La sonda del II.4 que se suelta en reposo desde r = 10M cruza el horizonte cuando su reloj marca 33,70 M/c y cuando el tiempo coordenado de Schwarzschild marca infinito. En la coordenada de este artículo cruza en v = 43,326 M/c, un número perfectamente corriente, y sigue adelante. No ha cambiado la física: ha caducado el reloj.
Diagrama de Finkelstein: el eje vertical es t̃ = v − r, con lo que los rayos que caen tienen todos la misma pendiente, dt̃/dr = −1, en todas partes, sin excepción y sin notar el horizonte. Cada uve fina es un cono de luz. Su rama izquierda es siempre esa misma; la derecha tiene pendiente (r + 2M)/(r − 2M), que se pone vertical justo en r = 2M —en ámbar: esa rama vertical es la que genera el horizonte— y se vuelca hacia atrás por dentro, en rojo. Ahí está la lección: la curva gruesa es la sonda, atraviesa la recta del horizonte sin doblarse ni acelerar, y lo único que le cambia al pasar es qué futuros tiene disponibles. Ojo con los ángulos: los dos ejes no están a la misma escala —no cabrían— y el lienzo dice cuánto está comprimido el vertical, así que la pendiente −1 no se ve a 45°.
La sonda va por 10.00 M, muy lejos todavía. Los conos de por aquí son casi simétricos: la rama saliente tiene pendiente 1.50 y la entrante −1, de modo que la luz sale casi igual de bien de lo que entra. Cuanto más se acerque, más se cerrará el cono por el lado de salir, y esa asimetría es toda la física del horizonte.
El diagnóstico, y qué hay que arreglar exactamente
Conviene tener claro qué está roto, porque no es la métrica entera. En coordenadas de Schwarzschild,
la componente grr se va a infinito en r = 2M y gtt se anula. Pero el determinante vale −r⁴sen²θ en todas partes, y ése es el dato que delata al culpable: un determinante que no se anula ni diverge en r = 2M significa que ahí no falta ni sobra ninguna dimensión, así que el problema no está en la geometría, está en el reparto. Una componente se lleva un infinito y la otra un cero, y el producto queda bien.
Quien produce el infinito es t, y el II.4 dijo por qué: t es el tiempo propio de un reloj infinitamente lejano, y el desfase entre ese reloj y cualquier otro crece sin límite al acercarse al horizonte. La cura es no usarlo. Y el sustituto no es un tiempo cualquiera: es un tiempo que viaje con la luz.
La coordenada tortuga, y por qué se llama así
Un rayo radial de Schwarzschild cumple dr/dt = ±c(1 − 2M/r), de modo que
Ésa es la coordenada tortuga, y con ella los rayos radiales son rectas: ct = ±r* + constante. El nombre viene de que r* estira el vecindario del horizonte sin llegar nunca a él, como la tortuga de Zenón:
| r | r* | r | r* |
|---|---|---|---|
| 100 M | +107,784 M | 2,1 M | −3,891 M |
| 10 M | +12,773 M | 2,01 M | −8,587 M |
| 6 M | +7,386 M | 2,000 1 M | −17,807 M |
| 3 M | +1,614 M | 2,000 001 M | −27,017 M |
| 2,5 M | −0,273 M | 2 M | −∞ |
Cada vez que la distancia al horizonte se divide por diez, r* baja 2M ln 10 = 4,605 M más. Es la misma divergencia logarítmica que el II.4 encontró en el tiempo coordenado de la caída, y no es casualidad: son la misma integral.
Cambiar t por un tiempo nulo
Ahora el paso entero, que es una línea. Se define la coordenada nula entrante
que es constante a lo largo de cada rayo radial que cae. Etiquetar los sucesos por v es etiquetarlos por «qué destello entrante pasó por aquí». Diferenciando, c dt = dv − dr/(1 − 2M/r), y sustituyendo en la métrica los dos términos que revientan se cancelan término a término:
Ésas son las coordenadas de Eddington-Finkelstein entrantes, y hay que mirarlas con atención porque lo que no tienen es lo importante:
- Ninguna componente diverge en r = 2M. La que valía 1/(1 − 2M/r) ha desaparecido; en su lugar hay un término cruzado 2 dv dr con coeficiente 1, constante.
