Los postulados, y la parte incómoda

La pureza de un estado, $\operatorname{Tr}\rho^2$ , vale 1 antes de medir $\sigma_z$ sobre $(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$ y 0,5 después. Doscientas evoluciones unitarias al azar la dejan exactamente donde estaba: el peor cambio en las doscientas es 3,0 × 10⁻¹⁵, que es ruido de coma flotante y no un efecto. Esas dos cifras convierten una frase de sobremesa —«el colapso no es una evolución unitaria»— en una comprobación de dos líneas: si el postulado IV cambia un número que el postulado V conserva, IV no puede ser un corolario de V. Este artículo escribe los cinco postulados de una vez, mide qué respalda a cada uno, y deja el único que no se deduce con su respaldo medible al lado. Es el problema de la medida del I.5, ahora en la lengua del formalismo y con la cuenta hecha.

Necesitas: de este módulo, el artículo 01 —producto escalar, base ortonormal, Parseval y la resolución de la identidad

\sum_n |n\rangle\langle n| = \hat{\mathbb 1}

—, el artículo 02 —que un operador hermítico tiene autovalores reales y autovectores ortonormales, y los tres contraejemplos de lo que pasa cuando no— y del artículo 03, sólo dos resultados: la relación de Robertson y la relación de Mandelstam-Tamm. Del I.5 artículo 04, el planteamiento del problema de la medida y los nombres de las interpretaciones; aquí no se repite, se traduce. Del II.1 artículo 04, la mezcla 50/50 del pozo de 1 nm, que usó la cota

\tau \ge \hbar/2\sigma_E

a crédito y este módulo paga. Lo que NO hace falta: ninguna interpretación concreta, y ninguna medida en dimensión infinita. El teorema de Gleason se cita con lo que dice y se demuestra en el III.1.

Los cinco, sin adorno

Todo lo que este módulo ha construido cabe en cinco enunciados. Conviene leerlos seguidos y sin comentario, porque parte del trabajo de un formalismo es precisamente que quepa en una página:

I · El estado. El estado de un sistema es un vector normalizado $|\psi\rangle$ de un espacio de Hilbert. Dos vectores que difieren en una fase global describen el mismo estado.

II · El observable. A cada magnitud medible le corresponde un operador hermítico $A = A^\dagger$ . El resultado de una medida es siempre uno de sus autovalores.

IV · La actualización. Si la medida ha dado a, el estado inmediatamente después es $P_a|\psi\rangle / \|P_a|\psi\rangle\|$ . Es el postulado de proyección, y es la parte incómoda.

V · La evolución. Entre medidas, $|\psi(t)\rangle = e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle$ , con H el hamiltoniano, hermítico. En una base propia de H cada coeficiente gira con frecuencia $E_n/\hbar$ y no cambia de módulo.

Los cinco se recorren en un solo ejemplo, y conviene hacerlo antes de discutir nada. Tómese un qubit en $|\psi\rangle = (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$ . Por I es un estado legítimo y multiplicarlo por $e^{i\theta}$ no lo cambia: con doscientas fases y cuatro observables, el mayor cambio de cualquier valor esperado es 7,0 × 10⁻¹⁶. Por II, los resultados posibles de $\sigma_z$ son sus autovalores $\pm 1$ y ningún otro. Por III, cada uno sale con probabilidad 0,5. Por IV, si ha salido $+1$ el estado pasa a ser $|0\rangle$ , y eso se comprueba repitiendo la medida: $+1$ vuelve a salir con probabilidad 1. Por V, dejarlo evolucionar bajo $H = (\Delta E/2)\,\sigma_z$ durante $\pi\hbar/\Delta E$ le añade la fase $e^{-i\pi/2}$ y nada más.

Ese recorrido es el mapa del artículo: cada sección toma un postulado y responde a una sola pregunta, qué se puede medir para saber que hace falta. Cuatro respuestas son cómodas. La quinta —la de IV— da nombre al artículo, y es incómoda no porque suene rara, sino porque se escribe con una desigualdad entre dos números.

I · La fase que no se ve, y la que lo es todo

El postulado I dice dos cosas, y la segunda se olvida más de lo que parece: el estado no es el vector, es el vector salvo fase. Dicho de otra manera, $|\psi\rangle$ y $e^{i\theta}|\psi\rangle$ no son dos estados parecidos: son el mismo, y ningún experimento del mundo puede separarlos. La razón es aritmética y cabe en una línea, porque el valor esperado de cualquier observable lleva el vector dos veces, una conjugado:

\langle A\rangle_{e^{i\theta}\psi} = \langle\psi|e^{-i\theta} A\, e^{i\theta}|\psi\rangle = \langle\psi|A|\psi\rangle = \langle A\rangle_\psi .

La comprobación numérica es aburrida a propósito: doscientas fases repartidas entre 0 y $2\pi$ , cuatro observables —las tres matrices de Pauli y una hermítica cualquiera— y el mayor cambio registrado es 7,0 × 10⁻¹⁶. No hay nada ahí. Y sin embargo la fase relativa —la que hay entre los sumandos de una superposición— es lo único que distingue dos estados que en módulo son idénticos:

\langle\sigma_x\rangle = +1 \ \text{ en } \ \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2}, \qquad \langle\sigma_x\rangle = -1 \ \text{ en } \ \frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt2}.

Los dos estados dan lo mismo al medir $\sigma_z$ —mitad y mitad—, y dan resultados opuestos y ciertos al medir $\sigma_x$ . Un signo menos metido dentro de la superposición vale la distancia entre la certeza de un resultado y la certeza del contrario. La misma operación —multiplicar por $e^{i\pi}$ — es invisible aplicada fuera y máxima aplicada a un solo sumando.

De aquí sale la advertencia práctica del postulado I: una fase sólo es global si multiplica al estado entero. En cuanto un trozo del estado evoluciona distinto del otro —y eso es justo lo que hace V, porque cada autoestado de H gira a su propia frecuencia $E_n/\hbar$ —, la fase se ha vuelto relativa y ya se puede medir. El batido de 3,666 fs del pozo de 1 nm del II.1 es eso y nada más.

II · Por qué hermítico, y qué se rompe si no

El postulado II parece una definición y no lo es: es una restricción fuerte, y el artículo 02 la ha pagado midiendo qué se rompe si se levanta. Lo que la hermiticidad compra son tres cosas a la vez, comprobadas sobre 2800 matrices hermíticas generadas al azar: los autovalores son reales —la mayor parte imaginaria encontrada es 1,0 × 10⁻¹⁵—, los autovectores son ortonormales —2,7 × 10⁻¹⁵— y, como consecuencia de lo segundo, las probabilidades de Born suman uno, con una desviación máxima de 1,8 × 10⁻¹⁵.

El orden de esa lista importa: lo primero es lo que todo el mundo cita y lo segundo lo que de verdad hace falta, porque quien suma 1 en el postulado III no es el espectro sino la base. El contraejemplo del artículo 02 lo enseña sin margen:

T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}

tiene autovalores 1 y 2, perfectamente reales, y no es hermítica — $\|T - T^\dagger\| = 1$ —. Sus autovectores forman 45° en lugar de 90°, con solape $|\langle v_1|v_2\rangle| = 1/\sqrt2$ , y con ellos la suma de Born deja de valer 1: sobre 4000 estados al azar recorre el intervalo de 0,293 a 1,707, que tiende a $1 \mp 1/\sqrt2$ . Un «espectro real» no basta. Y la recíproca tampoco: cualquier operador unitario tiene autovectores perfectamente ortonormales y autovalores en el círculo unidad, con partes imaginarias de hasta 0,999. El enunciado correcto necesita las dos mitades —ser normal y tener espectro real—, y así es como está escrito en el artículo 02.

