El espectro que se mide

La banda fundamental de vibración del ¹²C¹⁶O está en 2143,27 cm⁻¹: 4,666 µm, 64,25 THz, 265,7 meV. Es una raya sola, y el oscilador armónico explica por qué es una sola —los niveles están equiespaciados y el dipolo sólo conecta vecinos— pero la coloca en 4,609 µm, un 1,24 % demasiado arriba. Los 26,54 cm⁻¹ que faltan no son ruido experimental ni redondeo: son la anarmonicidad del enlace, y se predicen con dos números tabulados y una resta. Este artículo es donde el módulo toca el laboratorio: qué se mide de verdad, en qué se separa del armónico, cuántas moléculas pueden absorber a cada temperatura, y por qué el medio cuanto $\tfrac12\hbar\omega$ aparece en la energía con la que se rompe un enlace.

Por qué hay una raya y no un peine

Una molécula no absorbe luz porque tenga niveles: absorbe porque el campo eléctrico de la luz agarra algo. Lo que agarra es el momento dipolar de la molécula. Si el enlace se estira una cantidad x respecto de su longitud de equilibrio, el dipolo cambia, y para desplazamientos pequeños ese cambio es lineal:

El término constante $\mu_0$ no puede provocar ninguna transición: es un número, y un número multiplicado por $\langle n|m\rangle$ da cero salvo que n = m. Todo el acoplamiento con la luz está en el segundo término, o sea en el operador x, y la probabilidad de que la luz lleve la molécula de $|n\rangle$ a $|m\rangle$ es proporcional a $|\langle n|x|m\rangle|^2$, con la derivada del dipolo fuera como factor común. Esto se llama aproximación dipolar y vale mientras la longitud de onda sea mucho mayor que la molécula: 4,666 µm frente a 112,832 pm son cuatro órdenes y medio de magnitud, así que aquí sobra.

El artículo 03 calculó ese elemento de matriz sin integrar nada, escribiendo x en función de la escalera:

Es la regla de selección Δn = ±1, y conviene mirarla en forma de tabla, porque así se ve lo que tiene de brutal. Éstos son los $|\langle n|x|m\rangle|^2/x_0^2$ con n = 0…4 y m = 0…5, calculados diagonalizando las matrices de a y $a^\dagger$ y cruzados contra cuadratura sobre las funciones de Hermite:

La matriz es tridiagonal y hueca: la diagonal vale cero y todo lo que se aparta de las dos subdiagonales vale cero exacto —el verificador comprueba que el mayor de los trescientos sesenta y dos elementos prohibidos de un bloque 20 × 20 no llega a 10⁻³⁰ en unidades de $x_0^2$—. Los que sobreviven son $(n+1)/2$, y esa progresión importa: la transición 1→2 es el doble de intensa que la 0→1, la 2→3 el triple. Cuanto más arriba está el peldaño, más fuerte agarra la luz.

Ahora viene el segundo ingrediente, y es el que convierte la regla de selección en un espectro. Como los niveles del oscilador armónico están equiespaciados, todas las transiciones permitidas tienen exactamente la misma energía:

El verificador calcula las diez primeras y la dispersión entre ellas es 1,1 × 10⁻¹⁵, es decir, cero en doble precisión. Las diez caen en ν = 65,049 THz. Ése es el resultado central del artículo: un oscilador armónico, por muchos niveles que tenga y por muy caliente que esté, absorbe y emite en una sola frecuencia. No hay peine. Un pozo infinito, cuyos niveles van como $n^2$, daría un espectro con tantas rayas distintas como pares de niveles; el oscilador da una. Que la espectroscopía infrarroja de moléculas diatómicas consista, en primera aproximación, en una banda por modo de vibración, es esta degeneración de las diferencias y no otra cosa.

Y hay una tercera consecuencia, la que decide qué gases se ven y cuáles no. El acoplamiento va con $d\mu/dx$, no con $\mu_0$. Una molécula homonuclear —N₂, O₂, H₂— tiene dipolo nulo para cualquier x por simetría, así que $d\mu/dx = 0$ y su vibración es invisible en el infrarrojo por mucho que exista: el N₂ vibra con $\tilde\omega_e$ = 2358,57 cm⁻¹ —una temperatura vibracional de 3393 K, todavía más rígida que la del CO— y no absorbe. El CO, con dos átomos distintos, sí tiene $d\mu/dx \ne 0$, y por eso se le puede contar desde un satélite. El nitrógeno y el oxígeno, que son la casi totalidad de la atmósfera, son transparentes al infrarrojo por esta razón y no por otra; los gases que sí calientan el planeta son justamente los que cambian de dipolo al vibrar.