- El determinante sigue siendo −r⁴sen²θ, que es lo que ya era. La métrica es regular —invertible y con inversa finita— en todo r > 0, horizonte incluido.
- grr = 1 − 2M/r: la componente contravariante se anula en el horizonte en vez de divergir. Eso no es un accidente y enseguida se ve qué significa.
- El tensor de Ricci se anula idénticamente. Se comprueba con
sympypor la definición, y tenía que salir así: es la misma solución de vacío del II.4 escrita en otra carta.
Y una advertencia de higiene, porque cuesta caro olvidarla: v tiene dimensiones de longitud, no de tiempo, igual que r*. Es la convención que hace que la métrica se lea; multiplicando por c se recupera un tiempo, y en las cifras de más abajo v se da siempre en M/c, que sí son segundos.
Los conos de luz, ahora sí
Con la métrica regular se pueden dibujar los conos de luz dentro del horizonte, que es lo que el II.4 no podía. Un rayo radial cumple ds² = 0 con dθ = dφ = 0:
Dos ramas, y son de naturaleza distinta. La entrante es dv = 0 siempre, en cualquier r: los rayos que caen son las líneas v = constante y no les pasa absolutamente nada en el horizonte, porque v se construyó para eso. La saliente es la interesante:
| r | dr/dv de la rama saliente | Qué hace la luz que apunta hacia fuera |
|---|---|---|
| 100 M | +0,490 | se aleja, casi a c/2 de pendiente |
| 10 M | +0,400 | se aleja |
| 3 M | +0,167 | se aleja, despacio |
| 2,5 M | +0,100 | se aleja, muy despacio |
| 2 M | 0 | se queda |
| 1,5 M | −0,167 | se acerca al centro |
| M | −0,500 | se acerca, deprisa |
Y ahí está el resultado del artículo, en una casilla de una tabla. En r = 2M la luz que sale perpendicularmente hacia fuera no avanza ni retrocede: se queda en r = 2M para siempre. Eso convierte el horizonte en una superficie nula: una superficie generada por rayos de luz, no por trayectorias de materia. Y de ahí sale todo lo demás sin ninguna cuenta más:
- Por debajo de 2M las dos ramas tienen dr/dv < 0. No hay salida, y no porque haga falta ir más rápido que la luz: es que el cono de luz entero —las dos ramas— apunta hacia r menor. Disminuir r ha dejado de ser una dirección del espacio y se ha convertido en el futuro, que es lo que el I.3 contaba con la frase «no hay motor que evite el jueves». Ahora es una desigualdad.
- Nada puede quedarse quieto dentro. Una línea de universo con r = constante tendría ds² = −(1 − 2M/r)dv², que dentro es positivo: sería de tipo espacial, o sea imposible. Ésa es la razón precisa de que no exista ningún observador estático por dentro del horizonte.
- El horizonte es una superficie de un solo sentido. Cruzarlo hacia dentro cuesta cero —es lo que hace la sonda sin notar nada— y cruzarlo hacia fuera es imposible para cualquier cosa, luz incluida. No hay ninguna asimetría en la geometría local: la asimetría está en la inclinación de los conos, y por eso no se puede sentir.
El panel de arriba dibuja exactamente esto, y merece la pena mirarlo con la tabla al lado: la línea de universo de la sonda atraviesa r = 2M sin doblarse ni acelerarse, y lo único que cambia al pasar es la inclinación de su cono. Ésa es la lección entera del artículo, y es la que ningún texto puede dar solo.
Problema. La sonda del II.4 se suelta en reposo en r = 10M. (a) Escribe dv/dr a lo largo de su caída y comprueba que no diverge en el horizonte. (b) Calcula v al cruzar. (c) Compara la tabla de llegada en t, en τ y en v. (d) ¿Qué le pasa a v cuando la sonda llega a r = 0?
