Todo número complejo. Ése es el conjunto de autovalores del adjunto de p = −iħ d/dx en un intervalo de 1 nm con paredes duras: se le probaron 200 valores de z repartidos por el plano y el residuo relativo ‖p*φz − zφz‖/‖φz‖ no pasó de 2,3 × 10⁻¹¹ en ninguno, con álgebra simbólica confirmando aparte que la simplificación da cero exacto. Y p, el mismo operador, no tiene ni un autovector, porque |eipx/ħ| = 1 en todo punto y ninguna de sus soluciones se anula en las paredes. El II.4 demostró que hermítico implica autovalores reales; aquí hay un operador hermítico cuyo adjunto tiene el plano complejo entero y que él mismo no tiene ninguno. La palabra que falta es autoadjunto, y lo que la separa de «hermítico» es el dominio.
En [0, L] el momento no es un operador: es una familia de circunferencia entera, una por cada fase de ψ(L) = eiαψ(0), con L = 1 nm. El segundo botón cambia a Dirichlet, que no es ninguna de ellas.
Arriba, pn en unidades de 10⁻²⁵ kg·m/s; abajo, la energía cinética correspondiente.
α = 0: condiciones periódicas, el anillo del II.2. Las dos agujas apuntan al mismo sitio, el nivel n = 0 tiene momento cero y energía cero, y los modos ±n quedan degenerados dos a dos. Las cifras de esta columna las publica ya el II.2 en su tabla: 1,504 eV frente a los 0,376 eV del pozo de paredes duras del mismo nanómetro, cuatro veces más.
El término de borde, y cuánto vale cuando no se anula
Todo el artículo sale de una integración por partes de tres renglones. Con p = −iħ d/dx sobre un intervalo [0, L] y dos funciones cualesquiera con derivada de cuadrado integrable,
El segundo sumando es el que se quiere. El primero es el término de borde: un residuo que vive sólo en los dos extremos y no sabe nada de lo que pasa dentro, y es la magnitud entera del problema de este módulo: p es hermítico —simétrico, en el vocabulario del II.4— si y sólo si ese corchete se anula para todo par de funciones que uno decida admitir. Es decir: la hermiticidad de p no es una propiedad de p. Es una propiedad del conjunto de funciones sobre el que se le deja actuar.
Conviene ver que el corchete no es un tecnicismo que siempre valga cero, así que primero un par que no cumple nada. Con φ = 1 + x² y ψ = x − 3x³ en el intervalo unidad y con ħ = L = 1, la diferencia ⟨φ|pψ⟩ − ⟨pφ|ψ⟩ es imaginaria pura —las dos funciones son reales— y su módulo vale 4. No es pequeño ni es ruido: es del tamaño de los propios productos escalares. Con φ = e2x y ψ = cos 3x el mismo módulo sale 8,3151, que es |e²cos 3 − 1|. Los cinco pares del guion cruzan la cuadratura contra la fórmula del corchete término a término y la peor discrepancia relativa entre los dos caminos es 7,6 × 10⁻¹³: el corchete no es una manera de hablar, es un número que se puede medir de dos formas y coinciden en doce cifras.
Y ahora tres maneras de matarlo, que son tres dominios distintos:
| Condición sobre las dos funciones | Corchete medido | Nombre |
|---|---|---|
| φ(0) = φ(L) = ψ(0) = ψ(L) = 0 | 3,0 × 10⁻³² | Dirichlet |
| φ(L) = φ(0) y ψ(L) = ψ(0) | 7,3 × 10⁻¹⁶ | periódica |
| φ(L) = −φ(0) y ψ(L) = −ψ(0) | 0 exacto | antiperiódica |
| ninguna | 4 | — |
La antiperiódica merece un segundo de atención porque enseña el mecanismo: el corchete lleva φ* y ψ, y los dos cambian de signo a la vez, de modo que el producto (−1)*(−1) = 1 devuelve el mismo valor en los dos extremos y la resta los cancela. Ése es exactamente el motivo por el que el signo menos vale y, como se verá, por el que valen también todas las fases intermedias.
