En la superficie de la Tierra, la componente temporal de la métrica no vale −1: vale −(1 − 1,392 × 10⁻⁹). Esa corrección de mil cuatrocientas partes en un billón es toda la gravedad de Newton —la manzana, la Luna, las mareas, los 9,81 m/s²— y también los 45,72 µs/día que el módulo I.1 tuvo que restarle al reloj del GPS. Este artículo enseña a leer esa componente y explica por qué basta con ella.
El principio de equivalencia, dicho con una matriz
El módulo I.2 enunció el principio de equivalencia con ascensores: dentro de una cabina pequeña en caída libre, ningún experimento distingue la gravedad de la ausencia de gravedad. Es correcto y es vago. La versión que sirve para calcular es un enunciado sobre coordenadas, y es un teorema de geometría:
Dado cualquier punto P de una variedad con métrica, existe un sistema de coordenadas en el que gαβ(P) = ηαβ y ∂γgαβ(P) = 0.
La cuenta de por qué se puede es de contabilidad y conviene hacerla, porque explica también qué es lo que no se puede. Un cambio de coordenadas alrededor de P se desarrolla en serie:
El primer coeficiente, A, tiene 4 × 4 = 16 números libres y hay que usarlos para llevar las 10 componentes de g(P) a las de η: sobran 6, que son justamente los tres boosts y las tres rotaciones del grupo de Lorentz, la libertad que ya conocíamos del II.1. El segundo, B, es simétrico en μν y tiene 4 × 10 = 40 números, exactamente los que hacen falta para anular las 40 derivadas primeras ∂γgαβ. Encajan justo. Y el tercero, C, tiene 4 × 20 = 80 números frente a las 100 derivadas segundas ∂δ∂γgαβ: faltan 20. Esos veinte números que no se pueden borrar son, contados uno a uno, las componentes independientes del tensor de Riemann, y son el asunto del artículo 04.
Las coordenadas que hacen ese trabajo se llaman coordenadas normales, y en ellas la métrica se parece a la de Minkowski hasta segundo orden:
donde ℛ es la escala de curvatura. Ése es el sistema inercial local: la cabina en caída libre del I.2, ahora con una definición que se puede escribir y un término de error que se puede acotar.
Y conviene decir qué se gana con eso, porque cierra una promesa del II.2. Dentro de ese sistema la métrica es η salvo el error de arriba, de modo que allí vale la dinámica relativista entera de aquel módulo sin cambiarle una letra: la hipérbola de masa E² = (pc)² + (mc²)², el invariante p·p = −(mc)² y la conservación del cuadrimomento en un choque. Eso es lo que significa «local», y no es una palabra vaga: tiene un plazo y se calcula. El ejemplo resuelto 2 de esta misma página lo hace para una cabina de un metro sobre la Tierra y le da 0,805 s con seis cifras.
Por qué Γ no es un tensor, y qué se sigue de ello
Como Γ se construye con las derivadas primeras de la métrica y en el punto P todas se anulan, en esas coordenadas Γαμν(P) = 0. Y en otras coordenadas, no. Un objeto que es cero en un sistema y no en otro no es un tensor, y no lo es: su ley de transformación lleva un término de más, con una segunda derivada del cambio de coordenadas, que no es proporcional al propio Γ.
Esta observación, que parece de contabilidad, es el corazón de la relatividad general, y conviene decirla despacio en los dos sentidos:
- La «fuerza» de la gravedad no es un tensor, porque es Γ. Se puede anular en cualquier punto sin más que elegir coordenadas — o sea, soltándose. Eso es el principio de equivalencia, y explica por qué no se puede escribir una densidad local de energía gravitatoria: no hay nada invariante que medir.
- La curvatura sí es un tensor, y por eso, si no es cero, no hay coordenadas que la borren. Ahí está la diferencia entre las coordenadas raras del artículo 01 y la gravedad de verdad.
Y hay una tercera consecuencia, que es práctica: «local» tiene un tamaño. La aproximación g ≈ η vale mientras el término de segundo orden sea despreciable, y ese término lo fija la curvatura. El artículo 04 lo cuantifica; el ejemplo resuelto 2 de aquí lo adelanta con un número.