Y lo que se estropea en la práctica se puede decir en cuánto: $\langle A\rangle$ deja de ser un número real, y la mayor parte imaginaria alcanzable coincide con la norma de la parte antihermítica,

\max_\psi \big|\operatorname{Im}\langle A\rangle\big| = \left\|\frac{A - A^\dagger}{2i}\right\| ,

y vale 0,5 tanto en la triangular como en la PT-simétrica del artículo 02, frente a 3,3 × 10⁻¹⁶ en una hermítica cualquiera. Un aparato que devolviese $0{,}7 + 0{,}5i$ voltios no está descalibrado: es un enunciado sin sentido. Por eso II exige hermiticidad y no algo más débil, y por eso el artículo 02 tuvo que simetrizar el producto xp —cuya parte antihermítica vale $\hbar$ en norma— antes de llamarlo observable.

III · Born, y los sumandos que no significan nada

El postulado III se enuncia casi siempre en el caso fácil, sin degeneración, y entonces $p(a) = |\langle a|\psi\rangle|^2$ y no hay más que hablar. El caso degenerado es donde se gana el sueldo, y donde se cuela el error más común: sumar amplitudes cuando había que sumar probabilidades. La forma correcta usa el proyector sobre el autoespacio entero:

p(a) \;=\; \big\| P_a |\psi\rangle \big\|^2 \;=\; \sum_{i=1}^{g_a} \big|\langle a,i|\psi\rangle\big|^2 ,

donde $|a,1\rangle,\dots,|a,g_a\rangle$ es cualquier base ortonormal del autoespacio. Y ahí está el punto fino: cualquiera. La base interna del autoespacio no es física —nada la elige— así que la probabilidad no puede depender de ella, y en efecto no depende. En un espacio de dimensión tres con un autovalor doble, la probabilidad de ese autovalor para un estado concreto vale 0,5278, y girando doscientas veces la base interna del autoespacio con rotaciones al azar la suma no se mueve: la peor desviación es 5,6 × 10⁻¹⁶.

Los sumandos, en cambio, se mueven muchísimo. Con esas mismas doscientas rotaciones, el término individual $|\langle a,1|\psi\rangle|^2$ recorre de 0,0036 a 0,5277: casi todo el rango posible, desde prácticamente cero hasta quedarse a un 0,013 % de llevarse él solo la probabilidad entera. Ninguno de esos números es una predicción de nada. Sólo la suma lo es.

Con todas las letras, porque es un hábito difícil de quitar: en el caso degenerado, un sumando de Born no es la probabilidad de nada observable. No corresponde a ningún resultado, porque el aparato devuelve a y no «a con la etiqueta i». Escribir III con un proyector en vez de con un bra concreto es exactamente lo que evita ese error.

Ejemplo resuelto 1 · La probabilidad de un autovalor doble, y por qué sus sumandos no significan nada

Problema. Un observable A de un espacio de dimensión tres tiene el autovalor 1 con degeneración dos y el autovalor 2 sin degenerar. Sobre un estado normalizado $|\psi\rangle$ se mide A. (a) Escribe la probabilidad de obtener 1 sin elegir ninguna base del autoespacio. (b) Comprueba que la elección de base no la cambia. (c) Si la probabilidad vale 0,5278, ¿cuánto puede valer el sumando $|\langle 1,1|\psi\rangle|^2$ según cómo se etiquete la base? (d) Escribe el estado posterior a obtener 1, y di si depende de la base.

Solución. (a) El objeto independiente de la base es el proyector. Si $|1,1\rangle$ y $|1,2\rangle$ generan el autoespacio,

P_1 = |1,1\rangle\langle 1,1| + |1,2\rangle\langle 1,2| , \qquad p(1) = \langle\psi|P_1|\psi\rangle = \|P_1|\psi\rangle\|^2 ,

donde la segunda igualdad usa $P_1^2 = P_1 = P_1^\dagger$ , comprobado en el artículo 01 al construir la resolución de la identidad.

(b) Cambiar de base dentro del autoespacio es aplicar una unitaria $R$ de dimensión dos a los dos vectores, y el proyector se transforma en

P_1' = \sum_{k}\Big(\sum_i R_{ik}|1,i\rangle\Big)\Big(\sum_j R^*_{jk}\langle 1,j|\Big) = \sum_{i,j}\Big(\sum_k R_{ik}R^*_{jk}\Big)|1,i\rangle\langle 1,j| ,

y el paréntesis interior es $(RR^\dagger)_{ij} = \delta_{ij}$ justamente porque R es unitaria, así que $P_1' = P_1$ . Numéricamente, doscientas rotaciones al azar dejan $\|P_1\psi\|^2$ constante con una desviación máxima de 5,6 × 10⁻¹⁶.

(c) Cualquier cosa entre cero y la probabilidad entera: con esas mismas doscientas rotaciones el sumando recorre de 0,0036 a 0,5277, y ese máximo se queda a un 0,013 % de la probabilidad completa — el supremo es la probabilidad completa, porque siempre existe una base en la que el segundo vector es ortogonal a la proyección de $|\psi\rangle$ , y el muestreo se le acerca sin llegar. Un número que se puede anular eligiendo cómo llamar a los ejes no mide nada.

(d) Por el postulado IV es $P_1|\psi\rangle/\|P_1|\psi\rangle\|$ , y como $P_1$ no depende de la base, tampoco el estado. Nótese que no es un autovector concreto: es la proyección entera, y en general sigue siendo una superposición dentro del autoespacio. Ésa es la diferencia con la versión de bolsillo «el estado salta al autovector», que sólo vale sin degeneración.

Resultado. Queda una regla de higiene que sirve para el resto de la carrera: si una cantidad depende de una elección que nada obliga a hacer, no es una predicción. La probabilidad del autoespacio sobrevive a los doscientos giros; el sumando no sobrevive a ninguno. Por eso III se escribe con proyectores: no por elegancia, sino porque es la única forma que no arrastra una arbitrariedad. Cuando en el II.6 lleguen los multipletes de momento angular, la degeneración dejará de ser un caso raro y esta higiene será la operación de todos los días.

IV · La parte incómoda, y cómo se mide que lo es

Ahora el postulado que no se deduce. Hay que enunciarlo dos veces, porque son dos afirmaciones distintas que se dicen con la misma frase.

La primera versión es no selectiva: se mide y no se mira el resultado. La descripción deja entonces de ser un vector y pasa a ser una matriz densidad, porque hay una lista de posibilidades con sus pesos. La regla es $\rho \mapsto \sum_a P_a \rho P_a$ , y su efecto se mide. Para $|\psi\rangle = (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$ y una medida de $\sigma_z$ :

\rho = \frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \ \longmapsto \ \rho' = \frac12\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \qquad \operatorname{Tr}\rho^2 : 1 \to 0{,}5 , \qquad \langle\sigma_x\rangle : 1 \to 0 .

Los términos de fuera de la diagonal se han ido, y con ellos toda la información de fase relativa: el estado puro se ha convertido en una mezcla estadística a partes iguales. La pureza —la traza del cuadrado de la matriz densidad, 1 para un puro y menos para todo lo demás— ha bajado a 0,5, el mínimo posible en dimensión dos, y $\langle\sigma_x\rangle$ ha pasado de la certeza al azar.

La segunda versión es selectiva: se mide, se mira, y ha salido $+1$ . El estado vuelve a ser un vector, $|0\rangle$ , y la comprobación es que el aparato se repite: medir otra vez $\sigma_z$ da $+1$ con probabilidad 1, mientras que $\langle\sigma_x\rangle$ vale 0 exacto. IV ha destruido una superposición en z y ha creado otra en x.

Esa reproducibilidad es la evidencia experimental directa a favor de IV, y es fortísima: es lo que permite preparar un estado midiendo, y sin ella no existirían ni el experimento de Stern-Gerlach como preparador de espines ni la mitad de la óptica cuántica. Y aun así IV no se deduce. La pregunta correcta no es «¿es verdad IV?» —lo es, operativamente— sino «¿es IV un caso particular de V?»; si lo fuera, el formalismo tendría cuatro postulados y no cinco. La respuesta sale de comparar lo que cada uno le hace a un número, y el número adecuado es la pureza.