p saca del dominio: la cuenta con L = 1 nm
Tomemos el dominio de Dirichlet, que es el del pozo de paredes duras del II.2, y pongámosle un número: un electrón en L = 1 nm, en el estado fundamental ψ(x) = sin(πx/L), que es el fundamental salvo el factor de normalización. Se anula en las dos paredes como manda el problema y está en el dominio. Aplíquele p:
El coseno no se anula en los extremos: vale 1 en x = 0 y −1 en x = L. En módulo, el guion mide por álgebra simbólica |(pψ)(0)| = |(pψ)(L)| = 3,313 × 10⁻²⁵ kg·m/s, que es ħπ/L a 1 nm con una discrepancia relativa de 1,4 × 10⁻¹⁶ entre los dos caminos. Los signos son opuestos —el cociente con ∓iħπ/L da 1 en los dos extremos— y su suma es cero exacto.
Léalo despacio, porque es la frase del artículo: ψ está en el dominio y pψ no. El operador saca del sitio donde estaba definido. Y no un poco: la función de salida incumple la condición de contorno con el valor máximo que puede tener, el del propio coseno en su cresta.
La consecuencia inmediata es que p² no es p aplicado dos veces sobre este dominio. Para calcular p(pψ) haría falta que pψ estuviera en D(p), y no lo está, así que la composición no está definida ni en el estado fundamental del pozo más corriente del curso. El operador de segundo orden −ħ² d²/dx² sí está definido ahí, y de él salen las energías del II.2 sin ningún problema; lo que no es cierto es que sea el cuadrado del operador p que acabamos de escribir. Dos operadores pueden coincidir como expresión diferencial y no coincidir como operadores, y el sitio donde se separan es el dominio.
Por qué esto no se puede ver con una matriz. El II.4 lo dejó escrito, y con estas palabras: «una matriz N × N está definida en todo ℂN, y su adjunta también: los dos dominios coinciden por construcción y no puede haber diferencia entre simétrico y autoadjunto. Discretizar no resuelve el problema del dominio, lo borra junto con la condición de contorno que lo causaba». Ahí se ve por qué: la frase «pψ no cumple la condición que ψ cumplía» no tiene traducción a una rejilla, porque una rejilla no tiene condición que incumplir. Todo lo que este artículo afirma sobre dominios está medido con cuadraturas sobre funciones y con álgebra simbólica. La única diagonalización aparece más abajo, dando un espectro por un segundo camino, que es lo único para lo que sirve.
El adjunto vive en un dominio mayor, y ahí caben todos los autovalores
El adjunto se define como en el II.4: D(p*) son las φ para las que la aplicación ψ ↦ ⟨φ|pψ⟩ se puede escribir como ⟨η|ψ⟩ con algún η del espacio. Y aquí ocurre lo que rompe la analogía con las matrices. Si ψ ya cumple Dirichlet, el corchete se anula sea cual sea φ, porque ψ pone los dos ceros sin ayuda de nadie. Luego para que φ esté en D(p*) basta con que φ′ sea de cuadrado integrable: ninguna condición de contorno.
El adjunto es la misma expresión diferencial sobre un dominio más ancho, y lo que sobra son exactamente dos números complejos: los valores φ(0) y φ(L), que en D(p) estaban obligados a cero y en D(p*) son libres. Ésa es toda la distancia entre simétrico y autoadjunto en este ejemplo, y se cuenta con los dedos.
Con el dominio ancho, la ecuación de autovalores −iħφ′ = zφ tiene solución para cualquier z, y la solución es φz(x) = eizx/ħ. En un intervalo acotado esa función es suave y acotada para todo número complejo z, de modo que está en L² y su derivada también, y por tanto está en D(p*). El guion lo mide sobre 200 valores de z repartidos por el plano: el peor residuo relativo es 2,3 × 10⁻¹¹, que es el listón de la rejilla, y por un segundo camino sin código común el álgebra simbólica simplifica −iφ′ − zφ a cero exacto para z genérico.
