Un reloj de un satélite del GPS adelanta 38 microsegundos cada día, y si nadie lo corrigiera te situaría a once kilómetros de donde estás. La relatividad no es una discusión de sobremesa sobre si todo es relativo: es ingeniería que hay que compensar para que el móvil sepa en qué calle te encuentras. Aquí están el espacio-tiempo, la gravedad y el universo entero, en tres niveles de profundidad — primero las ideas con números de verdad, luego la materia de la carrera con Hartle y Ryden, y al final el segundo ciclo con Carroll y Dodelson — con visualizaciones, ejemplos por todas partes y ejercicios resueltos.
Sitio del programa Fisicario — la Licenciatura en Física, sitio a sitio. Hermano de Fotonario, Particulario, Mecanario y Termario. La astrofísica —estrellas, medio interestelar, escaleras de distancia— no vive aquí: Gravitario cubre el espacio-tiempo, la gravedad y el universo como un todo.
Las ideas de la relatividad y la cosmología con números de verdad —microsegundos, kilómetros, masas solares— pero sin cálculo: aritmética y raíces cuadradas bastan. Divulgación exigente, sin sábanas elásticas ni metáforas que haya que desaprender en el Nivel II. Nivel completo: los cinco módulos publicados, veinte artículos y once visualizaciones.
La relatividad especial con números y sin cálculo: la velocidad que no se suma, los muones que no deberían llegar al suelo y llegan, dos rayos simultáneos que dejan de serlo por 400 nanosegundos, y el reloj del GPS que adelanta 38 microsegundos cada día.
El principio de equivalencia con los números delante: la ISS que flota con el 88 % de la gravedad terrestre debajo, la gravedad que deja de ser una fuerza y pasa a ser un desajuste de relojes de 1,85 × 10⁻¹⁶ por metro, los 22,5 metros de escalera de Pound y Rebka que cierran la cuenta del GPS, la deflexión de 1,751 segundos de arco con las barras de error de 1919, y las mareas como la grieta por la que se cuela la curvatura.
Los mitos, desmontados con la cifra que los desmonta: el radio de Schwarzschild del Sol (2953 m) y de la Tierra (8,87 mm), un horizonte que no es una superficie y donde el espacio-tiempo de M87* está 112 veces menos curvado que en tu salón, una densidad media de 0,436 kg/m³ —el 36 % de la del aire—, Sagitario A* pesado con Kepler y la órbita de S2, la sombra del EHT que mide 2,598 veces el horizonte, y el Sol convertido en agujero negro sin que la Tierra se entere.
GW150914 con la cadena entera delante: una deformación de 10⁻²¹ que estira cuatro kilómetros 4 × 10⁻¹⁸ metros —420 veces menos que un protón— aunque la onda traiga el flujo de un sonido de 102 decibelios, porque el espacio-tiempo tiene una rigidez de 1,21 × 10⁴⁴ newtons; un chirrido de 35 a 250 hercios del que se leen 28,1 masas solares; Kepler diciendo que a esa frecuencia los dos cuerpos estaban a 228 kilómetros con 192 de horizonte, y por tanto que no podían ser otra cosa; los 4,5 × 10²⁰ fotones que cuesta ver el desfase; y el área de los horizontes subiendo un 57 % mientras la masa baja un 4,6 %.
La cosmología con la aritmética delante: la ley de Hubble ajustada a diez galaxias con distancias medidas sin cosmología —y Andrómeda acercándose a 110 km/s para estropearla—, H₀ como inverso de tiempo (14 510 millones de años) y no como velocidad, la densidad crítica de 5,10 protones por metro cúbico, el umbral de 1,37 que decide qué se expande y qué no (el Sistema Solar no, Laniakea sí), 13 790 millones de años de edad frente a los 9670 de un universo sin energía oscura, un horizonte observable de 46 100 millones de años luz, los 411 fotones por centímetro cúbico del fondo cósmico a 2,7255 K — y la tensión de 4,9 sigmas que sigue sin resolverse.
La materia de Estructura del Espacio-Tiempo (optativa de 2.º) y el cuerpo de Relatividad General y de Gravitación y Cosmología, al nivel de Gravity de James Hartle y de Introduction to Cosmology de Barbara Ryden. Entran las derivadas, las integrales y las primeras métricas; cada resultado con su ejemplo numérico y su hoja de seis problemas. Nivel completo: los seis módulos publicados, veinticuatro artículos, seis hojas de problemas y dieciocho visualizaciones. En las hojas se dan pistas, no soluciones.
La relatividad especial rehecha con el aparato de la carrera: el intervalo invariante deducido de los dos postulados y no citado, la signatura (−,+,+,+) de Hartle, los diagramas de espacio-tiempo en los que un cambio de observador cierra los ejes como unas tijeras, la transformación de Lorentz obligada por la invariancia, la rapidez que sí se suma —9,5815 para un protón del LHC, dieciocho empujones de media velocidad de la luz—, el tiempo propio como longitud de una curva y la recta como la más larga de todas, un viaje a Próxima a 1 g en 3,54 años de reloj de a bordo, y los cuadrivectores con su producto escalar de signo menos. Con la primera hoja de problemas del sitio.
