Empuja una partícula que va a 0,9c con una fuerza inclinada 45° respecto a su movimiento y la aceleración no sale a 45°: sale a 79,2°. No es un efecto pequeño ni una corrección de orden superior — es la mitad del ángulo recto—, y su origen es que en relatividad F y a apuntan en direcciones distintas salvo en dos casos.
Derivar respecto al tiempo propio
El II.1 ya tenía la cinemática entera y el artículo 01 le ha puesto masa encima. Falta la ley del movimiento, y su forma está obligada: si pα es un cuadrivector y τ es un invariante, la derivada de uno respecto al otro es otro cuadrivector. Ésa es la cuadrifuerza:
donde la última igualdad exige que la masa no cambie — un cohete que quema combustible no la cumple, y ése es el problema 5 de la hoja—. Escrita así, la primera ley de Newton es «f = 0 implica línea recta» y la segunda es esta ecuación; las dos en el mismo idioma que el resto del módulo.
Lo interesante es traducirla al tiempo del laboratorio, que es lo que mide un aparato. Con dτ = dt/γ,
Es decir: la fuerza ordinaria de toda la vida, F = dp/dt, sigue siendo la parte espacial de la cuadrifuerza salvo un factor γ, y la parte temporal es la potencia. Energía y potencia van juntas en la componente cero, igual que masa y energía iban juntas en la del cuadrimomento.
Y hay una ligadura gratis. El II.1 demostró que u·a = 0 derivando u·u = −c², de modo que
El teorema del trabajo y la energía sobrevive intacto, y no como postulado sino como consecuencia geométrica de que el cuadrimomento tenga norma fija. De las cuatro componentes de la cuadrifuerza, sólo tres son independientes: la temporal está determinada por las espaciales y por la velocidad. Una «cuadrifuerza» que no cumpla f·u = 0 estaría cambiando la masa de la partícula.
La fuerza ya no es paralela a la aceleración
Ahora la parte que rompe con Newton. Derivando p = γmv respecto a t hay que derivar también γ, que depende de v:
Separando la aceleración en su parte paralela a la velocidad y su parte perpendicular, esto se simplifica a algo que conviene tener grabado:
Los dos coeficientes son distintos, y su cociente es γ². Empujar a lo largo del movimiento cuesta γ² veces más que empujar de lado, así que salvo que la fuerza sea exactamente paralela o exactamente perpendicular, la aceleración se inclina hacia la perpendicular. Con F a 45° y β = 0,9, γ² = 5,263 y la aceleración sale a arctan(5,263) = 79,24°, que es el número del gancho.
Aquí muere definitivamente la «masa relativista» que el artículo 01 dejó herida. Para que F = mrela funcionara harían falta dos masas distintas —γ³m para empujar de frente y γm para empujar de lado—, y los libros antiguos las llamaban «masa longitudinal» y «masa transversal». Un concepto que necesita dos valores según la dirección no está midiendo una propiedad del cuerpo. La masa es la norma del cuadrimomento, y vale una sola cosa.
Fuerza constante: el movimiento hiperbólico, cerrado
El módulo II.1 estudió el movimiento hiperbólico imponiendo que la aceleración propia fuera constante, y lo justificó diciendo que eso es lo que marca un acelerómetro de a bordo. Ahora se puede decir algo más fuerte. Aplica una fuerza constante F a lo largo del movimiento. Entonces
sin ninguna aproximación y con v tendiendo a c pero sin alcanzarla, como debe ser. Y como para movimiento rectilíneo F = γ³ma, la aceleración propia A = γ³a vale F/m, constante. Es decir:
Fuerza constante en el laboratorio ⟺ aceleración propia constante ⟺ movimiento hiperbólico. Las tres cosas son la misma, y la rapidez crece linealmente con el tiempo propio, φ = Aτ/c, exactamente como dedujo el II.1. Lo que allí era una hipótesis sobre lo que siente el astronauta es aquí una consecuencia de la ley del movimiento.