Solución. (a) De la ecuación radial del II.4 con ℓ = 0, |dr/dτ|/c = w(r) ≡ √(2M/r − 2M/r₀), y con e = √(1 − 2M/r₀) se tiene dt/dr = −e/[c(1 − 2M/r)w]. Sumando dr*:
usando que e² − w² = f con f = 1 − 2M/r, que es la identidad clave. La forma de la derecha no resta nada y no diverge en f = 0: allí w = e y dv/dr = −1/2e². Ésa es la manera limpia de hacerlo, porque las dos divergencias de la izquierda se cancelan y restar dos infinitos en coma flotante no da nada. (b) Integrando desde 10M hasta 2M, v = 43,326 M/c. (c) La tabla:
| Llega a | t (M/c) | τ (M/c) | v (M/c) |
|---|---|---|---|
| 2,5 M | 43,250 | 33,099 | 42,977 |
| 2,1 M | 47,154 | 33,587 | 43,263 |
| 2,01 M | 51,907 | 33,690 | 43,320 |
| 2,000 1 M | 61,133 | 33,701 | 43,326 |
| 2 M | ∞ | 33,701 | 43,326 |
(d) Nada especial: v sigue creciendo. La media cicloide da τtotal = (π/2)√(r₀³/2M)/c = 35,124 M/c desde r₀ = 10M, o sea que después de cruzar le quedan 1,423 M/c — menos de la mitad del πM/c del II.4. Y ahí está lo que hay que entender de aquel número: πM/c es un máximo, y sólo lo alcanza quien cruza el horizonte en reposo, que es una condición inicial que no cumple nada que venga de fuera. Compruébalo sumando: 33,701 + π = 36,84 ≠ 35,124. Donde la solución sí se acaba es en r = 0, y eso ninguna coordenada lo arregla, porque allí K = 48M²/r⁶ diverge.
Resultado. Las tres columnas describen la misma línea de universo, y sólo una de las tres se rompe. La forma correcta de leer el infinito de la primera es «la carta de Schwarzschild sólo cubre el exterior», exactamente como las coordenadas polares del II.3 sólo cubren el plano menos el origen. Lo que hace concluyente al asunto es que la columna de v y la de τ acaban en números finitos y distintos: si el infinito de t fuera físico, ninguna parametrización lo evitaría. Y fíjate en cuánto se parecen 33,70 y 43,33 frente al infinito de al lado: el «congelado en el horizonte» del I.3 era una propiedad de una columna.
El colapso: de dónde salen estos objetos
Con la carta arreglada se puede contar por fin de dónde sale un horizonte, y la parte que corresponde a este nivel se calcula con la integral del II.4 sin añadir nada. Una estrella que agota su combustible y colapsa sin frenos: por el teorema de Birkhoff del II.4, el exterior de una distribución esférica de materia es Schwarzschild siempre, colapse o no, así que la superficie de la estrella recorre una geodésica radial de la misma métrica. Y si el colapso empieza en reposo con radio R₀, su tiempo propio es la media cicloide del artículo 04 del II.4:
y la segunda forma es exactamente el tiempo de caída libre newtoniano de una esfera de densidad media ρ̄ — no una aproximación: el mismo número. Con los datos de verdad:
| Objeto que colapsa | Radio inicial | Tiempo propio del colapso |
|---|---|---|
| Una gigante roja de 100 R☉ | 6,96 × 10¹⁰ m | 1,769 × 10⁶ s = 20,5 días |
| Una estrella como el Sol | 6,957 × 10⁸ m | 1769 s = 29,5 minutos |
| Una enana blanca de 7000 km | 7,0 × 10⁶ m | 1,79 s |
| PSR J0740+6620, 2,08 M☉ | 1,239 × 10⁴ m | 92,2 µs |
Y el reparto del plazo del Sol es la parte que sorprende: de los 1769 segundos, los últimos 6,57 microsegundos transcurren ya dentro del horizonte. El 99,999 999 6 % del colapso ocurre fuera. Ese tramo interior vale 4M/3c y no el πM/c del II.4: aquél era el tiempo propio máximo desde el horizonte —el de quien lo cruza en reposo—, y la superficie de una estrella que lleva cayendo desde 6,96 × 10⁸ m no cruza en reposo sino casi con e = 1. Entre los dos hay un factor 3π/4 = 2,356, y confundirlos es el error fácil de este apartado. Lo que ve un observador lejano es lo del II.4: la superficie se acerca a 2M, se apaga exponencialmente con constante 2M/c y no cruza nunca. Lo que vive la superficie es media hora, y luego nada.
