Acerca de Gravitario

Gravitario forma parte del programa Fisicario: cubrir la Licenciatura en Física, en español y gratis, sitio a sitio. Éste cubre el espacio-tiempo, la gravedad y el universo — en el plan 2003 de la UCM, Estructura del Espacio-Tiempo (optativa de 2.º), Relatividad General y Gravitación y Cosmología (optativas de 5.º).

Autoría

Escrito y mantenido por José Ramón Martínez Saavedra, físico (UCM). Hermano de Fotonario (óptica), Particulario (partículas), Mecanario (mecánica clásica) y Termario (calor y estadística). Contacto a través de jrmsaavedra.com.

Qué cubre y qué no

Cubre: relatividad especial, principio de equivalencia y relatividad general, agujeros negros, ondas gravitacionales y cosmología, incluida la cosmología de precisión del segundo ciclo.

No cubre astrofísica. Las estrellas y su evolución, el medio interestelar, las escaleras de distancia y la astronomía observacional son el dominio del futuro Astrario, y aquí sólo aparecen como datos prestados cuando hacen falta. La física de partículas del universo primitivo se enlaza a Particulario en vez de reescribirse.

Fuentes

• James B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity, Addison-Wesley, 2003 — guía del Nivel II. Los módulos II.1, II.2, II.3, II.4 y II.5 se calibran contra él.
• Barbara Ryden, Introduction to Cosmology, 2.ª ed., Cambridge University Press, 2017 — guía del Nivel II (cosmología).
• Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, Cambridge University Press, 2019 — guía del Nivel III.
• Scott Dodelson y Fabian Schmidt, Modern Cosmology, 2.ª ed., Academic Press, 2020 — guía del Nivel III (cosmología).
• Constantes físicas: CODATA 2022, en src/data/constants.ts. Parámetros gravitatorios y radio de la Tierra: WGS-84 (GM = 3,986 004 418 × 10¹⁴ m³/s², radio medio 6 371 km). Parámetro gravitatorio y radio solares: IAU 2009 y 2015 (GM = 1,327 124 400 18 × 10²⁰ m³/s², R = 6,957 × 10⁸ m). Luminosidad solar nominal: IAU 2015 (3,828 × 10²⁶ W). Vida media del muón: Particle Data Group (2,196 981 1 µs).
• Valores experimentales del módulo I.4: B. P. Abbott et al. (LIGO-Virgo), Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016) — la detección de GW150914; Astrophys. J. Lett. 818, L22 (2016) — sus propiedades astrofísicas; Phys. Rev. Lett. 119, 161101 (2017) — GW170817; Astrophys. J. Lett. 848, L13 (2017) — la coincidencia con GRB 170817A y la cota a la velocidad de la gravedad; Nature 551, 85 (2017) — la constante de Hubble como sirena estándar. J. M. Weisberg y Y. Huang, Astrophys. J. 829, 55 (2016) — la deriva del periodo del púlsar PSR B1913+16. Parámetros ópticos de Advanced LIGO: J. Aasi et al., Class. Quantum Grav. 32, 074001 (2015).
• Valores del módulo I.5: N. Aghanim et al. (colaboración Planck), Astron. Astrophys. 