0,75 y 0,25. Son las dos respuestas que dan las dos fórmulas que se confunden en este tema —cos²(θ/2) y cos²θ— para un espín ½ analizado a 60°, y el artículo 02 publica las dos. Míralas: están las dos entre 0 y 1, las dos son probabilidades perfectamente presentables, y ninguna de las dos es absurda. Ése es el rasgo que hace peligroso al error de este módulo y no a otros: aquí un factor perdido no produce un disparate, produce un número creíble. El mismo mecanismo, con otros disfraces, aparece cinco veces más en esta hoja: un factor de conversión entre frecuencia angular y frecuencia, un exponente que es 3 y no 2, un espín nuclear que no es ½ y cambia el peso del acoplamiento, una masa que no es la que se usó la vez anterior, y una raíz que convierte un 1 % en algo muy distinto de la décima parte de un 1 %. Ninguno de los seis se caza releyendo.
La segunda brújula, y es la herramienta del módulo. Todo lo que hay aquí sale de una sola estructura: tres operadores que cumplen . De ella salen el coeficiente de la escalera, las matrices de cualquier j, la rotación a mitad de ángulo, los coeficientes de acoplamiento y el tamaño de una raya de radio en el cielo. El artículo 01 lo demuestra con ℓ = 1, el 02 lo usa con j = ½, el 04 con ½ ⊗ ½ y con 1 ⊗ ½. En esta hoja se aplica a los casos que no se trabajaron: j = 3/2, el otro multiplete del 2p, y un núcleo con espín 1. Si la herramienta está aprendida, cambiar de caso no cuesta nada; si lo que se aprendió fue el resultado, no hay por dónde empezar.
La tercera: un número que sobra tiene nombre o no vale nada. El artículo 04 termina su cuenta más ambiciosa a 56 ppm de la medida y dedica un párrafo a decir qué son esos 56 ppm. Tres problemas de esta hoja acaban igual, con un resto, y en los tres se pide lo mismo: no «¿coincide?», sino cuánto sobra y de qué está hecho. Y su gemela, que el artículo 02 enuncia con todas las letras: una tolerancia no es una medida. El margen que un experimentador publica es una afirmación sobre el mundo y se cita; el umbral con el que un programa decide si dos números coinciden no es una afirmación sobre nada.
De fuera del módulo, sólo una cifra: del II.5, artículo 03, que el deuterio tiene md/me = 3670,483 y que sus rayas van al azul en 1 − μH/μD = 2,7203 × 10⁻⁴. El problema 6 la usa, y por un camino que el II.5 no recorre.
Herramienta: los seis se hacen a mano, con calculadora de seis cifras en el 2, el 3 y el 6 — tres no bastan aquí, y el ejercicio 3 del artículo 03 enseña por qué.
El artículo 01 deduce el coeficiente de la escalera y lo ilustra en ℓ = 1; el artículo 02 escribe la representación j = ½, que son las matrices de Pauli. Entre las dos queda un hueco que ningún artículo del módulo rellena: j = 3/2, el multiplete de cuatro estados, que es semientero como el espín y tiene cuatro peldaños como un ℓ = 3/2 que no existe sobre la esfera. Aquí se construye entero desde cero y se le hacen tres preguntas que a las matrices de Pauli no se les pueden hacer, porque con dos peldaños no hay diferencia entre el peldaño de en medio y el de arriba.
Datos. La escalera del artículo 01,
con . Para j = 3/2 el artículo 04 publica que el autovalor de J² es j(j+1)ħ² = 3,75 ħ², y el artículo 01 publica que la cota de positividad es |m| ≤ √(j(j+1)) y que en los cuatro multipletes enteros que tabula vale 1,4142 · 2,4495 · 3,4641 · 4,4721, siempre mayor que ℓ. Ordena la base como |3/2,+3/2⟩, |3/2,+½⟩, |3/2,−½⟩, |3/2,−3/2⟩.