Ejemplo resuelto 2 · Medir la pureza para refutar que el colapso sea unitario

Problema. (a) Calcula $\operatorname{Tr}\rho^2$ para $|\psi\rangle = (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$ y para el estado resultante de medir $\sigma_z$ sin mirar el resultado. (b) Demuestra que ninguna evolución unitaria puede llevar el primero al segundo. (c) Comprueba (b) numéricamente. (d) Explica por qué esto no demuestra que la mecánica cuántica sea incoherente.

Solución. (a) Antes, $\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$ es un proyector de rango uno, así que $\operatorname{Tr}\rho^2 = \operatorname{Tr}\rho = 1$ . Después, con $P_0 = |0\rangle\langle 0|$ y $P_1 = |1\rangle\langle 1|$ ,

\rho' = P_0\rho P_0 + P_1\rho P_1 = \tfrac12|0\rangle\langle 0| + \tfrac12|1\rangle\langle 1| = \tfrac12\hat{\mathbb 1} ,

cuyo cuadrado es $\tfrac14\hat{\mathbb 1}$ y cuya traza vale $\tfrac12$ . Las dos probabilidades son 0,5, como manda III, y la pureza ha pasado de 1 a 0,5.

(b) El argumento son tres líneas. Bajo una evolución unitaria la matriz densidad va como $\rho \mapsto U\rho U^\dagger$ , de modo que

\operatorname{Tr}\big[(U\rho U^\dagger)^2\big] = \operatorname{Tr}\big[U\rho U^\dagger U\rho U^\dagger\big] = \operatorname{Tr}\big[U\rho^2 U^\dagger\big] = \operatorname{Tr}\big[\rho^2 U^\dagger U\big] = \operatorname{Tr}\rho^2 ,

usando $U^\dagger U = \hat{\mathbb 1}$ en el segundo paso y la ciclicidad de la traza en el tercero. La pureza es un invariante exacto de toda la familia de evoluciones que V permite; como medir la cambia de 1 a 0,5, no existe ninguna U —ni ningún H, ni ningún tiempo— que lo reproduzca. IV no es corolario de V.

(c) Doscientas unitarias al azar aplicadas a $\rho$ , y el mayor cambio de $\operatorname{Tr}\rho^2$ es 3,0 × 10⁻¹⁵. Frente al salto de 0,5 que produce la medida son catorce órdenes de magnitud: no es un efecto pequeño contra otro grande, es cero contra un medio.

(d) Porque los dos enunciados hablan de situaciones distintas: V describe un sistema aislado, y una medida es exactamente lo contrario. Lo que el cálculo demuestra no es una contradicción, sino que hace falta el postulado IV: sin él el formalismo no tendría ninguna regla para el caso en que el sistema deja de estar aislado y produce un registro. Con cuatro postulados no sería más elegante, sería incompleto.

Resultado. «El colapso no es unitario» deja de ser una opinión y pasa a ser una cuenta que cualquiera puede rehacer en un cuaderno. Y queda claro de qué tipo es el hueco: no falta encontrar el hamiltoniano adecuado —el argumento los excluye todos a la vez, sin mirar ninguno—, es que la operación pedida no pertenece a esa clase. Ésa es la razón técnica de que las interpretaciones del I.5 sean tan distintas entre sí: no discuten sobre un cálculo, discuten sobre qué añadir para tapar un hueco que está demostrado que existe. Y todas, sin excepción, tienen que acabar dando 0,5.

V · Unitaria porque H es hermítico, y sólo por eso

El postulado V se suele escribir como la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y aquí se ha escrito como su solución formal, $U(t) = e^{-iHt/\hbar}$ . Son la misma cosa, pero la segunda deja a la vista lo que importa: la hermiticidad de H no es un adorno heredado del postulado II, es la condición exacta que hace que U conserve la norma.

U^\dagger U = e^{+iH^\dagger t/\hbar} e^{-iHt/\hbar} = e^{+iHt/\hbar}e^{-iHt/\hbar} = \hat{\mathbb 1} \quad \Longleftrightarrow \quad H^\dagger = H .

Con un H hermítico 4 × 4 al azar y cuatro instantes repartidos de t = 0,3 a t = 11, el peor $\|UU^\dagger - \hat{\mathbb 1}\|$ es 2,0 × 10⁻¹⁵ y la peor desviación de $\|U\psi\|$ respecto de 1 es 1,4 × 10⁻¹⁵. Propagar por la descomposición espectral de H y exponenciando la matriz entera da lo mismo en 9,5 × 10⁻¹⁵: la comprobación cruzada de que no se mide el error de un solo algoritmo.

El contraejemplo es lo que convierte esto en contenido. Si a ese H se le añade una parte antihermítica —basta con $H \to H - 0{,}2\,i\,\hat{\mathbb 1}$ — la norma deja de conservarse, y no de cualquier manera: se va exactamente como $e^{-0{,}2\,t}$ . Medido, la norma vale 0,8187 en $t = 1$ y 0,5488 en $t = 3$ , y las dos coinciden con la exponencial en 2,7 × 10⁻¹⁶. Y ojo con leer esas cifras como probabilidades: la probabilidad es la norma al cuadrado, así que en $t = 3$ lo que queda es $e^{-1{,}2}$ = 30,1 % y lo que se ha escapado es el 69,9 %, no el 45,1 % que sugiere restar la norma de 1. A la pregunta «¿por qué exige el postulado V que H sea hermítico?» la respuesta no es «porque es un observable», que sería circular, sino porque si no lo es, siete de cada diez unidades de probabilidad han desaparecido en $t = 3$ y no hay dónde encontrarlas.

Ese hamiltoniano no hermítico no es una curiosidad de pizarra: es el potencial óptico de la física nuclear, y se usa precisamente cuando se quiere que la probabilidad desaparezca del canal que se está mirando porque se ha ido a otro. El II.1 lo usó así, con un neutrón saliendo del canal elástico. La regla es la de siempre: un modelo con norma no conservada describe un subsistema, no un sistema — y el postulado V habla de sistemas.

La cuenta: qué es teorema y qué es postulado

Con las cinco secciones anteriores ya se puede hacer el balance del módulo, que es la razón de ser de este artículo. De los cinco enunciados:

I y II son convenios productivos. Se adoptan porque funcionan, y lo que el módulo ha hecho es medir qué compran: I, que la fase global sea irrelevante (7,0 × 10⁻¹⁶); II, que los valores esperados sean reales y que las probabilidades sumen uno (1,8 × 10⁻¹⁵ en 2800 matrices).
V es la dinámica, y su forma está forzada en cuanto se exige conservar la norma: lo único compatible con eso es una familia unitaria —es el contenido del teorema de Wigner—, y entonces su generador es hermítico.
III se puede motivar, pero no se deduce aquí. Gleason demuestra que, en dimensión tres o más, la única asignación de probabilidades coherente con la estructura de proyectores es $p(P) = \operatorname{Tr}(\rho P)$ , o sea Born. Es mucho, pero no es una deducción de I y II sin hipótesis añadidas, y por eso el módulo lo trata como postulado y remite al III.1.
IV no se deduce de nada de lo anterior, y ahora se sabe con qué fuerza: no es que falte encontrar la deducción, es que se ha demostrado que no puede existir dentro de V, porque cambia un invariante exacto de V.

Dos rasgos más, que son los que hacen a IV distinto de los otros cuatro. Es el único que menciona un proceso y no un objeto —los otros dicen qué es algo; IV dice qué ocurre— y es el único que no dice cuándo se aplica: el formalismo no contiene ningún criterio interno que separe «esto es una medida» de «esto es una interacción más», y ése es el problema de la medida en una frase. Cuidado con el error de bulto que viene detrás: el hueco no está en el número, está en el relato. Las probabilidades que IV produce son exactas y llevan un siglo comprobándose; lo que falta es la historia de por qué de las dos ramas sólo se registra una.

