El electrón del estado fundamental del hidrógeno tiene una longitud de onda de 332,5 picómetros. La órbita que Bohr le asignó mide 332,5 picómetros de perímetro. No son dos números parecidos: es el mismo número, hasta donde llega la precisión de las constantes. El postulado que Bohr tuvo que inventarse en 1913 —y que el módulo I.1 dejó colgando como el gran agujero de la vieja teoría— resulta ser la condición de que una onda quepa entera en su propia órbita.
De Broglie no puso condiciones: toda partícula con momento p tiene una longitud de onda λ = h/p. Mueve la masa y la velocidad y mira dónde acaba λ. El tercer mando es el tamaño del hueco por el que la haces pasar: de la comparación entre los dos —y sólo de ella— sale si hay difracción que medir o no. El panel calcula λ y el ángulo; no los tiene guardados.
Con λ/d = 7,73 × 10⁻¹, el haz sale abierto 50.66° y a un metro se ha ensanchado 1.22 m. Esto no es un efecto sutil: es un abanico que se ve a simple vista en la pantalla.
La conjetura de 1924
Louis de Broglie era un aristócrata francés que había empezado estudiando historia y se pasó a la física después de la guerra, en el laboratorio de rayos X de su hermano Maurice. En 1924 presentó una tesis doctoral de 70 páginas con una idea que cabe en una línea. La luz, que llevaba un siglo siendo onda, había resultado tener también momento y energía a trozos —el efecto Compton de 1923 lo dejaba sin escapatoria, con su Δλ = 2,426 pm × (1 − cos θ) medido raya por raya. Para un cuanto de luz, esas dos descripciones se enlazan con
De Broglie propuso leerla al revés y aplicarla a lo que fuera. Si una onda puede comportarse como partícula, escribió, una partícula debería comportarse como onda, y su longitud de onda de de Broglie tiene que ser
No hay ninguna condición. No dice «para partículas pequeñas» ni «a velocidades altas»: dice para todo lo que tenga momento. Es una de las afirmaciones más audaces de la historia de la física precisamente porque no se protege por ningún lado, y por eso mismo es refutable con un solo contraejemplo. El tribunal de la Sorbona no supo qué hacer con ella y mandó una copia a Einstein, que contestó que de Broglie «había levantado una punta del gran velo». Le dieron el doctorado, y cinco años después el Nobel.
Para un electrón acelerado por una diferencia de potencial de V voltios, la fórmula se convierte en algo que se usa en el laboratorio todos los días:
Un electrón de 1 V lleva 1,23 nm; uno de 54 V, 167 pm; uno de 100 V, 123 pm. Ésos son tamaños de átomo, y ahí está la clave de todo lo que viene: la longitud de onda de un electrón de laboratorio cae exactamente en la escala de la separación entre los átomos de un cristal. Es una casualidad afortunada del valor de h y de la masa del electrón, y sin ella nadie habría visto difractar materia hasta mucho después.
Problema. El módulo I.1 dio la velocidad del electrón en el estado fundamental del hidrógeno: v = 2 188 km/s, el 0,730 % de la velocidad de la luz. Calcula su longitud de onda de de Broglie y compárala con el perímetro de la órbita, 2πa₀ con a₀ = 52,9 pm.
Solución. El momento es p = mev = 9,109 × 10⁻³¹ × 2,188 × 10⁶ = 1,993 × 10⁻²⁴ kg·m/s, y de ahí
El perímetro de la órbita es 2π × 52,9 = 332,5 pm. Cabe exactamente una longitud de onda.
Resultado. La coincidencia no es tal, y se ve escribiendo la condición de Bohr al lado. Bohr exigía mevr = nħ = nh/2π. Multiplica los dos lados por 2π y divide por p = mev: queda 2πr = nh/p, es decir 2πr = nλ. Son la misma ecuación. El postulado que Bohr sacó de la nada en 1913 —y que el módulo I.1 tuvo que dejar como un «porque sí»— dice simplemente que en la órbita tiene que caber un número entero de longitudes de onda, como en una cuerda de guitarra. Los niveles de energía dejan de ser una imposición y pasan a ser lo que le ocurre a cualquier onda encerrada: sólo suenan algunas notas. Ésa es la razón por la que la idea de de Broglie se tomó en serio antes de tener un solo experimento a favor.