(a) Escribe los tres coeficientes de subida no nulos y monta las matrices 4 × 4 de J₊, J₋ y Jz. Di cuál de los tres coeficientes es el mayor y por qué eso tenía que ser así sin haberlo calculado. (b) Construye Jx y Jy y comprueba que las dos son hermíticas. (c) Evalúa el producto J₊J₋ − J₋J₊ elemento a elemento y compáralo con 2ħJz. Di cuántas de las dieciséis casillas comprueban algo de verdad y cuántas se cumplen porque los dos lados son cero por construcción. (d) Calcula J² = Jx² + Jy² + Jz² multiplicando y sumando las tres matrices. El resultado tiene que ser el dato de arriba por la matriz unidad; explica por qué obtener 3,75 sustituyendo j = 3/2 en j(j+1) no habría comprobado absolutamente nada, y qué es lo que sí comprueba esta cuenta. (e) Evalúa ⟨Jx²+Jy²⟩ en los cuatro estados y di cuál es el mínimo. Extiende a j = 3/2 la tabla de cotas del enunciado: ¿cuánto vale ahí √(j(j+1)), y qué porcentaje se pasa del mayor m? (f) Con esa cota en la mano, ¿queda prohibido un estado con m = 1,8 en este multiplete? Contesta sí o no y di qué argumento lo prohíbe, que no es el mismo que lo acota.
Pista
La única fórmula que interviene es la de la escalera, evaluada en tres valores de m. Coloca cada coeficiente fijándote en que J₊ sube un peldaño, así que sólo puede tener entradas por encima de la diagonal, y en que Jz es diagonal con los cuatro m. Para (e) no multipliques nada nuevo: Jx²+Jy² es J² − Jz², que ya está diagonal.
(d) y (f) son la misma trampa por dos lados. En (d), una comprobación cuyos dos lados se reducen al mismo símbolo antes de que intervenga ninguna propiedad de J no comprueba nada, por muchos dígitos que produzca: es el defecto que el artículo 01 señala en [Â,Â] = 0. En (f), la cota de positividad y el cierre de la escalera son dos afirmaciones distintas y la primera es mucho más floja — para ℓ = 1 deja un 41,4 % de margen por encima de ℓ—; usar la floja donde hace falta la fuerte es extrapolar una conclusión fuera del sitio donde se dedujo.
Comprobación cruzada, y no comparte cuentas con lo anterior: la diagonal de tu conmutador de (c), dividida por ħ², tiene que dar 2m estado a estado — cuatro enteros simétricos respecto del centro y que suman cero; en ℓ = 1 el artículo 01 saca +2, 0, −2. Y otra gratis: la traza de Jx², la de Jy² y la de Jz² tienen que ser iguales, porque ningún eje es especial; si tu Jx no lo cumple, tienes mal un coeficiente y no un signo. Si el mínimo de (e) te sale cero, has usado J² = j²ħ² en vez de j(j+1)ħ².
A un espectrómetro de resonancia magnética nuclear se le llama por su frecuencia y no por su campo: «un 600», «un 900». Ese número es la frecuencia de precesión del protón y de ninguna otra cosa, y de él se deduce todo lo demás del aparato. Aquí se recorre el camino al revés que en el artículo 03 —de la frecuencia al campo, y no del campo a la frecuencia— y se le hacen al mismo imán tres preguntas más, que es la única forma honrada de comparar: los números tienen que venir del mismo sistema.
Datos. Del artículo 03: fRMN(protón) = gpμN/h = 42,577 478 MHz/T, fL(electrón) = |ge|μB/h = 28 024,95 MHz/T, y |μe/μp| = 658,21. El deuterón, que es el núcleo del deuterio, tiene espín 1 y gd = 0,857 438 2335 (CODATA 2022). Del artículo 04, la fórmula de Breit-Rabi para la transición hiperfina central del hidrógeno,
exacta contra la diagonalización 4 × 4 en siete campos; y que el campo al que esa raya se ha corrido un 1 % es 7,17 mT, mientras que el cruce x = 1 está en 50,6 mT, siete veces más tarde.