El límite newtoniano: dónde está la gravedad de toda la vida
Ahora la pieza que convierte todo esto en física conocida. Supongamos tres cosas, y las tres se cumplen en el Sistema Solar con muchísimo margen: el campo es débil (la métrica se aparta poco de η), es estático (no depende de t) y las partículas van despacio frente a c. Escribamos la desviación de la componente temporal como
donde Φ es, de momento, sólo un nombre para una función. Los Christoffel de esta métrica se calculan en dos líneas: el único que sobrevive con dos índices temporales es
Y ahora la ecuación de las geodésicas. Para una partícula lenta, dxi/dτ ≪ c dt/dτ, de modo que en el término cuadrático sólo cuenta la componente temporal de la velocidad y dt/dτ ≈ 1:
Es la ley de Newton, sin aproximaciones adicionales y sin haberla postulado. La función Φ que se había metido en g00 resulta ser el potencial gravitatorio de siempre, y la constante 2 de la definición no era libre: está elegida para que salga exactamente esto y no algo proporcional.
Conviene detenerse en lo que acaba de pasar, porque es la tesis del módulo. La gravedad de Newton entera —el campo, la fuerza, las órbitas— ha salido de una sola componente de la métrica, la temporal, y de ninguna otra. No hay ninguna fuerza en la ecuación: hay una geodésica en un espacio-tiempo cuyo ritmo de relojes depende del sitio. Las otras nueve componentes de g no han hecho falta todavía; harán falta en cuanto algo se mueva deprisa, y el callout de abajo dice exactamente cuánto cambia entonces la respuesta.
Los números fijan la escala. En la superficie de la Tierra, Φ = −GM/R = −6,256 × 10⁷ J/kg y
de donde g00 = −(1 − 1,392 × 10⁻⁹)c². En la superficie del Sol la corrección es 4,245 × 10⁻⁶, tres mil veces mayor y todavía minúscula. Toda la gravedad que conocemos vive en la novena cifra decimal de un coeficiente, y eso explica de una vez por qué Newton funcionó doscientos años.
Problema. Un satélite GPS orbita a 26 559,8 km del centro de la Tierra. Con la métrica de campo débil, calcula el adelanto diario de su reloj respecto a uno en la superficie, separando la parte gravitatoria de la cinemática. El módulo I.1 dio +45,7, −7,2 y +38,5 µs/día citando la fórmula; dedúcelos.
Solución. El ritmo de un reloj se lee en la métrica sin más, como en el ejercicio 3 del artículo 01. Poniendo su trayectoria dentro de ds² = −(1 + 2Φ/c²)c²dt² + dℓ²:
Los dos términos aparecen juntos y del mismo cálculo: no son «un efecto de relatividad general y otro de relatividad especial», son la componente temporal de la métrica y el movimiento a través del espacio. Para el satélite, Φ = −GM/a y v² = GM/a (órbita circular), luego dτ/dt = 1 − 3GM/(2ac²). Restando el mismo cálculo en la superficie:
Multiplicando por 86 400 s: +45,718 µs/día por el término gravitatorio, −7,214 µs/día por el cinemático, y +38,504 µs/día en total.
Resultado. Los tres números del I.1 salen de leer una métrica, y la deuda queda pagada. Pero lo que hay que retener es cómo: en ningún momento ha hecho falta hablar de dos teorías, ni componer dos efectos, ni preguntarse cuál de ellos «gana». Se ha escrito dτ/dt, se ha evaluado en dos trayectorias y se han restado. Esa unificación es gratis y es la razón de que se hagan las cosas así. Como comprobación, la fórmula exacta —sin desarrollar la raíz— da el mismo número con nueve cifras iguales: el desarrollo a primer orden es aquí una aproximación excelente porque 2GM/Rc² es 10⁻⁹, y a nadie le hace falta más.