Problema. (a) Demuestra que el tiempo propio de la superficie de una estrella que colapsa desde el reposo con radio R₀ es exactamente el tiempo de caída libre newtoniano de una esfera de la misma densidad media. (b) Evalúalo para el Sol, para una gigante roja de 100 R☉, para una enana blanca de 7000 km y para PSR J0740+6620. (c) ¿Qué fracción del plazo del Sol transcurre ya dentro del horizonte? (d) ¿Por qué se puede usar aquí una geodésica del vacío si la superficie está pegada a la materia?
Solución. (a) Es la media cicloide del II.4 con r₀ = R₀ integrada hasta r = 0, o sea η de 0 a π: τ = √(R₀³/8M)·π = (π/2)√(R₀³/2M)/c. Sustituyendo M = GM/c² y M = (4/3)πR₀³ρ̄ sale τ = √(3π/32Gρ̄), que es la fórmula newtoniana de libro, sin corrección de ningún orden. (b) Las cuatro cifras están en la tabla de arriba: 29,5 minutos para el Sol, 20,5 días para la gigante, 1,79 s para la enana blanca y 92,2 µs para el púlsar. (c) Aquí hay que elegir bien el tramo interior, porque hay dos y no son el mismo. El πM/c del II.4 es el tiempo propio máximo entre el horizonte y la singularidad, y lo consigue quien cruza en reposo en r = 2M. La superficie de una estrella que colapsa desde R₀ ≫ 2M llega al horizonte casi con e = 1, y para ella el mismo integrando con r₀ → ∞ da τ(2M → 0) = 4M/3c, un factor 3π/4 = 2,356 menor. Con una masa solar son 6,57 µs, o sea 3,71 × 10⁻⁹ del total: el 99,999 999 6 % del colapso ocurre fuera del horizonte. (d) Por Birkhoff: mientras la superficie esté fuera de su propio 2M, todo el espacio-tiempo exterior a ella es Schwarzschild con su masa, y la superficie es la frontera, de modo que le vale la geodésica del vacío por el lado de fuera. Lo que Birkhoff no da es la métrica de dentro de la estrella, y de eso avisa el callout que cierra esta sección.
Resultado. Los 29,5 minutos son la cifra que hay que llevarse, y lo notable es que coincide exactamente con el cálculo newtoniano pese a acabar en un agujero negro: la relatividad no añade nada al plazo total, sólo cambia qué significa el final. Y el 3,71 × 10⁻⁹ de (c) dice dónde está la parte interesante: prácticamente todo el colapso es caída libre corriente, y el horizonte se forma en el último suspiro. Por eso lo que se ve desde fuera no es una estrella que desaparece, sino una que se apaga con la constante 2M/c del II.4 — y en un agujero estelar eso son microsegundos. La segunda lección es la advertencia de (c), y vale para todo el módulo: una cota no es un valor. El πM/c del II.4 se calculó para una condición inicial concreta y es la geodésica más larga que hay ahí dentro; usarlo como «lo que se tarda» sobreestima el tramo interior de una estrella real en un factor 2,36.
Dónde para el colapso en este nivel, y qué no se ha hecho. Se ha calculado la superficie, que es una geodésica del exterior y por tanto es del II.4. Lo que no se ha hecho es la solución interior —la métrica dentro de la bola de polvo, el pegado de Oppenheimer y Snyder y el instante exacto en que el horizonte se forma en el centro y crece hacia fuera hasta encontrarse con la superficie—, y no se hace porque exige resolver las ecuaciones de Einstein con materia, que es el III.2. Con lo que hay aquí se puede afirmar el resultado operativo y comprobarlo: mientras la superficie esté fuera de su propio 2M el exterior es Schwarzschild por Birkhoff, y desde fuera el colapso no se distingue de una estrella quieta de la misma masa hasta que empieza a apagarse. Lo que no se puede afirmar aquí es dónde estaba el horizonte antes de eso.
Kruskal-Szekeres, enunciada
Eddington-Finkelstein arregla una mitad. Con v entrante la carta cubre el exterior y el interior del agujero negro, pero sigue habiendo una asimetría metida a mano: si en vez de v se usa u ≡ ct − r*, la coordenada nula saliente, sale una métrica igual de regular que describe otra cosa —una superficie de la que todo sale y nada entra—. Las dos cartas son buenas y ninguna cubre las dos regiones a la vez.