Lo que IV no dice, y conviene no añadirle. No dice que haga falta un observador, ni que la conciencia colapse nada, ni cuánto tarda, ni qué cuenta como aparato. Dice una sola cosa: qué estado usar para la próxima predicción, dado que se ha registrado un resultado. Es una regla de actualización, del género de la de Bayes: igual de poco «física» y exactamente igual de imprescindible. Todo lo demás que se lee sobre IV —incluida buena parte de lo que se lee en libros de texto— es interpretación añadida, y el I.5 ya la catalogó con nombres: interpretación de Copenhague, interpretación de muchos mundos, colapso espontáneo, teoría de De Broglie-Bohm, QBismo. El formalismo no elige entre ellas, y este módulo tampoco. Lo que sí hace este módulo es dejar el hueco medido: 0,5 frente a 3 × 10⁻¹⁵. Cualquier interpretación tiene que explicar ese salto, y ésa es la vara de medir con la que conviene leerlas.

La decoherencia explica lo que se ve; no elimina IV. Es el matiz que más se resbala, y se dice con la cuenta ya hecha. Cuando un sistema se enreda con su entorno, su estado reducido es exactamente la $\rho' = \tfrac12\hat{\mathbb 1}$ de arriba, con $\operatorname{Tr}\rho^2 = 0{,}5$ : la decoherencia entrega esa matriz sin postular ningún colapso, sólo con evolución unitaria del conjunto, y además explica por qué la base preferente acaba siendo la de posición. Es un logro grande y resuelve la mitad del problema. Pero la pureza del conjunto sistema más entorno sigue valiendo 1 —ha evolucionado unitariamente— y la $\rho'$ del sistema es una lista de posibilidades con pesos, no un resultado. De «hay dos ramas con peso 0,5» a «ha salido $+1$ » falta exactamente el mismo paso que faltaba antes. La decoherencia plantea mejor el problema de la medida; no lo cierra.

Lo que este módulo ha pagado, y lo que debe

Un módulo de formalismo corre el riesgo de terminar sin que se note qué ha cambiado, así que conviene listar las deudas saldadas con su número al lado.

El artículo 01 convirtió el producto escalar en una definición con tres axiomas en lugar de en una integral, y demostró que la integral es un caso y no la definición: la ley del paralelogramo la cumple la norma de Hilbert (5,6 × 10⁻¹⁶) y no la cumple la norma $\ell^1$ , donde los dos lados valen 8 y 4. De ahí salieron Cauchy-Schwarz y Parseval, y la gaussiana desplazada un $x_0$ quedó descompuesta con $|c_n|^2$ siguiendo una Poisson de $\lambda = d^2/2$ : 0,6065 y 0,3033 para los dos primeros, por tres caminos independientes que coinciden en 6,9 × 10⁻¹⁶.

El artículo 02 pagó la hermiticidad, con los tres contraejemplos que separan «hermítico» de «espectro real» y de «autovectores ortogonales», y con el agujero de xp: el producto de dos hermíticos que no conmutan no es hermítico —su parte antihermítica vale $\hbar$ en norma— y la simetrización lo arregla. Y de paso dejó una advertencia útil: $\langle (xp+px)/2\rangle$ vale cero en las $\psi_n$ , pero no es cero en general —en la gaussiana con chirp $b = 0{,}7$ vale 0,35 ħ—, que es la diferencia entre un observable trivial y uno que mide algo.

El artículo 03 demostró Robertson como Cauchy-Schwarz aplicado a dos vectores, y con ello pagó dos cosas que otros módulos habían usado a crédito. La desigualdad de Kennard $\sigma_x\sigma_p \ge \hbar/2$ quedó como el caso $[x,p]=i\hbar$ , con el fundamental del CO saturándola (0,500000000 ħ) y el pozo de 1 nm sobrando un 13,6 %. Y la cota de Mandelstam-Tamm quedó como el caso $A = H$ : para la mezcla 50/50 del pozo de 1 nm, $\sigma_E$ = 0,564 eV da $\tau \ge$ 0,583 fs, y el batido real es de 3,666 fs, o sea $2\pi$ veces la cota. Ese 0,583 fs es literalmente el número que el II.1 escribió en su resumen en frío con la nota «se demuestra en II.4». Queda demostrado.

Lo que no se ha pagado, con el sitio donde toca. El teorema espectral de aquí es de dimensión finita: el caso infinito, los operadores autoadjuntos con dominio, el espectro continuo y la resolución de la identidad como integral van al III.1, y con ellos Gleason. La degeneración se ha tratado como posibilidad formal; los multipletes de verdad llegan con el momento angular en el II.6. La medida generalizada —los POVM, lo que se hace cuando el aparato no es proyectivo— no aparece en este módulo, y es la generalización natural de III y IV. Y cómo se mide de verdad un observable que no es x ni H no es asunto del formalismo: es del laboratorio.

Ejercicios

Ejercicio 1 · Medir, evolucionar, volver a medir

Un qubit está en $(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$ . Se mide $\sigma_z$ y sale $+1$ . (a) ¿Cuál es el estado inmediatamente después, y con qué postulado? (b) Se deja evolucionar un tiempo $\pi\hbar/\Delta E$ bajo $H = (\Delta E/2)\,\sigma_z$ y se vuelve a medir $\sigma_z$ : ¿qué sale, y con qué probabilidad? (c) ¿Y si la segunda medida es de $\sigma_x$ ? (d) Con $\Delta E$ = 1,128 eV —la del pozo de 1 nm—, ¿cuánto dura esa evolución en femtosegundos?

Solución

(a) $|0\rangle$ , por el postulado IV: el proyector sobre el autoespacio de $+1$ es $|0\rangle\langle 0|$ , y al normalizar queda $|0\rangle$ .

(b) $|0\rangle$ es autoestado de H con autovalor $+\Delta E/2$ , así que $e^{-iHt/\hbar}|0\rangle = e^{-i\Delta E t/2\hbar}|0\rangle$ . Con $t = \pi\hbar/\Delta E$ la fase es $e^{-i\pi/2}$ : una fase global. Por el postulado I no ha cambiado nada, y $+1$ vuelve a salir con probabilidad 1 —comprobado, $|\langle 0|\psi(t)\rangle|^2 = 1$ y la fase medida es $-\pi/2$ exacta—.

(c) $|0\rangle = (|{+}x\rangle + |{-}x\rangle)/\sqrt2$ , así que $\pm 1$ salen al 50 %. La lección: la primera medida destruyó la superposición en z y creó una en x. IV no «reduce» la incertidumbre, la traslada.

(d) $t = \pi\hbar/\Delta E$ . Con $\hbar$ = 0,658212 eV·fs y $\Delta E$ = 1,12809 eV sale $t$ = 1,833 fs, que es $T/2$ del batido de 3,666 fs del artículo 03. No es casualidad: es el tiempo de ortogonalidad de aquella mezcla. Aquí, sobre un autoestado, ese mismo tiempo no hace absolutamente nada — la evolución sólo se nota cuando hay más de una frecuencia.

Ejercicio 2 · La fase que no se ve y la que sí

(a) Demuestra que $\langle A\rangle$ no cambia al multiplicar el estado por $e^{i\theta}$ , para cualquier operador A. (b) Calcula $\langle\sigma_x\rangle$ , $\langle\sigma_y\rangle$ y $\langle\sigma_z\rangle$ en $(|0\rangle + e^{i\phi}|1\rangle)/\sqrt2$ en función de $\phi$ . (c) ¿Para qué $\phi$ se recuperan los dos estados del texto, con $\langle\sigma_x\rangle = \pm 1$ ? (d) Un estudiante concluye que «la fase relativa es física y la global no, luego la fase global es un artefacto matemático que se podría eliminar del formalismo». ¿Dónde falla?

Solución

(a) $\langle e^{i\theta}\psi|A|e^{i\theta}\psi\rangle = e^{-i\theta}e^{i\theta}\langle\psi|A|\psi\rangle = \langle\psi|A|\psi\rangle$ . El bra lleva el conjugado —ésa es la antilinealidad del producto escalar del artículo 01— y las dos fases se cancelan. Nótese que no se ha usado que A sea hermítico: vale para cualquier operador, lo cual es una pista de que I es un enunciado sobre el espacio, no sobre los observables. La comprobación numérica: doscientas fases por cuatro observables, cambio máximo 7,0 × 10⁻¹⁶.