641, A6 (2020) — parámetros cosmológicos: H₀ = 67,4 ± 0,5 km/s/Mpc, Ω_m = 0,315, edad 13 797 ± 23 Ma, z_* = 1089,9, horizonte de sonido y escala acústica. D. J. Fixsen, Astrophys. J. 707, 916 (2009) — temperatura del fondo cósmico, 2,725 48 ± 0,000 57 K. J. C. Mather et al., Astrophys. J. 420, 439 (1994) — el espectro de cuerpo negro medido por FIRAS. A. G. Riess et al. (SH0ES), Astrophys. J. Lett. 934, L7 (2022) — H₀ = 73,04 ± 1,04 km/s/Mpc. B. P. Abbott et al., Nature 551, 85 (2017) — la sirena estándar de GW170817. M. J. Reid, D. W. Pesce y A. G. Riess, Astrophys. J. Lett. 886, L27 (2019) — la distancia de NGC 4258 por máseres, 7,58 Mpc. R. B. Tully et al., Nature 513, 71 (2014) — Laniakea. E. Hubble, PNAS 15, 168 (1929) y G. Lemaître, Ann. Soc. Sci. Bruxelles A47, 49 (1927) — los dos artículos fundacionales y sus pendientes de 500 y 625 km/s/Mpc. Las distancias y velocidades de las galaxias del interactivo del artículo 01 son las de las compilaciones al uso (cefeidas, punta de la rama de las gigantes, máseres y brillo superficial); la de NGC 4874, en el cúmulo de Coma, es la menos firme de la lista.
• Valores del módulo II.1: J. B. Hartle, Gravity — texto guía del módulo, incluida la signatura (−,+,+,+). Separación de los detectores de LIGO (3002 km) y retardo de GW150914 (6,9 ms): B. P. Abbott et al., Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016). Circunferencia del LHC (26 659 m) y energía de haz (6,8 TeV): CERN. Distancia a Próxima Centauri, 4,2465 ly: Gaia DR3. Misión de 340 días de Scott Kelly y órbita de la ISS: NASA. Anomalía de 60,7 ns y línea de base CERN-Gran Sasso (730 534,61 m): T. Adam et al. (OPERA), arXiv:1109.4897v1 (2011), retirada en la versión v4. Órbita de los Galileo GSAT-0201/0202 (a = 27 977,6 km, e = 0,162) y su uso para medir el corrimiento al rojo: P. Delva et al., Phys. Rev. Lett. 121, 231101 (2018) y S. Herrmann et al., ibid. 231102. Partícula «Oh-My-God», 3,2 × 10²⁰ eV: D. J. Bird et al., Astrophys. J. 441, 144 (1995). Anillo de muones del CERN (1977), γ = 29,3: J. Bailey et al., Nature 268, 301 (1977). Energías de haz de la hoja de problemas —LEP2, 104,5 GeV por electrón, y RHIC, 100 GeV por unidad de masa atómica en el haz de oro—: CERN y Brookhaven National Laboratory. Consumo mundial de energía primaria, 6,3 × 10²⁰ J/año: Energy Institute, Statistical Review of World Energy (2024).
• Valores del módulo II.2: J. B. Hartle, Gravity — texto guía del módulo. Masas de partículas: Particle Data Group, Review of Particle Physics (2024) — m(π⁰) = 134,9768 MeV, m(π⁺) = 139,570 39 MeV, m(µ) = 105,658 375 5 MeV, m(Λ) = 1115,683 MeV, m(Δ) = 1232 MeV con 117 MeV de anchura, m(H) = 125,20 GeV, m(t) = 172,57 GeV y las masas de los quarks u y d. Constante solar (1361 W/m²), luminosidad solar (3,828 × 10²⁶ W) y parámetro gravitatorio solar: IAU 2015. Vela solar de LightSail 2, 32 m²: The Planetary Society (2019). Densidad de electrones de conducción del cobre, 8,49 × 10²⁸ m⁻³: valor al uso. Efecto Compton: A. H. Compton, Phys. Rev. 21, 483 (1923), con la línea Kα del molibdeno, 71,08 pm. Dipolo del fondo cósmico, 3,3621 mK y 369,82 km/s: N. Aghanim et al. (Planck), Astron. Astrophys. 641, A1 (2020). Aberración de Bradley: J. Bradley, Phil. Trans. R. Soc. 35, 637 (1728). Velocidades aparentes de hasta 6c en los nudos del chorro de M87: J. A. Biretta, W. B. Sparks y F. Macchetto, Astrophys. J. 520, 621 (1999). LHC: circunferencia 26 659 m, radio de curvatura de los dipolos 2803,95 m, energía de haz 6,8 TeV, inyección a 450 GeV y cavidades a 400,789 MHz (CERN). LEP2: 104,5 GeV por haz y radio de curvatura 3096,2 m (CERN). Datos de la hoja: descubrimiento del antiprotón y energía del Bevatrón, O. Chamberlain, E. Segrè, C. Wiegand y T. Ypsilantis, Phys. Rev. 100, 947 (1955); transición de 14,4129 keV del ⁵⁷Fe con vida media de 141 ns; H. E. Ives y G. R. Stilwell, J. Opt. Soc. Am. 28, 215 (1938) y B. Botermann et al., Phys. Rev. Lett. 113, 120405 (2014); K. Greisen, Phys. Rev. Lett. 16, 748 (1966) y G. T. Zatsepin y V. A. Kuzmin, JETP Lett. 4, 78 (1966), con la confirmación de R. U. Abbasi et al. (HiRes), Phys. Rev. Lett. 100, 101101 (2008) y J. Abraham et al. (Auger), Phys. Rev. Lett. 101, 061101 (2008).
