribe A† y di si A es hermítica. Mide cuánto no lo es con ‖A − A†‖, tomando como norma el mayor elemento en valor absoluto. ¿Puede A ser un observable? Da el nombre de lo que sí es. (b) Sus autovalores, por el polinomio característico, y compruébalos con la traza y el determinante, que tienen que devolverte su suma y su producto. Ahora los autovectores normalizados y su solape |⟨v₊|v₋⟩|. Sale ortogonal — y la parte que hay que contestar es ésta: ¿qué comprobación de una línea lo predecía antes de calcular ningún autovector? Y entonces, ¿qué le compra exactamente la hermiticidad a un observable, si no es la ortogonalidad? (c) Ahora iA: ¿es hermítica? ¿Cuál es su espectro? ¿Y sus autovectores? Compáralos uno a uno con los de A y di qué ha movido la i y qué ha dejado quieto. Identifica iA con una matriz de Pauli, y localiza sus dos autoestados en el panel del artículo 03: ¿tienen algo de particular allí? (d) Calcula A†A y A². Además de normal, A es otra cosa: dile el nombre. Con A² = −1̂, suma la serie de $e^{\theta A}$ agrupando términos pares e impares, di qué transformación del plano es y cuánto vale $e^{2\pi A}$. Escribe en una frase la regla general de la que esto es el caso 2 × 2, y señala en qué renglón del postulado V se usa. (e) La misma estructura, en grande. La matriz D del anillo es real y antisimétrica: sin diagonalizar nada, ¿qué forma tiene su espectro y qué forma tiene el de −iħD? Prueba la onda plana $\psi_j = e^{ikx_j}$ con $k = 2\pi m/L$ y obtén el autovalor exacto de la malla. Evalúalo para m = 1 en kg·m/s y compáralo con el ħk del continuo: ¿por cuánto se queda corta la malla, y en qué signo? ¿Qué le pasa a ese autovalor cuando k crece hasta el borde —qué tiene el operador discreto que el continuo no tiene—?

El ejercicio 6 del artículo 01 recortó la resolución de la identidad quitándole un término y midió lo que se perdía. Aquí no se le quita nada a la base: se cambia de base, y luego se usa una que no lo es.

Datos. En ℂ³, el estado $|\psi\rangle = (1, 1, 1)/\sqrt3$. Tres tercias:

(a) Comprueba que los $e_k$ son una base ortonormal y que cumplen $\sum_k |e_k\rangle\langle e_k| = \hat{\mathbb 1}$ —las dos cosas, porque son dos comprobaciones distintas y sólo la segunda es la resolución de la identidad—. (b) Calcula los tres $c_k = \langle e_k|\psi\rangle$ y los tres |c_k|², y después los del mismo |ψ⟩ en la base canónica $\{u_k\}$. Los dos repartos son distintos y las dos sumas valen lo mismo. Escribe en una frase qué mide entonces |c_k|² y de qué depende, y qué parte de un valor esperado se lleva la base y qué parte se lleva el estado. (c) ¿Qué ángulo forma |ψ⟩ con $e_1$, y cuál con $e_3$? Comprueba que suman 90° y explica por qué tenían que sumar eso y no otra cosa. Uno de los dos tiene nombre propio en resonancia magnética y se define por una condición de una línea sobre su coseno: encuéntrala. (d) Ahora $\{g_k\}$. Comprueba que los tres son unitarios y que generan ℂ³ —el determinante no se anula—, y calcula $\sum_k |\langle g_k|\psi\rangle|^{2}$. ¿Qué acaba de detectar Parseval, y cuál de las dos hipótesis de (a) es la que falla? Intenta reconstruir |ψ⟩ con $\sum_k \langle g_k|\psi\rangle\,|g_k\rangle$ y mide el error. Existe una tercia asociada con la que la reconstrucción sí funciona: di cómo se calcula y por qué en una base ortonormal coincide con la de partida.

Kennard es el caso en que [x̂, p̂] = iħ es un múltiplo de la identidad y la cota no depende del estado. Aquí se toma la otra pareja natural del oscilador —el número de cuantos y la posición—, cuyo conmutador es un operador, y se mira qué le pasa a la cota estado por estado.