La materia entra en el espacio-tiempo del II.1: el cuadrimomento, con E = γmc² y p = γmv deducidas en vez de citadas, y una norma —E² = (pc)² + (mc²)²— que dibuja una hipérbola de la que ninguna partícula puede salirse; la conservación del cuadrivector entero, que convierte dos leyes clásicas en una sola ecuación y trae consigo una masa de sistema que no es la suma de las masas: dos fotones sin masa que juntos pesan 1,022 MeV/c², y un protón cuyo 99,04 % no es masa de sus quarks. De ahí salen los umbrales de producción —y los 98,56 PeV de haz contra pared que igualan a los dos haces de 6,8 TeV del LHC, la deuda que dejó el II.1—, el efecto Compton deducido con tres productos escalares, el cuadrivector de onda con su Doppler y su aberración —370 km/s leídos en el dipolo del fondo cósmico, 20,49 segundos de arco en las estrellas de Bradley, un chorro veintiocho millones de veces más brillante que su gemelo—, y una cuadrifuerza que ya no es paralela a la aceleración y que enseña que el magnetismo es un desequilibrio de carga de seis partes en 10²⁴.
Empieza la relatividad general, y empieza tachando una palabra: que la métrica del II.1 deje de ser constante. Con esa única licencia aparece la geometría intrínseca —un círculo de 1000 km de radio dibujado sobre el suelo mide 25,8 km menos de lo que dice Euclides, y de ese defecto sale el radio de la Tierra sin salir de ella— y aparece también la trampa que define el módulo: unas coordenadas polares producen símbolos de Christoffel distintos de cero en un espacio perfectamente plano, igual que un cono, igual que un disco que gira, cuyas fuerzas centrífuga y de Coriolis resultan ser Γ componente a componente. Las geodésicas salen por dos caminos que no son el mismo —extremar el tiempo propio, que falla con la luz, y transportar la velocidad sin girarla, que no falla nunca—, y con ellos la ruta de Madrid a Nueva York sube a 46,32° de latitud y un proyectil se desvía 52,7 metros. Después, el principio de equivalencia dicho con precisión: en cualquier punto existen coordenadas en las que la métrica vale η y sus derivadas se anulan, de las cien derivadas segundas sobreviven veinte, y esas veinte son la curvatura. De una sola componente, g₀₀ = −(1 + 2Φ/c²), sale la ley de Newton entera y los 38,504 µs/día del GPS; de la parte que no se puede quitar salen la marea, el anillo de canicas que se convierte en elipse sin cambiar de volumen, la holonomía que hace girar el péndulo de Foucault 11,325° por hora y una curvatura de 3,43 × 10⁻²³ m⁻² bajo tus pies — un radio de curvatura de 1,14 unidades astronómicas.
El módulo al que apuntaba todo el nivel: la primera solución exacta de la relatividad general, obtenida un mes después de publicarse la teoría y con una sola constante dentro, la masa. Empieza aprendiendo a leerla, que es menos obvio de lo que parece — la coordenada r no es la distancia al centro sino el radio de área, y entre las dos esferas cuyos radios de área son 2M y 3M hay tres veces más cuerda de la que dice la aritmética. Se comprueba con sympy que las diez componentes del tensor de Ricci se anulan y que el tensor de Riemann no: vacío y curvo a la vez, que es algo sin análogo newtoniano. Después, las órbitas: dos coordenadas cíclicas regalan dos constantes, el problema entero se reduce a una partícula en un potencial de una variable, y ese potencial tiene un término que Newton no tiene, −2Mℓ²/r³, que a corta distancia derriba la barrera centrífuga y deja sin órbitas estables todo lo que esté por debajo de 6M. De ahí salen los tres radios que el módulo I.3 tuvo que dar como datos —la última órbita estable en 6M, la esfera de fotones en 3M y el 2,598 r_s de la sombra— y la eficiencia del 5,72 % con la que un disco de acrecimiento convierte masa en luz, ocho veces la de una estrella. Con la ecuación de la órbita se calculan por fin las tres pruebas clásicas: los 42,98 segundos de arco por siglo del perihelio de Mercurio, los 1,7512 de la deflexión —con el factor dos que el II.3 diagnosticó y no pudo calcular— y los 252 microsegundos del retardo de Shapiro sobre un vuelo de media hora. Y termina en el horizonte, distinguiendo lo que se rompe de lo que no: g_rr se va a infinito en r = 2M y el invariante de Kretschmann vale allí 3/4M⁴, un número corriente, y sólo revienta en r = 0.