Por qué no ves difractar nada de lo que tocas
Si la fórmula vale para todo, tiene que valer para una pelota de tenis. Una pelota reglamentaria pesa 58 g y un saque profesional la manda a 200 km/h, es decir 55,6 m/s. Su momento es 3,22 kg·m/s, un número perfectamente macroscópico, y su longitud de onda
Conviene detenerse en lo pequeño que es eso. Un protón mide 1,7 × 10⁻¹⁵ m de diámetro: la longitud de onda de la pelota es diecinueve órdenes de magnitud menor que un protón. Y una persona de 70 kg andando a 1 m/s tiene λ = 9,47 × 10⁻³⁶ m, que es 0,59 longitudes de Planck — por debajo de la escala en la que se sospecha que la propia noción de distancia deja de significar algo.
Ahora bien, «pequeño» no significa nada por sí solo: la difracción no depende de λ, depende de λ dividido por el tamaño del hueco. Una onda que atraviesa una abertura de anchura d se abre un ángulo del orden de λ/d. Manda la pelota por una puerta de 80 cm:
Un ángulo así no se mide poniendo la pantalla más lejos, porque no hay «más lejos» suficiente. Ésa es la cuenta que hace el ejemplo siguiente, y el resultado es lo bastante ridículo como para zanjar el asunto.
Problema. La pelota sale de la puerta con esos 2,6 × 10⁻³⁴ radianes de apertura. ¿Cuánto tendría que volar para que la difracción la desviara algo medible? Ponle un límite generoso: el radio del universo observable, 8,8 × 10²⁶ m.
Solución. La desviación lateral es el ángulo por la distancia:
Cruzando el universo observable de lado a lado, la pelota se desvía 0,23 micrómetros: la cuarta parte del grosor de un pelo dividida entre cuarenta. En un laboratorio realista, con 100 m de vuelo, la desviación sería de 2,6 × 10⁻³² m, 6,5 × 10¹⁶ veces menor que un protón.
Resultado. La física clásica no es una teoría distinta que se aplique a los objetos grandes: es esta misma teoría en el régimen en que λ/d es 10⁻³⁴. La pregunta interesante no es por qué la pelota no difracta, sino qué haría falta para que difractara — y la respuesta se calcula. Para que λ llegase a un mísero nanómetro, la pelota tendría que moverse a 1,1 × 10⁻²³ m/s, con lo que tardaría 2,8 millones de años en avanzar un nanómetro. Ahí está el límite clásico, dicho con un número en vez de con una analogía: no es que las reglas cambien con el tamaño, es que h vale 6,6 × 10⁻³⁴ y eso deja fuera de alcance todo lo que tiene un momento de orden 1 en unidades del SI.
Dónde sí: electrones, neutrones y átomos
El otro lado de la misma cuenta dice dónde buscar. Hace falta un momento minúsculo, y eso quiere decir masa pequeña, velocidad pequeña, o las dos cosas.
Electrones. A 54 V, λ = 167 pm, del tamaño de la separación entre átomos de un metal. Un electrón en equilibrio térmico a 300 K, con sólo kBT = 25,9 meV de energía, tiene λ = 7,6 nm — más que un átomo, más que la anchura de un transistor moderno, y ésa es una de las razones por las que la electrónica de hoy es un problema cuántico y no de circuitos.
Neutrones. Un neutrón térmico de 25,3 meV, que es lo que sale de un reactor moderado, tiene λ = 180 pm. Casi la misma longitud de onda que el electrón de 54 V, con una partícula 1 839 veces más pesada, porque la energía es 2 000 veces menor. A igualdad de energía cinética, un protón tiene una longitud de onda √(mp/me) = 42,8 veces menor que un electrón: la masa entra en la raíz, no directamente.
Átomos enteros. Un átomo de helio a temperatura ambiente (295 K) se mueve a 1 360 m/s de media y tiene λ = 73,5 pm. Es difractable, y eso lo hizo Estermann con Stern en 1930, como se cuenta en el artículo 02. Un átomo de helio es eléctricamente neutro: no hay ningún truco electromagnético con el que explicar lo que le pasa.
Lo que de Broglie no dedujo. Conviene no adornar la tesis de 1924. Da una longitud de onda, no una teoría: no hay ninguna ecuación que diga cómo evoluciona esa onda, y sin ella no se puede calcular nada que no sea un caso periódico sencillo. Esa ecuación llegó dos años después, con Schrödinger, y es la materia del módulo II.1. Peor aún: la propia tesis tropieza con que la velocidad de fase de la onda de de Broglie es c²/v, que es mayor que c, y de Broglie tuvo que argumentar que lo que viaja con la partícula es la velocidad de grupo, no la de fase. Tenía razón, pero es un remiendo, no una deducción.