La raya no está donde la pone el armónico

Hasta aquí, todo lo que el oscilador armónico dice del CO es correcto en la forma: una raya, en el infrarrojo, con intensidades que crecen como n + 1. Ahora hay que decir dónde, y ahí es donde el modelo se rompe de una manera que merece la pena entender, porque es el error más caro que se puede cometer con este módulo.

El dato tabulado del ¹²C¹⁶O es $\tilde\omega_e = 2169{,}81358$ cm⁻¹. Es tentador —y es lo que hace todo el mundo la primera vez— convertirlo a longitud de onda:

y escribir «la raya del CO está en 4,609 µm». Es falso. Y no es falso por poco ni por una convención: $\tilde\omega_e$ no es una transición. Es la frecuencia armónica del fondo del pozo, la que se obtiene de $\omega = \sqrt{k/\mu}$ con la k que sale de la segunda derivada del potencial en el mínimo. Es una propiedad de la curvatura de una curva en un punto, no una diferencia entre dos niveles que existan.

Los niveles que existen no son $\hbar\omega(n+\tfrac12)$. El espectroscopista los escribe como un desarrollo en potencias de $(v+\tfrac12)$ cuyo primer término correctivo lleva la constante de anarmonicidad $\tilde\omega_e x_e$:

El signo es negativo siempre: los peldaños se estrechan al subir, porque el pozo real se ensancha al alejarse del mínimo. Y la banda fundamental, la transición 1←0, es la diferencia de dos valores de G:

Lo medido, el origen de banda que HITRAN tabula para el ¹²C¹⁶O, es 2143,2712 cm⁻¹. La predicción de dos términos acierta en 1,6 × 10⁻⁵, o sea en 0,03 cm⁻¹. Y la raya, en longitud de onda, está en

4,666 µm, no 4,609 µm. La diferencia son 26,54 cm⁻¹ —casi exactamente dos veces la constante de anarmonicidad, que vale $2\tilde\omega_e x_e = 26{,}58$ cm⁻¹; las tres centésimas que sobran son el mismo residuo de 1,6 × 10⁻⁵ de la línea de arriba— y en relativo, un 1,24 %, que es exactamente $2x_e/(1-2x_e)$ con $x_e = \tilde\omega_e x_e/\tilde\omega_e = 0{,}006124$. Un 1,24 % suena a poco hasta que se compara con lo que un espectrómetro resuelve de verdad, y aquí conviene no comparar con la magnitud equivocada: la banda entera, con sus ramas P y R, ocupa más de cien centímetros inversos —los máximos de las dos ramas están separados unos 58 cm⁻¹ a temperatura ambiente—, así que 26,54 no llega ni a la mitad de eso. La comparación buena es con una raya: esos 26,54 cm⁻¹ son unas cinco mil veces la anchura Doppler de una raya del CO a 300 K, que vale 5,0 × 10⁻³ cm⁻¹. Por ahí no hay ningún espectrómetro que pueda confundirlas. Y hay una comprobación de olfato que zanja la discusión sin cuentas: el canal instrumental con el que MOPITT e IASI cuentan monóxido de carbono desde órbita se llama, en toda la literatura, «los 4,7 µm». No «los 4,6».

Aquí conviene ser preciso con una frase que se dice mal a menudo, y que el borrador de este mismo artículo decía mal: «el corrimiento al rojo lo da el término cúbico del desarrollo del potencial». No. El término $-\tilde\omega_e x_e (v+\tfrac12)^2$ recibe dos contribuciones y hay que contarlas las dos. El término cúbico $\propto x^3$ contribuye a segundo orden de perturbaciones —a primer orden no aporta nada, porque $\langle n|x^3|n\rangle = 0$ por paridad— y el término cuártico $\propto x^4$ contribuye a primer orden, con $\langle n|x^4|n\rangle$ que el artículo 02 calculó y vale $\tfrac34(2n^2+2n+1)x_0^4$. Las dos son del mismo tamaño y ninguna es despreciable; en el potencial de Morse, cuyos coeficientes son $-D_ea^3$ y $\tfrac{7}{12}D_ea^4$, se compensan parcialmente y el resultado es la $\tilde\omega_e x_e$ que se mide. Atribuir todo el efecto al cúbico es quedarse con la mitad del cálculo.

