Hoja de problemas del módulo II.1

Si de este módulo hay que llevarse un solo aviso, es éste: la mitad de la información de Ψ no está en |Ψ|². La densidad es lo que se mide y es también lo que tira la fase, y en la fase está todo lo que se desplaza — la corriente $j=(\hbar/m)\,\rho\,\partial_x\Phi$ , el momento medio, y la diferencia entre un estado que está y uno que va. Un factor global $e^{i\theta}$ no cambia nada observable; una diferencia de fase entre dos sumandos lo cambia todo, y esa diferencia se hace visible sola, porque cada sumando gira a su propia velocidad $E_n/\hbar$ . De ahí sale el error más caro de este tema: mirar el dibujo de |Ψ|² en t = 0 y decidir con él si algo se mueve. No se decide mirando. Se decide calculando —j, $\langle x\rangle(t)$ , $\langle p\rangle(t)$ — y hay que calcular los tres, porque no siempre dicen lo mismo. Y un aviso hermano, más barato de aplicar: antes de escribir una σ, comprueba que su integral converge; antes de escribir un valor esperado, comprueba que el estado está normalizado. Ninguna de las dos cosas la avisa la notación.

Necesitas: el módulo II.1 completo. Los problemas 2 y 6 recuperan el estado del ejemplo resuelto 1 del artículo 04 —la mezcla de los dos primeros niveles del pozo— con preguntas nuevas; el 1 y el 3 usan la normalización y los valores esperados del artículo 02 y del artículo 03; el 5 rehace la demostración de la conservación de la norma del artículo 02 tres veces seguidas. De matemáticas: integrales elementales, integración por partes, la identidad del ángulo triple y una ecuación diferencial de primer orden. Con dos excepciones, que van dichas porque están en el problema más duro: el 5(b) pide resolver una ecuación del calor —basta el ansatz gaussiano de anchura variable, y el resultado sólo puede depender del único tiempo que se construye con m, ħ y σ₀— y el 5(d) distingue entre el autovalor de una ecuación no lineal y la energía del estado, que no son lo mismo. Y de física, una herramienta que este módulo no deduce: el problema 4 usa el teorema del virial. Ninguno necesita nada del módulo II.2. Los problemas que recuperan el pozo de 1 nm no vuelven a pedir las cifras que los artículos ya calcularon: E₁ = 0,376 eV, E₂ = 1,504 eV, E₃ = 3,384 eV, ΔE₂₁ = 1,128 eV, ΔE₃₁ = 3,008 eV, T₂₁ = 3,666 fs, y τ(σ₀ = 1 nm) = 17,28 fs.

Problema 1 ●○○ · Un estado que no dice nada hasta que se normaliza

Un electrón se prepara en el instante t = 0 con la función de onda

\Psi(x,0) = A\left(1-\frac{|x|}{L}\right)e^{ik_0x} \quad\text{para } |x|\le L, \qquad \Psi=0 \text{ fuera},

con $L = 0{,}5$ nm y $k_0 = 2\times10^{9}$ m⁻¹. Antes de preguntarle nada al estado hay que normalizarlo, y las tres integrales que siguen son polinómicas: se hacen enteras.

(a) Halla A. (b) Calcula $\langle x\rangle$ y $\sigma_x$ , y di si dependen de $k_0$ . (c) Calcula $\langle p\rangle$ y $\sigma_p$ , y comprueba $\langle p\rangle$ por un segundo camino: obtén la corriente de probabilidad j(x) y usa que $m\,d\langle x\rangle/dt = \int j\,dx$ . (d) Forma $\sigma_x\sigma_p$ en unidades de ħ/2 y sitúalo entre los tres estados del ejemplo resuelto 2 del artículo 03 —gaussiana 1,000; exponencial 1,414; fundamental del pozo 1,136—. ¿Esperabas ese sitio para una función con un pico y dos esquinas?

Pista

$|\Psi|^{2}$ es par y la fase no toca al módulo: basta integrar en $x \gt 0$ y duplicar.

Ojo con $\sigma_p^{2}=\langle p^{2}\rangle-\langle p\rangle^{2}$ : el factor $e^{ik_0x}$ mete $k_0$ dentro de $\langle p^{2}\rangle$ y hay que devolverlo entero; quedarse con la raíz de $\langle p^{2}\rangle$ infla el producto un 15 %.

Comprueba cambiando $k_0$ : ni $\sigma_x$ , ni $\sigma_p$ , ni su producto pueden depender de él.

Problema 2 ●○○ · Cuánta probabilidad cruza el centro de la caja

Este problema recupera la mezcla del ejemplo resuelto 1 del artículo 04 —allí se calculó cuánto se desplaza el centroide— para preguntar otra cosa: cuánta probabilidad pasa de un lado al otro y a qué ritmo.