El contraste es lo que hay que llevarse. Un operador hermítico tiene, según el II.4, autovalores reales — y aquí el adjunto los tiene todos, reales y complejos. Mientras tanto p, sobre su dominio de Dirichlet, no tiene ninguno: si pψ = λψ con λ real, entonces ψ ∝ eiλx/ħ, cuyo módulo vale 1 en todo punto —medido, mínimo 1 sobre toda la rejilla y todo λ real— y por tanto no puede anularse en las paredes. El espectro puntual de p es vacío; el de p*, el plano entero. Con D(p) = D(p*) eso sería imposible, y por eso la palabra «autoadjunto» no es un sinónimo culto de «hermítico».
Problema. Sea p = −iħ d/dx en [0, L] con el dominio de Dirichlet.
- Demuestra que toda φ con derivada de cuadrado integrable está en D(p*), sin pedirle nada en los extremos.
- Resuelve p*φ = zφ para z complejo y explica por qué la solución está en L² para todo z.
- Toma z = (1 + i)ħ/L —parte imaginaria igual a la real— y calcula ‖φz‖² y el cociente |φz(L)|²/|φz(0)|².
- ¿Cuántos autovectores tiene p con Dirichlet?
Solución. (a) De la integración por partes de la primera sección, ⟨φ|pψ⟩ = −iħ[φ*ψ]₀L + ⟨pφ|ψ⟩. Con ψ en D(p) se tiene ψ(0) = ψ(L) = 0, así que el corchete se anula cualquiera que sea φ, y queda ⟨φ|pψ⟩ = ⟨pφ|ψ⟩ = ⟨η|ψ⟩ con η = −iħφ′. La única exigencia que queda es que ese η sea un vector del espacio, o sea que φ′ sea de cuadrado integrable. El renglón donde se usa la condición de contorno es el corchete, y la usa de ψ, no de φ: por eso φ queda libre. Medido: con las dos funciones en Dirichlet el corchete vale 3,0 × 10⁻³².
(b) −iħφ′ = zφ se integra directamente:
En un intervalo acotado esa exponencial real está entre e−zIL/ħ y 1, o sea acotada por arriba y por abajo, y una función acotada en un intervalo de longitud finita siempre es de cuadrado integrable. Ahí está toda la diferencia con la recta entera: en [0, L] no hay ningún sitio adonde la exponencial pueda irse a infinito. Medido sobre 200 valores de z, el peor residuo relativo es 2,3 × 10⁻¹¹.
(c) Con z = (1 + i)ħ/L, φz(x) = eix/Le−x/L y por tanto |φz(x)|² = e−2x/L. Integrando,
que es finito, como tenía que ser. Y el cociente entre los extremos vale e−2 = 0,1353: la función es siete veces y media más pequeña en un extremo que en el otro y sigue siendo un vector legítimo del espacio. Ese 0,43233 no es un número de adorno — es la misma integral que en la sección siguiente decide los índices de defecto.
(d) Ninguno. Si pψ = λψ dentro de D(p), la solución es ψ ∝ eiλx/ħ, de módulo constante 1, y una función de módulo constante no vale cero en ninguna parte, mucho menos en las dos paredes. El guion lo mide como propiedad: el mínimo de |eipx/ħ| sobre la rejilla y sobre todo p real es 1, con discrepancia 1,1 × 10⁻¹⁶.
Resultado. Lo que este ejemplo enseña no es que p tenga un espectro raro: es que p y p* son operadores distintos, y que el catálogo de sus autovalores lo dice a gritos —vacío frente al plano complejo entero— aunque los dos se escriban con los mismos siete caracteres. Un enunciado del tipo «sustituye el momento por −iħ∂x» no ha terminado de definir un operador: falta decir sobre qué funciones, y esa segunda mitad es la que decide si hay observable. El II.4 podía permitirse no decirlo porque en ℂN los dos dominios son el espacio entero; aquí no.
Los índices de defecto: (1,1) en el intervalo, (1,0) en la semirrecta
Que D(p) sea más pequeño que D(p*) no condena a p: puede que exista un dominio intermedio en el que los dos coincidan, y ése sería un operador autoadjunto de verdad. La pregunta de si existe, y de cuántos hay, tiene una respuesta que se calcula, y se calcula contando soluciones normalizables de dos ecuaciones. Se miran los autovectores de p* con autovalor ±i por una unidad de momento —tómese ħ/ℓ con ℓ una longitud del problema— y se cuenta cuántos de ellos son de cuadrado integrable:
El par de números (n₊, n₋) son los índices de defecto, y la regla es corta: hay extensiones autoadjuntas si y sólo si los dos coinciden, y entonces forman una familia parametrizada por las matrices unitarias n × n. La razón es la que ya se ha contado con las manos: extender el operador es emparejar lo que sobra de un lado con lo que sobra del otro, y no se puede emparejar lo que no tiene pareja.