Y «onda de materia» no significa que el electrón se extienda como una mancha. Ésta es la metáfora que hay que no aprender ahora para no tener que desaprenderla luego. Lo que la teoría define es una amplitud de probabilidad, y lo que se mide es su cuadrado: ésa es la regla de Born, de 1926, y es lo que hace que el artículo 03 de este módulo pueda contar impactos individuales y aun así dibujar franjas. El electrón llega siempre entero a un punto. Lo que se propaga, interfiere y se cancela es la amplitud, no el electrón. La discusión sobre qué es esa amplitud está abierta desde 1927 y se trata, con las opciones sobre la mesa, en el módulo I.5.
Ejercicios
Un microscopio electrónico de sobremesa acelera electrones con 30 kV. Aplicando la fórmula λ = 1,226/√V, ¿qué longitud de onda sale? Compárala con la de la luz verde, 550 nm. ¿Qué te dice eso sobre la resolución que cabría esperar?
Solución
λ = 1,226/√30 000 = 1,226/173,2 = 7,08 × 10⁻³ nm = 7,08 pm. Es 77 700 veces menor que la luz verde. Como el poder separador de cualquier instrumento óptico va con la longitud de onda, la tentación inmediata es concluir que un microscopio electrónico ve 77 700 veces más fino que uno óptico.
La segunda lección es que esa conclusión es falsa, y por un factor de cien. La resolución real de un microscopio electrónico no la fija λ sino la aberración de sus lentes magnéticas: a 30 kV, con una lente corriente, sale 0,50 nm en lugar de 3,5 pm. El artículo 04 hace esa cuenta entera. Guarda la costumbre: un límite físico calculado correctamente es una cota, no una promesa — entre la cota y el aparato real puede haber dos órdenes de magnitud de ingeniería.
Alguien afirma que «la mecánica cuántica sólo se aplica a lo muy pequeño». Con el panel de arriba, encuentra un contraejemplo: un objeto grande cuya longitud de onda sea comparable a la de un electrón de laboratorio. ¿Qué hace falta?
Solución
Hace falta bajar el momento, no la masa. Pon la molécula de C₆₀ —720 unidades de masa atómica, 60 átomos de carbono— a 200 m/s: sale λ = 2,8 pm, mucho menor que la de un electrón de 54 V, pero suficiente para difractar en una red de 100 nm, que es exactamente lo que se hizo en Viena en 1999. O baja aún más la velocidad: la misma molécula a 2 m/s tendría λ = 277 pm, la de un electrón de 20 V.
La segunda lección está en la palabra «pequeño». La frontera no la marca el tamaño ni la masa: la marca la acción, es decir, el producto de un momento por una longitud comparado con h. Un electrón muy rápido puede ser tan clásico como una bala —λ se le encoge—, y un objeto grande y muy lento puede ser irremediablemente cuántico. «Pequeño» es una regla mnemotécnica que funciona por accidente, porque las cosas pequeñas suelen tener momentos pequeños.
En el panel, pon la masa de un electrón y baja la velocidad hasta 1 m/s. ¿Cuánto vale λ? ¿Y por qué eso no significa que un electrón lento se pueda difractar en una rendija de un milímetro?
Solución
λ = h/(mev) = 6,626 × 10⁻³⁴/(9,109 × 10⁻³¹ × 1) = 7,27 × 10⁻⁴ m = 0,73 mm. Comparable, en efecto, con una rendija de un milímetro: λ/d = 0,73, y el panel te dará una apertura de casi 50°.
Sí se puede, en principio, y ésa es la respuesta correcta a la primera pregunta. Lo que lo impide es todo lo demás. Un electrón a 1 m/s tiene una energía cinética de 2,8 × 10⁻¹² eV, unas diez mil millones de veces menor que la energía térmica del ambiente (25,9 meV): cualquier campo eléctrico parásito, cualquier choque con una molécula de gas residual, cualquier vibración del aparato lo domina por completo. La segunda lección es la que gobierna toda la física experimental de este módulo: el número que decide si un experimento es posible casi nunca es el que aparece en la fórmula, sino el cociente entre el efecto que buscas y el ruido con el que compite.