Un electrón en un pozo de paredes infinitas de anchura a = 1 nm está en $\Psi(x,0) = \left(\psi_1+\psi_2\right)/\sqrt2$ .

(a) Calcula $P_{\text{izq}}(t) = \int_0^{a/2}|\Psi|^{2}dx$ y di entre qué dos valores oscila. (b) ¿Cuál es el ritmo máximo $|dP_{\text{izq}}/dt|$ , en s⁻¹? El tiempo del máximo al mínimo ya está en el artículo 04. (c) Calcula j(a/2, t) desde la definición y comprueba con ella la ecuación de continuidad en su forma integrada, $\frac{d}{dt}\int_0^{a/2}\rho\,dx = j(0,t)-j(a/2,t)$ ; explica de paso por qué j(0, t) = 0. (d) Divide tu j máxima por la densidad en ese mismo punto para obtener una velocidad local, y compárala con la de un electrón clásico de energía $\langle H\rangle = 0{,}940$ eV —el valor que el artículo 04 calculó para este estado—.

Pista

ρ tiene tres sumandos y sólo el cruzado depende del tiempo: en media caja las diagonales salen por simetría y queda una integral de verdad.

Ojo: el nodo de $\psi_2$ cae en a/2 y tienta a poner j = 0 ahí, pero j lleva derivadas y no sólo densidad — mira qué término sobrevive cuando una de las dos se anula y la otra no.

Comprueba que tu j vale cero en todo punto en t = 0, porque ahí Ψ es real.

Problema 3 ●●○ · Proyectar un estado, y una pregunta que no tiene respuesta

En el mismo pozo de a = 1 nm, un electrón se prepara en $\Psi(x,0) = A\operatorname{sen}^{3}(\pi x/a)$ . El artículo 04 afirmó que las autofunciones del hamiltoniano forman un conjunto completo y que los coeficientes se obtienen proyectando; aquí hay que proyectar de verdad.

(a) Normaliza y desarrolla Ψ en la base $\{\psi_n\}$ : ¿cuántos niveles aparecen y cuáles? (b) ¿Con qué probabilidad devuelve cada uno una medida de energía? Halla $\langle H\rangle$ y $\sigma_E$ . (c) ¿Cuánta energía tiene ese electrón? Da la cifra en electronvoltios. Y una segunda, del mismo tipo: ¿con qué probabilidad una medida de energía devuelve $\langle H\rangle$ ? (d) ¿Se mueve ρ(x, t)? ¿Se mueve $\langle x\rangle$ ? Si las dos respuestas no coinciden, explica cómo es posible y da el periodo de lo que sí se mueva.

Pista

Hay dos caminos y los dos valen: proyectar $c_n=\int\psi_n\Psi\,dx$ uno a uno, o escribir el cubo del seno como suma de dos senos con la identidad del ángulo triple.

Ojo: los coeficientes de esa identidad no son los $c_n$ , porque cada $\psi_n$ arrastra su $\sqrt{2/a}$ y Ψ arrastra su A.

Comprueba que $\sum_n|c_n|^{2}$ te dé 1 exacto.

Problema 4 ●●○ · El potencial que hace falta para que ese estado exista

Todo el módulo va en una dirección: dado V, hállese ψ. Este problema va al revés, que es más barato y enseña lo mismo. Alguien propone que

\psi(x) = A\,x\,e^{-x^{2}/2b^{2}}

es un estado estacionario de un electrón, con b = 1 nm.

(a) Normalízala. (b) Impón $\hat H\psi = E\psi$ y despeja V(x) y E. La ecuación sólo determina la diferencia V − E; el dato que los separa es que el potencial valga cero en el origen, V(0) = 0. (c) ¿Qué sistema ha aparecido? Da ħω en meV, E en meV y la constante de fuerza $k=m\omega^{2}$ , y comprueba el teorema del virial calculando $\langle T\rangle$ y $\langle V\rangle$ por separado. (d) Halla $\sigma_x\sigma_p$ en unidades de ħ/2. ¿Satura la desigualdad? ψ es una gaussiana multiplicada por x: explica por qué esa x basta para no saturar, con lo que dice el artículo 03 sobre quién satura.

Pista

Despeja V de la propia ecuación, $V(x) = E + (\hbar^{2}/2m)\,\psi''/\psi$ : no hay que resolver nada, sólo derivar dos veces y dividir.

Ojo: $\psi''/\psi$ tiene un término en $x^{2}$ y otro constante, y es el constante el que se lleva E entera; si te sale sólo el de $x^{2}$ , tienes un potencial sin partícula dentro.