En [0, L] la cuenta sale (1,1). Las dos exponenciales viven en un intervalo acotado, así que las dos tienen norma finita. Con ℓ = L = 1 la cuadratura da ‖e−x‖² = 0,43233 y ‖e+x‖² = 3,1945, cruzadas contra (1 − e−2R)/2 y (e2R − 1)/2 con discrepancias de 0 y 1,4 × 10⁻¹⁶. Los dos números son distintos y a nadie le importa: lo que se cuenta es cuántos son finitos, y son dos. Uno y uno: un círculo U(1) de extensiones autoadjuntas, que es la familia de la sección siguiente.
En la semirrecta (0, ∞) la cuenta sale (1,0), y eso es fatal. Ahí e−x sigue teniendo norma finita —la cuadratura da 1/2, contra el valor cerrado, con discrepancia 1,1 × 10⁻¹⁶— y e+x no la tiene de ninguna manera. La forma honrada de decir «no está en L²» no es citar un teorema, es medir el ritmo al que se escapa: al alargar el intervalo una unidad la norma al cuadrado se multiplica por e² = 7,3891, medido en dos escalones independientes, en R = 10 y en R = 11, con discrepancias de 1,8 × 10⁻⁹ y 2,4 × 10⁻¹⁰ contra el valor cerrado. En R = 12 las dos normas al cuadrado son 0,5 frente a 1,3 × 10¹⁰, y la segunda no está convergiendo a nada.
Índices (1,0): sobra una dimensión de un lado y no hay nada del otro con que emparejarla. No existe ninguna extensión autoadjunta del momento en una semirrecta. No es que la habitual sea mala o que haya que elegir con cuidado; es que no hay. Y la lectura física es mucho menos exótica de lo que parece: una partícula en un semieje no tiene operador de momento porque trasladarla hacia la izquierda la saca del mundo, y el momento es el generador de las traslaciones. La irreversibilidad de esa pérdida es la asimetría entre 1 y 0. El hamiltoniano, en cambio, sobrevive en la semirrecta, porque es de segundo orden y no distingue izquierda de derecha; de ahí que un problema radial tenga energías y no tenga momento radial.
El círculo de extensiones y su espectro
Volvamos al intervalo, donde sí hay extensiones. Si se somete a las dos funciones a la misma regla ψ(L) = c ψ(0), el corchete deja de depender de la fase de c y pasa a depender sólo de su módulo, porque una de las dos funciones entra conjugada y la otra no. La condición que lo anula es entonces |c| = 1, o sea c = eiα con α real; la cuenta cabe en una línea, tiene una consecuencia física que conviene ver, y las dos cosas las hace el ejercicio 1. Cada α del círculo [0, 2π) da un dominio distinto, y sobre cada uno p sí es autoadjunto:
Las autofunciones son eipnx/ħ/√L, y la condición de contorno se traduce en eipnL/ħ = eiα, o sea pnL/ħ = 2πn + α. El guion no se fía de la manipulación: integra la ecuación diferencial desde x = 0 con un método de disparo, mira el valor complejo que sale en x = L y lo compara con cos α y sen α, apartado por apartado, para cuatro fases —0, π, 1 y 2,5 rad— y cuatro modos cada una; luego busca la raíz con un algoritmo de intervalos y la contrasta con la fórmula cerrada. Las 32 comprobaciones del disparo pasan, y las cuatro raíces coinciden con ħ(2πn + α)/L con discrepancias relativas de 5,0 × 10⁻¹⁵.
Con un número: para α = 0 y L = 1 nm, el primer momento no nulo es p₁ = 2πħ/L = h/L = 6,626 × 10⁻²⁵ kg·m/s, que es la constante de Planck dividida por un nanómetro y se puede comprobar a ojo contra la tabla de constantes.