La fuerza magnética y el tamaño de un acelerador
El caso práctico por excelencia. Una fuerza perpendicular a la velocidad no cambia la energía —porque F·v = 0— así que γ es constante y la partícula describe una circunferencia. Igualando la fuerza magnética a γm a⊥ = γmv²/ρ:
El producto Bρ se llama rigidez magnética y es la magnitud que dimensiona un sincrotrón: fijado el campo que sabes fabricar, la energía de tu máquina la decide su radio. La fórmula, además, no lleva γ dentro: es exacta a cualquier energía, y en unidades prácticas se escribe p[GeV/c] = 0,299 792 458 · B[T] · ρ[m].
La otra consecuencia es la que separa un ciclotrón de un sincrotrón. La frecuencia angular del giro es
con γ en el denominador. Para el protón de 6,8 TeV del ejemplo resuelto de abajo, con B = 8,089 T y γ = 7247,4, eso da ω = 1,07 × 10⁵ rad/s — 17,0 kHz de giro dentro de un dipolo.
Un ciclotrón, que acelera con una tensión alterna de frecuencia fija, pierde el sincronismo en cuanto γ se aparta de 1: ahí está su techo de energía, y ésa es la razón de que las máquinas modernas ajusten la frecuencia sobre la marcha, que es lo que significa «sincro-». El problema 6 de la hoja pone los números de las dos cosas.
Problema. El LHC guarda protones de 6,8 TeV. Sus dipolos curvan el haz con un radio de 2803,95 m — el anillo mide 26 659 m de circunferencia, pero sólo curva en los arcos. (a) ¿Qué campo magnético hace falta? (b) ¿Qué fuerza siente cada protón? (c) ¿Cuál es su aceleración propia?
Solución. (a) De p = qBρ, con p = 6,8 TeV/c = 3,634 × 10⁻¹⁵ kg·m/s:
(b) F = qvB ≈ pc/ρ = 389 pN. (c) Con la fuerza perpendicular, a⊥ = F/(γm) y la aceleración propia es A = γ²a⊥ = γF/m = γ²v²/ρ = 1,68 × 10²¹ m/s², o sea 1,72 × 10²⁰ g.
Resultado. Ocho teslas es lo que hay: los dipolos del LHC son de niobio-titanio a 1,9 K y ése es aproximadamente su techo, de modo que la energía del LHC no la decidió la física de partículas sino la metalurgia de los superconductores. Y una comparación que hay que hacer con cuidado: el II.1 dio para el mismo protón una aceleración propia de 1,13 × 10²⁰ g, un 34 % menor, porque usó el radio geométrico C/2π = 4243 m. Los dos números son correctos y miden cosas distintas — el II.1, la aceleración media de un anillo idealizado como circunferencia; éste, la real dentro de un dipolo. El cociente entre ellos, 1,513, es exactamente 4243/2803,95, es decir, el inverso de la fracción del anillo que curva: sólo el 66 % de los 26 659 m son arcos. Es la clase de discrepancia que aparece sola en cuanto se recalcula una cifra en vez de copiarla, y por eso el resumen en frío del final se rehace desde los datos.
El electromagnetismo ya era relativista
Queda la promesa que el II.1 dejó escrita en su callout de cierre. Las ecuaciones de Maxwell son de 1865 y la relatividad especial de 1905, y la segunda no corrigió a la primera: la encontró ya hecha. La razón se ve al escribir la fuerza de Lorentz en el idioma de este módulo. Con el tensor antisimétrico del campo Fαβ, cuyas componentes son E y B mezcladas,
Que esto sea una ecuación entre cuadrivectores ya lo dice todo: es válida en todos los sistemas inerciales sin tocar nada. Y f·u = 0 sale automáticamente de que Fαβ sea antisimétrico, porque Fαβuαuβ = 0 para cualquier tensor antisimétrico contraído consigo mismo dos veces. La conservación de la masa bajo una fuerza electromagnética no es un dato experimental: está metida en la antisimetría del campo. El montaje completo de Fαβ y la reescritura de Maxwell en dos ecuaciones tensoriales no son materia de este sitio: viven en el sitio hermano de electromagnetismo, y aquí basta el resultado.