(a) ¿Qué campo hay dentro de un aparato de 600,00 MHz, en teslas? Da seis cifras y di cuáles de ellas están justificadas por el dato de entrada. (b) En ese mismo imán, ¿a qué frecuencia precesa un electrón? Dala en gigahercios, calcula la longitud de onda correspondiente y di si eso son microondas de laboratorio corriente o hace falta otra tecnología. (c) Ese imán está sobre una muestra de agua, o sea de hidrógeno. Calcula x con la fórmula de arriba y evalúa f(B). Compara el resultado con lo que te dio (b) y explica la coincidencia: ¿de qué está hecha, exactamente, la diferencia que queda entre las dos? (d) ¿A qué frecuencia responde un deuterón en ese mismo imán? Y la pregunta que el nombre del aparato esconde: ¿por qué llamarlo «de 600 MHz» no dice nada sobre el deuterio, y qué es lo único que sí se conserva al cambiar de núcleo dentro del mismo imán? (e) Un compañero calcula la precesión del protón como ω = gpμNB/ħ y apunta el resultado en su cuaderno con la etiqueta «Hz». ¿Por qué factor y en qué sentido se ha equivocado? Nombra una medida de este mismo problema que lo cace y otra que no lo cace nunca. (f) Con el campo de (a) delante, ¿sigue teniendo sentido hablar de «la raya de 21 cm» dentro de este imán? Contesta con el cociente entre tu campo y los 7,17 mT del enunciado, no con un adjetivo.
Pista
(a), (b) y (d) son una división y dos multiplicaciones, con los tres factores de conversión impresos arriba. En (b) hay dos vías que no comparten cuentas —tu campo por 28 024,95 MHz/T, o los 600 MHz de partida por 658,21— y conviene hacer las dos. En (c), antes de sacar la calculadora, mira qué le hace √(1+x²) a un x que va a salirte muy grande.
La trampa de (e) es el error más caro de este módulo y no chirría: ω y f no son la misma magnitud, y un número grande en radianes por segundo tiene el mismo aspecto que uno en hercios. Escribe las unidades de las dos antes de decidir nada, y luego hazte por separado las dos preguntas del apartado: qué le pasa a ese error cuando se comparan dos partículas entre sí, y qué le pasa cuando la cifra se enfrenta a un aparato. Y la de (f) es la del artículo 04 con otro vestido: el campo al que un término empieza a notarse no es el campo al que empieza a dominar.
Comprobación cruzada: lo de (c) y lo de (b) tienen que parecerse mucho, y la diferencia entre los dos tiene que ser un número que ya has escrito en este problema — si no lo reconoces, revisa (c), porque no es un residuo. Para (a), el orden de magnitud lo fija que un aparato de resonancia lleve imanes superconductores de más de diez teslas: si te salen décimas de tesla, has multiplicado donde había que dividir. Y en (d), tu respuesta dividida por los 600 MHz de partida tiene que dar exactamente gd/gp, sin que aparezcan ni el campo ni μN: si aparecen, has cambiado de imán a mitad de problema.
El artículo 03 mide la anomalía del electrón restando dos frecuencias del mismo imán, le pone nombre a esa resta —la frecuencia de anomalía, la velocidad a la que el espín se adelanta al momento— y la deja medida en un electrón dentro de una trampa. Lo que no hace, y es lo que convierte aμ = 1,165 92 × 10⁻³ de cifra de tabla en un experimento, es montarle al muón esa misma resta: otra partícula, otro aparato —un anillo de almacenamiento en vez de una trampa— y una anomalía que no vale lo mismo. Aquí hay que montarla entera y ver qué sobrevive al cambio y qué no.
Datos. Del artículo 03: fc(electrón) = e/2πme = 27 992,49 MHz/T, fL(electrón) = 28 024,95 MHz/T, su diferencia 32,5 MHz/T, ae = 1,159 652 × 10⁻³, aμ = 1,165 921 × 10⁻³, y que las dos anomalías se diferencian en 5,41 ‰. La razón de masas es mμ/me = 206,7683 (CODATA 2022). Las definiciones son las mismas del artículo: fc = eB/2πm y fL = g μ B/h con μ = eħ/2m.