Tres cosas de esta familia merecen decirse, y ninguna es evidente:
- α traslada el retículo entero y no lo deforma. La separación entre autovalores consecutivos es 2πħ/L para toda α: el espectro se desliza rígidamente al girar la fase. Por eso el panel de arriba dibuja el mismo peine moviéndose, y no un peine que se abre.
- Son operadores distintos, no un operador con un parámetro libre. p0 y pα son la misma expresión diferencial sobre dominios diferentes, y sus espectros no comparten ni un punto salvo α = 0. «El momento en una caja» no nombra un observable: nombra una familia de circunferencia entera de observables.
- Dirichlet no está en la familia. Se ve con lo que ya tenemos: si ψ(0) = 0, entonces eiαψ(0) = 0 también, así que Dirichlet no es un caso particular de ψ(L) = eiαψ(0) sino una condición de las dos, que es una más de las que caben. Y con dos condiciones el dominio se queda por debajo de D(p*) en las mismas dos dimensiones de antes.
Ese α no es un parámetro de papel. En el anillo del II.2 es la fase que acumula la función de onda al dar una vuelta, y el artículo 01 de ese módulo ya publica que un flujo magnético que atraviese el anillo desplaza el espectro exactamente así. Lo que allí era un efecto físico concreto, aquí es la respuesta a una pregunta de estructura: la familia de extensiones autoadjuntas es la familia de flujos, y el U(1) de los índices de defecto es el mismo U(1) de la fase electromagnética. Dos cuentas que no se parecen en nada dan el mismo círculo.
Las energías, y qué dice de verdad el cociente 4
Hasta aquí no ha aparecido ninguna matriz, y era a propósito. Ahora sí, y sólo para lo que sirve: calcular un espectro por un segundo camino. El guion discretiza el intervalo, monta la matriz de diferencias finitas del operador de segundo orden con cada condición de contorno y extrapola a paso cero con Richardson, y compara el resultado con la fórmula cerrada. Para el primer modo periódico de 1 nm sale E = 1,504 eV con una discrepancia relativa de 2,0 × 10⁻¹¹ contra (2πħ/L)²/2m, y su pareja degenerada —el modo que gira al revés— da el mismo valor con 1,6 × 10⁻¹³. Para el pozo de Dirichlet del mismo intervalo, E₁ = 0,376 eV. Cociente 4, con las dos energías diagonalizadas y una discrepancia de 8,3 × 10⁻¹⁰; y (2π/π)² = 4 es álgebra, no una medida.
Ese cociente 4 no es nuevo y no se estrena aquí: la tabla del II.2 lo publica en su fila «cuatro veces más», y el II.1 imprime las mismas dos cifras al hablar del pozo. Lo que este artículo puede añadir es qué significa, y el camino más corto es una coincidencia que el guion mide: 1,504 eV es también E₂ del pozo de Dirichlet, no sólo el primer modo del anillo. Recalculadas por separado, las dos coinciden con discrepancia 1,5 × 10⁻¹⁶, y coinciden porque las dos tienen k = 2π/L. Es decir: la «sorpresa» del cociente 4 no dice que el anillo tenga más energía que el pozo. Dice que algunos autovalores de dos operadores autoadjuntos distintos caen en el mismo sitio, porque los dos son la misma expresión diferencial y lo único que los separa es qué números de onda deja pasar cada dominio. El pozo se queda con los múltiplos de π/L; el anillo, con los pares.