Lo que sí se puede hacer aquí es lo más convincente: ver el magnetismo aparecer como electricidad vista desde otro sistema.
Problema. Un hilo de cobre de 1 mm² de sección lleva 10 A. Es eléctricamente neutro: la carga de los iones fijos compensa exactamente la de los electrones de conducción. Una carga de prueba se mueve paralela al hilo, a 1 cm de distancia, con la misma velocidad que los electrones. Calcula la fuerza que siente en su propio sistema, donde no hay magnetismo posible porque está quieta.
Solución. Con n = 8,49 × 10²⁸ electrones/m³, la densidad lineal de carga de los electrones vale λ = neA = 13 602 C/m, un número enorme, y la velocidad de arrastre es vd = I/λ = 0,735 mm/s, un número ridículo. En el sistema de la carga de prueba, que se mueve a u = vd, los iones dejan de estar quietos y se contraen, y los electrones dejan de moverse y se descontraen. Transformando las dos densidades y restando:
es decir, una fracción 6,0 × 10⁻²⁴ de la carga total. Ese hilo, neutro en el laboratorio, está cargado aquí, y su campo eléctrico a 1 cm vale E′ = λ′/(2πε₀r) = 1,47 × 10⁻⁷ V/m. Deshaciendo la transformación de la fuerza, F = qE′/γu = q u B con B = µ₀I/2πr = 200 µT: exactamente la fuerza magnética.
Resultado. Toda la fuerza magnética que un motor eléctrico convierte en trabajo sale de un desequilibrio de carga de seis partes en 10²⁴. Que un efecto tan absurdamente pequeño sea visible no es un milagro: es que la carga total es absurdamente grande —esos 13 602 C/m son los 8,49 × 10²² electrones de conducción que hay en cada metro de hilo—, y la fuerza eléctrica es tan intensa que un desajuste de veinticuatro cifras basta. El magnetismo no es una fuerza aparte: es lo que queda de la fuerza eléctrica cuando el observador se mueve. Y una advertencia numérica que resume el módulo: si se intenta calcular ese λ′ restando las dos densidades transformadas en doble precisión, el resultado es exactamente cero — el desequilibrio es ocho órdenes de magnitud menor que el épsilon de la máquina. Hay que hacerlo con la identidad algebraica o con aritmética de cincuenta dígitos. Un cálculo hecho a lo bruto concluye que el magnetismo no existe.
Por qué en relatividad no puede haber fuerzas a distancia. Toda la mecánica de este artículo supone que la fuerza sobre una partícula está definida en el punto donde está la partícula. La razón no es de gusto. Una fuerza a distancia instantánea —la gravedad de Newton, la ley de Coulomb entre dos cargas que se mueven— exige decir qué posición ocupa la otra partícula ahora, y el II.1 demostró que ese «ahora» depende del observador. Peor: con dos partículas que interaccionan a distancia, la tercera ley de Newton falla, porque las dos fuerzas serían iguales y opuestas en un sistema y no en otro, y con ella se caería la conservación del momento. La salida es la que tomó Maxwell sin saber que la estaba tomando: el momento que falta lo lleva el campo, que es un objeto físico con energía y momento propios repartidos por el espacio. Ésa es también la razón de que la gravedad de Newton no pudiera sobrevivir a 1905, y de que hicieran falta diez años más para encontrar con qué sustituirla. Aquí empieza el módulo II.3.
Ejercicios
(a) Demuestra que f·u = 0 para cualquier fuerza que no cambie la masa, y deduce de ahí que la componente temporal de la cuadrifuerza es la potencia dividida por c. (b) Integra la ecuación dp/dt = F para una fuerza constante paralela al movimiento, partiendo del reposo, y comprueba que la aceleración propia sale constante e igual a F/m. (c) Aplica los 389 pN del ejemplo resuelto 1 a un protón en reposo: ¿cuánto tarda en llegar a γ = 2 y cuánto espacio recorre?