(a) Escribe fc del muón por tesla. No repitas la deducción: sácala de la del electrón con un solo factor, y di cuál y por qué. (b) Escribe fL del muón por tesla, con las cifras que hagan falta para que la resta que viene tenga sentido. (c) La diferencia fa = fL − fc, en kilohercios por tesla. Comprueba que tu resultado es el producto de dos números que ya tienes, y di cuáles. (d) Divide fa entre fc. El resultado no depende del campo y es el inverso de un número entero largo: ¿cuántas vueltas de ciclotrón da un muón antes de que su espín le haya sacado una vuelta entera al momento? Haz la misma cuenta para el electrón. (e) Un colega necesita fa del muón, ve en el artículo 03 que «la diferencia entre las dos frecuencias es la anomalía entera» y usa los 32,5 MHz/T. ¿Por qué factor se equivoca? Descomponlo en los dos factores independientes que lo forman y di cuál de los dos es el grande. (f) En un anillo de almacenamiento el campo se mide, además, con una sonda de resonancia de protón como la del problema 2. ¿Para qué apartado de éste hace falta conocer B y para cuál no? Di qué le pasa a la incertidumbre del campo en cada uno de los dos.
Pista
Las dos frecuencias del artículo 03 llevan la masa en el mismo sitio y de la misma forma —mírala en fc = eB/2πm y en μ = eħ/2m antes de tocar nada—, así que pasar del electrón al muón es un solo factor y no una deducción nueva. Y en (c), no restes los dos números grandes de (a) y (b): la definición de la anomalía te da la forma directa, y el ejercicio 3 del artículo 03 explica por qué una diferencia de dos números parecidos se calcula y no se resta.
La trampa de (e) es comparar dos casos con parámetros distintos, y engaña porque el número reutilizado es correcto — para el electrón. Reutilizarlo cambia a la vez dos cosas: la masa que entra en el ciclotrón y la anomalía que multiplica. Una de las dos vale casi lo mismo en las dos partículas —el enunciado te dice cuánto, en tanto por mil— y la otra no se parece en nada. Y ojo en (b) con las cifras: con tres significativas no queda resta que hacer.
Comprobación cruzada: el cociente entre tus dos recuentos de (d) tiene que devolverte los 5,41 ‰ que el enunciado imprime — y fíjate en cuál de los dos es mayor antes de celebrarlo, porque ese signo dice qué partícula tiene la anomalía más grande y es fácil ponerlo del revés. Segunda, independiente: multiplica tu fa por un campo de laboratorio del orden de 1,5 T; si el resultado no cae en las centenas de kilohercios, hay un factor de mil por medio.
El artículo 04 resuelve el multiplete j = 3/2 del 2p bajando con J₋ y deja escrito, en un callout, el mecanismo por el que ⟨Sz⟩ cambia de signo al pasar al otro multiplete: los dos pesos se intercambian porque los estados son ortogonales. Ese mecanismo está deducido y no hay que volver a deducirlo — enunciarlo no es la respuesta de nada aquí. Lo que este problema pide es lo otro: el multiplete j = ½ escrito, la ley general para un ℓ cualquiera, y la consecuencia que se puede meter en un imán, que no está en ninguna parte del sitio.
Datos. Del artículo 04, el multiplete j = 3/2 del 2p entero:
con ⟨Lz⟩ = +0,333 ħ y ⟨Sz⟩ = +0,167 ħ en ese estado, y la comprobación gratuita ⟨Lz⟩ + ⟨Sz⟩ = mjħ. Del artículo 03, el momento magnético de un electrón que tiene a la vez momento orbital y espín se escribe con dos factores g, porque el orbital acopla con gL = 1 y el espín con |ge|:
(a) Construye |½,+½⟩ imponiendo que sea ortogonal al estado de arriba dentro del plano mj = +½ y que esté normalizado. Escribe sus dos coeficientes con su signo, y di qué es lo que fija el signo global —que no es la ortogonalidad— y si cambia alguna de las respuestas que siguen. (b) Calcula ⟨Lz⟩ y ⟨Sz⟩ en |½,+½⟩ y verifica la comprobación gratuita. (c) Pon los dos estados uno al lado del otro con el mismo mj: di qué cambia de signo, qué no, y por qué la suma se salva igual. (d) Generaliza. Para un ℓ cualquiera acoplado con s = ½, obtén ⟨Sz⟩ en |ℓ+½, mj⟩ y en |ℓ−½, mj⟩ en forma cerrada, como fracción de mjħ. Comprueba tu fórmula en ℓ = 1 contra (b), y evalúala en ℓ = 0: ¿qué tiene que devolver, y lo devuelve? (e) Calcula μz de los dos estados de mj = +½, en unidades de μB, con el |ge| completo. Da el cociente entre los dos módulos con seis cifras. (f) Rehaz (e) con g = 2 exactamente. El cociente sale entonces redondo; di cuál es, en cuántas partes por millón lo mueve la anomalía, y qué significa que ae —una corrección de la tercera cifra del electrón libre— se pueda leer en el cociente de dos momentos magnéticos de un átomo.