(b) Con $|\psi\rangle = (1, e^{i\phi})/\sqrt2$ en la base de $\sigma_z$ :

\langle\sigma_x\rangle = \cos\phi, \qquad \langle\sigma_y\rangle = \sin\phi, \qquad \langle\sigma_z\rangle = 0 .

La fase relativa recorre el ecuador de la esfera de Bloch. Obsérvese que $\langle\sigma_z\rangle$ no se entera de nada: si sólo se mide $\sigma_z$ , toda la fase relativa es invisible. Que una fase sea o no observable depende también de qué se mide.

(c) $\phi = 0$ da +1 y $\phi = \pi$ da −1, que son los dos valores medidos en el texto. Entre ellos, $\phi = \pi/2$ da $\langle\sigma_x\rangle = 0$ y $\langle\sigma_y\rangle = 1$ : el estado $|{+}y\rangle$ , que es justo el que satura Robertson en el artículo 03 con $\sigma_z\sigma_x = 1$ .

(d) Falla en el «se podría eliminar». La fase global es irrelevante para un sistema entero, pero en cuanto ese sistema es parte de otro mayor su fase deja de ser global y se vuelve relativa — que es justo lo que hace el postulado V con una superposición de autoestados de H: cada sumando adquiere su fase y la diferencia es medible. Eliminarla del formalismo obligaría a reintroducirla en cuanto hubiera dos sumandos. La lección: lo que es convenio en un sistema aislado suele ser observable en un subsistema.

Ejercicio 3 · Un hamiltoniano que pierde norma

Sea $H' = H - i\Gamma$ con H hermítico y $\Gamma$ = 0,2 (en unidades donde $\hbar = 1$ ) multiplicando la identidad. (a) Demuestra que $\|\psi(t)\| = e^{-\Gamma t}\|\psi(0)\|$ . (b) Evalúala en $t = 1$ y $t = 3$ y di qué fracción de la probabilidad ha desaparecido. (c) ¿Sigue siendo $\operatorname{Tr}\rho^2$ un invariante? (d) ¿Contradice esto el postulado V?

Solución

(a) Como $\Gamma\hat{\mathbb 1}$ conmuta con todo, $e^{-iH't} = e^{-iHt}e^{-\Gamma t}$ . El primer factor es unitario y conserva la norma; el segundo es un escalar real que la multiplica. Luego $\|\psi(t)\| = e^{-\Gamma t}$ partiendo de norma 1.

(b) $e^{-0{,}2}$ = 0,8187 y $e^{-0{,}6}$ = 0,5488, que es exactamente lo que da propagar la matriz completa (coinciden en 2,7 × 10⁻¹⁶). La probabilidad es la norma al cuadrado: queda $e^{-0{,}4}$ = 67,0 % en $t = 1$ y $e^{-1{,}2}$ = 30,1 % en $t = 3$ . La vida media de la probabilidad es $\ln 2 / 2\Gamma$ = 1,733, y no $\ln 2/\Gamma$ = 3,466: el factor 2 entre la norma y su cuadrado es el error de bulto de este cálculo.

(c) No, y por dos motivos distintos que conviene no mezclar. Con $\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$ sin renormalizar, $\operatorname{Tr}\rho^2$ decae como $e^{-4\Gamma t}$ simplemente porque el estado se encoge. Si se renormaliza en cada instante, vuelve a valer 1: este hamiltoniano no convierte un puro en una mezcla, sólo lo atenúa. Es una diferencia real con lo que hace el postulado IV, que sí cambia la pureza del estado normalizado, y sirve para ver que «no unitario» no es sinónimo de «reduce la pureza».

(d) No lo contradice: lo respeta. El postulado V habla de sistemas aislados, y un H no hermítico es la manera estándar de describir un subsistema del que la probabilidad se escapa a canales que no se están mirando —el potencial óptico del II.1—. Si se incluye el canal de salida, el hamiltoniano del conjunto vuelve a ser hermítico y la norma total se conserva. La segunda lección: la no conservación de la norma es siempre un aviso de que el espacio de Hilbert elegido es demasiado pequeño.

Ejercicio 4 · Un observable que no es la posición

En el oscilador armónico, sea $N = a^\dagger a$ el operador número. (a) ¿Es hermítico? (b) ¿Cuáles son sus autovalores y autoestados? (c) Se mide N sobre $(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$ : resultados, probabilidades y estado posterior en cada caso. (d) ¿Conmuta N con H? ¿Se pueden medir a la vez? (e) Para el CO del II.3, calcula $\langle H\rangle$ y $\sigma_E$ de ese estado, la cota de Mandelstam-Tamm que le corresponde y el periodo del batido.

Solución

(a) Sí: $N^\dagger = (a^\dagger a)^\dagger = a^\dagger a = N$ , usando $(XY)^\dagger = Y^\dagger X^\dagger$ . Comprobado, $\|N - N^\dagger\| = 0$ exacto. Es el caso complementario del agujero de xp del artículo 02: un producto $X^\dagger X$ siempre es hermítico —y además semidefinido positivo—, mientras que el producto de dos hermíticos que no conmutan no lo es nunca.

(b) $n = 0, 1, 2, \dots$ con autoestados $|n\rangle$ ; el guion lo comprueba sobre los sesenta primeros con una desviación de 7,1 × 10⁻¹⁵.

(c) Sale 0 o 1, cada uno con probabilidad 0,5, y el estado queda en $|0\rangle$ o $|1\rangle$ respectivamente. El valor esperado $\langle N\rangle = \tfrac12$ no es un resultado posible, cosa que conviene decir en voz alta: el postulado II sólo permite autovalores, y $\tfrac12$ no lo es.

(d) $H = \hbar\omega(N + \tfrac12)$ , así que $[N,H] = 0$ —cero exacto en el bloque calculado—. Son compatibles, y de hecho son el mismo observable salvo un desplazamiento y un factor: medir N es medir la energía.

(e) Con $\hbar\omega$ = 269,0 meV para el CO, $\langle H\rangle = \hbar\omega(\tfrac12 + \tfrac12) = \hbar\omega$ = 269,0 meV, y la dispersión de una mezcla al 50 % de dos niveles contiguos es la mitad de su separación: $\sigma_E = \hbar\omega/2$ = 134,5 meV. La cota de Mandelstam-Tamm sale de ahí:

\tau \ \ge\ \frac{\hbar}{2\sigma_E} = \frac{\hbar}{\hbar\omega} = \frac{1}{\omega} = 2{,}447\ \text{fs} ,

y el periodo del batido es $T = 2\pi/\omega$ = 15,37 fs, es decir $2\pi$ veces la cota. Es exactamente la misma relación que en el pozo de 1 nm del artículo 03 —0,583 fs y 3,666 fs—, y no es coincidencia: $T/\tau = 2\pi$ es la identidad $h = 2\pi\hbar$ disfrazada, y no depende del sistema. Dos sistemas físicos sin nada en común dan el mismo factor porque el factor no es de ellos.

Ejercicio 5 · El orden de dos medidas

Sobre $|\psi\rangle = (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$ se hacen dos medidas seguidas. (a) Orden A: primero $\sigma_z$ , luego $\sigma_x$ . Da la probabilidad de cada uno de los cuatro pares de resultados. (b) Orden B: primero $\sigma_x$ , luego $\sigma_z$ . Lo mismo. (c) Calcula $\operatorname{Tr}\rho^2$ justo después de la primera medida en cada orden, sin mirar el resultado. (d) ¿Qué magnitud del par de experimentos no depende del orden? (e) Los mismos dos postulados, con un observable degenerado, que es donde «el estado salta al autovector» deja de valer. Toma A = diag(1, 1, 2) —la del ejercicio 6 del artículo 02, con el autovalor 1 doble— y $|\psi\rangle = (1,\,2i,\,2)/3$ . Calcula p(1) con el proyector del postulado III y escribe el estado posterior. Gira ahora la base interna del autoespacio con una unitaria 2 × 2 cualquiera: di qué se mueve y qué no, y da el intervalo que recorren los dos sumandos $|\langle 1,i|\psi\rangle|^{2}$ al hacerlo. De las tres cantidades —p(1), el estado posterior y cada sumando por separado—, ¿cuál es una predicción y por qué las otras no?