Solución
(a) De p·p = −(mc)² constante, derivando respecto a τ sale 2 p·(dp/dτ) = 0, es decir p·f = 0; y como p = mu, f·u = 0. Desarrollando en componentes con f = γ(f⁰′, F⃗) y u = γ(c, v⃗): −γ²c f⁰′ + γ²F⃗·v⃗ = 0, luego f⁰ = γ(F⃗·v⃗)/c, que es la potencia sobre c. (b) p = Ft, y de β = pc/E con E = √((pc)²+(mc²)²) sale la expresión del texto. La aceleración propia de un movimiento rectilíneo es A = γ³ dv/dt; derivando v(t) y sustituyendo se obtiene A = F/m, independiente de t. (c) A γ = 2 corresponde βγ = √3, luego p = √3 mpc = 8,68 × 10⁻¹⁹ kg·m/s y t = p/F = 2,24 ns. La distancia es x = (mc²/F)(γ − 1) = 0,387 m.
La segunda lección está en el orden de magnitud de (c): con la fuerza que el LHC ejerce sobre cada protón —389 piconewtons, el peso de cuarenta nanogramos— un protón en reposo llegaría al 86,6 % de la velocidad de la luz en dos nanosegundos y en 39 centímetros. Lo que hace grande a un acelerador no es acelerar: es curvar. Con esa misma fuerza, llegar a 6,8 TeV en línea recta costaría 2804 metros — y que ese número coincida con el radio de curvatura no es casualidad, porque la fuerza se ha calculado justamente como pc/ρ. El LHC mide 27 km de circunferencia; todo lo que sobra es el precio de que la trayectoria se cierre.
(a) Deduce F∥ = γ³ma∥ y F⊥ = γma⊥ a partir de F = d(γmv)/dt, sin saltarte la derivada de γ. (b) Comprueba el número del gancho: con F a 45° de la velocidad y β = 0,9, ¿a qué ángulo sale la aceleración? (c) ¿En qué dos casos vuelven a ser paralelas F y a? (d) Con todo eso, escribe en una frase por qué la «masa relativista» no puede salvarse.
Solución
(a) dγ/dt = γ³(v⃗·a⃗)/c², de donde F⃗ = γma⃗ + γ³m(v⃗·a⃗)v⃗/c². Si a⃗ es perpendicular a v⃗ el segundo término desaparece y queda F = γma; si es paralela, F = γma(1 + γ²β²) = γ³ma, usando 1 + γ²β² = γ². (b) Como a⊥/a∥ = γ²F⊥/F∥ y las dos componentes de F son iguales, el cociente vale γ² = 5,263 y el ángulo es arctan(5,263) = 79,24°. (c) Cuando F es exactamente paralela y cuando es exactamente perpendicular a la velocidad — y también, trivialmente, cuando β = 0. (d) Porque haría falta una masa distinta según la dirección del empujón, γ³m y γm, y una propiedad de un cuerpo no puede tener dos valores a la vez.
La segunda lección es que el caso perpendicular, F = γma, es precisamente el de un acelerador circular, y ahí la «masa relativista» sí funciona — razón por la cual sobrevivió tanto tiempo en los libros de texto de física de aceleradores. Una idea equivocada que acierta en el caso que más se usa es mucho más difícil de erradicar que una que falla siempre; y el precio de conservarla es que quien la aprenda se equivocará por un factor 5,26 el día que empuje en la otra dirección.
(a) Deduce p = qBρ y comprueba la versión práctica p[GeV/c] = 0,299 792 458 · B[T] · ρ[m], explicando de dónde sale ese número. (b) ¿Qué campo necesitan los dipolos del LHC para 6,8 TeV con ρ = 2803,95 m? (c) El proyecto FCC-hh plantea un anillo con dipolos de 16 T y un radio de curvatura de 10 400 m: ¿qué energía de haz alcanzaría? (d) Si en vez de subir el campo se quisiera llegar a esa energía con los imanes del LHC, ¿qué radio haría falta?