La carta que las cubre todas usa las dos coordenadas nulas y las exponencia. Se toma como enunciado —la transformación es de Kruskal (1960) y Szekeres (1960)— y se comprueba:
Lo que hay que comprobar es una sola cosa, y es la que hace regular la carta: el factor de delante, llamémoslo F(r), tiene que ser finito y distinto de cero en el horizonte. Y lo es:
Un número corriente. Con eso, tres consecuencias que se leen de la fórmula sin cuentas nuevas:
- El horizonte es UV = 0. De la relación UV = −(r/2M − 1)e^(r/2M), r = 2M ⟺ UV = 0, o sea las dos rectas U = 0 y V = 0. El horizonte ha pasado de ser un sitio donde la métrica revienta a ser un par de rectas.
- Los conos de luz están a 45° en todo el diagrama, porque el único término temporal es dU dV y su coeficiente es una función de r sin signo cambiante: los rayos radiales son U = constante o V = constante. Es la razón entera de usar estas coordenadas.
- La singularidad es UV = 1, que corresponde a r = 0, y no es un punto: es una hipérbola. Que no sea un punto es lo que dice que r = 0 no es un lugar del espacio sino un instante del futuro.
Y aquí se para, a propósito. Las coordenadas U y V, tal como se han definido, valen U < 0 y V > 0: cubren el exterior y, prolongadas, el interior. Pero la métrica de arriba no sabe nada de ese restricción — está perfectamente definida en los cuatro cuadrantes, y extenderla hasta donde deje de estarlo produce la extensión maximal de Schwarzschild, con su segundo exterior, su agujero blanco y el puente que los une. Eso, junto con los diagramas conformes que lo dibujan comprimiendo los infinitos, es el Nivel III, y hay dos razones para no tocarlo aquí. La primera es de nivel: exige hablar de completitud geodésica y de estructura causal global, que es otro curso. La segunda es de honestidad física: la extensión maximal no describe ningún agujero negro real, porque los reales se forman por colapso y su interior es el de la sección anterior, no el de la solución eterna. Enseñarla aquí como si fuera el interior de un agujero astrofísico sería un error de contenido, no sólo de nivel.
Ejercicios
La tortuga, a mano. (a) Comprueba por derivación que r* = r + 2M ln(r/2M − 1) es una primitiva de 1/(1 − 2M/r), y di por qué la constante de integración no importa. (b) Calcula r* en r = 2,5M, 3M y 6M y comprueba dos de los valores de la tabla. (c) Demuestra que r* → r cuando r ≫ M y estima a partir de qué radio la diferencia baja del 1 %. (d) Un destello sale de r = 3M y otro de r = 2,01M, los dos hacia fuera. ¿Cuánto tiempo coordenado separa sus llegadas a r = 100M, en M/c? Compara la respuesta con el retardo de Shapiro del II.4 y di en qué se parecen y en qué no.
Solución
(a) dr*/dr = 1 + 2M·(1/2M)/(r/2M − 1) = 1 + 2M/(r − 2M) = r/(r − 2M) = 1/(1 − 2M/r). La constante no importa porque r* sólo aparece en diferencias —en v = ct + r* se puede absorber en el origen de t—, y por eso hay libros que escriben el logaritmo como ln|r − 2M| y sale lo mismo. (b) r*(2,5M) = 2,5 + 2 ln 0,25 = −0,2726 M; r*(3M) = 3 + 2 ln 0,5 = +1,6137 M; r*(6M) = 6 + 2 ln 2 = +7,3863 M. (c) r* − r = 2M ln(r/2M − 1) crece como 2M ln(r/2M), que es logarítmico: nunca es proporcionalmente grande, pero tampoco se va. La diferencia relativa (r* − r)/r baja del 1 % cuando 2M ln(r/2M) < 0,01r, o sea a partir de r ≈ 1,3 × 10³ M. (d) Los dos viajan por rectas ct = r* + constante, luego el retraso del segundo es Δ(ct) = r*(3M) − r*(2,01M) = 1,6137 − (−8,5866) = 10,20 M/c.