Comprueba con el virial: $\langle T\rangle$ y $\langle V\rangle$ tienen que salirte iguales y sumar tu E.

Problema 5 ●●● · Tres ecuaciones que no son la de Schrödinger

El artículo 02 demostró que la norma se conserva, y la demostración tenía hipótesis. Aquí se ponen a prueba. Tres ecuaciones que alguien podría proponer, las tres razonables sobre el papel:

\text{(I)}\quad i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\partial_x^{2}\Psi + V\Psi + g|\Psi|^{2}\Psi, \quad g \text{ real},

\text{(II)}\quad \partial_t\Psi = \frac{\hbar}{2m}\,\partial_x^{2}\Psi, \qquad\qquad \text{(III)}\quad -\hbar^{2}\partial_t^{2}\Psi = -\hbar^{2}c^{2}\partial_x^{2}\Psi + m^{2}c^{4}\Psi.

La (I) es la ecuación de Gross-Pitaevskii, y describe un condensado de verdad; la (II) es la del artículo 01 sin la i; la (III) es la ecuación de Klein-Gordon del ejemplo resuelto 2 de ese mismo artículo.

(a) Para cada una, contesta a las tres preguntas y razona cada casilla en una línea: ¿se conserva $\int|\Psi|^{2}dx$ ? ¿vale la superposición? ¿determina Ψ(x, 0) todo el futuro? Son nueve casillas y hay que llenarlas por separado. (b) Para la (II), resuelve el caso de una gaussiana de anchura inicial $\sigma_0$ y da $\int\Psi^{2}dx$ en función del tiempo; evalúala para un electrón con $\sigma_0 = 1$ nm a 10 fs, 100 fs y 1 ps. (c) Para la (I), demuestra que reescalar deja de funcionar: si Ψ es solución, cΨ no lo es salvo $|c| = 1$ —la fase global sigue siendo libre, como en cualquier teoría cuántica, y lo que se pierde es la libertad de reescalar la amplitud—. ¿Qué le pasa entonces a la maniobra del artículo 02 de «normalizar eligiendo A»? (d) Para la (I), ¿sigue funcionando la separación de variables del artículo 04? Si $\Psi=\psi(x)e^{-iKt/\hbar}$ , ¿qué es K, y coincide con la energía $\int\left[\frac{\hbar^{2}}{2m}|\psi'|^{2} + V|\psi|^{2} + \frac{g}{2}|\psi|^{4}\right]dx$ ? (e) Para la (III), la casilla de la norma no se contesta recordando: se contesta construyendo la magnitud que sí se conserva. Comprueba que $\rho_{\mathrm{KG}} = \frac{i\hbar}{2mc^{2}}\left(\Psi^{*}\partial_t\Psi - \Psi\,\partial_t\Psi^{*}\right)$ cumple $\partial_t\rho_{\mathrm{KG}} + \partial_x j = 0$ con la misma j del artículo 02, y exhibe un dato inicial —Ψ(x, 0) y $\partial_t\Psi(x,0)$ , que en esta ecuación son independientes— para el que $\rho_{\mathrm{KG}}$ salga negativa en algún punto. Hasta que no se escribe uno, «puede ser negativa» es una frase, no un resultado.

Pista

Para la norma basta con la cuenta del artículo 02, mirando qué hipótesis la sostenía.

Ojo con atar las dos propiedades: «no lineal, luego no conserva» y «lineal, luego conserva» son las dos falsas, y las nueve casillas se contestan una a una.

Comprobación de (b): tu resultado sólo puede depender de t y $\sigma_0$ por el único tiempo que se construye con m, ħ y $\sigma_0$ , y vale 1 en t = 0.

Problema 6 ●●● · Ehrenfest en la caja: dónde está la fuerza

Mismo estado del problema 2 —la mezcla de los dos primeros niveles del pozo de 1 nm, con un electrón—, ahora mirado desde el teorema de Ehrenfest.

(a) Calcula $\langle p\rangle(t)$ integrando $\int_0^{a}\Psi^{*}(-i\hbar\,\partial_x\Psi)\,dx$ . (b) Comprueba la primera ecuación de Ehrenfest, $m\,d\langle x\rangle/dt = \langle p\rangle$ , usando el $\langle x\rangle(t)$ del ejemplo resuelto 1 del artículo 04. Tiene que salir exacta.