Solución
(a) La fuerza magnética es perpendicular, así que γ es constante y F = γmv²/ρ = qvB, de donde γmv = qBρ, es decir p = qBρ. El 0,299 792 458 es c dividido por 10⁹: si p se mide en GeV/c, pc[eV] = qBρc con q = e, y dividir por e y por 10⁹ deja el número. Es decir, ese coeficiente es la velocidad de la luz cambiada de unidades. (b) B = 8,089 T. (c) p c = 0,2998 × 16 × 10 400 = 49,9 TeV por haz, de donde salen los «100 TeV» que anuncia el proyecto: es √s, no la energía de cada haz. (d) Con B = 8,089 T, ρ = 49 900/(0,2998 × 8,089) = 20 570 m, más de veinte kilómetros de radio de curvatura, o sea un túnel de casi 196 km si se mantiene la proporción entre arcos y rectas del LHC.
La segunda lección es que la energía de un colisionador de hadrones es el producto de dos cosas que se compran en sitios distintos: el campo se lo compras a la metalurgia y el radio a la obra civil. El paso del LHC al FCC dobla el campo (8 a 16 T, cambiando niobio-titanio por niobio-estaño) y multiplica por 3,7 el radio. Y hay una asimetría que este ejercicio deja ver: como p es lineal en las dos, no hay ninguna ganancia de escala — a diferencia de un colisionador de electrones, donde la radiación de sincrotrón castiga el radio pequeño con la cuarta potencia de la energía, que es lo que mide el problema 6 de la hoja.
(a) Demuestra que fα = q Fαβuβ cumple f·u = 0 usando sólo que Fαβ es antisimétrico, sin escribir una sola componente. (b) Rehaz el ejemplo resuelto 2 con una corriente de 1,0 A y una carga de prueba que se mueve al doble de la velocidad de arrastre: ¿cuánto vale ahora el desequilibrio relativo de carga? (c) Un campo eléctrico paralelo a la velocidad, ¿acelera igual que uno perpendicular del mismo módulo? Responde con el cociente. (d) ¿Qué le pasa a la energía de una partícula en un campo puramente magnético, y por qué eso obliga a que un sincrotrón tenga cavidades de radiofrecuencia además de imanes?
Solución
(a) f·u = q Fαβuαuβ. Ese objeto es la contracción de un tensor antisimétrico con un producto simétrico uαuβ, y esa contracción es siempre cero: intercambiando los nombres de los dos índices mudos, la suma es igual a sí misma cambiada de signo. (b) El desequilibrio relativo vale u vd/c², y ahora vd es diez veces menor (7,35 × 10⁻⁵ m/s) y u es el doble de eso; el producto queda u vd/c² = 1,2 × 10⁻²⁵, cincuenta veces menor que antes. (c) El paralelo acelera γ² veces menos: el cociente de aceleraciones es 1/γ². (d) La energía no cambia, porque F·v = 0 con F perpendicular a v. Un campo magnético sólo curva; para subir la energía hace falta un campo eléctrico con componente a lo largo del movimiento, y eso es lo que hacen las cavidades — los imanes guardan el haz, las cavidades lo aceleran.
La segunda lección es la de (a), y es un patrón que se usará sin parar en el Nivel III: la contracción de algo antisimétrico con algo simétrico es cero, siempre, sin calcular nada. Aquí ha bastado para demostrar que la fuerza electromagnética conserva la masa en reposo de una partícula, un resultado que con componentes ocuparía media página. En el III.2 el mismo argumento decidirá qué términos pueden aparecer en las ecuaciones de Einstein y cuáles no; el II.3, que es el siguiente, lo usa antes en pequeño, cuando cuenta cuántas derivadas segundas de la métrica puede borrar un cambio de coordenadas y cuántas no.
