1,0000 bits. Eso es lo mínimo que puede sumar H(Z) + H(X) —las entropías de las dos lecturas de un qubit, en la base de σz y en la de σx— buscado sobre 200 000 estados tomados al azar. Ninguno baja de ahí, y no es puntería del muestreo: el número sale entero de una propiedad del cambio de base, el solapamiento máximo c = 1/2 entre las dos, y vale log2(1/c). El estado no aparece en la cuenta. Este artículo va de eso: x y p no son dos aparatos distintos sino dos bases del mismo espacio, la transformada de Fourier es la matriz que las conecta, y casi todo lo que se puede decir sobre «no se pueden afinar las dos a la vez» está escrito en esa matriz antes de que nadie prepare nada.
La gaussiana, dibujada donde de verdad vive: el plano (x, p). La elipse es su matriz de covarianza; las dos curvas de los márgenes son sus sombras, |ψ(x)|² y |φ(p)|². La caja de puntos tiene lados 2σx × 2σp, que es lo único que la relación de Robertson mira. Mueve el segundo mando: la caja crece y la elipse no.
Las dos barras cortas marcan 2σx y 2σp, o sea los lados de la caja. La elipse toca la caja en dos puntos y sólo dos: por eso ninguna cota que se fije en la caja puede ver la inclinación, y la inclinación es justo lo que crece con κ.
σx = a₀ y sin chirp: es la gaussiana del ejemplo resuelto 1, con vrms = 1094 km/s, la mitad de los 2188 km/s de la velocidad de Bohr. La elipse es un rectángulo redondeado que toca la caja por los cuatro lados, y el producto vale exactamente 1/2 de ħ.
La unitaria, y qué es exactamente lo que conserva
En ℝ —sin paredes, sin extremos, sin borde— x y p sí son autoadjuntos: x como multiplicación sobre las ψ tales que xψ sigue estando en L², y p sobre el espacio de Sobolev de las ψ cuya derivada está en L². El artículo 01 explicó por qué ese «sin borde» es toda la diferencia. Aquí se cobra la consecuencia: hay dos bases, y hay una matriz que va de una a otra.
Esto no es una definición nueva: es la misma fórmula que el II.1 usó como receta para pasar del espacio de posiciones al de momentos. Lo que cambia aquí es el estatus. Antes era un cálculo; ahora es el elemento de matriz entre dos bases de autovectores generalizados, la del espectro continuo de x y la del de p. El artículo 02 ya avisó de lo que eso cuesta: ni |x⟩ ni |p⟩ están en L², y la normalización que les toca es ⟨p|p′⟩ = δ(p − p′), no un uno.
El teorema que convierte ese cambio de coordenadas en algo con derechos es Plancherel: la transformada es una isometría de L²(ℝ) sobre L²(ℝ). Guarda el producto escalar entero, y en particular la norma:
Es el Parseval del II.4 —el de la base discreta, el del panel que reparte una función entre los primeros modos del pozo— con la suma cambiada por una integral. Y es lo que hace que la frase «la probabilidad de encontrar el momento entre p y p + dp es |φ(p)|² dp» no sea una convención añadida a mano: si la norma no se conservase, esa densidad no sumaría uno y no habría nada que interpretar.
El guion lo mide sobre tres anchuras distintas, en unidades donde ħ = 1, con la integral de la izquierda por cuadratura y la de la derecha por FFT sobre la rejilla, que son dos algoritmos que no comparten cuentas: para σ = 0,5, 1 y 2 las dos integrales coinciden con discrepancia relativa 6,8 × 10⁻¹³, y en las tres la norma vale 1 en las dieciséis cifras del doble. En las mismas tres rejillas se mide σp y se compara con ħ/(2σ): coinciden con rel = 0 —los mismos bits— y el producto σxσp sale ħ/2 en las tres.
Conviene decir enseguida qué es lo que Plancherel no da, porque es la mitad del módulo. Da que la unitaria está definida en todo L² y que no pierde nada por el camino. No da que a cualquier ψ de L² se le pueda preguntar por su momento. Son dos cosas distintas y la diferencia es un dominio: la unitaria es un cambio de coordenadas y está definida siempre; el operador p multiplica por p en la representación de momentos, y esa multiplicación puede sacar la función de L². La sección del recorte, dos epígrafes más abajo, exhibe el caso, que además es el más corriente que se pueda escribir. Y hay una segunda asimetría, más fácil de olvidar: aquí las dos bases son continuas, así que ni |x⟩ ni |p⟩ son estados —no están normalizados a uno, ni pueden estarlo— y lo único que tiene sentido en las dos representaciones es la densidad, |ψ(x)|² dx y |φ(p)|² dp. «La probabilidad de que el momento valga p» es una frase correcta en el discreto y una frase sin referente aquí: la probabilidad de que valga p exactamente es cero para todo p, y lo que se puede preguntar es la probabilidad de que caiga en un intervalo.