Solución

(a) La primera medida da $\pm 1$ al 50 % y deja $|0\rangle$ o $|1\rangle$ . En cualquiera de los dos, $\langle\sigma_x\rangle = 0$ y la segunda medida vuelve a ser una moneda al aire. Los cuatro pares salen por tanto al 25 % cada uno.

(b) Aquí está la gracia: $|\psi\rangle$ es $|{+}x\rangle$ , porque $\langle\sigma_x\rangle = 1$ y $\sigma_x^2 = \hat{\mathbb 1}$ obligan a que sea autoestado. La primera medida da $+1$ con probabilidad 1 y no cambia el estado; la segunda da $\pm 1$ al 50 %. Sólo hay dos pares con probabilidad no nula, 50 % y 50 %, y los otros dos son imposibles.

(c) En el orden A, medir $\sigma_z$ sin mirar deja $\tfrac12\hat{\mathbb 1}$ y la pureza baja de 1 a 0,5. En el orden B, medir $\sigma_x$ sobre uno de sus propios autoestados no cambia nada: $\rho' = \rho$ y $\operatorname{Tr}\rho^2$ sigue valiendo 1. Ahí se ve la letra pequeña del postulado IV: una medida sólo perturba si el estado no era ya autoestado del observable. No hay ninguna «perturbación mínima» inevitable por el hecho de medir.

(d) Ninguna de las distribuciones, que es lo interesante: las dos medidas no conmutan y el experimento depende del orden, cosa que no ocurriría con dos observables compatibles como el N y el H del ejercicio 4. Lo único común es que el estado final, rama a rama, es siempre autoestado de la segunda medida. La segunda lección: la incompatibilidad no está en el aparato, está en el conmutador, y el artículo 03 ya le puso cifra con $\sigma_z\sigma_x \ge |\langle\sigma_y\rangle|$ .

(e) El proyector sobre el autoespacio de 1 es P₁ = diag(1, 1, 0), de modo que $p(1) = \|P_1|\psi\rangle\|^{2} = (1 + 4)/9 = 5/9 = 0{,}5556$ y p(2) = 4/9 = 0,4444: suman 1 sin que haya hecho falta elegir ninguna base del autoespacio. El estado posterior es $P_1|\psi\rangle/\|P_1|\psi\rangle\| = (1,\,2i,\,0)/\sqrt5$ , que sigue siendo una superposición dentro del autoespacio y no un autovector señalado. Al girar la base interna con una unitaria R de dimensión dos, P₁ no se mueve —vuelve a ser $RR^\dagger = \hat{\mathbb 1}$ — y con él se quedan quietos p(1) y el estado posterior; los sumandos no: cada $|\langle 1,i|\psi\rangle|^{2}$ recorre el intervalo [0, 5/9] entero según cómo se etiqueten los ejes, con su suma clavada en 5/9 —doscientas mil rotaciones al azar la mueven 1,0 × 10⁻¹⁵—. Predicciones son p(1) y el estado posterior; el sumando suelto no lo es, porque depende de una elección que nada obliga a hacer. La segunda lección es la que se transfiere al II.5 y al II.6: la degeneración no añade probabilidad, añade una arbitrariedad, y el proyector es exactamente el objeto que la absorbe. Compárese con (b): allí el estado posterior era un autovector concreto porque $\sigma_x$ no tiene autovalores repetidos, y esa diferencia es toda la letra pequeña del postulado IV.

Ejercicio 6 · Qué postulado se cae en cada interpretación

(a) ¿Cuál de los cinco postulados desaparece si se adopta Everett? (b) ¿Y si se adopta un modelo de colapso espontáneo tipo GRW? (c) ¿Por qué III es más difícil de soltar que IV? (d) Todas estas propuestas tienen que reproducir el mismo número medido en este artículo. ¿Cuál es, y qué tiene que decir cada una sobre él?

Solución

(a) Desaparece IV: no hay actualización, hay ramificación, y la evolución es unitaria siempre. El precio es que III se vuelve el problema —si todas las ramas ocurren, ¿de dónde salen los pesos 0,5?—, y de hecho la literatura de Everett es en gran parte literatura sobre cómo recuperar Born.

(b) Se modifica V: la ecuación gana un término estocástico que localiza el estado espontáneamente. IV deja de ser postulado y pasa a ser un teorema aproximado, válido cuando el número de partículas hace que la localización sea rapidísima. La ventaja de esta familia es que es falsable: al cambiar V predice desviaciones de la interferencia en objetos grandes, y los experimentos de interferometría con moléculas van acorralando sus parámetros.

(c) Porque III es lo único que conecta el formalismo con un número medido. I, II, IV y V se pueden reescribir o reinterpretar sin tocar ninguna predicción; si se toca III cambian las frecuencias que salen del laboratorio, y ésas están comprobadas con una precisión enorme. Ésta es también la razón de que las interpretaciones sean interpretaciones y no teorías rivales: casi todas coinciden con la mecánica cuántica de siempre precisamente porque conservan III.

(d) El número es la pureza: 1 antes de medir y 0,5 después, con la evolución unitaria conservándola en 3 × 10⁻¹⁵. Everett dice que la pureza del universo entero sigue siendo 1 y que 0,5 es la de una rama vista desde dentro. GRW, que 0,5 es real y que el proceso que la produce es físico y estocástico. De Broglie-Bohm, que es una propiedad de la información sobre una configuración que siempre fue una. El QBismo, que es la apuesta actualizada de un agente. Cuatro relatos incompatibles, el mismo 0,5 y ningún experimento que los separe hoy: eso es lo que significa que IV sea un postulado y no un teorema — y por qué el colapso espontáneo es el único de los cuatro que puede acabar refutado en un laboratorio.

Resumen en frío

Módulo II.4 · El formalismo, en una tabla

Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Cada fila se ha rehecho desde el verificador, no copiada del párrafo que la enuncia: el recálculo vive en scripts/verificar-formalismo.py —2859 líneas, 313 comprobaciones cruzadas y 141 afirmaciones—, cuya sección 12 vuelve a montar estas cifras por caminos independientes y falla si alguna no cuadra. Que eso no es un formalismo lo demuestra esta misma tabla: en su versión anterior copiaba del texto que la suma de Parseval del panel llegaba a n = 15 —llega a 12— y que la simetrizada de xp valía cero «en la gaussiana», cuando en la gaussiana con chirp vale 0,35 ħ. Y las cifras que dependen de leer un panel se vuelven a leer del panel: el de Robertson se reescribió y la sección 11.2 mide sobre el fichero nuevo que anuncia las 1439 saturaciones verdaderas —la versión anterior anunciaba 362— sin un solo falso positivo. Convenios: los errores del tipo «3 × 10⁻¹⁵» son la peor desviación medida sobre un muestreo, o sea cero con el ruido de la máquina dentro; los tildes de las matrices centradas, $\tilde A \equiv A - \langle A\rangle$ ; ħ = 0,658212 eV·fs en todo el módulo. Pensada para leerse dentro de seis meses sin releer nada.