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(a) es de dos por dos y no necesita ninguna tabla: en el plano mj = +½ sólo caben dos estados producto, uno se ha gastado en el multiplete de arriba, y lo ortogonal a un vector de dos componentes reales se escribe de memoria. Para (d) no vuelvas a construir nada: repite el mismo sistema de dos por dos con ℓ en vez de 1, arrastrando las letras hasta el final en vez de poner números por el camino.
La trampa de (e) es un factor 2 que se cuela solo: el momento orbital y el de espín no llevan el mismo g, y usar el mismo para los dos —sea 1 o sea 2— devuelve un μz perfectamente creíble y borra justo lo que el apartado busca. Y en (c), ⟨Sz⟩ = −ħ/6 no significa que el espín apunte un poco hacia abajo: cada medida de Sz devuelve ±ħ/2 y nada más.
Comprobación cruzada, y hay dos que no comparten cuentas. Los cuadrados de tus coeficientes de (a) tienen que ser los mismos dos números —2/3 y 1/3— que el enunciado imprime para el multiplete de arriba, con los papeles intercambiados; si te salen 1/2 y 1/2, has impuesto la ortogonalidad sobre los estados equivocados. Y la buena, porque no pasa por ningún coeficiente de Clebsch: los dos estados de (e) agotan entre los dos el plano mj = +½, y la traza de un operador no depende de la base, así que la suma de tus dos μz tiene que dar un magnetón redondo — y darlo con cualquier g, porque en la base producto el g entra con los dos signos y se cancela. Calcula esa traza sobre los dos estados producto en dos renglones y compárala con tu suma.
Ésta es la pregunta que el artículo 02 contesta para el espín ½ y deja sin contestar para todo lo demás. Un haz preparado en el peldaño de arriba de un multiplete j = 3/2 —el que el problema 1 construyó— entra en un Stern-Gerlach cuyo eje forma un ángulo θ con el eje de preparación. Salen cuatro manchas, y la pregunta es con qué intensidad cada una. La respuesta no es cos²(θ/2): el ángulo sigue entrando a la mitad, pero la ley cambia de forma y el error de suponer que no cambia da, otra vez, un número entre 0 y 1 perfectamente creíble.
Datos. Del artículo 02, la rotación de un espín ½ un ángulo θ alrededor de y, y la probabilidad que sale de ella:
con P = 0,75 a θ = 60° y P = 0,500 a θ = 90°, medidas sobre 73 ángulos por tres caminos. Del artículo 04, que sumar momentos angulares no cambia el álgebra —J1 y J2 conmutan porque actúan sobre factores distintos— y que el estado de M máximo de una suma es único. Y el aviso del propio artículo 02: una fórmula se comprueba donde sus rivales dan cosas distintas.