• Valores del módulo II.3: J. B. Hartle, Gravity — texto guía del módulo, incluido su convenio para el tensor de Riemann. Parámetros geodésicos de la Tierra (GM = 3,986 004 418 × 10¹⁴ m³/s², radio ecuatorial 6 378 137 m, radio polar 6 356 752,314 2 m, J₂ = 1,082 636 × 10⁻³, ω = 7,292 115 × 10⁻⁵ rad/s): WGS-84; radio medio 6371 km, IUGG. Parámetro gravitatorio y radio solares: IAU 2015. Triangulación de Hannover y el triángulo Hoher Hagen — Brocken — Inselsberg, con lados de unos 69, 85 y 107 km: C. F. Gauss (1821-1825). Órbita del GPS, semieje mayor 26 559,8 km: el mismo dato del módulo I.1. Comparación de relojes ópticos de estroncio separados 452,6 m en el Tokyo Skytree: M. Takamoto et al., Nature Photonics 14, 411 (2020). Péndulo de Foucault del Panteón de París, latitud 48,8462° N: J. B. L. Foucault (1851). Superficies de Groenlandia (2 166 086 km²) y de África (30 370 000 km²), para la deformación de la proyección de Mercator. Datos de la hoja: gradiómetro electrostático de GOCE, órbita a unos 255 km, líneas de base de 0,5 m y ruido del orden de 10 mE/√Hz (ESA, 2009-2013); Gravity Probe B, órbita polar a 642 km, precesión geodética predicha 6606,1 mas/año y medida 6601,8 ± 18,3 mas/año, con arrastre de sistemas inerciales de 39,2 predichos y 37,2 ± 7,2 medidos: C. W. F. Everitt et al., Phys. Rev. Lett. 106, 221101 (2011); déficit angular de una cuerda cósmica, δ = 8πGµ/c², tomado como dato porque exige las ecuaciones de Einstein; cota Gµ/c² < 1,1 × 10⁻⁷: Planck Collaboration, Astron. Astrophys. 571, A25 (2014); CSL-1: M. V. Sazhin et al., Mon. Not. R. Astron. Soc. 343, 353 (2003), descartado por E. Agol, C. J. Hogan y R. M. Plotkin, Phys. Rev. D 73, 087302 (2006).
• Valores del módulo II.4: J. B. Hartle, Gravity — texto guía del módulo. Parámetro gravitatorio y radio solares: IAU 2015. Elementos orbitales de Mercurio (a = 5,790 905 × 10¹⁰ m, e = 0,205 630, periodo sidéreo 87,969 1 d), de Venus, de la Tierra y del asteroide (1566) Ícaro: efemérides del JPL. Residuo del avance del perihelio de Mercurio, 42,98 ± 0,04 ″/siglo, del ajuste moderno de efemérides; la descomposición histórica de los 5600 ″/siglo observados procede de U. Le Verrier (1859) y de G. M. Clemence, Rev. Mod. Phys. 19, 361 (1947). Eclipse de 1919: F. W. Dyson, A. S. Eddington y C. Davidson, Phil. Trans. R. Soc. A 220, 291 (1920), con 1,98 ± 0,16 ″ en Sobral y 1,61 ± 0,40 ″ en Príncipe. Retardo de Shapiro: I. I. Shapiro, Phys. Rev. Lett. 13, 789 (1964) y 20, 1265 (1968). Cassini, γ − 1 = (2,1 ± 2,3) × 10⁻⁵: B. Bertotti, L. Iess y P. Tortora, Nature 425, 374 (2003). Corrimiento al rojo del Sol medido, 638 ± 6 m/s: J. I. González Hernández et al., Astron. Astrophys. 643, A146 (2020). Sirio B, 80,42 ± 4,83 km/s: M. A. Barstow et al., Mon. Not. R. Astron. Soc. 362, 1134 (2005). Precesión del periastro de S2, ~12′ por órbita: GRAVITY Collaboration, Astron. Astrophys. 