El peine que sí existe

El oscilador armónico predice una raya. El CO real, mirado con suficiente resolución y a suficiente temperatura, tiene tres cosas más, y las tres son cuantitativas.

Uno: las bandas calientes. Ya han salido. Son las transiciones n+1←n con n ≥ 1, y aparecen a $2\tilde\omega_e x_e$ = 26,58 cm⁻¹ una de otra, hacia el rojo. En el armónico caerían todas encima de la fundamental; en el CO real forman una escalerilla. Sólo se ven si el nivel n está poblado, y de eso trata la sección siguiente: a temperatura ambiente sólo 2,835 de cada cien mil moléculas de CO están en n = 1, de modo que la banda caliente es indetectable; a 2000 K la razón de intensidades entre la fundamental y la 2←1 ha bajado a 2,382, y las dos se ven a la vez. El panel de arriba imprime esa razón a cualquier temperatura del recorrido.

Dos: los sobretonos. En el oscilador armónico, Δn = ±2 está prohibido: el elemento de matriz es cero exacto, como muestra la tabla de más arriba. En el CO se mide. El primer sobretono, la transición 2←0, está en 4260,06 cm⁻¹ = 2,347 µm, y el desarrollo de dos términos lo predice en

con un error de 3,8 × 10⁻⁵. Nótese que no está al doble de la fundamental: $2\times 2143{,}27 = 4286{,}54$, y lo medido son 26 cm⁻¹ menos. Un sobretono siempre cae por debajo del doble, y esa diferencia es otra medida de la misma anarmonicidad. Que exista es la mejor prueba de que el potencial no es cuadrático: si lo fuera, la raya no estaría. Es mucho más débil que la fundamental —cuánto, este módulo no lo predice y no se va a inventar aquí— por dos motivos que se suman: la mezcla de estados que introduce la anarmonicidad mecánica y la curvatura de $\mu(x)$, que el desarrollo lineal de la primera sección despreciaba.

Tres: la estructura rotacional. Llamar «raya» a lo que se ve es una simplificación que este artículo debe declarar. Una molécula que vibra también rota, y la rotación tiene su propia escalera, mucho más fina: la constante rotacional del CO es $B_e$ = 1,93128 cm⁻¹, mil veces menor que $\tilde\omega_e$. Es el mismo dato con el que el artículo 01 comprobó la masa reducida por un segundo camino, vía $I = \mu r_e^2$ y $r_e = 112{,}832$ pm. Cada transición vibracional arrastra un cambio del estado rotacional, y lo que el espectrómetro ve no es una raya sino una banda con dos ramas de rayas finas a los lados de 2143,27 cm⁻¹, separadas por unidades de $B_e$. El origen de banda es la posición que tendría la transición si la rotación no cambiara, y es el número que se compara con la teoría de este módulo. La escalera rotacional es un problema de momento angular y se resuelve en el módulo II.5; aquí se declara y se aparta.

La cuarta fila está ahí a propósito, y con la palabra «no existe» escrita: es la que había que tachar y no se tachó. De los números de esta tabla, los medidos (2143,2712 y 4260,06 cm⁻¹) son datos de HITRAN, los predichos de las filas 1 y 3 están cruzados contra ellos en scripts/verificar-oscilador.py, y los de la fila 2 —la banda caliente, que ninguna de las dos anclas de este módulo mide— son aritmética exacta sobre $\tilde\omega_e$ y $\tilde\omega_e x_e$, sin contraste experimental. Se dice porque la diferencia importa.

Quién puede absorber: la ocupación térmica

La regla de selección dice qué transiciones existen. No dice cuáles se ven. Una transición n+1←n necesita que haya moléculas en n, y a temperatura T la fracción que hay en cada peldaño la fija el factor de Boltzmann. Como el espectro es equiespaciado, la suma sale en forma cerrada de una línea: es una serie geométrica de razón $e^{-x}$ con

y de ahí las tres cantidades que se usan a diario:

El verificador comprueba las tres sumando directamente sobre cuatro mil niveles y comparando con la forma cerrada, a cuatro temperaturas, y coinciden en doce cifras. Es una comprobación aburrida y por eso vale: si a alguien se le hubiera colado un $e^{-nx}$ donde va $e^{-(n+1/2)x}$, o un $\theta_{\rm vib}/2$ donde va $\theta_{\rm vib}$, la suma directa no coincidiría.