Datos. El electrón del II.3 con x₀ = 1,000 nm: ħω = 76,20 meV, k = 12,21 mN/m, m = m_e. Del mismo módulo, $\hat x = \tfrac{x_0}{\sqrt2}(\hat a + \hat a^{\dagger})$, $\hat p = \tfrac{i\hbar}{x_0\sqrt2}(\hat a^{\dagger} - \hat a)$, $[\hat a, \hat a^{\dagger}] = 1$, $[N, \hat a] = -\hat a$ y $[N, \hat a^{\dagger}] = +\hat a^{\dagger}$ con N = a†a. Del artículo 03 de este módulo, $\sigma_A\sigma_B \ge \tfrac12|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|$ y su versión fina, que añade el término del anticonmutador.

(a) Calcula $[N, \hat x]$ usando sólo los dos conmutadores de arriba, sin escribir ninguna matriz, y déjalo en función de p̂. ¿Es hermítico ese conmutador? Deduce de ahí en qué eje del plano complejo vive ⟨[N, x̂]⟩, y por qué la cota de Robertson lleva un módulo y un medio. Escribe la cota en la forma más corta que puedas: sale una expresión con ⟨p̂⟩ dentro. (b) En el autoestado |n⟩: da $\sigma_N$, da $\sigma_x$ en nanómetros para n = 0, 1, 2, 3, 4 y 5, y da la cota. Robertson queda 0 ≥ 0. El ejercicio 2 del artículo 03 separó la saturación trivial —cota cero y producto cero— de la cota que no prohíbe nada: ¿cuál de las dos es ésta, y qué habría que enseñar para convencer a alguien de que la desigualdad aquí no dice nada? (c) El estado $(|0\rangle + i|1\rangle)/\sqrt2$, que es la mezcla al 50 % un cuarto de periodo después de $(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$. Calcula $\sigma_N$, $\sigma_x$ en nm, la cota en nm y el producto en nm. ¿Cuánto le sobra al producto sobre la cota? (d) Demuestra que ese sobrante es el más pequeño de todo el ciclo: escribe la razón producto/cota en función de ωt en forma cerrada y minimízala. ¿Se satura Robertson en algún instante? La desigualdad tiene dos maneras independientes de no ser tensa —que Cauchy-Schwarz no sature y que el anticonmutador no se anule—: en el instante de (c), calcula cuál de las dos está actuando, con el número que lo demuestre. El ejercicio 6 del artículo 03 explicó sin calcular por qué x̂ no satura en un oscilador; aquí toca ponerle la cifra.

El ejercicio 4 del artículo 01 recorrió el panel con la gaussiana desplazada, que cierra en trece términos. Aquí se desarrolla en la misma base la función más sencilla que se puede dibujar, y no cierra: converge a 1, converge despacio, y su energía media no converge.

Datos. En la variable adimensional ξ = x/x₀ del oscilador —el mismo electrón del problema 3, x₀ = 1,000 nm, ħω = 76,20 meV—, la caja

con $\psi_0 = \pi^{-1/4}e^{-\xi^{2}/2}$, $\psi_1 = \sqrt2\,\xi\,\psi_0$ y $\psi_2 = (2\xi^{2}-1)e^{-\xi^{2}/2}/\sqrt{2\sqrt\pi}$. Del artículo 01, para comparar: la gaussiana desplazada un x₀ tiene |c₀|² = 0,6065 y |c₁|² = 0,3033, y su suma llega a 1 en n = 12, con un resto de 1,2329 × 10⁻¹⁴ — que es el término de comparación que (d) necesita. Del panel, que hace falta en (d): corta en N = 12, integra sobre una rejilla de 401 nodos en ξ ∈ [−8, 8] —o sea dξ = 0,04— sumando $\psi_n f\,d\xi$ nodo a nodo, y suma la cola hasta n = 40 en vez de restarla de 1. Y un detalle suyo que hay que reproducir para contestar (d): normaliza f sobre esa misma rejilla, dividiendo por $\sqrt{\sum_i f_i^{2}\,d\xi}$, no por la norma analítica.