Y hay un detalle de esa matriz que conviene tener a mano desde ya, porque en la última sección se convierte en el eje del artículo: su módulo no depende de nada. |⟨x|p⟩|² = 1/(2πħ), el mismo valor para todo x y todo p. En el lenguaje de las bases finitas eso se dice así: todos los elementos de la matriz del cambio de base tienen el mismo tamaño, o sea que cada estado bien definido en una base está repartido lo más uniformemente posible en la otra. Un cambio de base así se llama insesgado, y de esa propiedad —de la matriz, no del estado— sale la cota del final.
σx = a₀: dónde queda el 1s, y por qué le falta un factor 4 de energía
Antes de sacarle partido, conviene ver qué da la unitaria en un caso que el lector ya conoce por otro lado. La gaussiana es el estado privilegiado del cambio de base: su transformada vuelve a ser una gaussiana, y el producto de las dos anchuras vale exactamente ħ/2. Si se le da la anchura del átomo de hidrógeno, ¿sale el átomo de hidrógeno?
Problema. Toma una gaussiana en ℝ con la anchura del radio de Bohr, σx = a₀ = 52,918 pm. Calcula σp, la velocidad cuadrática media vrms = σp/me y la energía cinética media ⟨T⟩. Compáralas con lo que el sitio ya publica del estado 1s del hidrógeno y explica cualquier discrepancia.
Solución. La gaussiana normalizada y su transformada son
El exponente de φ sale del de ψ sin más que completar el cuadrado en la integral, y de ahí la relación recíproca entre las dos anchuras: el producto es ħ/2 y no depende de σx. Con σx = a₀,
Dividiendo por la masa del electrón, vrms = 1094 km/s. El II.1, en su artículo 04, publica la velocidad de Bohr, v = ħ/(mea₀) = αc, que vale 2188 km/s. El 1s no es gaussiano: el cociente entre las dos velocidades es exactamente 2 —medido en la rejilla contra la forma cerrada, con rel = 0—, así que la gaussiana se mueve la mitad de deprisa que el electrón del átomo.
La energía cinética hereda el cuadrado de ese cociente. Como ⟨p⟩ = 0, la energía cinética media es ⟨T⟩ = σp²/2me:
Medido sobre la rejilla y comparado con el Ry de CODATA por un camino que no comparte la cuadratura, el cociente Ry/⟨T⟩ sale 4,000 000 con rel = 4 × 10⁻¹³.
Resultado. Casar un momento no casa un estado. La gaussiana tiene la anchura del 1s y sólo la cuarta parte de su energía cinética, y el 4 no es un accidente numérico: el teorema del virial obliga al 1s a tener ⟨T⟩ = −E = Ry, mientras que una gaussiana de esa misma anchura se queda en Ry/4. El 1s paga por su cúspide en el origen —la e−r/a₀ tiene un pico, no un máximo suave— y una cúspide cuesta momento. La lección práctica es incómoda y hay que decirla: una gaussiana ajustada a ⟨x²⟩ es una aproximación decente de la forma y una aproximación mala de la energía, y el error no es del 10 %: es un factor 4. Quien use gaussianas como base —y medio mundo de la química cuántica lo hace— necesita varias por orbital justamente por esto.
Nótese de paso una comprobación que sale gratis y que conviene tener en la cabeza cuando se manejan estos órdenes: con σx = 100 pm exactos, σp = ħ/(2 × 10⁻¹⁰ m) = 5,273 × 10⁻²⁵ kg m/s, con la misma mantisa que el ħ/2 = 5,273 × 10⁻³⁵ J s que el II.1 publicó en su artículo 03. No es casualidad ni coincidencia bonita: es que 100 pm es 10⁻¹⁰ m clavados y la división sólo mueve el exponente. Sirve como cifra de referencia para detectar un factor 2 perdido de un vistazo.
El recorte: dentro de L², fuera del dominio de p
Plancherel dice que la unitaria está definida en todo L². El operador p, no. Ésa es la asimetría que este módulo existe para señalar, y hay un estado de una línea que la enseña entera: el recorte, ψ(x) = L−1/2 dentro de [0, L] y cero fuera.