La segunda lección está en la comparación de (d). El retardo de Shapiro y esto son el mismo cálculo —la diferencia entre el tiempo coordenado de un vuelo curvo y el que dictaría la aritmética plana—, y sin embargo tienen valor pedagógico opuesto. Allí era una corrección diminuta que había que arrancar de una cantidad enorme y no se podía restar; aquí es el término que manda, y el logaritmo, que en el Sistema Solar era una molestia de 252 microsegundos, se ha convertido en el motivo de que la coordenada exista. Es el mismo integrando en los dos casos: cambia el régimen, no la física.
La métrica de Eddington-Finkelstein, deducida sin mirar el texto.
(a) Sustituye c dt = dv − dr/f, con f = 1 − 2M/r, en la métrica de
Schwarzschild y obtén ds² = −f dv² + 2 dv dr + r²dΩ². Enseña la cancelación.
(b) Escribe la matriz gμν en (v, r, θ, φ), calcula su determinante
y su inversa, y comprueba que grr = f. (c) La componente
gvv vale cero. ¿Qué significa geométricamente que la inversa tenga
un cero ahí? (d) Repite el cambio con la coordenada saliente
u = ct − r* y di en qué se diferencia la métrica resultante.
(e) Escribe dv/dr a lo largo de una caída radial desde el reposo en r₀ y
demuestra que no diverge en el horizonte, dando su valor
exacto allí para r₀ = 10M. Explica por qué la forma (1/f)(1 − e/w), que es la
que sale directamente, no sirve para calcularlo en coma flotante.
(f) El texto afirma que Rμν ≡ 0 y se lo atribuye a
sympy. Compruébalo tú, a mano, en una componente:
obtén los símbolos de Christoffel que llevan un índice θ y con ellos
Rθθ = ∂αΓαθθ −
∂θΓαθα +
ΓααβΓβθθ −
ΓαθβΓβθα, y comprueba que se anula.
¿Qué identidad trigonométrica hace el trabajo final?
Solución
(a) −f(dv − dr/f)² + dr²/f = −f dv² + 2 dv dr − dr²/f + dr²/f: el término en dr² se va exacto, no aproximadamente, y con él la única componente que divergía. (b) La matriz es g = ((−f, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, r², 0), (0, 0, 0, r²sen²θ)); su determinante es −r⁴sen²θ —el bloque 2 × 2 tiene determinante −1, no −f— y su inversa tiene gvv = 0, gvr = 1 y grr = f. (c) gvv = gμν ∂μv ∂νv es la norma del gradiente de v, y que valga cero significa que las superficies v = constante son nulas: son frentes de onda de luz. Eso es v, dicho en una línea. (d) Sale ds² = −f du² − 2 du dr + r²dΩ², con el signo del término cruzado cambiado. Es igual de regular, pero la rama nula que no se rompe es la saliente, de modo que describe un horizonte del que todo sale y nada entra: un agujero blanco. (e) Con w ≡ √(2M/r − 2M/r₀) y e = √(1 − 2M/r₀), dv/dr = (1/f)(1 − e/w), y como e² − w² = f eso se factoriza en
que en f = 0 tiene w = e y vale −1/2e². Con r₀ = 10M, e² = 0,8 y dv/dr(2M) = −0,625: perfectamente finito. La forma de partida no sirve porque 1/f y e/w divergen las dos y su diferencia es finita: es una resta de dos infinitos, que en coma flotante no da un número sino ruido. Es la lección del II.4 con el signo cambiado — allí había que racionalizar para no perder cifras, aquí para no perderlo todo.
(f) Con gvv = 0, gvr = 1 y grr = f, los símbolos no nulos que llevan un θ son cuatro:
Y la traza sale del determinante del texto, √|g| = r²sen θ: Γααr = ∂rln√|g| = 2/r, Γααθ = cot θ y Γααv = 0. Los cuatro términos, por orden:
- ∂αΓαθθ = ∂r(2M − r) = −1; el término en v no aporta porque nada depende de v.
- −∂θΓαθα = −∂θ(cot θ) = +1/sen²θ.
- ΓααβΓβθθ = (2/r)(2M − r) = 4M/r − 2. El sumando con β = v se cae porque Γααv = 0, aunque Γvθθ = −r no lo sea.