636, L5 (2020). Púlsar de Hulse-Taylor, 4,226 °/año: J. M. Weisberg y Y. Huang, Astrophys. J. 829, 55 (2016). Púlsar doble PSR J0737−3039, inclinación 88,7° y periodo de 22,7 ms: M. Kramer et al., Science 314, 97 (2006). Datos de la hoja: PSR J0740+6620 con 2,08 ± 0,07 masas solares y 12,39 km de radio, T. E. Riley et al., Astrophys. J. Lett. 918, L27 (2021) y M. C. Miller et al., ibid. L28; fórmula de visibilidad de una superficie compacta, tomada como dato, A. M. Beloborodov, Astrophys. J. 566, L85 (2002); límite de Buchdahl, H. A. Buchdahl, Phys. Rev. 116, 1027 (1959); deflexión en régimen fuerte, tomada como dato, V. Bozza, Phys. Rev. D 66, 103001 (2002).
• Valores del módulo II.6: J. B. Hartle, Gravity, y B. Ryden, Introduction to Cosmology — textos guía del módulo. Parámetros cosmológicos, los mismos del I.5: N. Aghanim et al. (colaboración Planck), Astron. Astrophys. 641, A6 (2020) — H₀ = 67,4 ± 0,5 km/s/Mpc, Ω_m = 0,315, Ω_b = 0,0493, Ω_k = 0,0007 ± 0,0019 y 100θ_* = 1,041 09, que es el valor contra el que se contrasta el horizonte de sonido calculado aquí. Temperatura del fondo, 2,725 48 ± 0,000 57 K: D. J. Fixsen, Astrophys. J. 707, 916 (2009). N_eff = 3,046 para la contribución de los neutrinos: ése sí es un dato importado —deducir el 0,046 exige el desacoplo no instantáneo, que es Nivel III— mientras que Ω_r se deduce aquí de T₀ y no se toma de ninguna tabla. H₀ = 73,04 ± 1,04 km/s/Mpc: A. G. Riess et al. (SH0ES), Astrophys. J. Lett. 934, L7 (2022). Artículos fundacionales: A. Friedmann, Z. Phys. 10, 377 (1922); G. Lemaître, Ann. Soc. Sci. Bruxelles A47, 49 (1927), de donde sale el modelo demorado del problema 5 de la hoja; H. P. Robertson, Astrophys. J. 82, 284 (1935) y A. G. Walker, Proc. London Math. Soc. 42, 90 (1937). Inestabilidad del universo estático de Einstein: A. S. Eddington, Mon. Not. R. Astron. Soc. 90, 668 (1930). Dualidad de distancias: I. M. H. Etherington, Phil. Mag. 15, 761 (1933). Prueba del brillo superficial: R. C. Tolman, Proc. Natl. Acad. Sci. 16, 511 (1930). Dilatación de las curvas de luz de las supernovas: G. Goldhaber et al., Astrophys. J. 558, 359 (2001). Relación entre el ancho de la curva de luz y el brillo máximo: M. M. Phillips, Astrophys. J. Lett. 413, L105 (1993). Descubrimiento de la aceleración: A. G. Riess et al., Astron. J. 116, 1009 (1998) y S. Perlmutter et al., Astrophys. J. 517, 565 (1999). Deriva del corrimiento al rojo: A. Sandage, Astrophys. J. 136, 319 (1962) y A. Loeb, Astrophys. J. Lett. 499, L111 (1998). El diagrama de espacio-tiempo del panel del artículo 01 sigue la presentación de T. M. Davis y C. H. Lineweaver, Publ. Astron. Soc. Aust. 21, 97 (2004), que es también la referencia estándar de por qué el corrimiento al rojo cosmológico no es un Doppler global. La posición del primer pico acústico en ℓ ≈ 220, que el módulo declara explícitamente que no calcula, es de la misma publicación de Planck.