Es una función perfectamente legal: continua a trozos, acotada, de soporte compacto, y normalizada —el guion mide ‖ψ‖² = 1 hasta la duodécima cifra decimal—. Está en L² sin discusión. Su transformada se hace de cabeza:
La envolvente de |φ(p)|² cae como 1/p², o sea que |φ(p)| cae como 1/p. Eso basta para que la integral de |φ|² converja —la norma es 1, ya lo hemos dicho— y no basta para nada más. La energía cinética pide un peso p² dentro de la integral:
La divergencia es lineal en el corte, y eso se puede comprobar sin creerse la cuenta: si se dobla el corte, la integral truncada tiene que doblarse. El guion lo mide en tres escalones, cortando en P = 50, 100, 200 y 400: los tres cocientes valen 1,998, 1,996 y 1,995 frente al 2 predicho. Y ajusta además el exponente de la envolvente sobre 23 ventanas —ninguna vacía, ninguna con menos de ocho puntos— y le sale −2,00065 frente al −2 de la cola 1/p, con rel = 3,3 × 10⁻⁴.
Hay un segundo camino que no pasa por la transformada y que dice lo mismo en una línea. Aplicando Plancherel a la función pψ en vez de a ψ,
y la derivada del recorte tiene dos deltas, en 0 y en L. El cuadrado de una delta no es integrable. Las dos rutas —la cola de φ y el salto de ψ— son la misma frase dicha desde los dos lados de la unitaria, que es justamente lo que Plancherel autoriza a hacer. Esto no es un adorno: es el argumento que se usa a diario para decidir si un estado está en el dominio de p sin calcular ninguna transformada. Un salto de altura finita en ψ expulsa el estado de D(p). Un pico sin salto, no; y ésa es la frontera fina que entrena el ejercicio 2.
Y aquí es donde el pozo se cae del cuadro. Todo lo anterior vive en ℝ. Dentro del pozo infinito de anchura L esta Fourier no es el cambio de base, y no por una dificultad técnica: porque no hay dos operadores autoadjuntos que conectar. El artículo 01 lo dejó medido: p con condiciones de Dirichlet no tiene ningún autovalor, y su adjunto tiene todo ℂ por autovalor. El desarrollo legítimo allí es en senos —los autovectores de H, que sí es autoadjunto con ese dominio—, no en eikx. Escribir «la distribución de momento dentro del pozo» y transformar por Fourier la función recortada a [0, L] es exactamente el error que este módulo existe para romper: lo que sale de esa cuenta es la distribución de momento de un estado de ℝ que casualmente se parece al del pozo, y su ⟨p²⟩ diverge por lo que acabamos de ver, mientras que ⟨H⟩ del pozo es finito y vale En. Un cambio de base necesita dos observables. El artículo 01 decide si los hay.
El término que Robertson tira
La demostración de Robertson del II.4 empieza con Cauchy-Schwarz sobre los dos vectores Ãψ y B̃ψ, y en algún punto se queda con la parte imaginaria del producto escalar y descarta la real. Escrita entera, la desigualdad que sale es la de Schrödinger:
Merece la pena ver de dónde sale el término perdido, porque explica por qué se pierde. Cauchy-Schwarz da |⟨f|g⟩|² ≤ ⟨f|f⟩⟨g|g⟩ con f = Ãψ y g = B̃ψ, y el lado izquierdo es el módulo al cuadrado de un número complejo: su parte imaginaria es el conmutador partido por 2i y su parte real es el anticonmutador partido por 2. Al escribir |z|² = (Re z)² + (Im z)² están las dos. La demostración de manual se queda con la imaginaria y tira la real porque es la que da el resultado famoso, y porque el conmutador de x con p es un número mientras el anticonmutador no lo es. Pero tirar un término no negativo de una desigualdad la debilita siempre, y a veces muchísimo: en el ejemplo resuelto 2 el término tirado será el único que quede en pie. La desigualdad de Schrödinger es, sin más, la de Robertson sin tirar nada.
Para x y p el segundo sumando es ħ²/4 y no depende del estado, porque el conmutador es un número. El primero es el cuadrado de la covarianza cov = ⟨{x̃, p̃}⟩/2, que sí depende del estado y que Robertson no ve. Con eso la desigualdad se puede escribir de una forma que se lee sola:
Robertson acota el producto de los lados; Schrödinger acota el determinante. Geométricamente: dibuja en el plano (x, p) la elipse de covarianza y la caja de lados 2σx × 2σp que la contiene. Schrödinger dice que el área de la elipse no baja de πħ/2. Robertson dice que el área de la caja no baja de 4·(ħ/2). Si la elipse está alineada con los ejes, las dos cosas dicen lo mismo. Si está inclinada, la caja crece y la elipse no, y toda la diferencia se la lleva la covarianza. Eso es literalmente lo que hace el panel de arriba con el segundo mando, y su casilla del medio —el determinante— no se mueve en ninguna de sus 43 091 posiciones.
