Si los relojes de los satélites del GPS se dejaran a su aire, tu posición se desplazaría 11,5 kilómetros cada día, y el error no se estabilizaría: crecería sin parar. La cifra sale de dos efectos relativistas que tiran en sentidos opuestos —uno lo aprendiste en el artículo 02— y que no se compensan: +45,7 µs/día por gravitación, −7,2 µs/día por velocidad, +38,5 µs/día de saldo. Éste es el artículo en el que la relatividad deja de ser una discusión y pasa a ser una especificación técnica.
Sobre un reloj en órbita tiran dos efectos en sentidos opuestos: está más arriba en el pozo de gravedad, así que adelanta; y se mueve deprisa, así que atrasa. Cuál gana depende sólo de la altura. El panel calcula los dos a partir de GM, del radio de la Tierra y de c — mueve el mando y busca la altura en la que se anulan.
A 20 190 km gana la gravitación: el reloj adelanta 38.5 µs cada día. Sin corregirlo, la posición que calculara el receptor se iría 11.5 km cada día — y el error no se estabiliza: crece sin parar mientras nadie lo compense.
Un GPS es un cronómetro, no un mapa
Lo primero que hay que quitarse de la cabeza es que el receptor mida direcciones. No mide ninguna: mide tiempos. Cada satélite emite continuamente una señal que dice «soy el satélite 14, estoy en tal punto y esto lo emito a tal hora». El receptor compara esa hora con la suya, obtiene el tiempo de vuelo, lo multiplica por c y ya tiene una distancia. Con cuatro distancias a cuatro puntos conocidos, la posición sale por trilateración; hacen falta cuatro y no tres porque la cuarta incógnita es el desfase del reloj —barato— del propio receptor.
De ahí sale el factor de conversión que gobierna todo el sistema: como la distancia se obtiene multiplicando un tiempo por c, un nanosegundo de error de reloj son 30 centímetros de error de posición. Para dar los cinco metros que promete un móvil hay que tener los relojes cuadrados a 16,7 ns. Y ahora compara ese presupuesto con los 38,5 microsegundos diarios del titular: son 38 500 nanosegundos, dos mil trescientas veces el margen. No es una corrección fina, es el efecto dominante.
El efecto que ya sabes calcular
Los satélites del GPS orbitan a 26 561 km del centro de la Tierra, unos 20 190 km sobre la superficie, y dan una vuelta cada 11,97 horas. La velocidad de una órbita circular a ese radio es 3 874 m/s, casi 14 000 km/h. Con la fórmula del artículo 02, el ritmo de su reloj respecto al de tierra se retrasa en
Multiplicado por los 86 400 segundos de un día: −7,21 µs. Ése es el mismo efecto que hacía vivir más al muón, aplicado a un satélite — y con el mismo signo: quien se mueve, envejece menos.
El efecto que falta
El otro es de relatividad general y aquí se usa como dato, con su fórmula, para poder comprobarlo: un reloj situado más arriba en el potencial gravitatorio late más deprisa, en la proporción ΔΦ/c². Es el corrimiento al rojo gravitatorio, y para una Tierra esférica queda
Con GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s², R = 6 371 km y r = 26 561 km sale 5,292 × 10⁻¹⁰, es decir, +45,72 µs al día. Fíjate en la estructura: depende de dónde está el reloj, no de cómo se mueve, y por eso los dos efectos son independientes y se suman por separado.
Problema. Suma los dos efectos y traduce el resultado a error de posición por día y por hora.
Solución. +45,72 − 7,21 = +38,51 µs/día: el reloj del satélite adelanta. Traducido a distancia con c:
Son 11,54 km al día, o 481 metros por hora.
Resultado. El famoso «38 µs» es en realidad 38,5, y su coste es de 11,5 km de deriva diaria. Lo interesante no es el tamaño sino la aritmética: los dos efectos son grandes y de signo contrario, y si por casualidad se hubieran anulado, el GPS habría funcionado sin que nadie tuviera que pensar en relatividad. No se anulan porque dependen de la altura de forma distinta — y con el mando del panel de arriba puedes encontrar la única altura a la que sí lo hacen: 3 186 km, que es exactamente donde el radio de la órbita vale 1,5 veces el de la Tierra.