Todo lo que hay que poder consultar sin releer el módulo. Cada fila se ha
recalculado desde los datos con scripts/verificar-dinamica.py,
no copiado del texto — y al hacerlo apareció la discrepancia del radio del
LHC del ejemplo resuelto 1. Signatura de Hartle en todas ellas:
p·p = −(mc)², negativa para una partícula con masa.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Cuadrimomento | pα = m uα = (E/c, p⃗); p·p = −(mc)² | artículo 01 |
| Energía y momento | E = γmc², p⃗ = γmv⃗; β = pc/E, γ = E/mc² | artículo 01 |
| Relación energía-momento | E² = (pc)² + (mc²)² | artículo 01 |
| Las dos restas prohibidas | E − mc² = (pc)²/(E+mc²); E − pc = (mc²)²/(E+pc) | artículo 01 |
| Protón del LHC, 6,8 TeV | γ = 7247,4; E − pc = 64,7 keV = (mc²)²/2E; cociente 2γ | artículo 01 |
| Dónde falla ½mv² un 1 % | β = 0,1148; protón 6,25 MeV, electrón 3,40 keV | artículo 01 |
| Partícula sin masa | E = pc, p·p = 0, β = 1 exacta, no hay γ | artículo 01 |
| Presión de radiación | P = S/c = 4,54 µPa a 1 ua; β_rad > 1 bajo 0,230 µm, y > ½ —basta para escapar de una órbita— bajo 0,46 µm | artículo 01 |
| Conservación | Σpα antes = Σpα después — cuatro ecuaciones, una ley | artículo 02 |
| Masa invariante de un sistema | (Mc²)² = (ΣE)² − |Σp⃗c|²; dos fotones: 4E₁E₂ sen²(θ/2) | artículo 02 |
| La masa no es aditiva | protón: el 99,04 % no es masa de quark; deuterón: −2,2246 MeV | artículo 02 |
| Energía en el centro de masas | √s; LHC 13,6 TeV; contra pared, 6,8 TeV dan sólo 113,0 GeV | artículo 02 |
| Blanco fijo equivalente | E = 2γ²mc² = 98,56 PeV, o sea 2γ = 14 495 veces el haz | artículo 02 |
| Energía umbral | √s ≥ (Σmi)c²; γ + p → p + π⁰: 144,7 MeV | artículo 02 |
| Desintegración en dos cuerpos | E₁ = (M²+m₁²−m₂²)c²/2M; π⁺→µ⁺ν: 29,79 MeV/c | artículo 02 |
| Efecto Compton | Δλ = λC(1−cos θ); λC = 2,4263 pm; Mo Kα a 90°: 3,41 % | artículo 02 |
| Cuadrivector de onda | kα = (ω/c, k⃗), k·k = 0; pα = ħkα | artículo 03 |
| Doppler relativista | δ = 1/[γ(1−β cos θ)]; de frente eφ; de través 1/γ | artículo 03 |
| Dipolo del fondo cósmico | 3,3621 mK ⇒ 369,8 km/s; aberración asociada 4,24′ | artículo 03 |
| Aberración | cos θ = (cos θ′ + β)/(1 + β cos θ′); Bradley: 20,49″ | artículo 03 |
| Enfoque relativista | media luz en arcsen(1/γ): LHC 28,5″, LEP2 1,01″; brillo × δ⁴ | artículo 03 |
| Movimiento superluminal aparente | vap = βc sen θ/(1−β cos θ); máximo γβc; M87: 6c ⇒ γ ≥ 6,08 | artículo 03 |
| Cuadrifuerza | fα = dpα/dτ = γ(F⃗·v⃗/c, F⃗); f·u = 0; dE/dt = F⃗·v⃗ | artículo 04 |
| Fuerza frente a aceleración | F∥ = γ³ma∥, F⊥ = γma⊥; a 0,9c difieren en γ² = 5,26 | artículo 04 |
| Fuerza constante | p = Ft ⇒ movimiento hiperbólico con A = F/m constante | artículo 04 |
| Rigidez magnética | p = qBρ; LHC a 6,8 TeV con ρ = 2803,95 m: B = 8,089 T, F = 389 pN | artículo 04 |
| Aceleración propia en el LHC | A = γ²v²/ρ = 1,72 × 10²⁰ g (con C/2π, 1,13 × 10²⁰ g) | artículo 04 |
| Frecuencia de giro | ω = qB/(γm); LHC a 6,8 TeV: 1,07 × 10⁵ rad/s, o sea 17,0 kHz en los arcos | artículo 04 |
| El magnetismo, visto de cerca | hilo de 10 A: desequilibrio de carga de 6,0 × 10⁻²⁴ | artículo 04 |
El módulo se cierra en la hoja de problemas.