El desfase que GW150914 produjo entre los dos brazos de LIGO fue de 4,7 × 10⁻¹¹ radianes: siete billonésimas de vuelta de la onda luminosa. Leer un ángulo así exige del orden de 4,5 × 10²⁰ fotones, y ése es el motivo —no la ambición— de que en cada brazo circulen cien kilovatios de láser. Este artículo sigue la cadena entera, de la deformación al número que sale del fotodiodo, y acaba en la pregunta que dos detectores pueden responder y uno no: ¿desde dónde venía?
No es un medidor: es un comparador
Un interferómetro de Michelson parte un haz en dos brazos perpendiculares y los vuelve a juntar. Lo que sale por la puerta oscura no depende de la longitud de cada brazo, sino de su diferencia, y ésa es la propiedad que hace posible todo lo demás: cualquier cosa que afecte por igual a los dos brazos —una deriva de la frecuencia del láser, una dilatación térmica del banco óptico, una vibración del edificio entera— se cancela sola.
La geometría encaja además con la fuente. Una onda gravitacional es cuadrupolar: cuando estira una dirección, encoge la perpendicular. De modo que un brazo se alarga justo mientras el otro se acorta, y la señal diferencial es el doble de lo que daría un brazo solo. Un interferómetro de Michelson no es una elección práctica: es la forma que tiene el problema.
Queda un requisito geométrico que se cumple con mucho margen y conviene comprobar. A 250 Hz la longitud de onda gravitatoria es c/f = 1199 km, y el brazo mide 4: el 0,33 %. Durante todo el tiempo que la luz tarda en recorrerlo, la onda apenas cambia — el instrumento es pequeño frente a lo que mide, que es exactamente la condición para que la lectura signifique algo simple.
Problema. Con h = 1,0 × 10⁻²¹ y brazos de 4 km, calcula el desfase entre los dos brazos de un Michelson desnudo con luz de 1064 nm, y cuántos fotones hacen falta para distinguirlo del ruido de contar fotones. Traduce eso a vatios sabiendo que la señal duró 0,2 s.
Solución. La diferencia de longitud es ΔL = hL = 4 × 10⁻¹⁸ m, y la luz recorre cada brazo de ida y vuelta, así que la diferencia de camino óptico es 2ΔL y el desfase vale
El ruido de disparo determina la fase con una incertidumbre del orden de 1/√N, con N el número de fotones, así que hace falta N ≈ 1/Δφ² = 4,48 × 10²⁰ fotones. Cada fotón de 1064 nm lleva hc/λ = 1,87 × 10⁻¹⁹ J, luego son 83,7 julios, y repartidos en 0,2 s salen 418 vatios.
Resultado. Cuatrocientos dieciocho vatios de luz visible —bueno, infrarroja— circulando por un tubo de cuatro kilómetros, y eso sólo para ver GW150914 con relación señal-ruido 1, en un instrumento perfecto, sin ningún otro ruido y sabiendo de antemano dónde mirar. LIGO guarda unos 100 kW en cada brazo, doscientas cuarenta veces más, y no le sobra: el objetivo no es ver la señal más intensa que ha llegado nunca, sino ver las que son diez veces más débiles, y la sensibilidad va con la raíz de la potencia — para ganar un factor diez hay que multiplicar la luz por cien. Ahí está, en una línea, por qué el ruido de disparo domina el diseño por encima de 100 Hz y por qué la carrera de la sensibilidad es una carrera de potencia óptica.
Mil kilómetros dentro de cuatro
Cien kilovatios no salen de un láser. El de LIGO entrega unos 20 W, y los casi cuatro órdenes de magnitud que faltan los pone la óptica: en cada brazo hay una cavidad Fabry-Perot, un par de espejos enfrentados entre los que la luz rebota muchas veces antes de escapar. Eso hace dos cosas a la vez — acumula potencia y, sobre todo, acumula fase.
El número que gobierna la cavidad es su finura óptica, F ≈ 450 en LIGO. De ella salen todas las demás cifras. Un brazo de 4 km tiene un intervalo espectral libre c/2L = 37 470 Hz, la resonancia tiene una anchura 37 470/450 = 83,3 Hz, y la luz da el equivalente a 143 idas y vueltas antes de salir: recorre 1146 kilómetros dentro de cuatro. La diferencia de camino óptico que produjo GW150914 deja entonces de ser 4 × 10⁻¹⁸ m y pasa a ser
es decir, dos tercios del diámetro de un protón, y el desfase sube de 4,7 × 10⁻¹¹ a 6,8 × 10⁻⁹ radianes. Sigue siendo un ángulo ridículo, pero ya no es absurdo.