Los relojes de abajo van despacio: el corrimiento, sin ascensores
El módulo I.2 dedujo el corrimiento al rojo gravitatorio con un ascensor, un efecto Doppler y un argumento de equivalencia. Con la métrica ya no hace falta ninguna de las tres cosas. Un observador quieto en un campo estático tiene dxi = 0, de modo que
y dos observadores quietos a alturas distintas acumulan tiempos propios distintos del mismo intervalo de tiempo coordenado. El cociente es
Y con eso, tres experimentos reales:
| Experimento | Desnivel | Δν/ν = gh/c² |
|---|---|---|
| Pound y Rebka, Harvard, 1959 | 22,5 m | 2,455 × 10⁻¹⁵ |
| Tokyo Skytree, relojes ópticos de estroncio, 2020 | 452,6 m | 4,938 × 10⁻¹⁴ |
| NIST, dos relojes en la misma sala, 2010 | 0,33 m | 3,601 × 10⁻¹⁷ |
El del Skytree merece un comentario porque es el más reciente y el más didáctico: dos relojes ópticos de reticulado, uno en la base y otro a 452,6 m, midieron un desfase de 4,267 nanosegundos al día y con él determinaron el desnivel entre los dos pisos con cinco centímetros de incertidumbre. Es geodesia hecha con relojes, y funciona porque la métrica es la geometría: preguntarle a un reloj a qué altura está no es una metáfora.
Fíjate además en la aritmética honesta de la fórmula. El gh/c² del I.2 no es exacto: es (Φa − Φb)/c² con g constante, y para el Skytree se aparta un 0,13 % del valor con Φ = −GM/r, porque en 452 metros la gravedad ya ha bajado un poco. Con g = GM/R² = 9,820 m/s², que es lo que da el radio medio, en vez de los 9,806 65 estándar, la discrepancia cambia de signo — la g real de la superficie incluye la rotación y el achatamiento, que la métrica de arriba no tiene.
Con g00 basta para Newton y no basta para la luz: el factor dos. Calculando la desviación de un rayo que roza el Sol con el principio de equivalencia y nada más —la luz como un proyectil que cae mientras cruza— salen 0,8756 segundos de arco; la medida de Eddington y todas las posteriores dan 1,7512″ —el 1,751″ de los libros—, exactamente el doble. Con tres decimales, 0,876 y 1,751, la duplicación deja de verse: la cuarta cifra está aquí porque el argumento es justamente el factor dos. El módulo I.2 ya dijo de dónde sale la mitad que falta: para algo que se mueve a v = c, la curvatura del espacio pesa tanto como la del tiempo, y una cabina en caída libre sólo ve la del tiempo. Lo que aquí se puede hacer, y allí no, es escribir esa componente y comprobar la igualdad en vez de anunciarla. La parte espacial de la métrica de campo débil vale gij = (1 − 2Φ/c²)δij, e imponiendo ds² = 0 sobre un rayo sale su velocidad coordenada:
un índice de refracción efectivo con dos sumandos iguales: uno sale de la raíz de arriba —de g00, que es lo único que ve el ascensor— y el otro de la raíz de abajo, que es gij. De ahí el 1 + 1 = 2, y de ahí que el factor sea exactamente dos y no otro número. La deducción completa de los 1,751″ a partir de este índice exige la métrica de Schwarzschild y es del módulo II.4. Y de paso queda la lección general: la gravedad newtoniana es la componente temporal de la métrica, y todo lo que Newton no predice vive en las otras nueve.
Problema. Una cabina de un metro cae libremente cerca de la superficie de la Tierra. Dos canicas se sueltan en reposo en extremos opuestos, alineadas con la vertical. ¿Cuánto tiempo tarda su separación en cambiar en una parte en un millón? ¿Y en una parte en mil millones?
Solución. El principio de equivalencia falla porque el campo no es uniforme: dos puntos separados L en vertical sienten gravedades que difieren en
y esa resta no se hace directamente —tercera aparición de la lección numérica del módulo—: sobre un micrómetro de separación, la resta en coma flotante se equivoca 2,7 partes en 10⁴. Con la forma factorizada, 2GM/r³ = 3,0828 × 10⁻⁶ s⁻², y la separación relativa tras un tiempo t vale ½(2GM/r³)t². Igualándola a 10⁻⁶: t = 0,805 s. Para 10⁻⁹, t = 0,0255 s.
Resultado. Un laboratorio de un metro en caída libre sobre la Tierra es «inercial» con seis cifras durante ocho décimas de segundo, y con nueve cifras durante veinticinco milésimas. No es que el principio de equivalencia sea aproximado en un sentido vago: tiene un plazo, y se calcula. Y fíjate en la estructura del resultado, porque es la que va a organizar el artículo 04: lo que estropea la cabina no es la gravedad —ésa se ha ido entera— sino su derivada. Los Christoffel se anulan; lo que no se anula son sus derivadas, y ése es el residuo que ningún cambio de coordenadas puede tocar.