Cómo se compensa: la frecuencia de fábrica
La solución no es un parche de software. Los relojes de a bordo se fabrican desafinados. El oscilador nominal del sistema es de 10,23 MHz, y el que se monta en el satélite se ajusta antes del lanzamiento a 10,229 999 995 43 MHz: cuatro milihercios y medio por debajo, exactamente lo que hace falta para que, una vez arriba y en movimiento, lata al ritmo del tiempo coordenado que usa el sistema en tierra. Cuando el reloj sube, se pone en hora solo.
El desplazamiento que hemos calculado aquí, 4,4566 × 10⁻¹⁰, corresponde a 4,56 mHz, y el valor real de fábrica es 4,57. La diferencia, un 0,2 %, es honesta y tiene nombre: el sistema real no toma como referencia una esfera de radio medio sino el geoide, la superficie equipotencial que incluye la rotación terrestre. Esa rotación aporta por sí sola −0,10 µs/día, y hay además un término por la excentricidad de la órbita que oscila hasta ±22,9 ns para e = 0,01 y que el receptor corrige por su cuenta. Ninguno de ellos cambia el titular; todos hacen falta para los últimos centímetros.
«La dilatación del tiempo es un efecto óptico». Esta página es la refutación más aburrida y más definitiva. Si fuera un efecto de propagación de la luz —una ilusión de quien mira desde lejos—, bastaría con corregir el tiempo de vuelo de la señal, que es justo lo que el receptor ya hace, y el error desaparecería. No desaparece: hay que fabricar los osciladores a otra frecuencia. El desfase no está en el camino de la señal, está en el reloj. Y su gemelo: «la relatividad no sirve para nada práctico». Sirve para que el móvil te sitúe en la calle correcta y no en el barrio de al lado, treinta y ocho microsegundos al día, todos los días desde 1978.
Ejercicios
Repite la cuenta para la ISS, que orbita a 420 km de altura con una velocidad de 7 661 m/s. ¿Su reloj adelanta o atrasa? ¿Cuánto en una estancia de seis meses?
Solución
Gravitatorio: (GM/c²)(1/6 371 km − 1/6 791 km) = 4,31 × 10⁻¹¹, o sea +3,72 µs/día. Cinemático: −7 661²/(2c²) = −3,27 × 10⁻¹⁰, o sea −28,21 µs/día. Neto: −24,49 µs/día; el reloj de la ISS atrasa. En 182,6 días son 4,47 milisegundos.
La segunda lección está en el cambio de signo respecto al GPS. A 420 km la estación está apenas más arriba en el pozo pero se mueve el doble de rápido que un satélite del GPS, y gana la velocidad; a 20 190 km ocurre lo contrario. No hay una respuesta general a «¿los relojes en órbita adelantan?»: depende de la altura, y la frontera está en 3 186 km.
Demuestra, sin calculadora, que los dos efectos se anulan exactamente cuando el radio de la órbita vale 1,5 veces el radio de la Tierra.
Solución
Igualando los dos ritmos, y usando que en órbita circular v² = GM/r, el factor GM/c² se va de los dos lados y queda 1/R − 1/r = 1/(2r). Pasando el término de la derecha a la izquierda: 1/R = 3/(2r), es decir, r = 1,5 R. Con R = 6 371 km salen 9 557 km de radio, o sea 3 186 km de altura.
La segunda lección es lo que no aparece en el resultado: ni GM, ni c, ni la masa del satélite. La altura de compensación es una propiedad geométrica pura del cuerpo central, la misma en la Tierra que en Marte que en una estrella de neutrones. Cuando de un cálculo lleno de constantes sale un número limpio, casi siempre hay una razón estructural detrás — y merece la pena buscarla.
Un artículo divulgativo afirma: «los relojes del GPS atrasan 38 microsegundos al día por ir tan rápido; sin corregirlo, el GPS fallaría unos metros». Localiza los tres errores y ordénalos por gravedad.