Qué	Fórmula o valor	Dónde
Producto escalar, los tres axiomas	Lineal en el ket y antilineal en el bra; ⟨φ\|ψ⟩* = ⟨ψ\|φ⟩; ⟨ψ\|ψ⟩ ≥ 0 con igualdad sólo en ψ = 0	art. 01
… comprobados sin ninguna integral	400 tercias al azar en ℂᵈ: peor desviación 9,9 × 10⁻¹⁶	art. 01
Identidad de polarización	⟨φ\|ψ⟩ se reconstruye con cuatro normas (4,6 × 10⁻¹⁶): el escalar no añade nada a la norma	art. 01
Ley del paralelogramo	‖a+b‖² + ‖a−b‖² = 2‖a‖² + 2‖b‖²; es el test de si una norma procede de un producto escalar	art. 01
Una norma que no lo pasa	En ℓ¹ los dos lados valen 8 y 4: ℓ¹ no procede de ningún producto escalar	art. 01
Cauchy-Schwarz	\|⟨φ\|ψ⟩\|² ≤ ⟨φ\|φ⟩⟨ψ\|ψ⟩; máximo 0,9737 en 200 pares al azar; satura si y sólo si φ ∥ ψ	art. 01
… y el λ que la produce	λ = ⟨ψ\|φ⟩/⟨ψ\|ψ⟩ minimiza ‖φ − λψ‖², y el mínimo vale ⟨φ\|φ⟩ − \|⟨φ\|ψ⟩\|²/⟨ψ\|ψ⟩	art. 01
… en L²(ℝ), donde sí hay integral	⟨f₁\|f₁⟩ = 1,253 · ⟨f₂\|f₂⟩ = 1,975 · ⟨f₁\|f₂⟩ = 0,418 ⇒ cociente 0,0707	art. 01
Base ortonormal	⟨n\|m⟩ = δₙₘ; por cuadratura hasta n = 12, peor caso 1,6 × 10⁻¹⁵	art. 01
Parseval	Σ\|cₙ\|² = ‖ψ‖² = 1 si y sólo si la base es completa	art. 01
… a mano en ℂ²	(3\|0⟩+4\|1⟩)/5: 9/25 + 16/25 = 1	art. 01
Gaussiana desplazada un x₀	\|cₙ\|² es Poisson de λ = d²/2 = 0,5: 0,6065 · 0,3033 · 0,07582 · 0,01264 para n = 0…3	art. 01
… por tres caminos que coinciden	Poisson cerrada, cuadratura y ⟨n\|D(α)\|0⟩: 6,9 × 10⁻¹⁶	art. 01
… y su energía	⟨n⟩ = d²/2 y ⟨H⟩/ħω = d²/2 + ½: vale 1,000 en d = 1 y 5,000 en d = 3	art. 01
Resto de truncar en N niveles	d = 1: 1,72 × 10⁻⁴ (N=4) · 3,44 × 10⁻⁹ (8) · 1,23 × 10⁻¹⁴ (12). d = 3: 0,4679 · 0,04026 · 8,05 × 10⁻⁴	art. 01
Con qué ley converge	R(N)/R(N+1) → (N+2)/λ: es factorial, no exponencial; el primer término omitido se lleva el 69 % del resto en N = 12, d = 3	art. 01
Resolución de la identidad	Σ\|n⟩⟨n\| = 1̂; Pₙ² = Pₙ y PₙP_m = 0, exacto en el bloque truncado	art. 01
Qué cuesta recortarla	Tirar \|0⟩⟨0\| en d = 1 deja 0,3935 = 1 − e^−1/2: se ha perdido el 60,65 %	art. 01
… y en ℂ²	Tirar \|1⟩⟨1\| en (3\|0⟩+4\|1⟩)/5 pierde el 64 %; la norma que queda es 3/5	art. 01
Panel · Parseval en vivo	Rejilla de 401 puntos en ξ ∈ [−8, 8]; d de 0 a 3 con paso 0,05 y corte N de 0 a 12	art. 01
… y su letra pequeña	El «Resto» suma la cola: en d = 1 acierta siete cifras, su suelo es del orden de 10⁻³⁰, y con N = 4 y d = 3 deja fuera 0,4679	art. 01
Observable = operador hermítico	A† = A ⇒ autovalores reales y autovectores ortonormales: en 2800 matrices al azar, 1,0 × 10⁻¹⁵ y 2,7 × 10⁻¹⁵	art. 02
Teorema espectral (dimensión finita)	A = Σ λᵢ\|vᵢ⟩⟨vᵢ\| a 7,3 × 10⁻¹⁵; LAPACK y el polinomio característico coinciden en 1,1 × 10⁻¹³	art. 02
Ejemplo de referencia	A = [[1, i], [−i, 2]]: λ = 0,382 y 2,618; traza 3, determinante 1; λ₊ = φ² con φ la razón áurea	art. 02
Espectro real NO implica hermítica	[[1,1],[0,2]]: λ = 1 y 2 reales, ‖T − T†‖ = 1, y los autovectores forman 45° (\|⟨v₁\|v₂⟩\| = 1/√2)	art. 02
… y qué rompe eso	Σ\|⟨aᵢ\|ψ⟩\|² recorre [0,293, 1,707] en 4000 estados: Born deja de sumar 1, con límites 1 ∓ 1/√2	art. 02
Autovectores ortogonales NO implica hermítica	Cualquier unitaria: base ortonormal y espectro en el círculo unidad, con Im λ de hasta 0,999	art. 02
El enunciado correcto	Hermítica ⟺ normal ([A, A†] = 0) y espectro real; con autovalores complejos sale normal y no hermítica (4,4 × 10⁻¹⁵)	art. 02
PT-simétrica	\|λ\| = √(1 − γ²): 0,866 en γ = 0,5; en γ = 1,5 el espectro es ±1,118i; en el punto excepcional \|⟨v₁\|v₂⟩\| → 1	art. 02
Qué falla de verdad sin hermiticidad	max\|Im⟨A⟩\| = ‖(A − A†)/2i‖ = 0,5 en los dos contraejemplos, frente a 3,3 × 10⁻¹⁶ en una hermítica	art. 02
Antihermítico	D = d/dx cumple D† = −D y tiene espectro imaginario puro; por eso p̂ = −iħ d/dx sí es hermítico (‖p̂ − p̂†‖ = 0)	art. 02
El agujero de xp	(xp)† = px ≠ xp; la parte antihermítica vale ‖xp − (xp)†‖ = ħ exacto	art. 02
Simetrización	(xp + px)/2 sí es hermítica: ‖sim − sim†‖ = 0	art. 02
Lo que no depende del estado	Im⟨xp⟩ = ħ/2 en 400 superposiciones de Fock al azar (1,3 × 10⁻¹⁵), mientras Re⟨xp⟩/ħ recorre [−6,93, 9,14]	art. 02
La simetrizada en ψₙ	⟨(xp+px)/2⟩ = 0 para n = 0…4 — y no es una identidad general	art. 02
… y donde no vale cero	Gaussiana con chirp b = 0,7: ⟨(xp+px)/2⟩ = 0,35 ħ = bħ/2, con ⟨ξ²⟩ = ½ y ⟨π²⟩ = (1+b²)/2 = 0,745	art. 02
Degeneración y conmutación	Si [A,B] = 0 y A no es degenerada, B\|a⟩ ∥ \|a⟩; con degeneración pueden formar 90° y B\|a⟩ sigue dentro del autoespacio	art. 02
CO, los datos que hereda del II.3	μ = 6,856 u · ω = 4,087 × 10¹⁴ rad/s · x₀ = 4,761 pm · ħω = 269,0 meV	art. 02
Robertson	σ_Aσ_B ≥ \|⟨[A,B]⟩\|/2, de Cauchy-Schwarz aplicado a los dos vectores centrados	art. 03
Schrödinger, la versión fina	Añade el anticonmutador; en 3000 tercias supera a Robertson en hasta el 99 % del producto σ_Aσ_B	art. 03
Ninguna de las dos se viola	3000 tercias (A, B, ψ): margen mínimo +7,1 × 10⁻⁶ con Robertson y −8,9 × 10⁻¹⁶ con Schrödinger, o sea cero	art. 03
Cuándo satura	Cuando los dos vectores centrados son paralelos; construido a propósito en d = 3, 4 y 5 con igualdad exacta	art. 03
Kennard	σ_xσ_p ≥ ħ/2, el caso [x, p] = iħ de Robertson	art. 03
Quién satura Kennard	El fundamental del CO: 0,500000000 ħ por cuadratura, con σ_x = 3,366 pm, σ_p = 1,566 × 10⁻²³ kg·m/s y σ_p/μ = 1376 m/s	art. 03
… y quién no	Pozo de 1 nm, n = 1: σ_x = 0,1808 nm y σ_xσ_p = 0,5679 ħ, un 13,6 % por encima del mínimo; en n = 10 son ya 9,041 ħ	art. 03