Y aquí aparece el compromiso que define el instrumento, porque subir la finura no sale gratis. La cavidad responde con un retraso: tarda 3,8 milisegundos en reaccionar, y eso equivale a un filtro que empieza a atenuar por encima de 41,6 Hz. Doblar la finura duplicaría la señal en la parte grave de la banda y la reduciría en la aguda. LIGO está donde está porque su banda útil —de 20 a unos 2000 Hz— es la de las coalescencias de objetos de masa estelar, y no porque nadie sepa fabricar espejos mejores.
Todo lo demás es no oír el resto del mundo
El aparato podría medir 10⁻¹⁸ metros y aun así no ver nada, porque el suelo se mueve. En la banda de los microsismos oceánicos, la corteza terrestre oscila del orden de un micrómetro: doscientos cincuenta mil millones de veces más que la señal. Contra eso van las cuatro etapas de péndulos de los que cuelga cada espejo, que atenúan por debajo de sus resonancias con una eficacia brutal; contra la fricción del aire y contra el índice de refracción fluctuante van los diez mil metros cúbicos de vacío, a menos de una billonésima de la presión atmosférica; y contra la agitación térmica de las propias superficies van la sílice fundida y unos recubrimientos que son, hoy, el problema material más difícil del proyecto.
El resultado es un reparto de culpas por bandas, y merece la pena recordarlo porque explica la forma de la curva de sensibilidad de cualquier detector: por debajo de 10 Hz manda el suelo, en la zona media el ruido térmico y por encima de 100 Hz el ruido de disparo. Las tres batallas son distintas y se ganan con tecnologías distintas.
Con todo eso, la señal de GW150914 salió del ruido con una relación señal-ruido de 24 tras aplicar el filtrado adaptado, y con una tasa de falsa alarma menor que una vez cada 203 000 años — por encima de 5,1 desviaciones típicas. Fue, además, una de las poquísimas señales lo bastante intensas para verse a simple vista en los datos filtrados en banda, sin plantilla ninguna.
Problema. La señal llegó primero a Livingston y 6,9 ± 0,5 milisegundos después a Hanford, que están a 3002 km. ¿Qué se puede decir de la dirección de la que venía, y con qué precisión?
Solución. Un detector no apunta a ningún sitio: es prácticamente omnidireccional. Lo único que localiza es la diferencia de tiempos, porque la onda viaja a c. La luz tarda 3,002 × 10⁶/2,998 × 10⁸ = 10,01 ms en ir de un observatorio al otro, así que
La fuente está en algún punto del cono de 46,4° alrededor de la línea que une los dos observatorios, es decir, en un anillo completo trazado sobre el cielo. El margen de ±0,5 ms le da al anillo un grosor de ±3,9 grados, y un anillo entero de ese ancho abarca 2π(cos 42,5° − cos 50,4°) = 0,627 estereorradianes, es decir, unos 2000 grados cuadrados. La colaboración publicó 600 grados cuadrados al 90 % de confianza, porque comparar además las amplitudes de los dos detectores recorta parte del anillo.
Resultado. Seiscientos grados cuadrados son tres mil veces la Luna llena: inservible para apuntar un telescopio. Y ahí está la razón de que la red importe más que cada instrumento por separado. Con dos detectores sale un anillo; con tres, la intersección de dos anillos, o sea un par de manchas; con cuatro, una sola. Cuando llegó GW170817, en 2017, Virgo ya estaba en marcha — y precisamente porque Virgo casi no vio nada, la fuente tenía que estar en uno de sus puntos ciegos, lo que recortó la región a 28 grados cuadrados. Con eso sí se apunta, y en once horas había un telescopio encima. Un detector que no ve una señal aporta información: es la clase de razonamiento que sólo funciona si la red está calibrada de verdad.
«Mide un desplazamiento menor que un protón; eso viola la mecánica cuántica». No, y la respuesta es una cuenta de estadística de primero. Ninguna posición se mide aquí «de golpe»: lo que se obtiene es un promedio, y un promedio de N medidas independientes tiene una incertidumbre √N veces menor que cada una. Los dos promedios que hacen el trabajo son enormes. Por un lado, los 4,5 × 10²⁰ fotones del ejemplo resuelto 1: cada uno determina la fase malísimamente, y entre todos la fijan con once cifras. Por otro, el espejo no es un átomo: 40 kg de sílice fundida son 4,0 × 10²⁶ moléculas, y lo que se mide es la posición de su centro de masas. Una agitación térmica atómica de 10⁻¹¹ m se promedia hasta 5 × 10⁻²⁵ m, ocho millones de veces por debajo de la señal. Lo que sí existe es un límite cuántico real —el que enfrenta el ruido de disparo con la presión de radiación de los propios fotones sobre el espejo—, y LIGO ya trabaja en él: desde 2019 inyecta luz comprimida para bajar el ruido de disparo a costa de aumentar el de presión de radiación en la parte de la banda donde no molesta. La mecánica cuántica no prohíbe la medida: le pone un precio, y ese precio se negocia.