- −ΓαθβΓβθα = −[2(2M − r)(1/r) + cot²θ] = −4M/r + 2 − cot²θ.
Al sumar, los términos con M se cancelan entre el tercero y el cuarto, los dos números también, y queda 1/sen²θ − cot²θ − 1, que es cero por csc²θ = 1 + cot²θ. Ésa es la identidad que hace el trabajo final, y es la misma que cierra el Ricci de cualquier métrica con simetría esférica. Fíjate en lo que no ha hecho falta: ningún símbolo con dos índices v, ninguna derivada respecto de v y ningún límite. La componente sale en cinco líneas y confirma la afirmación del texto justo donde más se notaría un fallo, porque Rθθ es la que llevaría la curvatura de las esferas.
La segunda lección es (d), y es la que casi nadie subraya: la asimetría temporal de un agujero negro no está en las ecuaciones, está en la carta que se elige. La métrica de Schwarzschild es invariante bajo t → −t, así que admite las dos extensiones, y ninguna de las dos es «la correcta» por razones matemáticas. Cuál describe el universo lo deciden las condiciones iniciales —hay colapso y no hay explosión de agujeros blancos—, y eso es un hecho astronómico, no un teorema.
El horizonte como superficie nula, con la cuenta puesta. (a) Resuelve ds² = 0 para un rayo radial en Eddington-Finkelstein y obtén las dos ramas. (b) Demuestra que en r = 2M la rama saliente cumple dr/dv = 0 y explica por qué eso convierte al horizonte en una superficie generada por rayos de luz. (c) Comprueba que una línea de universo con r = constante es de tipo temporal para r > 2M, nula en r = 2M y de tipo espacial por dentro; deduce que no existe ningún observador estático dentro. (d) Un cohete dentro del horizonte enciende motores hacia fuera con toda su potencia. Escribe la cota superior de dr/dv que puede alcanzar; ¿puede al menos frenar su caída? Después resuelve en qué radio esa cota vale exactamente −1, y explica por qué eso no significa que allí caiga a la velocidad de la luz. (e) Una enana blanca de 7000 km y una masa solar pierde su soporte y colapsa. Calcula el tiempo propio de su superficie hasta r = 0, el tramo que transcurre ya dentro del horizonte —cuidado con cuál de los dos tramos interiores del ejemplo resuelto 2 le toca— y la fracción que representa; escribe la ley de escala con su coeficiente, compárala con la del Sol y di de qué depende.
Solución
(a) dv(−f dv + 2 dr) = 0, luego dv = 0 o dr/dv = f/2. (b) En r = 2M, f = 0 y la rama saliente da dr/dv = 0: el rayo se queda en r = 2M indefinidamente. Como esa familia de rayos barre toda la superficie r = 2M y son rayos de luz, la superficie es nula: su vector normal es también tangente a ella, que es la definición. (c) Con dr = 0, ds² = −f dv²: negativo si f > 0, cero si f = 0 y positivo si f < 0. Una línea de universo de tipo espacial no la puede recorrer nada, así que ningún observador puede tener r constante dentro, y en el propio horizonte sólo podría hacerlo la luz. (d) La cota es la propia rama saliente del cono, dr/dv ≤ f/2, porque nada supera a la luz, y no puede frenar: dentro, f/2 es negativa en todas partes, de modo que lo mejor que consigue es el menos malo de dos números negativos, y encima el máximo empeora conforme cae. La cota vale −1 cuando (1 − 2M/r)/2 = −1, o sea 2M/r = 3 y r = 2M/3 = 0,667 M; por debajo de ese radio pasa de −1 sin que nada vaya más rápido que la luz, porque dr/dv no es una velocidad. v es una longitud —el aviso de higiene de más arriba— y además una coordenada nula, de modo que dr/dv es una tasa adimensional dentro de una carta y no algo que mida ningún observador. Es la misma trampa que el ΩH·r₊ del artículo 02.