Ejercicios
Un planeta homogéneo de masa M y radio R tiene, dentro, Φ(r) = −GM(3R² − r²)/(2R³). (a) Escribe la métrica de campo débil en su interior y calcula Γr00. (b) Obtén la ecuación de las geodésicas para un cuerpo que cae por un túnel que atraviesa el centro y resuélvela. (c) Evalúa el periodo para la Tierra (densidad media 5514 kg/m³) y compáralo con el periodo de una órbita rasante. (d) ¿Cuánto vale 2|Φ|/c² en el centro, y cuánto en la superficie?
Solución
(a) g00 = −(1 + 2Φ/c²)c² con esa Φ, y Γr00 = ∂Φ/∂r = GMr/R³, lineal en r. (b) La ecuación de las geodésicas queda r̈ = −(GM/R³)r, un oscilador armónico de ω² = GM/R³ = (4/3)πGρ. (c) T = 2π/ω = 2π√(3/(4πGρ)) = √(3π/(Gρ)) = 5060 s = 84,3 min, y la órbita rasante tiene T = 2π√(R³/GM), el mismo número: el túnel y la órbita rasante tienen exactamente el mismo periodo, porque son la misma ω. (d) En la superficie, 2GM/Rc² = 1,392 × 10⁻⁹; en el centro es 3/2 de eso, 2,088 × 10⁻⁹.
La segunda lección es que el «túnel a las antípodas» y la órbita rasante coinciden porque el movimiento por el túnel es la proyección de la órbita sobre un diámetro. Aquí eso ha aparecido sin decirlo: los dos problemas tienen la misma Γr00, así que tienen la misma ecuación de las geodésicas. Cuando dos problemas de gravedad dan el mismo número, casi siempre es que comparten un símbolo de Christoffel.
Relojes. (a) ¿Cuánto se adelanta al cabo de un año un reloj situado a 1000 m de altura sobre otro a nivel del mar? (b) ¿Y el reloj de a bordo de un avión de línea que vuela a 11 000 m y 900 km/h durante 10 horas, respecto de uno que se queda en el aeropuerto? Separa las dos contribuciones. (c) ¿A qué altura de vuelo se cancelan exactamente las dos, a esa velocidad? (d) El gh/c² que acabas de usar es la linealización de (Φa − Φb)/c² con Φ = −GM/r. Demuestra que el cociente entre las dos formas vale 1/(1 + h/R), di a partir de qué altura se separan más de un 1 %, y calcula esa separación para el Tokyo Skytree. ¿Por qué no te sale el 0,13 % que cita el texto?
Solución
(a) gh/c² = 9,806 65 × 1000/8,988 × 10¹⁶ = 1,0911 × 10⁻¹³, que en un año juliano (31 557 600 s) son 3443 ns, o sea 3,4 microsegundos. (b) El término gravitatorio da gh/c² = 1,2002 × 10⁻¹² y en 10 horas +43,21 ns; el cinemático da −v²/2c² con v = 250 m/s, o sea −3,4770 × 10⁻¹³, que en 10 horas son −12,52 ns. El neto es +30,69 ns de adelanto. (c) Se cancelan cuando gh = v²/2, es decir h = v²/2g = 3187 m: por debajo de eso el reloj del avión atrasa, por encima adelanta. (d) Con Φ = −GM/r, ΔΦ = GM(1/R − 1/(R+h)) = (GM/R²)·h/(1 + h/R), que es la forma lineal gh con g = GM/R² dividida por 1 + h/R. Las dos se separan más de un 1 % cuando h/R > 1/0,99 − 1, o sea a partir de h = R/99 = 64,4 km: muy por encima de cualquier torre y de cualquier avión. Para el Skytree, h/R = 7,10 × 10⁻⁵ y la separación es de 0,0071 %, veinte veces menor que el 0,13 % del texto — porque aquel no viene de la altura sino de la g: el estándar 9,806 65 m/s² no es GM/R² = 9,820 25 m/s², y esos dos valores difieren un 0,139 %.
La segunda lección está en (c) y es la que hace del experimento de Hafele-Keating algo más que una anécdota: el signo del resultado depende del plan de vuelo, y por eso hay que calcularlo, no adivinarlo. Un vuelo bajo y rápido atrasa; uno alto y lento adelanta. La altura de crucero de un avión de línea, 11 km, está tres veces y media por encima del punto de cruce, y por eso el reloj de a bordo adelanta.