El estado que exhibe la diferencia es la gaussiana con chirp, que se obtiene poniéndole a la gaussiana una fase cuadrática:
El módulo |ψ(x)|² no se entera del chirp —la fase no cambia la densidad de posiciones—, pero σp crece. El guion mide las tres columnas de la tabla siguiente por dos caminos: σx y σp por FFT y derivadas sobre la rejilla, y la forma cerrada de arriba, en unidades ħ = 1 y σ = 1.
| chirp γ | cov (medida) | σx·σp medido | σx·σp / (ħ/2) | Schrödinger |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0,5000 | 1,0000 | satura |
| 1/2 | 1,0000 | 1,1180 | 2,2361 = √5 | satura |
| 1 | 2,0000 | 2,0616 | 4,1231 = √17 | satura |
Las tres filas saturan Schrödinger —el producto medido coincide con √(cov² + ħ²/4) con rel ≤ 2,6 × 10⁻⁸— y las tres tienen la misma cota de Robertson, ħ/2, porque el conmutador vale iħ para todos los estados del mundo. Con γ = 1/2 la holgura de Robertson vale √5 = 2,2361: la desigualdad de manual se queda un factor 2,24 corta sobre un estado que satura exactamente la desigualdad completa. No es un estado patológico ni buscado con lupa: es una gaussiana.
De hecho no hay que preparar nada raro para tenerla delante. El chirp es lo que hace la evolución libre. Suelta una gaussiana de anchura σ₀ y déjala; a tiempo t su covarianza vale cov = σp²t/m y su anchura σ(t) = σ₀√(1 + κ²) con κ ≡ cov/(ħ/2), mientras σp no cambia ni un pelo —la distribución de momento de una partícula libre es constante, que es justo lo que enseña la tercera franja del panel del artículo 02 del II.1—. El estado (σx, κ) del panel de arriba es, exactamente, el paquete que arrancó con σ₀ = σx/√(1 + κ²): comprobado por los tres caminos —σ(t), σp y cov(t)— con rel < 2 × 10⁻¹⁶.
Con cifras del mundo: suelta un paquete electrónico del tamaño del átomo, σ₀ = a₀. La escala de tiempo del ensanchamiento es τ = 2meσ₀²/ħ = 48,4 as. A t = 2τ = 96,8 as el paquete mide σx = √5 a₀ = 118,3 pm, su σp sigue siendo los 9,964 × 10⁻²⁵ kg m/s de la primera página, y el producto ha subido a √5 ħ/2. Un experimento de física atómica con pulsos de attosegundos vive justo en esa ventana. Robertson diría de ese paquete lo mismo que diría del paquete recién soltado —«el producto no baja de ħ/2»—, que es cierto y 2,24 veces menos de lo que se sabe.
La cota que no mira el estado
El defecto de Robertson no es que sea floja: es que su lado derecho depende del estado, y hay estados donde se derrumba a cero sin que las dos magnitudes dejen de ser incompatibles. El II.1 lo dejó dicho y mandó el arreglo aquí. El caso más limpio no está en ℝ sino en dimensión 2, donde todo se puede escribir entero.
Problema. Toma el qubit real |ψ⟩ = cos θ |0⟩ + sen θ |1⟩ con θ = π/8, y las dos observables σz y σx.
- Evalúa la cota de Robertson.
- Calcula el producto σzσx que el estado tiene de verdad.
- ¿Qué dice sobre ese mismo estado la desigualdad de Schrödinger?
- Calcula H(Z) + H(X), las entropías de Shannon de las dos distribuciones de resultados.
- Explica qué falla y qué se gana.
Solución. (a) El conmutador es [σz, σx] = 2iσy, así que la cota de Robertson es |⟨σy⟩|. El estado es real —no tiene ninguna fase compleja— y σy es imaginaria pura, de modo que ⟨σy⟩ = 0 exactamente. La cota vale cero, y el guion la mide en cero, no en «casi cero».
(b) Con ⟨σz⟩ = cos 2θ y ⟨σx⟩ = sen 2θ, y usando σi² = 1 − ⟨σi⟩² (válido porque las matrices de Pauli cumplen σi² = 1),
Con θ = π/8, 4θ = π/2 y el producto vale exactamente 1/2, que es el máximo posible. O sea: la cota vale cero justo en un estado donde el producto es todo lo grande que puede ser. Robertson no está siendo conservadora; está siendo muda.
(c) El término que Robertson tira vale, en un qubit puro, ½⟨{σ̃z, σ̃x}⟩ = ⟨σx⟩⟨σz⟩ —es la identidad que el II.4 midió sobre 4000 estados—, y aquí vale (√2/2)² = 1/2. Metido en la desigualdad completa: σzσx ≥ √((1/2)² + 0²) = 1/2, que es exactamente el producto que el estado tiene. Conviene decirlo sin adornos porque es lo que hace honesto el resto del ejemplo: Schrödinger no falla aquí; acierta en el clavo. En un qubit puro nunca falla, porque en ℂ² el complemento ortogonal de un vector es una recta y Cauchy-Schwarz es siempre una igualdad. Lo que falla es Robertson, y falla por haber tirado el término que en este estado es el único que queda en pie.