El II.4 llegó al horizonte con una carta que se rompe justo allí; aquí se cambia una sola coordenada —el tiempo por un tiempo nulo, v = ct + r*— y la métrica queda con determinante −r⁴sen²θ y ninguna componente infinita en r = 2M. Con ella la caída que costaba un tiempo coordenado infinito cruza en v = 43,326 M/c, y el horizonte deja de ser un argumento para convertirse en una casilla de una tabla: la rama saliente del cono de luz tiene dr/dv = (1/2)(1 − 2M/r) —adimensional, porque v es una longitud— y en r = 2M vale cero. Eso es todo — el horizonte es una superficie nula generada por rayos que ni salen ni caen, y por dentro las dos ramas del cono apuntan a r menor, de modo que «no se puede volver» pasa de ser una frase a ser una desigualdad. Kruskal queda enunciada con su factor conforme de 5,886 M² en el horizonte, y el colapso de una estrella como el Sol resulta durar 29,5 minutos de los que los últimos 6,57 microsegundos son ya de dentro. Después, la segunda mitad: ningún agujero negro real es de Schwarzschild, porque todos giran. La métrica de Kerr —comprobada Ricci-plana con sympy— trae dos horizontes, un área que no es 4πr₊², un horizonte que gira rígidamente (el de M87* da una vuelta cada 7,43 días con noventa y dos unidades astronómicas de radio), el arrastre de sistemas inerciales que paga la deuda de Gravity Probe B, y una ergosfera donde estar quieto es geométricamente imposible y la energía medida en el infinito puede ser negativa. De ahí sale el proceso de Penrose y su tope del 29,3 %, y de la ecuación radial de Kerr la cifra que este módulo tenía que verificar: la eficiencia del disco de un agujero extremo, 1 − 1/√3 = 42,265 %, sesenta veces la fusión del hidrógeno. Termina con las cuatro leyes de la mecánica de agujeros negros y con el cálculo que las cierra: dada la temperatura de Hawking —enunciada honestamente como resultado semiclásico que este nivel no deduce—, la primera ley obliga a que el coeficiente de la entropía sea exactamente 1/4.
El último módulo del Nivel II, y el que cambia de escala: hasta aquí el nivel ha hablado de UN cuerpo —una masa, un espín, un horizonte— y ahora la hipótesis es un contenido homogéneo e isótropo que lo llena todo. El primer efecto es brutal: las diez funciones independientes de una métrica se reducen a una función de una variable y un número que sólo puede valer −1, 0 o +1, y eso ocurre antes de escribir ninguna ecuación de campo. De la geometría sola, sin dinámica, sale el corrimiento al rojo por dos caminos —contando crestas de onda y por la geodésica nula, donde el responsable resulta ser un símbolo de Christoffel— y con él la distinción que vale media lección: no es un Doppler. A z = 6 la fórmula del Doppler devuelve 0,960 c y la velocidad de recesión al emitir era 2,82 c, y las dos son correctas porque la velocidad relativa de dos objetos lejanos no está definida: hay una por cada camino de transporte paralelo. Después, la dinámica, con el mismo precio declarado que pagó el II.4 —la ecuación de campo se toma y se contrae, deducirla es el III.2—: la componente 00 da la primera ecuación de Friedmann y la rr da la de aceleración, con el término que Newton no puede tener, porque la fuente no es la densidad sino ρ + 3p/c². Ahí cabe entera la energía oscura: con w = −1 el paréntesis cambia de signo y la gravedad, sin dejar de ser atractiva, empuja. Con eso se pagan las deudas que el I.5 dejó anotadas: la densidad crítica de 5,10 protones por metro cúbico, el Ω_r = 9,21 × 10⁻⁵ deducido de la temperatura del fondo —cuyo 41 % son neutrinos—, la edad de 13 790 millones de años integrada por tres caminos que no comparten integrando, el horizonte de 14 144 megapársecs y las cuatro distancias cosmológicas, con el máximo de la de diámetro angular en z = 1,588 y la dualidad D_L = (1+z)²D_A. Y una que aquel módulo no tenía: el horizonte de sucesos existe sólo porque hay Λ — en un universo de Einstein-de Sitter esa integral diverge.
Relatividad General y Gravitación y Cosmología en serio, con Spacetime and Geometry de Sean Carroll y Modern Cosmology de Scott Dodelson: geometría diferencial completa, tensores, radiación gravitatoria, horizontes cuánticos y cosmología de precisión.
Variedades diferenciables, vectores y formas sin coordenadas, la conexión de Levi-Civita, transporte paralelo, derivada de Lie y campos de Killing. El aparato de los capítulos 2 y 3 de Carroll, montado pieza a pieza.
El tensor de Riemann y lo que mide de verdad, la desviación geodésica, las identidades de Bianchi y el tensor de Einstein, la acción de Hilbert y el límite newtoniano que fija la constante de acoplo.
Campo débil, gauge armónico y gauge transverso sin traza, la fórmula del cuadrupolo, la luminosidad gravitatoria de una binaria y la deriva del periodo del púlsar de Hulse-Taylor comparada con la medida.
El efecto Unruh, la radiación de Hawking y su temperatura, las cuatro leyes de la mecánica de agujeros negros y la paradoja de la información — con la honestidad de decir qué sigue abierto y por qué.
Inflación y el espectro primordial, perturbaciones cosmológicas y el juego de gauges, la física de los picos acústicos del fondo de microondas y la estructura a gran escala, siguiendo a Dodelson.