Y hay algo que sólo se ve con α continuo, que es lo que este módulo añade al II.6: entre esas dos rejillas hay un camino, y las energías lo recorren sin saltos. La tabla siguiente lleva tres fases y los tres niveles más bajos del anillo torcido de 1 nm, cada uno diagonalizado y cruzado contra ħ²(2πn + α)²/2mL²:
| α (rad) | nivel 0 (eV) | nivel 1 (eV) | nivel 2 (eV) | peor discrepancia |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 exacto | 1,5041 | 1,5041 | 2,1 × 10⁻¹¹ |
| 0,7 | 0,018669 | 1,1876 | 1,8579 | 1,7 × 10⁻⁹ |
| 2 | 0,15240 | 0,69897 | 2,6141 | 2,0 × 10⁻¹⁰ |
La primera fila es el anillo del II.2, con su nivel cero permitido y su degeneración doble, y el guion mide ese cero como cero: E₀/E₁ = 2,1 × 10⁻¹¹. Las otras dos son operadores que no están en ningún artículo del sitio. Y enseñan lo que hacía falta enseñar: en cuanto α deja de ser 0, el nivel más bajo se despega del cero —18,7 meV con α = 0,7 rad— y la degeneración se rompe. El motivo es que el retículo de momentos sigue siendo simétrico respecto de su centro, p = ħα/L, mientras que la energía se mide desde p = 0: en cuanto los dos centros dejan de coincidir, el modo que gira a favor y el que gira en contra dejan de tener el mismo |p|. El estado fundamental de un anillo puede tener energía cero o no tenerla, con la misma ecuación y el mismo perímetro. Lo que decide es el dominio.
Lo que este artículo no ha demostrado. Que exista un círculo de extensiones se ha contado, no demostrado: la fórmula de von Neumann que empareja los espacios de defecto con una unitaria es un teorema que este módulo usa y no prueba, igual que el II.4 usaba el teorema espectral chico sin probarlo. Tampoco se ha dicho qué es el espectro de un operador autoadjunto cuando no está hecho de autovalores: p en toda la recta es el caso extremo: sus «autofunciones» eipx/ħ tienen módulo 1 en todo punto y por tanto no son de cuadrado integrable en ℝ, de modo que ahí no hay ni un autovector dentro del espacio. Si eso es o no un defecto del operador lo decide el conteo del ejercicio 2; lo que hay en su lugar es el espectro continuo, y es el artículo 02.
Y un límite del propio ejemplo. Todo lo de arriba trata operadores de primer orden en un intervalo, donde los índices son (1,1) o (1,0) y la aritmética cabe en una línea. Con el hamiltoniano la historia es más rica: el corchete tiene dos términos —φ*ψ′ y (φ′)*ψ— en vez de uno, los índices pueden ser (2,2), y entre las extensiones hay una distinguida, la de Friedrichs, que es la que conserva la cota inferior cuando existe. Que exista una elección canónica ahí y no la haya para p no es casualidad: es exactamente la diferencia entre un operador que viene de una forma cuadrática acotada por abajo y uno que no.
Ejercicios
Sea p = −iħ d/dx en [0, L] y considérese el dominio de las ψ que cumplen ψ(L) = c ψ(0), con c un número complejo fijo.
- Escribe el término de borde para dos funciones de ese dominio y simplifícalo.
- Demuestra que se anula para todo par si y sólo si |c| = 1.
- Evalúalo con c = 2 y con c = 1/2, y usa el resultado para decir qué le pasa a la norma de ψ cuando p la transporta.
- ¿Qué α le corresponde a c = −1, y qué le ocurre al espectro respecto de c = 1?
- Si ψ está en D(pα), ¿está pψ también? Compáralo con lo que pasa en Dirichlet y di, en cada uno de los dos casos, si p² se puede calcular como p aplicado dos veces.
Solución
(a) Con ψ(L) = cψ(0) y φ(L) = cφ(0), el corchete vale −iħ[φ*(L)ψ(L) − φ*(0)ψ(0)] = −iħ(|c|² − 1)φ*(0)ψ(0). Toda la dependencia en c se ha reducido a |c|²: la fase de c se cancela entre φ* y ψ, porque una la lleva conjugada.
(b) Se anula para todo par si y sólo si |c|² = 1, o sea c = eiα. Ahí está el círculo, deducido y no citado: la familia de extensiones autoadjuntas es U(1) porque el corchete sólo ve el módulo, y el módulo deja libre la fase.
(c) Con c = 2 el corchete vale −3iħφ*(0)ψ(0), que no es cero salvo que ψ o φ se anulen en el origen; con c = 1/2 vale +(3/4)iħφ*(0)ψ(0). Los signos son opuestos, y ahí está la lectura física. p es el generador del transporte, o sea de ∂ψ/∂t = −v ∂ψ/∂x, y para esa evolución
Con c = 2 el intervalo pierde norma y con c = 1/2 la gana: por un extremo sale más de lo que entra por el otro. Conservar la probabilidad y ser autoadjunto son la misma condición escrita dos veces, y |c| = 1 es esa condición. Segunda lección: el término de borde no es el residuo de una integración por partes, es el flujo por los extremos.