(d) Las probabilidades. En la base de σz, p(0) = cos²(π/8) y p(1) = sen²(π/8). Usando cos²(π/8) = (1 + cos(π/4))/2:
En la base de σx, con |±⟩ = (|0⟩ ± |1⟩)/√2, sale p(+) = (1 + sen 2θ)/2 = (1 + √2/2)/2, que es el mismo número: el estado θ = π/8 está exactamente a mitad de camino entre las dos bases, y por eso las dos distribuciones coinciden. La entropía de esa distribución es
y la suma es H(Z) + H(X) = 2 × 0,60088 = 1,20175 bits, que es lo que el guion mide.
Resultado. (e) Hay dos lecciones y conviene no confundirlas. La primera es contra Robertson: donde la desigualdad de siempre da 0 —o sea, donde no prohíbe absolutamente nada— la desigualdad entrópica sigue pidiendo 1,2018 bits de ignorancia repartida entre las dos lecturas, un 20 % por encima del mínimo absoluto de un bit. Robertson mide la incompatibilidad con ⟨[A, B]⟩, que es un valor esperado y por tanto puede anularse por cancelación en un estado concreto; es exactamente el fallo que el II.1 describió —«es la cota la que se ha degradado, no el estado»—.
La segunda es más fina y es la que de verdad justifica el aparato entrópico, porque la primera la arregla ya Schrödinger. Para escribir el 1/2 del apartado (c) hay que conocer ⟨σx⟩ y ⟨σz⟩, es decir hay que haber preparado y medido el estado: la cota de Schrödinger es exacta y es a posteriori. La cota entrópica, en cambio, se calcula con la matriz del cambio de base y nada más, antes de que exista el estado; y sigue en pie sea cual sea. Robertson prometía eso —una cota universal— y no lo cumple, porque su lado derecho tiene un estado dentro. El 1 bit del apartado siguiente sí lo cumple. Ésa es la diferencia entre una cota exacta y una cota universal, y son dos virtudes distintas que casi nunca coinciden en el mismo teorema.
El teorema que hay detrás es el de Maassen y Uffink (1988), que afinó la primera relación de incertidumbre entrópica independiente del estado, la de Deutsch (1983). Para dos bases ortonormales A = {|ai⟩} y B = {|bj⟩} de un espacio de dimensión finita, y para cualquier estado,
Léase con calma lo que no hay en el lado derecho: no hay ψ. La cota entera se calcula abriendo la matriz del cambio de base y buscando su elemento más grande. Para σz y σx esa matriz es la de Hadamard dividida por √2, todos sus elementos valen 1/√2 en módulo, y por tanto c = 1/2 y la cota es log22 = 1 bit, exacto. El guion lo comprueba por los dos lados: la forma cerrada, y una búsqueda sobre 200 000 estados al azar cuyo mínimo sale 1,0000 bits —ninguno baja— y coincide con log2(1/c) con rel = 4,1 × 10⁻¹¹. De paso, la comparación con lo que había antes: la cota de Deutsch para este mismo par de bases vale 0,4569 bits, o sea menos de la mitad. Maassen-Uffink no es una reformulación elegante de Deutsch; es más del doble de cota.
El mecanismo de la demostración conviene nombrarlo aunque no se haga aquí, porque explica por qué el número que aparece es el solapamiento y no otra cosa. Maassen y Uffink no manipulan entropías directamente: pasan por las normas. La matriz del cambio de base lleva un vector de amplitudes a otro, y su norma de operador entre los espacios ℓ^p y ℓ^q se interpola —Riesz-Thorin, el mismo teorema que da Hausdorff-Young para Fourier— entre el caso trivial p = q = 2, donde vale 1 por ser unitaria, y el caso extremo p = 1, q = ∞, donde vale exactamente √c. Derivando esa cota de normas respecto del parámetro de interpolación en el punto 2 aparecen las entropías de Shannon, y el ln(1/c) sale de la interpolación, no de un argumento sobre información. Es el mismo mecanismo que produce ln(eπħ) en el continuo, con la norma de Fourier entre L^p y L^q en el sitio del √c. Dicho de otro modo: la cota entrópica es un teorema de análisis armónico disfrazado, y su ingrediente es el tamaño del elemento más grande de la matriz.