$\theta_{\rm vib} = \hbar\omega/k_B$ es la temperatura vibracional, y para el CO vale 3122 K — el artículo 01 la calculó por dos caminos, desde ħω y desde $c_2\tilde\omega_e$ con la segunda constante de radiación. Ese número es toda la historia: a 298,15 K, $x = 10{,}47$, y $e^{-10,47}$ es 2,8 × 10⁻⁵. La vibración del CO está congelada a temperatura ambiente en el sentido más literal: prácticamente todas las moléculas están en n = 0 y no hay ninguna banda caliente que ver.

Dos cosas de esta tabla merecen mirarse dos veces. La primera: a 298,15 K, $P_1$ y $\langle n\rangle$ son el mismo número hasta la cuarta cifra. No es casualidad ni descuido de la tabla: cuando $x \gg 1$, sólo el primer nivel excitado cuenta en la suma $\langle n\rangle = \sum n P_n$, y entonces $\langle n\rangle \approx P_1$. El verificador lo comprueba y coinciden en 5,7 × 10⁻⁵. La segunda: a 2000 K el CO ya tiene el 16,59 % de sus moléculas en n = 1 y el 4,4 % restante repartido por encima. Ahí la banda caliente no es una curiosidad, es una parte visible del espectro — y su posición, 26,58 cm⁻¹ por debajo de la fundamental, es lo que permite usar el cociente de intensidades como termómetro.

Dónde se nota que la escalera está congelada: el calor específico

La ocupación térmica tiene una consecuencia macroscópica que se mide con un calorímetro y no con un espectrómetro, y es la manera más antigua de detectar que la vibración está cuantizada. Derivando $\langle E\rangle$ respecto de T:

Es la función de Einstein, la misma con la que en 1907 se explicó por qué el calor específico de los sólidos se desploma al enfriar. El verificador la cruza contra la derivada numérica de $\langle E\rangle$ a cuatro temperaturas y coinciden en 10⁻⁸. Tiene dos límites y los dos son reconocibles: cuando $x \to 0$ tiende a 1, que es la equipartición clásica —un grado de libertad vibracional aporta $k_B$ entero, medio de cinética y medio de potencial—, y cuando $x \gg 1$ se va a cero como $x^2e^{-x}$, es decir, exponencialmente.

Los números del CO dicen lo demás. A 298,15 K, $C_{\rm vib}/R = 0{,}003109$: tres milésimas. El calor específico molar del CO a temperatura ambiente es, por tanto, $\tfrac32 R$ de traslación más $R$ de rotación —dos ejes— más 0,003109 R de vibración. La vibración prácticamente no cobra, y por eso el CO se comporta como un gas diatómico «rígido» de $\tfrac52 R$ en todos los libros de termodinámica elemental, sin que ninguno explique por qué el tercer grado de libertad no está. La razón es este 0,003109, y detrás de él, $e^{-10,47}$.

La escalera se descongela despacio: 0,4701 a 1000 K —casi la mitad—, 0,9207 justo en $T = \theta_{\rm vib}$ = 3122 K, y 0,9980 a 20 000 K. Fíjate en que ni siquiera en la propia $\theta_{\rm vib}$ se llega al valor clásico: hace falta $T$ varias veces mayor. Y fíjate también en que a esas alturas el CO ya se ha disociado hace rato, de modo que la última fila de la tabla es una propiedad del modelo, no del gas. Decirlo es parte del trabajo: la función de Einstein sigue valiendo, la molécula no.

El medio cuanto, medido

$E_0 = \tfrac12\hbar\omega$ es la predicción más incómoda del oscilador y la más fácil de despachar como una curiosidad formal. No lo es: aparece, con su número, en cuatro sitios distintos donde se mide algo. Van los cuatro, y el segundo es el que el borrador de este artículo contaba mal.

Primero, con cuidado con qué número se escribe. La energía de punto cero armónica del CO es

pero la de verdad, la del CO real, es $G(0)$ con la misma anarmonicidad que corrió la raya:

La diferencia es un cuarto de la constante de anarmonicidad, 3,32 cm⁻¹, y en meV se nota en la cuarta cifra: 134,5 frente a 134,1. Se puede escribir 134,5 si se dice que es el armónico; escribirlo como «lo que mide el CO» es falso. Y la confirmación no es circular: diagonalizando el potencial de Morse sobre una rejilla de diferencias finitas —sin usar ninguna fórmula de $G(v)$— el verificador obtiene 1081,583 cm⁻¹, y comprueba además que al refinar la rejilla el error se divide por cuatro, que es lo que tiene que hacer un método de orden $dx^2$.