(a) Comprueba que f está normalizada. Di cuánto vale c₁ sin integrar nada, y por qué. Calcula c₀ por cuadratura y en forma cerrada —sale una función error—, y da |c₀|² y cuánto le falta a 1 con n ≤ 1. (b) Sigue sumando. ¿Converge Σ|c_n|² a 1? ¿A qué ritmo? Ajusta el exponente de $|c_n|^{2}\propto n^{-\alpha}$ sobre los pares, di de qué rasgo de f sale ese exponente —no es la anchura— y cuenta cuántos términos hacen falta para llegar al 99 % y al 99,5 %. Compara $\langle\xi^{4}\rangle/\langle\xi^{2}\rangle^{2}$ de la caja con el 3 de cualquier gaussiana y di qué te dice ese número sobre la forma. (c) Ahora la energía, $\langle H\rangle = \hbar\omega\sum_n |c_n|^{2}(n+\tfrac12)$. Da la suma parcial hasta n = 12 y hasta n = 4000, en meV, y di qué está pasando y con qué ley crece. Demuéstralo sin una sola función de Hermite: suaviza el borde de la caja con una rampa de anchura w y calcula ⟨p̂²⟩ en función de w. Enuncia en una frase la conclusión —hay dos conjuntos de funciones y f está en uno y no en el otro— y da además σ_x de la caja en nm: ¿es más ancha o más estrecha que el estado fundamental? (d) El panel del artículo 01 con esta f. Si se le pudiera cambiar la función y nada más: ¿qué marcaría su casilla de Σ con el corte en N = 12, y qué concluiría un lector que sólo mirase esa casilla? ¿Y qué c₀ daría su cuadratura de 401 nodos, y con qué error relativo frente al exacto de (a)? Los dos números son defectos de cosas distintas: di de qué es defecto cada uno, y cuál de los dos se arregla moviendo un mando.

El ejercicio 6 del artículo 03 preparó un oscilador en la mezcla al 50 % de sus dos primeros niveles y encontró un observable que satura Mandelstam-Tamm en todo instante: el pseudoespín $|0\rangle\langle1| + |1\rangle\langle0|$, que dentro de ese plano es $\hat\sigma_x$. Aquí se rompe la simetría de los pesos, y con ella se mueve el observable que satura.

Datos. El mismo electrón de los problemas 3 y 4: x₀ = 1,000 nm, ħω = 76,20 meV, k = 12,21 mN/m, $E_n = \hbar\omega(n+\tfrac12)$. El estado es

Del artículo 03, $\tau_B \equiv \sigma_B/|d\langle B\rangle/dt| \ge \hbar/2\sigma_E$, la condición de saturación en un qubit —$\langle\hat\sigma_x\rangle\langle\hat\sigma_z\rangle = 0$ para la pareja $(\hat\sigma_z, \hat\sigma_x)$— y, para comparar en (c) y en (d), la mezcla al 50 % de los dos primeros niveles del pozo de 1 nm: ΔE = 1,128 eV, σ_E = 0,564 eV, cota 0,583 fs, batido T = h/ΔE = 3,666 fs = 2πτ y un mínimo de τ_x de 1,262 cotas. En todo el módulo ħ = 0,658212 eV·fs y h = 4,13567 × 10⁻¹⁵ eV·s.