La cota es además ajustada cuando las dos bases son insesgadas, que es el caso de σz y σx: hay estados que la alcanzan, y son los autoestados de cualquiera de las dos bases. Con |ψ⟩ = |0⟩ se tiene H(Z) = 0 y H(X) = 1, y la suma es 1. Y se degrada de la única manera sensata: si las dos bases se parecen, c crece y la cota baja. Con las dos bases iguales, c = 1 y la cota es 0 bits —que es correcto: dos veces la misma medida se puede afinar todo lo que se quiera—. A 22,5° de separación, c = cos²(22,5°) = 0,853553 y la cota es 0,2284 bits.
Ahora vuelve a x y p, y a la observación de la primera sección: |⟨x|p⟩|² = 1/(2πħ), constante. Es el análogo continuo de «todos los elementos de Hadamard valen 1/√2»: el cambio de base es insesgado también aquí. La versión continua de la cota —debida a Białynicki-Birula y Mycielski— se escribe con entropías diferenciales y en nats:
Con ħ = 1 eso vale 2,14473 nats, o 3,0942 bits. El guion la mide sobre la gaussiana por cuadratura y FFT y le sale 2,14473 contra la forma cerrada 1 + ln π, con rel = 0: la gaussiana satura también la cota entrópica, y es la única que lo hace. Sobre el recorte rectangular de más arriba la suma vale 2,6832 nats, o sea 0,5385 nats de exceso —0,777 bits— sobre el mínimo. Ese exceso es la penalización entrópica de tener bordes duros, y es el mismo defecto del estado que antes lo expulsaba de D(p), visto ahora con otro instrumento.
Y un detalle que hay que decir porque en la literatura se confunde. La transcripción ingenua de Maassen-Uffink al continuo daría ln(1/c) = ln(2πħ) = 1,83788 nats. La cota verdadera es mayor: 2,14473 nats. La diferencia es exactamente 1 − ln 2 = 0,30685 nats, y no es un refinamiento cosmético —es un 17 % más de cota—. Escribir ln(2πħ) porque «es lo que dice el teorema de dimensión finita» es correcto y flojo, del mismo modo que escribir Robertson donde vale Schrödinger es correcto y flojo. En este módulo, dos veces ya, la versión de manual ha resultado ser la versión recortada.
Los límites, dichos como límites. Nada de lo anterior significa que la cota entrópica sea siempre la buena. Para x y p en un estado corriente Robertson va perfectamente, porque el conmutador es un número y no puede degradarse; el problema aparece cuando ⟨[A, B]⟩ puede anularse, que es lo normal en cuanto los operadores no son x y p. Tampoco Maassen-Uffink es la última palabra: es ajustada para pares de bases insesgadas y deja de serlo en cuanto las dos bases están sesgadas de forma desigual —con las dos bases separadas 22,5° en vez de 45°, la cota da 0,2284 bits y el mínimo real sobre los estados es 0,4667, o sea que se queda a menos de la mitad—, y desde 2010 se conocen versiones más finas —la de Berta y colaboradores, que mete un término de memoria cuántica: si alguien guarda un sistema entrelazado con el tuyo, la suma de las dos entropías puede bajar del bit—. Ése es un resultado del siglo XXI y una frontera abierta, no un cierre; se nombra aquí para que quien siga leyendo en la literatura sepa qué buscar y no crea que el asunto quedó zanjado en 1988.
Lo que queda dicho
Tres números resumen el artículo, y ninguno de los tres es una constante de la naturaleza: los tres son propiedades del cambio de base o de lo que se le hace al estado. 4, el factor por el que la gaussiana de anchura a₀ se queda corta en energía cinética frente al 1s, que mide lo que cuesta una cúspide. √5 = 2,2361, la holgura de Robertson sobre un paquete que lleva 96,8 as sueltos, que mide lo que cuesta tirar un término no negativo. Y 1,0000 bits, el mínimo de H(Z) + H(X) sobre 200 000 estados, que mide lo que cuesta que dos bases sean insesgadas entre sí. El primero es del estado, el segundo es del estado, y el tercero no: ahí está la novedad.
Merece la pena juntar las tres piezas, porque en el fondo son una sola. El cambio de base ⟨x|p⟩ es unitario: por eso Plancherel, por eso |φ|² es una densidad de probabilidad legítima y por eso las dos representaciones son la misma información escrita de dos maneras. El cambio de base es insesgado: por eso ninguna preparación puede afilar las dos lecturas a la vez, y por eso la cota que lo dice —la entrópica— se calcula sin preguntarle nada al estado. Y el operador p tiene un dominio más pequeño que el espacio entero: por eso hay funciones perfectamente normalizadas a las que no se les puede preguntar por su energía cinética, y por eso el pozo, que no tiene dos autoadjuntos, no tiene tampoco esta Fourier.