(a) Convence a alguien de que el peldaño de arriba del multiplete j = 3/2 se puede escribir como tres espines ½ apuntando todos arriba, |↑↑↑⟩. Usa dos argumentos: el recuento de estados con M = 3/2 y el hecho de que el estado de M máximo es único. (b) Gira los tres espines el mismo ángulo θ con la fórmula del enunciado y desarrolla el producto de los tres paréntesis. Agrupa por el número de flechas que han caído y escribe P(m′) para los cuatro resultados, en función de θ. ¿Qué distribución conocida es? (c) Evalúa las cuatro probabilidades a θ = 90° en forma de fracción exacta, y a θ = 60° en fracciones con 64 debajo. Comprueba en los dos casos que suman 1. (d) Calcula ⟨Jz′⟩ con tus probabilidades a 60° y a 90°. La expresión que sale es la ley de un vector clásico girando; escríbela y di qué relación tiene con lo que el artículo 02 mide sobre 300 ejes para el vector de Bloch de un espín ½. (e) Alguien aplica al haz la fórmula del enunciado tal cual y anuncia que a 60° la mancha de m′ = +3/2 se lleva el 0,75 del haz. ¿Cuál es el valor verdadero? Di por qué el «ángulo a la mitad» sí sobrevive al cambio de j y la fórmula no. (f) Comprueba tu ley en θ = 180°, que es el único ángulo donde la respuesta se sabe sin calcular nada, y di qué da y por qué tenía que darlo. (g) Calcula la dispersión de Jz′ a 90° en unidades de ħ. Compárala con la de un espín ½ en el mismo ángulo y di cuál de las dos es mayor en relación con el momento total, y hacia dónde va esa relación cuando j crece.
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(b) es un binomio de Newton y no hay ninguna matriz por medio: si cada uno de los tres espines se convierte en la misma combinación de dos términos, el producto de los tres es un cubo, y los coeficientes que aparecen al desarrollarlo son los que son. Cada término tiene un número definido de flechas caídas, y ese número fija m′. Para (g), la varianza de una suma de tres cosas independientes e iguales es tres veces la de una, que es la de un espín ½.
La trampa de (e) es la del módulo con un disfraz nuevo: cos²(θ/2) es el caso j = ½ de una familia, no la ley general, y su exponente 2 no es un 2 cualquiera — es el número de espines. Aplicarla a j = 3/2 devuelve un número entre 0 y 1 y no chirría en absoluto. La segunda está en (a): «tres espines arriba» es una manera de escribir el estado, no la afirmación de que el sistema sean tres partículas.
Comprobación cruzada, y es la que el propio artículo 02 recomienda: prueba tu ley en θ = 180°, donde un argumento de una línea da la respuesta, y no en θ = 0°, donde todas las leyes candidatas coinciden. Segunda: tus cuatro probabilidades a 90° tienen que ser simétricas respecto del centro y sus numeradores tienen que sumar el denominador; si te salen las cuatro iguales, has olvidado los coeficientes del desarrollo. Tercera, para (d): a 90° el resultado es cero por simetría, sin sumar nada.
El artículo 04 monta la raya de 21 cm del hidrógeno de principio a fin y acaba a 56 ppm de una medida de doce cifras. Todo ese aparato descansa sobre un número que parece inocente: la diferencia de ⟨S₁·S₂⟩ entre los dos niveles, que en el hidrógeno vale 1 ħ² exacto. El deuterio es el mismo átomo con el mismo electrón y un núcleo que sólo se diferencia en dos cosas —tiene otro g y tiene espín 1 en vez de espín ½—, y la segunda cambia ese 1. Este problema rehace la cuenta entera para el deuterio y la compara con lo medido; y como el resultado se aparta más que el del hidrógeno, hay que decir de qué está hecho el resto.
Datos. Del artículo 04, la cadena completa del hidrógeno: el término de contacto con el radio de Bohr desnudo da 1422,808 MHz; corregir a₀ por la masa reducida —y a₀ entra al cubo, lo que en el hidrógeno vale −1,632 ‰— lo deja en 1420,485 MHz, a 56,1 ppm de los 1420,405 751 7667 MHz medidos. La forma del acoplamiento y el operador que lo lleva:
con a el radio de Bohr del átomo en cuestión. Del artículo 03, gp = 5,585 694 689; y del deuterón, gd = 0,857 438 2335 con espín I = 1 (CODATA 2022). Del II.5, artículo 03, md/me = 3670,483 y 1 − μH/μD = 2,7203 × 10⁻⁴. El radio de Bohr desnudo, que hace falta si montas A desde la fórmula, es a₀ = 52,9177 pm, y con él 1/πa₀³ = 2,148 × 10³⁰ m⁻³; el del hidrógeno real, ya corregido, es aH = 52,9465 pm. Y el dato experimental: el desdoblamiento hiperfino del deuterio en su estado fundamental vale 327,384 352 5 MHz (Wineland y Ramsey, 1972, con un máser de deuterio atómico. Aquí van diez cifras, de sobra para lo que se pide; la medida original tiene alguna más, y aun así el deuterio se conoce algo peor que el hidrógeno).