Coordenadas normales, a mano y sobre una superficie. (a) En la esfera de radio a, toma coordenadas cartesianas «locales» (X, Y) alrededor de un punto P dadas por la proyección geodésica: X e Y son las distancias medidas sobre la superficie a lo largo de dos geodésicas perpendiculares. Comprueba que gXX(P) = gYY(P) = 1 y gXY(P) = 0. (b) Comprueba que las derivadas primeras de la métrica se anulan en P. (c) Desarrolla gYY a segundo orden y comprueba que el coeficiente es −K/3. (d) ¿A qué distancia de P se aparta la métrica de la unidad en una parte en 10⁶, sobre la Tierra?
Solución
(a) y (b) Es más fácil con coordenadas polares geodésicas alrededor de P, ds² = dρ² + a²sen²(ρ/a)dψ², que es la forma f(ρ) del ejercicio 1 del artículo 02 con f = a sen(ρ/a): en ρ → 0, f → ρ, y la métrica tiende a dρ² + ρ²dψ², que es el plano en polares — es decir, la unidad en cartesianas. Las derivadas primeras se anulan en P porque f′(0) = 1 y f″(0) = 0. (c) Desarrollando, f² = ρ²(1 − ρ²/(3a²) + …), de modo que en cartesianas locales gYY = 1 − KX²/3 + … con K = 1/a². (d) Igualando KX²/3 = 10⁻⁶ con K = 2,4637 × 10⁻¹⁴ m⁻²: X = 11,0 km.
La segunda lección es el número de (d): sobre la Tierra, las coordenadas cartesianas de un topógrafo valen con seis cifras hasta once kilómetros. Eso es exactamente lo que significa «sistema inercial local» trasladado a una superficie, y explica de paso por qué un plano parcelario funciona y un mapamundi no. Y fíjate en el coeficiente −K/3: la curvatura no aparece en la métrica ni en sus derivadas primeras, sino en las segundas, y siempre con ese factor. Es la misma cuenta de las 20 componentes que sobran del principio de esta página.
Dónde deja de valer el campo débil. (a) Calcula 2GM/Rc² para la Tierra, el Sol, una enana blanca como Sirio B (1,017 masas solares, 5582 km), una estrella de neutrones típica (1,4 masas solares, 12 km) y el horizonte de un agujero negro. (b) ¿Para cuáles de ellos vale el desarrollo a primer orden con un error menor del 1 %? (c) Con la fórmula del ejemplo resuelto 1, ¿cuánto atrasaría al día un reloj en la superficie de la estrella de neutrones respecto de uno lejano, y por qué esa cifra hay que mirarla con desconfianza? (d) La métrica de campo débil también supone velocidades pequeñas: ¿a qué velocidad orbital corresponde 2GM/rc² = 0,1?
Solución
(a) Tierra 1,392 × 10⁻⁹; Sol 4,245 × 10⁻⁶; Sirio B 5,381 × 10⁻⁴; estrella de neutrones 0,3445; horizonte, 1 por definición. (b) El error del desarrollo es del orden de (2GM/Rc²)²/8, así que hace falta 2GM/Rc² < 0,28 para bajar del 1 %: valen los cuatro primeros y no la estrella de neutrones. (c) √(1 − 0,3445) = 0,8096, o sea un atraso de 19,04 % — 16 450 s/día, cuatro horas y media—, y hay que desconfiar porque a esa profundidad la métrica de campo débil ya no es la buena: hace falta la de Schwarzschild, que es la del módulo II.4, y allí el factor resulta ser exactamente éste sólo en el vacío exterior. (d) Para una órbita circular v² = GM/r, luego v²/c² = ½·(2GM/rc²) = 0,05 y v = 0,2236 c.
La segunda lección es (b), y es un hábito más que un resultado: toda aproximación de este módulo tiene un parámetro pequeño con nombre, y es 2GM/rc². Antes de aplicar una fórmula de campo débil se evalúa ese número; si sale 10⁻⁹, sobra margen para todo, y si sale 0,34, lo que hay que hacer es cambiar de fórmula. Es el mismo hábito que el II.2 impuso con γ, y por la misma razón: una fórmula aplicada fuera de su régimen no avisa, devuelve un número.