Robertson y Schrödinger no son dos teoremas rivales sino dos maneras de mirar la misma elipse: la caja y el área. Y la relación entrópica es un tercer instrumento que ni siquiera mira la elipse, sino la matriz que hizo falta para dibujarla. El artículo 04 lleva esa matriz al límite y pregunta qué pasa cuando se exige que las dos bases estén relacionadas por un grupo de unitarias en vez de por una sola: ahí aparecen las relaciones de Weyl y el teorema de Stone-von Neumann, que es lo que decide, de una vez, cuántas maneras esencialmente distintas hay de tener un par x, p.
Ejercicios
Una gaussiana de σx = 200 pm, para un electrón. (a) Calcula σp y el producto en unidades de ħ. (b) ¿Puedes bajar de 1/2 eligiendo otra gaussiana? Justifícalo con la fórmula, no con el enunciado del teorema. (c) Añádele ahora una fase cuadrática hasta que la covarianza reducida valga κ = cov/(ħ/2) = 2. ¿Cuánto valen σx, σp y el producto? (d) ¿Y la energía cinética media, antes y después? (e) ¿Cambia |ψ(x)|² con el chirp? ¿Cambia |φ(p)|²? ¿Cuál de las dos cosas hace que la pregunta (d) tenga sentido?
Solución
(a) σp = ħ/(2 × 200 pm) = 2,636 × 10⁻²⁵ kg m/s, que es la mitad del σp de una gaussiana de 100 pm —medido por FFT contra la forma cerrada con rel = 0—. El producto vale ħ/2, o sea 0,5 ħ, igual que para cualquier otra anchura.
(b) No. Sustituyendo σp = ħ/(2σx) el producto es ħ/2 idénticamente, sin σx dentro; no hay ninguna gaussiana con producto menor porque no hay ninguna con producto distinto. La familia entera está pegada al mínimo. Lo que sí hay son estados no gaussianos con producto mayor, y todos los estados de este artículo salvo la gaussiana pura lo son.
(c) La fase no toca |ψ|², así que σx sigue siendo 200 pm. De σxσp = (ħ/2)√(1 + κ²) con κ = 2 sale √5 ħ/2 = 1,118 ħ, y por tanto σp = √5 × 2,636 × 10⁻²⁵ = 5,895 × 10⁻²⁵ kg m/s.
(d) ⟨T⟩ = σp²/2me pasa de 0,2381 eV a 1,1906 eV: se multiplica por 1 + κ² = 5, porque la energía va con el cuadrado de σp.
(e) |ψ(x)|² no cambia —la fase se cancela al tomar el módulo— y |φ(p)|² sí, porque la transformada de Fourier sí es sensible a la fase: eso es lo que significa que no sea un cambio de variable sino un cambio de base. Y ésa es la segunda lección, que es la que hay que llevarse: hay dos estados con la misma densidad de posiciones y cinco veces distinta energía cinética. Cualquier razonamiento que pretenda deducir la energía de la «forma» del paquete está mal planteado desde el principio, y el chirp es el contraejemplo más barato de construir. Nótese además que aquí σp ha crecido porque hemos fijado σx; en la evolución libre, que es el otro modo de leer la misma familia, quien crece es σx y σp se queda quieta. Son el mismo conjunto de estados, recorrido en otro orden.
El recorte se salía del dominio de p por su salto. Prueba ahora con el triángulo: ψ(x) proporcional a (a − |x|) dentro de [−a, a] y cero fuera. Es continua pero no derivable en el origen.
- Normalízala.
- Calcula σx.
- Calcula ⟨p²⟩ usando la identidad de Plancherel de más arriba, ⟨p²⟩ = ħ²∫|ψ′|², y decide si el triángulo está en D(p).
- ¿Cuánto vale el producto σxσp en unidades de ħ, y cuánto por encima del mínimo?
- ¿Por qué converge aquí lo que divergía con el recorte? Contesta mirando la cola de φ(p), no la derivada.
Solución
(a) ∫(a − |x|)²dx = 2a³/3, luego la constante es √(3/(2a³)) y ψ(x) = √(3/(2a³))·(a − |x|).
(b) ⟨x⟩ = 0 por simetría y ⟨x²⟩ = (3/a³)∫₀ax²(a − x)²dx = a²/10, luego σx = a/√10.
(c) ψ′ vale ∓√(3/2a³) en cada mitad y cero fuera: es una función escalonada, acotada y de soporte compacto, y su cuadrado se integra sin drama. ⟨p²⟩ = ħ²·(3/(2a³))·(2a) = 3ħ²/a², finito. El triángulo sí está en D(p). Comprobado por cuadratura sobre una rejilla de 2²¹ puntos: 2,99999 contra el 3 de la forma cerrada.