• Valores del módulo II.5: J. B. Hartle, Gravity — texto guía del módulo. Coordenadas que atraviesan el horizonte: A. S. Eddington, Nature 113, 192 (1924) y D. Finkelstein, Phys. Rev. 110, 965 (1958); M. D. Kruskal, Phys. Rev. 119, 1743 (1960) y G. Szekeres, Publ. Math. Debrecen 7, 285 (1960). Solución con rotación: R. P. Kerr, Phys. Rev. Lett. 11, 237 (1963); coordenadas de R. H. Boyer y R. W. Lindquist, J. Math. Phys. 8, 265 (1967). Órbitas circulares ecuatoriales y el ISCO en función del espín: J. M. Bardeen, W. H. Press y S. A. Teukolsky, Astrophys. J. 178, 347 (1972); acrecimiento que lleva el espín al límite con la masa multiplicada por √6: J. M. Bardeen, Nature 226, 64 (1970); límite a_* = 0,998 por captura de fotones del disco: K. S. Thorne, Astrophys. J. 191, 507 (1974). Extracción de energía: R. Penrose, Riv. Nuovo Cim. 1, 252 (1969); masa irreducible, D. Christodoulou, Phys. Rev. Lett. 25, 1596 (1970); mecanismo electromagnético, R. D. Blandford y R. L. Znajek, Mon. Not. R. Astron. Soc. 179, 433 (1977). Las cuatro leyes: J. M. Bardeen, B. Carter y S. W. Hawking, Commun. Math. Phys. 31, 161 (1973); fórmula integrada, L. Smarr, Phys. Rev. Lett. 30, 71 (1973); teorema del área, S. W. Hawking, Phys. Rev. Lett. 26, 1344 (1971); entropía, J. D. Bekenstein, Lett. Nuovo Cim. 4, 737 (1972) y Phys. Rev. D 7, 2333 (1973); temperatura, tomada como dato, S. W. Hawking, Nature 248, 30 (1974); efecto Unruh, W. G. Unruh, Phys. Rev. D 14, 870 (1976). Gravity Probe B, con la declinación de la estrella guía IM Pegasi (+16° 50′ 28″) que hace falta para proyectar la deriva: C. W. F. Everitt et al., Phys. Rev. Lett. 106, 221101 (2011). Espines medidos por ajuste del continuo: GRS 1915+105, a_* = 0,98, J. E. McClintock et al., Astrophys. J. 652, 518 (2006), con 12,4 masas solares de M. J. Reid et al., ibid. 796, 2 (2014); Cygnus X-1, 21,2 masas solares, J. C. A. Miller-Jones et al., Science 371, 1046 (2021); LMC X-1, a_* = 0,92 y 10,91 masas solares, L. Gou et al., Astrophys. J. 701, 1076 (2009) y J. A. Orosz et al., ibid. 697, 573 (2009); A0620−00, a_* = 0,12 y 6,61 masas solares, L. Gou et al., Astrophys. J. Lett. 718, L122 (2010) y R. A. Cantrell et al., Astrophys. J. 710, 1127 (2010). Datos de la hoja: densidad de masa en agujeros negros supermasivos locales, 4,2 × 10⁵ masas solares por Mpc³, M. Marconi et al., Mon. Not. R. Astron. Soc. 351, 169 (2004); argumento de la luz integrada de los cuásares, A. Sołtan, Astron. Astrophys. 89, 76 (1982) y X. Yu y S. Tremaine, Mon. Not. R. Astron. Soc. 335, 965 (2002) — las dos cifras tienen barras de error de aproximadamente un factor 1,5 y el problema lo dice; precesión de Schwarzschild de S2 y resolución astrométrica de GRAVITY, GRAVITY Collaboration, Astron. Astrophys. 636, L5 (2020) y 657, L12 (2022); sombra de M87*, 42 ± 3 µas, Event Horizon Telescope Collaboration, Astrophys. J. Lett. 875, L1 y L6 (2019).
• Valores experimentales del módulo I.2: R. V. Pound y G. A. Rebka, Phys. Rev. Lett. 4, 337 (1960) y R. V. Pound y J. L. Snider, Phys. Rev. 140, B788 (1965) — corrimiento al rojo en la torre Jefferson. C. W. Chou, D. B. Hume, T. Rosenband y D. J. Wineland, Science 329, 1630 (2010) — relojes ópticos a 33 cm. P. Touboul et al. (MICROSCOPE), Phys. Rev. Lett. 129, 121102 (2022) — principio de equivalencia débil. F. W. Dyson, A. S. Eddington y C. Davidson, Phil. Trans. R. Soc. A 220, 291 (1920) — eclipse de 1919. B. Bertotti, L. Iess y P. Tortora, Nature 425, 374 (2003) — Cassini. S. P. Joyce et al., MNRAS 481, 2361 (2018) — corrimiento al rojo de Sirio B.