… ni la gaussiana con chirp	σ_ξσ_π = √(1+b²)/2 = 0,6103 ħ, un 22,1 % de sobra sobre Kennard — y ahí Schrödinger sí satura	art. 03
Mandelstam-Tamm	τ_B ≡ σ_B/\|d⟨B⟩/dt\| ≥ ħ/2σ_E: es Robertson con A = H	art. 03
Ehrenfest, con su signo	d⟨B⟩/dt = ⟨[B, H]⟩/iħ — con [H, B] sale al revés; comprobado a 1,6 × 10⁻⁸ contra diferencias finitas	art. 03
Pozo de 1 nm, mezcla 50/50 de n = 1 y 2	ΔE = 1,128 eV · σ_E = 0,564 eV · cota τ = 0,583 fs · batido T = 3,666 fs = 2π τ	art. 03
La cota es del estado; saturarla es del observable	El centroide no la satura (τ_x mínimo 0,7363 fs = 1,262 cotas); el pseudoespín \|1⟩⟨2\| + \|2⟩⟨1\| la satura en todo instante (1,000)	art. 03
Tiempo de ortogonalidad	t_⊥ = πħ/ΔE = T/2 = 1,833 fs = π τ; satura a la vez Mandelstam-Tamm y Margolus-Levitin	art. 03
Amplitud del vaivén	σ_x(0) = 0,1387 nm y 2\|⟨1\|x\|2⟩\| = 0,3603 nm, con ⟨1\|x\|2⟩ = −16L/9π²	art. 03
Mezcla 90/10 (el sen³ del pozo)	\|c₁\|² = 0,9 y \|c₃\|² = 0,1; ⟨H⟩ = 0,677 eV; σ_E = 0,902 eV; τ = 0,365 fs (no 0,364); T = 1,375 fs = 1,2π τ	art. 03
… y nunca se vuelve ortogonal a sí misma	El solape no baja de \|p₁ − p₃\| = 0,8	art. 03
Qubit que satura Robertson	\|+y⟩: σ_zσ_x = \|⟨σ_y⟩\| = 1	art. 03
Dónde está la igualdad, exhaustivamente	De las 65 341 posiciones del panel saturan 1439, las de ⟨σ_x⟩⟨σ_z⟩ = 0, y el panel las anuncia todas (antes, 362)	art. 03
Una cota que vale cero y no prohíbe nada	(60°, 0°): producto 0,433 con cota 0 — Robertson se cumple sin decir nada	art. 03
Saturar no es ser autoestado	(30°, 90°): satura con cota 0,5 y \|⟨σ_y⟩\| = 0,5	art. 03
Postulado I · el estado	Vector normalizado de un espacio de Hilbert; dos vectores que difieren en una fase global son el mismo estado	art. 04
… medido	200 fases globales × 4 observables no mueven ningún ⟨A⟩: 7,0 × 10⁻¹⁶	art. 04
… y la fase relativa sí	⟨σ_x⟩ pasa de +1 a −1 entre (\|0⟩+\|1⟩)/√2 y (\|0⟩−\|1⟩)/√2; en general ⟨σ_x⟩ = cos φ y ⟨σ_y⟩ = sen φ	art. 04
Postulado II · el observable	Operador hermítico; el resultado de una medida es siempre uno de sus autovalores — y ⟨A⟩ no tiene por qué ser uno de ellos	art. 04
Postulado III · Born	p(a) = ‖P_aψ‖², con P_a el proyector sobre el autoespacio; sin degeneración, \|⟨a\|ψ⟩\|²	art. 04
… suma 1	1,8 × 10⁻¹⁵ en 2800 hermíticas al azar; y ⟨A⟩ = Σ aᵢpᵢ a 6,2 × 10⁻¹⁵	art. 02, 04
… y con degeneración no depende de la base interna	‖Pψ‖² = 0,5278, invariante a 5,6 × 10⁻¹⁶ bajo 200 rotaciones internas del autoespacio	art. 04
… mientras sus sumandos no significan nada	Los \|⟨a,i\|ψ⟩\|² sueltos recorren de 0,0036 a 0,5277 con esas mismas rotaciones: el supremo es la probabilidad entera	art. 04
Postulado IV · la actualización	Tras obtener a, el estado es P_a\|ψ⟩/‖P_aψ‖ — la proyección entera, no un autovector concreto	art. 04
… no selectiva (se mide y no se mira)	ρ ↦ Σ P_aρP_a: para (\|0⟩+\|1⟩)/√2 y σ_z queda ½·1̂, con p(±1) = 0,5	art. 04
… condicionada (se mira)	Tras +1 el estado es \|0⟩: repetir da +1 con probabilidad 1, y ⟨σ_x⟩ = 0	art. 04
Postulado V · la evolución	\|ψ(t)⟩ = e^−iHt/ħ\|ψ(0)⟩ con H hermítico; cada autoestado gira a E_n/ħ sin cambiar de módulo	art. 04
… es unitaria y conserva la norma	‖UU† − 1̂‖ hasta 2,0 × 10⁻¹⁵ y \|‖Uψ‖ − 1\| hasta 1,4 × 10⁻¹⁵; propagar por el espectro o exponenciando coincide en 9,5 × 10⁻¹⁵	art. 04
… y sin hermiticidad se pierde probabilidad	Con −0,2i en H la norma cae como e^−0,2t y la probabilidad como e^−0,4t: en t = 3 queda el 30,1 %, no el 54,9 %	art. 04
Matriz densidad y pureza	ρ = \|ψ⟩⟨ψ\| para un estado puro; Tr ρ² = 1 puro, y ½ es el mínimo en dimensión dos	art. 04
La pureza es invariante de toda unitaria	Tr[(UρU†)²] = Tr ρ² por la ciclicidad de la traza; medido, 3,0 × 10⁻¹⁵ en 200 unitarias al azar	art. 04
Por qué IV no se deduce de V	Medir lleva Tr ρ² de 1 a 0,5 y ⟨σ_x⟩ de 1 a 0; V conserva la pureza exactamente. Catorce órdenes de magnitud entre las dos cosas	art. 04
El balance del módulo	I y II son convenios; V la fuerza la norma; III se demuestra en el III.1; IV no se deduce de nada de lo anterior	art. 04
Lo que IV no dice	Ni observador, ni conciencia, ni cuánto tarda, ni qué cuenta como aparato: sólo qué estado usar para la próxima predicción	art. 04
Qué aporta la decoherencia, y qué no	Entrega la misma ρ con Tr ρ² = 0,5 sin postular colapso, y explica la base preferente; no explica por qué se registra una rama y no la otra	art. 04
Medir, evolucionar, volver a medir	Tras +1, evolucionar πħ/ΔE bajo H = (ΔE/2)σ_z añade la fase e^−iπ/2 y nada más: p(+1) = 1; medir σ_x da ±1 al 50 %	art. 04
El orden de dos medidas	σ_z y luego σ_x: cuatro pares al 25 %. Al revés: dos pares al 50 % y dos imposibles. Medir un observable del que ya se es autoestado no perturba	art. 04
Operador número	N = a†a: N† = N, autovalores 0, 1, 2…, y [N, H] = 0 con H = ħω(N + ½) — medir N es medir la energía	art. 04
… medido en el CO	(\|0⟩+\|1⟩)/√2: ⟨N⟩ = ½ · ⟨H⟩ = ħω = 269,0 meV · σ_E = 134,5 meV · cota τ = 2,447 fs · batido 15,37 fs = 2π τ	art. 04
El 2π que no es de ningún sistema	T/τ = 2π en el pozo de 1 nm (3,666/0,583) y en el CO (15,37/2,447): es la identidad h = 2πħ, no un resultado	art. 03, 04
Constantes que usa el módulo	De CODATA 2022 vía `constants.ts`: ħ = 0,658212 eV·fs · h = 4,13567 × 10⁻¹⁵ eV·s · las derivadas coinciden con scipy exactamente	todo el módulo