Segundo, en la energía de disociación. Aquí está la medida más directa del medio cuanto que existe, y es la que el borrador de este artículo enunciaba mal. Un químico mide $D_0$: la energía que hay que dar a la molécula desde su estado fundamental real para romperla. Un teórico calcula $D_e$: la profundidad del pozo desde su fondo. La relación no lleva ninguna corrección adicional ni ninguna resta de anarmonicidad aparte:

Con números del CO: $D_0$ se midió en 2023 por predisociación y vale 89 602,80 cm⁻¹ = 11,11 eV —el enlace químico más fuerte que se conoce—, así que

La diferencia entre las dos son exactamente los 1081,6 cm⁻¹ = 134,1 meV del punto cero. Un enlace que «debería» costar 11,24 eV se rompe con 11,11 porque la molécula ya partía de medio cuanto arriba y no puede bajar de ahí. Ésa es la energía de punto cero convertida en una factura energética que un calorímetro cobra.

Tercero, y aquí hay una lección sobre modelos. El potencial de Morse del artículo 01 deduce la profundidad del pozo a partir de las dos constantes vibracionales, sin saber nada de disociación:

Frente a los 11,24 eV espectroscópicos, el Morse se queda un 2,33 % corto. Compáralo con lo que acierta: los primeros niveles vibracionales, a 10⁻⁵. El mismo modelo, con los mismos dos parámetros, acierta el fondo del pozo a una parte en cien mil y la altura del borde a una parte en cuarenta. No es una pega, es lo que hay que esperar: los datos con los que se ajusta —$\tilde\omega_e$ y $\tilde\omega_e x_e$— viven en el fondo del pozo, y extrapolarlos hasta la disociación es pedirle al modelo que responda por una región donde nadie lo ha comprobado. La forma de Morse es cómoda porque tiene solución exacta, no porque sea el potencial del CO.

Y una cuarta medida, indirecta pero incontestable. Si el CO pudiera sentarse quieto en el fondo del pozo, con $x = 0$ y $p = 0$ exactos, el producto $\sigma_x\sigma_p$ valdría cero y la desigualdad de Kennard estaría violada. El fundamental del CO tiene $\sigma_x = x_0/\sqrt2 = 3{,}366$ pm y satura la desigualdad exactamente, $\sigma_x\sigma_p = \hbar/2$. Esa anchura —un 4,22 % de la longitud del enlace, 112,832 pm— es el medio cuanto convertido en longitud, y es la misma cantidad que aparece en el elemento de matriz $\langle0|x|1\rangle$, que también vale 3,366 pm. No es coincidencia: $\langle0|x|1\rangle$ y $\sigma_x$ del fundamental son el mismo $x_0/\sqrt2$, porque en el estado fundamental la única «componente» que x tiene es la que va a n = 1.

Cuando n es grande: el oscilador se vuelve clásico, pero no del todo

Queda un límite por mirar, y es el que cierra el círculo con la mecánica del primer curso. Un oscilador clásico de amplitud A pasa más tiempo cerca de los puntos de retorno, donde va despacio, que en el centro; su densidad de probabilidad es $\frac{1}{\pi\sqrt{A^2-x^2}}$, con dos picos en los extremos. La $|\psi_0|^2$ cuántica es lo contrario exacto: una gaussiana con un máximo en el centro. El principio de correspondencia exige que las dos se encuentren al crecer n, y se encuentran, pero con una letra pequeña que conviene leer.

Lo que coincide exactamente, en todos los niveles, es el segundo momento. Con $A_{\rm cl} = x_0\sqrt{2n+1}$ —la amplitud clásica que tendría una partícula con la energía $E_n$—,

y el verificador lo comprueba en n = 0, 1, 5 y 50. En n = 0, donde no hay nada de clásico. Es un accidente afortunado del potencial cuadrático, y explica por qué tantos argumentos semiclásicos sobre osciladores funcionan mejor de lo que merecen.