(c) Ahora deriva otra vez: $d\langle p\rangle/dt$ no es cero. Y dentro de la caja V = 0, de modo que $\langle -\partial_x V\rangle = 0$ . Las dos cosas no pueden ser a la vez. Localiza el paso concreto de la deducción del artículo 03 que aquí no vale, y di por qué. (d) Rehaciendo esa integración por partes sin tirar los términos de borde, demuestra que

\frac{d\langle p\rangle}{dt} = \frac{\hbar^{2}}{2m}\left[\left|\partial_x\Psi(0,t)\right|^{2} - \left|\partial_x\Psi(a,t)\right|^{2}\right],

evalúa su máximo en newtons y compáralo con la repulsión de Coulomb entre dos electrones a 1 Å, que vale 2,31 × 10⁻⁸ N. Por último: ¿qué fuerza siente cada pared cuando el electrón está en el estado fundamental, y con qué derivada termodinámica coincide ese número?

Pista

En $\langle p\rangle$ las diagonales se van y quedan dos integrales cruzadas, $\int\psi_1\psi_2'$ y $\int\psi_2\psi_1'$ , que se relacionan integrando por partes con ψ nula en las dos paredes.

La trampa es concluir de V = 0 que $\langle p\rangle$ no cambia: eso choca con tu apartado (b), que es exacto. El artículo 03 dice en qué paso se hace la trampa —lo dice en la frase donde descarta algo por anularse en ±∞—; aquí el dominio es [0, a].

Comprueba que tu $d\langle p\rangle/dt$ promedie cero en un periodo.

Fin del módulo II.1. Con esto ya tienes la maquinaria completa de la mecánica cuántica de una partícula, y conviene decir qué es exactamente: sabes de dónde no sale la ecuación y hasta dónde llega el argumento que suele venderse como su deducción; sabes qué es $|\Psi|^{2}$ y que su integral vale 1 para siempre porque es un teorema y no una imposición; sabes sacar de esa demostración la corriente j y la ecuación de continuidad, y con ellas decidir si algo fluye en vez de opinarlo; sabes construir el operador momento —que no se postula, se deduce de $m\,d\langle x\rangle/dt$ —, calcular valores esperados, verificar Ehrenfest y ver dónde deja de ser Newton; sabes deducir $\sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2$ sin mencionar ningún aparato de medida; y sabes que cualquier solución es una suma de estados estacionarios girando cada uno a su $E_n/\hbar$ , con un batido visible en cuanto hay dos. En términos de Griffiths, el capítulo 1 y el §2.1 están cubiertos.

Lo que falta es casi todo lo concreto, y la cuenta es embarazosamente fácil de hacer: este módulo ha resuelto un único potencial, el pozo de paredes infinitas, y lo ha resuelto en cinco líneas y como laboratorio numérico, para tener un espectro con el que calcular. Todo lo demás ha sido general. La ecuación independiente del tiempo se ha escrito, se ha nombrado y sólo se ha resuelto dos veces: el pozo infinito y, en el ejercicio 4 del artículo 04, el pozo delta —el único potencial cuyas condiciones de contorno se pueden aplicar sin abrir el módulo siguiente, y que da un nivel y sólo uno—. Y hay tres deudas declaradas, que van dichas porque un módulo que finge no tenerlas forma lectores que no distinguen lo demostrado de lo usado: que las autofunciones formen un conjunto completo, que es lo que hace legítimo el desarrollo del problema 3; la cota de Mandelstam-Tamm, que se enuncia y se aplica cuatro veces sin demostrarse; y la ley de ensanchamiento $\sigma(t)=\sigma_0\sqrt{1+(t/\tau)^{2}}$ del artículo 02, que exige una integral en dk que este módulo no abre. Las tres se pagan más adelante: las dos primeras en el II.4, la tercera en el tratamiento de paquetes libres.

El módulo II.2, «Pozos, escalones y barreras: cuantización y efecto túnel», es exactamente ese trabajo pendiente. Empieza aplicando las condiciones de contorno de verdad: el pozo finito, donde el número de estados ligados es finito y se cuenta, y donde la función de onda se sale por las paredes en vez de anularse en ellas; el escalón y la barrera, donde el problema deja de ser normalizable y hay que trabajar con corrientes —el ejercicio 2 del artículo 02 es el ensayo general de eso—; y el efecto túnel, con su exponencial, que es la primera predicción de esta teoría que no tiene ninguna versión clásica ni aproximada. Cuando llegues a la presión que ejerce una partícula ligada sobre la pared que la encierra, vuelve al problema 6 de esta hoja: allí la pared es infinita y la fuerza sale de un término de borde; con paredes finitas, ese mismo término se convierte en la corriente que se escapa, y de ella sale el tiempo de vida de un estado que no está atado del todo. Después, el módulo II.3 resuelve el oscilador armónico —el que ha aparecido solo en el problema 4— por dos caminos distintos, y con él la cuántica deja de ser un catálogo de casos para empezar a ser un formalismo.