Ejercicios
¿Qué finura harían falta para que la diferencia de camino óptico de GW150914 llegara a valer un diámetro de protón entero, 1,68 × 10⁻¹⁵ m? ¿Y qué le pasaría a la banda del instrumento? Recuerda que el polo de la cavidad vale c/(4FL).
Solución
La diferencia de camino es 2NΔL con ΔL = 4 × 10⁻¹⁸ m, así que hacen falta N = 1,68 × 10⁻¹⁵/(2 × 4 × 10⁻¹⁸) = 210 idas y vueltas, frente a las 143 actuales. Como N = F/π, la finura tendría que ser 660. Y el polo de la cavidad bajaría de 41,6 Hz a c/(4 × 660 × 4000) = 28,4 Hz.
La segunda lección es que ese cambio sería malo, y por una razón que no tiene nada que ver con la óptica. Bajar el polo a 28 Hz atenúa todo lo que ocurra por encima, y ahí es justo donde vive el final de una coalescencia: el pico de GW150914 estuvo a 250 Hz y una fusión de estrellas de neutrones llega a los 1000. Ganar un 50 % de señal en la parte grave a cambio de perderla en la aguda es un mal negocio cuando lo que se busca son sucesos cuya información está concentrada en el último instante. El diseño de un detector no consiste en maximizar una cifra, sino en colocar la banda encima de las fuentes.
Un suceso llega a los dos detectores de LIGO exactamente a la vez, con diferencia nula. ¿Dónde está la fuente? ¿Y si llegara con 10,01 ms de diferencia?
Solución
Con Δt = 0, cos θ = 0 y θ = 90°: la fuente está en el plano perpendicular a la línea Hanford-Livingston que pasa por su punto medio — un círculo máximo entero, la peor localización posible. Con Δt = 10,01 ms, cos θ = 1 y θ = 0°: la fuente está justo en la prolongación de la línea que une los dos observatorios, y ahí la localización es un punto. Cualquier valor intermedio da un anillo.
La segunda lección es la que más engaña. Como el error angular es Δ(cos θ)/sen θ, la precisión mejora cuanto más cerca de 90° —donde el círculo es enorme pero fino— y empeora cerca de 0°, donde una fluctuación de medio milisegundo abre un cono ancho. Es decir: la dirección mejor determinada en ángulo es la que produce la región más grande en el cielo, y viceversa. Localizar bien no es tener poco error en θ, es tener pocas direcciones compatibles — y para eso no hay atajo geométrico: hacen falta más detectores repartidos por el planeta. Ésa es toda la justificación de KAGRA y del futuro detector de la India.
Los brazos de LIGO están en el aire libre, uno hacia el norte y otro hacia el este, y no hay ningún blindaje posible contra la gravedad. ¿Por qué no arruina el experimento que pase un camión, o que llueva sobre el terreno?
Solución
Porque el aparato mide una diferencia. Un camión que pasa por la carretera de acceso, o una nube de lluvia sobre el observatorio, tira de los cuatro espejos casi igual, y lo que es común a los dos brazos se cancela en la salida. Sólo cuenta la diferencia de tirón entre un brazo y el otro, y eso reduce el efecto en varios órdenes de magnitud respecto de lo que un cálculo ingenuo sugeriría.
La segunda lección es que ese ruido existe, tiene nombre y es la auténtica frontera de la próxima generación: se llama ruido newtoniano, y es la atracción gravitatoria directa de las masas de tierra y aire que se mueven cerca de los espejos. No hay vacío ni suspensión que lo pare, porque no llega por el suelo: llega por la gravedad. Domina por debajo de unos 10 Hz y es la razón última de que el Einstein Telescope se proyecte a doscientos metros bajo tierra, donde el terreno se agita menos, y de que se estudie medirlo con redes de sismómetros para restarlo del dato. Es el único ruido de esta lista contra el que no cabe blindarse: sólo modelarlo.