Todo el texto del sitio es redacción propia; no reproduce texto ni figuras de los libros. Definiciones y resultados estándar se atribuyen a sus fuentes; los datos numéricos se recalculan con Python antes de escribirse, y los valores experimentales que sostienen un argumento se comprueban contra una segunda fuente.

Método

Como el resto de la familia: cada concepto con un ejemplo y números reales, ejercicios resueltos en cada artículo, hoja de problemas por módulo en los Niveles II y III, resumen en frío cerrando cada módulo, y — antes de declararse versión 1.0 — evaluaciones críticas asistidas por IA con perfiles de experto (docente, practicante y editor), cuyos hallazgos se verifican uno a uno. Los informes se archivan en el repositorio.

Versión y erratas

Versión 0.95 — agosto de 2026. Los Niveles I y II están completos: los cinco módulos I.1 a I.5 y los seis del Nivel II — II.1, El espacio-tiempo de Minkowski; II.2, Dinámica relativista; II.3, Métricas, geodésicas y curvatura, que es donde empieza la relatividad general; II.4, La métrica de Schwarzschild, que es la primera solución exacta y el módulo al que apuntaba todo el nivel; II.5, Agujeros negros y horizontes, que atraviesa por fin el horizonte con unas coordenadas que no se rompen y entra en la métrica de Kerr; y II.6, Cosmología: Friedmann y ΛCDM, que cambia de escala y de hipótesis —de una masa aislada a un contenido homogéneo e isótropo— y deduce con cuentas los números que el I.5 había dado como datos. En total, 11 módulos de 16, 50 páginas de curso (44 artículos y 6 hojas de problemas), 29 visualizaciones interactivas y 273 entradas de glosario. Los cinco módulos del Nivel III están anunciados en el índice con su contenido previsto, y no escritos. El mapa con huecos es el compromiso público del sitio, no una promesa vaga.

Dónde se para el Nivel II, dicho a propósito. El módulo II.3 llega a la curvatura por lo que se mide —la desviación geodésica, la marea y la holonomía— y no monta el aparato tensorial completo: ni las simetrías del tensor de Riemann, ni las identidades de Bianchi, ni el tensor de Einstein, ni las ecuaciones de campo. Eso es Nivel III y está anunciado como tal. No es una omisión: es la razón por la que el texto guía de este nivel es Hartle, que llega a la métrica de Schwarzschild sin exigir antes ese aparato. El módulo II.4 lo demuestra en la práctica: escribe la métrica, comprueba con sympy que R_μν = 0 —cosa que sólo exige contraer el tensor de Riemann del II.3— y la explota entera sin haber deducido nunca las ecuaciones de campo. Y se para en el horizonte: enseña que la singularidad de r = 2M es de la coordenada, con el invariante de Kretschmann como prueba, y deja para el II.5 las coordenadas de Eddington-Finkelstein y de Kruskal, que son las que lo atraviesan.

Y dónde se para el II.5, que tiene dos rayas y no una. Por arriba: da Eddington-Finkelstein entera, enuncia Kruskal con su factor conforme comprobado, y no monta la extensión maximal —el agujero blanco, el segundo exterior— ni los diagramas conformes, que son Nivel III y que además no describen ningún agujero negro real. La métrica de Kerr se toma como dada y se comprueba Ricci-plana con sympy, igual que hizo el II.4 con Schwarzschild. Y la radiación de Hawking se enuncia, no se deduce: es teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo y su deducción es el III.4, con el efecto Unruh delante. Lo que sí hace el Nivel II, y es un cálculo y no una paráfrasis, es tomar la temperatura como dato y demostrar que entonces el coeficiente 1/4 de la entropía de Bekenstein-Hawking está forzado por la primera ley. Por abajo: el módulo I.3 contó los agujeros negros en divulgación, así que en el II.5 nada de aquello se recuenta con símbolos encima — la esfera de fotones, el área de Kerr, la temperatura de Hawking y el teorema del área aparecen sólo donde se puede calcular algo que allí se dio como dato, y el texto dice en cada caso dónde se cruzan.

Dos avisos sobre el Nivel II. El primero, de convenio: el Nivel II sigue a Hartle y escribe el intervalo con signatura (−,+,+,+), de modo que un intervalo de tipo temporal es negativo. Es el signo contrario al que usó el módulo I.1, que es Nivel I; el artículo 01 del II.1 lo declara con su diccionario, y no se mezclan dentro de un mismo nivel. El segundo, sobre las hojas de problemas: dan pistas, nunca soluciones. Los desarrollos completos existen, se mantienen y se verifican con Python, pero viven fuera del sitio publicado — la hoja es para pelearse con ella.

Erratas sustantivas corregidas tras la publicación (las de redacción no se listan). ¿Ves una nueva? Escribe a través de la web de contacto.

• Julio de 2026, módulo I.1, artículo 04. El callout de cierre anunciaba que la ISS orbita con «el 89 % de la gravedad terrestre debajo». Con GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s², radio medio 6 371 km y una altura de 420 km, la cifra correcta es el 88,0 % — la misma altura que ya usaba el ejercicio 1 de ese artículo. Corregido allí y en la portada al publicarse el módulo I.2, que lo calcula.

Tecnología

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