(d) c = −1 es α = π, la condición antiperiódica, que es la tercera fila de la tabla de la primera sección: el corchete vale cero exacto porque (−1)*(−1) = 1. Respecto de c = 1 el espectro entero se desplaza en πħ/L, que es media separación, sin cambiar la separación. Y un corolario que conviene fijar: cambiar la condición de contorno no puede alterar el espaciado del espectro de p, sólo su origen — porque el espaciado lo fija L y el origen lo fija α.
(e) Sí. Basta mirarlo en una autofunción: si ψn cumple ψ(L) = eiαψ(0), entonces pψn = pnψn es la misma función multiplicada por un número, así que cumple la misma condición; y como las ψn generan el dominio, p no saca de D(pα). Luego ahí p² sí es p∘p, con espectro pn² y ni un cabo suelto. En Dirichlet no: la cuenta de la segunda sección da |(pψ)(0)| = |(pψ)(L)| = 3,313 × 10⁻²⁵ kg·m/s con el fundamental de 1 nm, o sea que pψ incumple la condición y la composición no está definida. Y ésta es la lección que separa este módulo del II.4: estar bien definido no es una propiedad de la fórmula del operador, y dos dominios sobre la misma fórmula pueden diferir en si un producto de operadores existe.
Repítase el conteo de la sección cuarta en dos dominios más.
- En toda la recta ℝ, ¿cuáles de e−x/ℓ y e+x/ℓ son de cuadrado integrable, y cuáles son entonces los índices de defecto de p?
- En la semirrecta izquierda (−∞, 0], ¿cuánto salen? Compara con el (1,0) de (0, ∞) y explica el intercambio.
- Para cada uno de los cuatro casos ya vistos —ℝ, (0, ∞), (−∞, 0] y [0, L]— di cuántas extensiones autoadjuntas hay: ninguna, una o un círculo.
- Un compañero razona: «p en ℝ no tiene ningún autovector en L², luego tampoco es autoadjunto». Refútalo.
Solución
(a) Ninguna de las dos. e−x/ℓ converge por la derecha y diverge por la izquierda, y e+x/ℓ al revés; en la recta entera cada una tiene un lado que la mata. Los índices son (0,0). La medida de la sección cuarta ya lo dice indirectamente: la norma al cuadrado de la exponencial creciente se multiplica por e² = 7,3891 por cada unidad de longitud añadida, sin parar.
(b) (0,1): en (−∞, 0] la que sobrevive es e+x/ℓ y la que se escapa es e−x/ℓ, exactamente al revés que en (0, ∞). El intercambio es el cambio de variable x → −x, que también cambia el signo de p, y por eso permuta n₊ con n₋. Tampoco hay extensión autoadjunta ahí, por la misma razón: 0 ≠ 1.
(c) ℝ con (0,0): una sola extensión, que es el propio operador —ya es esencialmente autoadjunto, no hay nada que elegir—. (0, ∞) con (1,0) y (−∞, 0] con (0,1): ninguna. [0, L] con (1,1): un círculo, la familia α del artículo. La tabla completa se lee como una frase: el momento existe cuando no hay borde o cuando hay dos que se pueden emparejar, y no existe cuando hay uno solo.
(d) La premisa es cierta y la conclusión no se sigue. p en ℝ no tiene autovectores en el espacio —las ondas planas tienen módulo 1 y no son de cuadrado integrable en toda la recta— y sin embargo sus índices son (0,0), así que es autoadjunto y único. Segunda lección, y es la que abre el artículo siguiente: «ser autoadjunto» y «tener autovectores» son propiedades independientes. La primera se decide contando soluciones normalizables de p*φ = ±iħφ/ℓ; la segunda, mirando p*φ = λφ con λ real. Un operador puede tener las dos, ninguna, o —como p en el intervalo con Dirichlet— ser simétrico, no autoadjunto y no tener ni un autovector.