(a) Calcula ⟨H⟩ y la dispersión de energía σ_E en meV, por dos caminos que no compartan cuenta —la media pesada de los dos niveles y $\sqrt{\langle H^{2}\rangle - \langle H\rangle^{2}}$—, y da la cota de Mandelstam-Tamm en femtosegundos. Escribe también ⟨H⟩/ħω y σ_E/ħω como fracciones exactas: las dos son bonitas y la segunda lleva una raíz. (b) Dentro del plano de |0⟩ y |1⟩ esto es un qubit con $\hat H = \bar E + \tfrac{\hbar\omega}{2}\hat\sigma_z$. Sitúa el estado en la esfera de Bloch en t = 0 y comprueba que el pseudoespín del artículo 03 —el $\hat\sigma_x$ del plano— ya no satura. Encuentra el observable del plano que sí lo hace en t = 0, escríbelo en la base de |0⟩ y |1⟩ e identifícalo con un operador físico del oscilador: no es la posición, y tampoco es exactamente el momento. Di qué le falta al momento de verdad para ser ése. (c) Ponle cifra a lo que el artículo 03 dejó dicho de palabra. Calcula el mínimo sobre el ciclo de $\tau_x = \sigma_x/|d\langle x\rangle/dt|$ en femtosegundos y en unidades de la cota, y di qué porcentaje le sobra a la posición. Explica el mecanismo con un número, y sin derivar nada: descompón x̂|ψ⟩ en la parte que vive en el plano de |0⟩ y |1⟩ y la que se ha ido al nivel n = 2, y saca de ahí el mismo cociente que acabas de medir. ¿Le pasa lo mismo al momento entero, y por qué? (d) Compara la cota de (a) con los 0,583 fs de la mezcla del pozo. ¿Cuál es más larga, por qué factor, y qué magnitud fija ese factor? Un lector escribe «el pozo va más deprisa porque es más pequeño»: corrígelo con la magnitud que de verdad manda, y di qué tendría que cambiarse del oscilador —y en qué proporción— para igualar las dos cotas.

El ejercicio 5 del artículo 04 midió σ_z y luego σ_x sobre una superposición, y encontró cuatro parejas al 25 %. Ese caso es un extremo: aquí se pide la familia entera de la que es el extremo, y después lo que ocurre cuando el extremo se recorre a pasos pequeños.

Datos. Un qubit preparado en |0⟩, autoestado de σ_z con autovalor +1. Se mide primero

sin mirar el resultado, y después σ_z. Del artículo 04, el postulado III —$p(a) = \|P_a|\psi\rangle\|^{2}$— y el postulado IV, que deja el estado en $P_a|\psi\rangle/\|P_a|\psi\rangle\|$. Para el apartado (b), un hamiltoniano $\hat H = (\varepsilon/2)\hat\sigma_x$ y otro $\hat H = (\varepsilon/2)\hat\sigma_y$, aplicados entre las dos medidas durante un tiempo t.

(a) Calcula P(z = +1) al final, en función de θ, aplicando IV a cada rama y sumando las dos contribuciones. Evalúala en θ = 30°, 45°, 60° y 75°. ¿Dónde es máximo el daño, y cuánto vale? Comprueba que θ = 0° y θ = 90° reproducen los dos casos que el artículo 04 ya tiene, y di cuál es cuál. (b) Con θ = 90°, deja pasar un tiempo t entre las dos medidas bajo H ∝ σ_x. ¿Cambia P(z = +1)? Ahora bajo H ∝ σ_y: calcula las dos probabilidades condicionadas a cada resultado de la primera medida, en función de φ = εt/ħ, y vuelve a sumar. La respuesta débil a este apartado es «no cambia porque el estado es autoestado de H»; la fuerte es otra y es mucho más fuerte. Enúnciala, y di qué la protege — qué propiedad de las dos ramas hace que sus inclinaciones se cancelen exactamente. (c) La vuelta de tuerca. En vez de una medida a 90°, haz N medidas escalonadas, la k-ésima a θ_k = kπ/2N, y llévate sólo la cadena en la que todas dan +1. Calcula la probabilidad de esa cadena en forma cerrada y evalúala para N = 1, 2, 5, 10 y 100. ¿Hacia dónde tiende con N → ∞, y en qué estado acaba el sistema? Esto tiene nombre, y el glosario lo trae con su versión óptica —una pila de polarizadores—. El factor que separa las dos versiones es el medio ángulo de la esfera de Bloch: un giro de Δθ en la esfera mueve el estado Δθ/2. Con eso como dato, comprueba tu fórmula contra los tres porcentajes ópticos que el glosario publica y explica por qué N = 2 no da el 25 % que dan dos polarizadores cruzados por la mitad. (d) Con las tres partes delante, escribe qué postulado es el responsable de cada cosa: del daño de (a), de la invariancia de (b) y del arrastre de (c). Y contesta a esto: ¿es «medir perturba» un enunciado del formalismo? Si lo es, di dónde está escrito; si no lo es, di qué lo sustituye y qué predice de más.