(a) Acopla I = 1 con s = ½. ¿Qué valores de F aparecen, cuántos estados hay en cada uno, y cuadra la dimensión total? (b) Obtén ⟨I·S⟩ en cada uno de los dos multipletes, en unidades de ħ², despejándolo de F². Escribe la diferencia entre los dos. (c) Compárala con el 1 ħ² del hidrógeno y di, sin calcular nada todavía, en qué sentido y por qué factor mueve eso al desdoblamiento del deuterio. ¿Es ése el factor dominante del cambio, o hay otro mayor? (d) Calcula la frecuencia hiperfina del deuterio. Hazlo por dos caminos: montando A desde la fórmula, y escalando los 1420,485 MHz del hidrógeno por el producto de los tres factores que cambian. Di cuáles son los tres y cuánto vale cada uno. Ojo con el que lleva exponente. (e) Compara con la medida y da el resto en partes por millón, con su signo. El hidrógeno se pasaba 56 ppm por arriba: ¿tu deuterio se pasa por arriba o se queda corto, y es el resto mayor o menor? (f) Ahora la comparación limpia: calcula el cociente fD/fH que predice tu modelo y el que dan las dos medidas, y da su discrepancia en ppm. Sale mayor que la de (e), y esto es lo interesante del problema: explica por qué un cociente puede ser peor que cualquiera de sus dos términos, qué correcciones se cancelan en él y cuál es la única que no se puede cancelar porque el protón y el deuterón no son el mismo objeto. (g) Dos errores para diagnosticar sin rehacer la cuenta entera: alguien predice el deuterio escalando el hidrógeno sólo por gd/gp, y otro lo hace todo bien pero usa la corrección de masa reducida del hidrógeno. Di qué número obtiene cada uno —al menos con tres cifras— y cuál de los dos errores es más difícil de detectar leyendo el resultado.
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(b) es lo que el artículo 04 hace con dos espines ½, letra por letra: eleva al cuadrado F = I + S, despeja el producto escalar y evalúa con los autovalores F(F+1), I(I+1) y s(s+1). No hace falta escribir ningún coeficiente de Clebsch en todo el problema. Para (d), el camino corto es el del cociente: escribe AD/AH y mira qué sobrevive — μ₀, μB, μN y el 2/3 se van todos.
Las dos trampas de (d) son factores perdidos. Arrastrar el 1 ħ² del hidrógeno —lo que hace el primero de los colegas de (g)— produce un número del orden correcto, en la banda de radio correcta, y sólo se cae al compararlo con la medida. La segunda es el exponente: a₀ entra al cubo, y el artículo 04 mide que con el exponente equivocado el resultado mejora respecto de no corregir nada y sigue pareciendo un éxito. El segundo colega comete el error de comparar dos casos con parámetros distintos: la corrección de masa reducida del deuterio es aproximadamente la mitad de la del hidrógeno, porque el núcleo pesa el doble.
Comprobación cruzada: I·S no tiene traza, así que tus dos valores de (b), cada uno pesado por el número de estados de su multiplete, tienen que cancelarse exactamente. Es una línea y caza a la vez un signo y un factor. Para (d), el orden de magnitud lo fija de cabeza el cociente de los dos g: el deuterio tiene que caer bastante por debajo de los 1420 MHz del hidrógeno pero seguir estando en microondas. Y si tu resto de (e) sale del orden del 1 % en vez de por debajo del uno por mil, te has dejado uno de los tres factores.