(d) σp = √3 ħ/a, así que σxσp = √(3/10) ħ = 0,5477 ħ, o sea 1,0954 veces ħ/2: un 9,5 % por encima del mínimo. El triángulo casi satura sin ser gaussiano, lo que da la medida de lo poco selectiva que es la desigualdad de Kennard como criterio de «parecerse a una gaussiana».
(e) φ(p) del triángulo va como sen²(pa/2ħ)/p², o sea que su envolvente cae como 1/p² en vez de como 1/p. Entonces p²|φ|² ~ 1/p², cuya integral converge. La regla general, que es la segunda lección y sirve para no volver a calcular nada de esto: cada derivada continua que se le añade a ψ le añade una potencia de p a la caída de φ. Un salto en ψ da 1/p; un salto en ψ′ —que es lo que tiene el triángulo— da 1/p²; una ψ infinitamente suave y de decaimiento rápido, como la gaussiana, tiene cola más rápida que cualquier potencia y todos sus momentos son finitos. Por eso el dominio de pn es cada vez más pequeño según crece n, y por eso los estados que se usan para hacer cuentas sin sustos son los de Schwartz.
En dimensión 2, toma como primera base la de σz y como segunda la que se obtiene girándola un ángulo α: |b1⟩ = cos α |0⟩ + sen α |1⟩ y |b2⟩ = −sen α |0⟩ + cos α |1⟩.
- Escribe la matriz del cambio de base y el solapamiento c(α) = máx |⟨ai|bj⟩|².
- ¿Para qué α es máxima la cota de Maassen-Uffink, y cuánto vale?
- ¿Y para qué α vale cero? Explica por qué ese resultado es el correcto y no un fallo del teorema.
- Problema inverso: ¿a qué ángulo α vale la cota exactamente medio bit?
- El cuerpo del artículo evalúa la cota a 22,5° y le sale un solapamiento de 0,853553; el ejemplo resuelto 2 usó el estado θ = π/8, que también es 22,5°, y le salió una probabilidad de 0,853553. ¿Es casualidad? Di qué papel juega el ángulo en cada uno de los dos sitios.
Solución
(a) La matriz es la de rotación de ángulo α, y sus cuatro elementos al cuadrado son cos²α, sen²α, sen²α, cos²α. Luego c(α) = máx(cos²α, sen²α), que vale 1 en α = 0 y en α = 90°, y 1/2 en α = 45°.
(b) La cota log₂(1/c) es máxima cuando c es mínimo, o sea en α = 45°, donde c = 1/2 y la cota vale 1 bit. Es el caso de σz y σx: la base de σx está girada 45° respecto de la de σz en este plano.
(c) En α = 0 y α = 90°, donde c = 1 y la cota es 0 bits. En α = 0 las dos bases son la misma, y medir dos veces lo mismo no cuesta nada: se puede tener H(A) = H(B) = 0 a la vez, con cualquier autoestado. En α = 90° las dos bases son la misma otra vez, sólo que con las etiquetas cambiadas de sitio, y pasa lo mismo. Un cero ahí no es una debilidad del teorema: es el teorema diciendo la verdad.
(d) Hay que resolver log₂(1/c) = 1/2, o sea c = 2−1/2 = 0,707107, y como c = cos²α eso da cos α = 0,840896 y α = 32,765°. Comprobación: log₂(1/cos²32,765°) = 0,500000. Merece la pena mirar lo que cuesta: hace falta girar 32,8° de los 45° posibles —el 73 % del camino— para comprar la mitad de la cota máxima. La cota no crece con el ángulo, crece con el logaritmo del coseno, y por eso casi todo el valor está concentrado cerca de los 45°. Y para que no se lea de más: a ese ángulo el mínimo real de H(A)+H(B) es 0,8012 bits, así que la cota sigue quedándose muy corta —sólo es ajustada en los 45°—.
(e) No es casualidad, pero tampoco son la misma cosa, y distinguirlas es el objeto del ejercicio. En el cuerpo del artículo el 22,5° es el ángulo entre las dos bases, y 0,853553 es el solapamiento de la matriz que las une: una propiedad de la geometría del par de medidas, con la que se calcula la cota. En el ejemplo resuelto 2 el π/8 era el ángulo del estado dentro de una única base, y 0,853553 era una probabilidad de resultado. Coinciden porque en dimensión 2 real todo son cosenos del mismo ángulo, y por eso mismo es el sitio donde más fácil resulta confundir «el estado está a medio camino» con «las bases están a medio camino». Son cosas distintas: la cota se calcula sin estado y el resultado se calcula sin la otra base. La incompatibilidad vive en el par de bases; el estado sólo decide cuánto se pasa de la cota.