(e) τ = (π/2)√(R₀³/2M)/c con R₀ = 7,0 × 10⁶ m y M = 1476,63 m: 1,786 segundos. El tramo de dentro es el de la superficie de una estrella, 4M/3c = 6,57 µs —no el πM/c, que es la cota de quien cruza en reposo—, o sea 3,68 × 10⁻⁶ del total, una parte en 272 000, frente a 3,71 × 10⁻⁹ en el Sol: mil veces menos. La ley de escala sale de que el tramo de dentro va con M y el total con R₀3/2, y su coeficiente se puede escribir entero:
Es la compacidad del objeto elevada a 3/2, y no depende de nada más: ni de la masa por separado, ni del radio por separado. El cociente 990 entre la enana blanca y el Sol es exactamente (R☉/7000 km)3/2.
La segunda lección es la de (d) y cierra el círculo con el II.1. El límite de lo que puede hacer el cohete es el borde del cono, y el borde del cono no depende del cohete: da igual el empuje, la masa o la tecnología. Por eso «no se puede salir» es una afirmación geométrica y no ingenieril, y por eso el ejemplo resuelto 2 del artículo 04 del II.4 concluía que acelerar dentro acorta el tiempo que queda. Las dos cosas son la misma: dentro del horizonte todos los futuros van al mismo sitio y el más largo es el que no gasta nada.
Kruskal, evaluada. Se toma como dato la transformación U = −e−u/4M, V = e+v/4M con u = ct − r* y v = ct + r*. (a) Demuestra que UV = −(r/2M − 1)er/2M y que V/U = −ect/2M. (b) Calcula (U, V) para el suceso r = 6M, t = 0 y para r = 2,01M, t = 0, y comprueba con ellos la relación de (a). (c) ¿Qué curvas del plano (U, V) son r = constante, y cuáles t = constante? (d) Evalúa el factor conforme F(r) = (32M³/r)e^(−r/2M) en r = M, 2M, 6M y 20M, y explica qué propiedad de F es la que hace que la carta valga en el horizonte — y por qué el mismo criterio dice que no vale en r = 0.
Solución
(a) UV = −e(v−u)/4M = −e2r*/4M = −er*/2M, y con r* = r + 2M ln(r/2M − 1) eso es −(r/2M − 1)er/2M. Y V/U = −e(u+v)/4M = −e2ct/4M = −ect/2M. (b) En r = 6M y t = 0 se tiene u = −v = −r* = −7,386 29 M, luego U = −e+7,38629/4 = −6,338 07 y V = e+7,38629/4 = +6,338 07. Su producto es −40,171 07, y −(6/2 − 1)e6/2 = −2e³ = −40,171 07. ✔ En r = 2,01M y t = 0, r* = −8,586 64 M, de modo que U = −e−8,58664/4 = −0,116 874, V = +0,116 874 y UV = −0,013 659 5, frente a −0,005·e1,005 = −0,013 659 5. ✔ Fíjate en lo que ha pasado con el segundo: a 0,01 M del horizonte, U y V son números del orden de una décima, mientras t seguía siendo enorme y r* valía −8,59. (c) r = constante ⟺ UV = constante: hipérbolas. t = constante ⟺ V/U = constante: rectas por el origen. (d) F(M) = 32e−0,5M² = 19,41M²; F(2M) = 16/e = 5,886 M²; F(6M) = 5,333e−3M² = 0,2655M²; F(20M) = 1,6e−10M² = 7,26 × 10⁻⁵M². Lo que hace falta es que F sea finito y no nulo, porque un cero de F haría degenerar la métrica igual que un infinito. En el horizonte F vale 5,886M² y cumple las dos cosas. En r = 0, F → ∞ como 1/r, y eso no se puede arreglar cambiando de coordenadas, porque coincide con lo que dice el invariante de Kretschmann del II.4: allí sí hay singularidad de la geometría.
La segunda lección es una trampa que aparece en cuanto se hacen números, y viene del ejercicio 1(a): la constante de integración de r*, que allí no importaba, aquí sí. En v = ct + r* se absorbía en el origen de tiempos; dentro de ev/4M se convierte en un factor multiplicativo, así que dos libros con distinta convención dan U y V distintos para el mismo suceso. Lo que no cambia nunca es UV, porque la constante de V se cancela contra la de U. Por eso las tres afirmaciones geométricas de (c) y (d) están escritas con UV y con V/U y ninguna con U o V a secas: en esta carta lo invariante son los productos y los cocientes, y una afirmación sobre U sola es una afirmación sobre una convención.