Lo que no coincide es el cuarto momento. Con $\langle \xi^4\rangle_{\rm cu} = \tfrac34(2n^2+2n+1)$ del artículo 02 y $\langle \xi^4\rangle_{\rm cl} = \tfrac38(2n+1)^2$, la diferencia es

una constante. Que sea constante es lo interesante: como el propio $\langle\xi^4\rangle$ crece como $n^2$, la discrepancia relativa se diluye —11,1 % en n = 1, 0,227 % en n = 10, 0,00248 % en n = 100— sin que el desacuerdo absoluto desaparezca nunca. Así es como se comporta el límite clásico de verdad: no es que lo cuántico se apague, es que se hace pequeño comparado con lo que se está midiendo.

Lo mismo con la distribución entera. La probabilidad de encontrar el oscilador en la mitad central de su recorrido, $|x| \lt A_{\rm cl}/2$, vale clásicamente $(2/\pi)\operatorname{arcsen}\tfrac12 = 1/3$ exactamente. Cuánticamente:

Converge, pero oscilando: por debajo del tercio en n = 1, por encima entre n = 5 y n = 50, otra vez por debajo en n = 100 y por encima en n = 200. Ésas son las oscilaciones de $|\psi_n|^2$, que tiene n nodos y no se puede parecer punto a punto a una curva suave; lo que converge es la media local. La cola clásicamente prohibida hace lo mismo, cayendo del 15,73 % en n = 0 al 2,28 % en n = 200 sin llegar nunca a cero.

Y el CO pone el punto final a esta sección, porque en él el límite clásico no llega a existir. La escalera del Morse termina: el último nivel ligado es $v_{\max} = 1/(2x_e) - \tfrac12 = 81{,}1$, y mucho antes de eso —en $n = 1/(4x_e)-\tfrac12 = 40{,}3$— la amplitud clásica ya iguala la escala 1/a = 43,0 pm sobre la que el potencial cambia de forma, así que el propio concepto de «oscilador» se ha perdido. En un oscilador armónico de verdad, n va a infinito. En una molécula, n se acaba a los ochenta y uno, y la molécula se rompe.

Dos caminos, un espectro, y lo que este módulo no hace

El módulo prometió dos caminos hasta el mismo sitio y los recorrió. El analítico, del artículo 02, escribió el entero n al exigir que una serie terminara: si no termina, $\psi$ se va como $e^{+\xi^2/2}$ y no es normalizable. El algebraico, del 03, escribió el mismo entero al exigir que una escalera parara: si no para, aparecen energías negativas y la norma se hace negativa. Los dos dan $E_n = \hbar\omega(n+\tfrac12)$, los dos dan las mismas $\psi_n$, y el verificador lo comprueba por un tercer camino que no es ninguno de los dos —diferencias finitas sobre una rejilla, con la μ y la k del CO en unidades SI— obteniendo 134,51122 meV frente a los 134,51130 que da la fórmula.

Y los dos se necesitan. El analítico es el que hace creíble el entero, porque se ve de dónde sale: de una condición de contorno en el infinito, no de un postulado. El algebraico es el que permite calcular: $\langle n|x|m\rangle$ en una línea en vez de una integral de Hermite, y de ahí toda la sección primera de este artículo. Un curso que sólo dé uno de los dos deja al estudiante o sin fundamento o sin herramienta.

Lo que este módulo no hace, dicho con todas las letras para que nadie lo busque aquí. No cuantiza el campo electromagnético: cada modo de una cavidad es un oscilador armónico y su medio cuanto es la energía del vacío, pero eso —y el efecto Casimir de verdad, y los fotones como cuantos de $a^\dagger$— necesita un campo que cuantizar y es el módulo III.6. No resuelve el oscilador forzado, que es lo que hace falta para deducir de verdad la probabilidad de transición por unidad de tiempo en lugar de tomarla prestada: eso es el III.3. No trata el oscilador en tres dimensiones, que da la degeneración $(n+1)(n+2)/2$ y aparece en el modelo de capas nuclear; el 2D isotrópico lo monta la hoja de problemas de este módulo. Y no toca los estados coherentes, los autoestados de a, que son los que devuelven el movimiento clásico a un sistema cuántico y que la sección anterior ha estado rodeando sin nombrarlos.

Lo que sí queda, y es bastante: un potencial que aparece cada vez que algo está cerca de un mínimo, un espectro equiespaciado, una regla de selección que convierte ese espectro en una sola raya, un juego de operadores que calcula cualquier elemento de matriz sin integrar, y una molécula real —el CO, con su raya en 2143,27 cm⁻¹— en la que cada una de esas cinco cosas se ha comprobado con cifras.

Ejercicios