Fin del módulo II.6. Lo que se ha ganado se dice en una frase: el momento angular ha dejado de ser una propiedad del movimiento y ha pasado a ser una estructura algebraica, y de esa estructura sale todo lo demás sin postular nada. El II.3 dejó escrito que ℓ(ℓ+1) saldría de un conmutador igual que n había salido de una cadena, y sale — pero sale con un regalo que el II.5 no podía ver: el álgebra admite los semienteros que la esfera rechaza, y con ellos entra el espín, que no es una rotación pequeña sino la representación de dimensión 2 que el conmutador tenía preparada desde el principio. De ahí, en cascada: dos manchas donde ningún ℓ entero puede dar un número par; un factor g que vale el doble de lo que cualquier órbita permite y luego un 0,116 % más, medible como una resta de dos frecuencias del mismo imán y calculable dividiendo α entre 2π; y la suma de dos momentos, que convierte un ħ² de álgebra en una raya de radio con la que se pesa el hidrógeno de una galaxia.
Y esta hoja ha entrenado lo único que de verdad se transfiere: usar la herramienta en el caso que no venía resuelto. El problema 1 construye el multiplete que ningún artículo escribe y evalúa sobre él la identidad que el artículo 01 sólo enuncia. El 5 le hace a ese mismo multiplete la pregunta de Stern-Gerlach y descubre que cos²(θ/2) era un caso particular de una ley más general. El 4 escribe el multiplete que el artículo 04 dejó a medias y lo lleva hasta un momento magnético donde la anomalía del electrón libre reaparece en un átomo. El 2 y el 3 recorren la deducción del artículo 03 al revés y en otra partícula. Y el 6 cambia el núcleo del hidrógeno y comprueba que el aparato entero sigue funcionando, con un resto que se puede nombrar. Los cinco modos de fallo del módulo están repartidos entre los seis a propósito: el factor perdido en el 2, el 5 y el 6; los dos casos con parámetros distintos en el 3 y en el 6; la ley extrapolada fuera de rango en el 2; y la tautología en el 1.
Lo que falta, con nombres. No se ha escrito el hamiltoniano del acoplamiento espín-órbita: aquí L y S se suman como problema de acoplamiento, pero la energía que separa un ²P3/2 de un ²P1/2 exige teoría de perturbaciones y es del II.8 (pendiente de publicar; la portada declara el hueco), junto con el Zeeman de campo fuerte y el hiperfino completo. Los 56 ppm de la raya de 21 cm no se cierran en este sitio: hacen falta la ecuación de Dirac, que es del III.7 —también pendiente—, y datos de estructura del protón que no son mecánica cuántica no relativista. Y el hecho más grande del módulo se ha usado sin demostrarlo: que el espín ½ del electrón valga ½ y no otra cosa no se deduce aquí, se mide — la etiqueta la ponen las representaciones del grupo de Lorentz, y el aparato de grupos que hace falta para decirlo bien, con SU(2) y el teorema de Wigner-Eckart, es del III.2, pendiente igual que los otros dos.
El siguiente es el II.7, «Partículas idénticas: átomos, moléculas y sólidos» —el II.6 es hoy el último módulo publicado, y el II.7 y los ocho que le siguen están en preparación: la portada los declara uno a uno—, y es el siguiente por una razón que está en el artículo 04. El triplete es simétrico bajo el intercambio de las dos partículas y el singlete es antisimétrico: hasta aquí eso ha sido una observación sobre signos. Allí se convierte en una prohibición con consecuencias medibles, porque la antisimetría total obliga a que un singlete de espín lleve parte espacial simétrica y un triplete la lleve antisimétrica, y de ahí sale la interacción de intercambio — que no es una fuerza y cambia las distancias igual que si lo fuera. Con ella se ataca el helio a primer orden, el enlace del H₂⁺ y el gas de Fermi de un metal. Y se salda la última deuda del II.5: el 2 de 2n² ya está identificado —es la dimensión de j = ½, y de ninguna otra cosa—, pero por qué ese 2 es un tope y no una capacidad cualquiera no lo dice el momento angular. Lo dice la antisimetría, y es el módulo siguiente.