Solución
El primero es de signo: los relojes adelantan, no atrasan, porque gana el efecto gravitatorio. El segundo es de causa: atribuirlo a la velocidad es justo el término menor (−7,2 frente a +45,7) y además del signo contrario al neto. El tercero es de escala: el error no es «de unos metros» sino de 11,5 km al día, y creciente. Por gravedad: el de causa primero, porque enseña física falsa y sobrevive al de signo; el de signo después; y el de escala el último, porque un lector con calculadora lo detecta solo multiplicando 38,5 µs por c. Fíjate en que los tres suenan perfectamente razonables leídos deprisa: ésa es exactamente la razón por la que en este sitio los números se calculan antes de escribir la frase que los contiene.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para resolver un problema típico sin volver a leer nada.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Velocidad de la luz | c = 299 792 458 m/s, exacta por definición | art. 01 |
| Composición de velocidades | w = (u+v)/(1+uv/c²); 0,8c con 0,8c dan 0,976c | art. 01 |
| Factor de Lorentz | γ = 1/√(1−v²/c²); 1,155 · 2,294 · 7,089 a 0,5c · 0,9c · 0,99c | art. 01 |
| Energía cinética | K = (γ−1)mc²; la clásica falla un 19 % a 0,5c | art. 01 |
| Aproximación de baja velocidad | γ − 1 ≈ v²/2c²; 3,48 × 10⁻¹³ a 250 m/s | art. 02 |
| Dilatación del tiempo | Δt = γΔτ; muón a 0,995c: 50,3 µs frente a 5,02 µs | art. 02 |
| Contracción de longitudes | L = L₀/γ; 15 km se quedan en 1 498 m a 0,995c | art. 02 |
| Vida media del muón | τ = 2,197 µs; cτ = 659 m; llega el 10,2 % desde 15 km | art. 02 |
| Hafele-Keating (1971) | −59 ± 10 ns al este, +273 ± 7 ns al oeste | art. 02 |
| Ruptura de la simultaneidad | Δt′ = −γvΔx/c²; 400 ns en un tren de 200 m a 0,6c | art. 03 |
| Intervalo invariante | s² = c²Δt² − Δx²; −25 600 m² en los dos sistemas | art. 03 |
| Invariante energía-momento | E² − (pc)² = (mc²)²; con p = 0 queda E₀ = mc² | art. 03 |
| Energía en reposo | 1 kg = 8,99 × 10¹⁶ J = 21,5 megatones de TNT | art. 03 |
| Pérdida de masa del Sol | L/c² = 4,26 × 10⁹ kg/s; 0,031 % en 4 600 Ma | art. 03 |
| Ritmo gravitatorio | (GM/c²)(1/R − 1/r) = +45,72 µs/día para el GPS | art. 04 |
| Ritmo cinemático | −v²/2c² = −7,21 µs/día con v = 3 874 m/s | art. 04 |
| Saldo del GPS | +38,51 µs/día = 11,54 km/día de deriva | art. 04 |
| Altura de compensación | r = 1,5 R, es decir 3 186 km de altura | art. 04, ej. 2 |
| Conversión reloj → posición | 1 ns = 30 cm; 5 m de precisión exigen 16,7 ns | art. 04 |
| Constantes del módulo | GM = 3,986 × 10¹⁴ m³/s²; R = 6 371 km; r(GPS) = 26 561 km | art. 04 |
Fin del módulo I.1 · lo que ya tienes y lo que falta. Con esto sabes por qué las velocidades no se suman, por qué un reloj en movimiento marcha lento y cuánto, por qué «a la vez» dejó de ser una palabra absoluta, y qué queda en pie cuando cae: el intervalo, la causalidad y la equivalencia entre masa y energía. Sabes además calcular uno de los dos números que sostienen el GPS. Lo que falta es el otro, y es el grande: los +45,7 µs que pone la gravedad, que aquí has usado como dato prestado. Explicarlos exige cambiar de teoría, porque la relatividad especial no tiene nada que decir sobre la gravedad. El módulo I.2, «Caer es no sentir nada», construye el principio de equivalencia —que un laboratorio en caída libre es indistinguible de uno flotando en el vacío— y con él se puede por fin deducir el corrimiento al rojo gravitatorio, entender por qué la ISS «flota» con el 88 % de la gravedad terrestre debajo, y cerrar la cuenta de los 38,5 microsegundos con los dos sumandos calculados desde cero.