Lanza una pelota hacia arriba a 5,00 m/s. Vuelve a tu mano 1,02 segundos después, tras subir 1,27 metros, y durante ese vuelo ha envejecido 47 attosegundos más que si se hubiera quedado quieta en tu mano. Cuarenta y siete trillonésimas de segundo: eso es todo lo que la gravedad hizo. La pelota no fue empujada por ninguna fuerza — recorrió, entre todas las trayectorias posibles, la que hace máximo su propio tiempo. La gravedad no tira de las cosas: les cambia el reloj, y las cosas van a donde el reloj corre más.
Una fuerza que se puede apagar no es una fuerza
El artículo 01 dejó un problema serio. Si dentro de una cabina en caída libre la gravedad desaparece por completo —la báscula marca cero, las llaves flotan, todo ocurre como en el vacío profundo—, entonces la gravedad no puede ser una fuerza como las demás. Ninguna otra se comporta así. Mete un imán en un ascensor y déjalo caer: el imán sigue atrayendo los clavos exactamente igual, porque la fuerza electromagnética depende de las cargas y no del sistema de referencia desde el que se mire. La gravedad, en cambio, se apaga entera con sólo elegir bien el punto de vista.
En la mecánica de Newton hay un nombre para las cosas que aparecen y desaparecen al cambiar de sistema de referencia: fuerza ficticia. La centrífuga que te aplasta contra la puerta en una curva, la de Coriolis que desvía los huracanes. No son fuerzas: son la inercia vista desde un sistema que acelera. La conclusión que Einstein sacó del principio de equivalencia es incómoda y correcta: la gravedad es de esa familia. Lo que no es ficticio es el hecho de que no exista ningún sistema de referencia en el que se apague en todas partes a la vez, y eso obliga a cambiar de geometría, no de fuerzas.
Dicho de la forma que se puede medir: en relatividad general, quien cae libremente no está acelerado —su acelerómetro marca cero— y quien está sentado en una silla sí lo está, con 9,8 m/s² hacia arriba, para siempre, sin llegar nunca a ninguna parte. La silla no te sostiene contra una fuerza: te desvía continuamente de tu movimiento natural. Lo natural es caer.
Lo natural es la línea recta, y aquí no hay rectas
Si nada empuja a la pelota, ¿por qué no sigue recta? Porque sí lo hace: sigue la línea más recta que existe en un espacio-tiempo curvo, que es lo que se llama una geodésica. La analogía honesta no es la sábana elástica —a eso vamos— sino un avión sobre la Tierra. El camino más corto de Madrid a Tokio mide 10 762 km y sube hasta los 68° de latitud norte, sobre Siberia; la ruta que uno trazaría con una regla sobre un mapa de Mercator, manteniendo el rumbo constante, mide 12 556 km, un 17 % más. El piloto que va por Siberia no ha girado hacia el norte: ha ido derecho sobre una superficie curva, y quien mire su trayectoria en un mapa plano concluirá que algo tira de él. La curvatura no es una fuerza: es una propiedad del suelo por el que va.
Y la definición precisa de «lo más recta posible» en el espacio-tiempo tiene una forma que ya conoces del módulo I.1: entre dos sucesos, la trayectoria libre es la que hace máximo el tiempo propio. Es el principio de envejecimiento máximo, y no es una regla nueva: es la misma que, en ausencia de gravedad, produce el movimiento rectilíneo y uniforme. Añádele que los relojes de arriba y los de abajo no corren igual y aparece la caída.
Problema. Un reloj situado a una altura h sobre otro corre más deprisa en la proporción gh/c². Calcula cuánto se desfasan el reloj de tu cabeza y el de tus pies, separados 1,70 m, y cuánto suman en una vida de 80 años. ¿A qué altura habría que subir para que el efecto fuera del 100 %?
Solución. Con g = 9,81 m/s² y c² = 8,988 × 10¹⁶ m²/s²:
En los 2,52 × 10⁹ segundos que tienen 80 años, eso da 468 nanosegundos. Y la altura a la que el cociente valdría 1 es h = c²/g = 9,16 × 10¹⁵ m, o sea, 0,97 años luz.
Resultado. Tu cabeza ha vivido medio microsegundo más que tus pies, y no es una forma de hablar: son dos relojes reales marchando a ritmos distintos, y la diferencia se mide desde 2010 (artículo 03). Pero el número que de verdad explica algo es el otro. 0,97 años luz es la escala sobre la que el ritmo del tiempo cambiaría de forma apreciable, y por eso nadie notó nunca nada: el efecto es de una parte en cinco mil billones por cada metro que subes. La gravedad terrestre entera es la consecuencia de un desajuste de esa magnitud. Que algo tan pequeño baste da la medida de lo grande que es c² como factor de conversión.
Por qué caer es ir a donde el tiempo corre más
Con eso ya se puede montar la explicación completa de por qué cae una piedra, y no hace falta ni una derivada. La pelota que lanzas tiene que salir de tu mano y volver a ella 1,02 segundos más tarde. Entre todas las formas de emplear ese segundo, elige la que le deja marcar más tiempo propio. Y tiene dos efectos tirando en sentidos opuestos:
- Subir la beneficia. Arriba los relojes corren más deprisa, en gh/c². Cuanto más alto suba y más tiempo pase allí, más envejece.
- Correr la perjudica. Es la dilatación del tiempo del módulo I.1: moverse a velocidad v retrasa el reloj en v²/2c². Para subir hay que ir deprisa.
La trayectoria real es el compromiso exacto entre los dos, y sale ser la parábola de toda la vida. Los dos términos son de tamaño comparable —tienen que serlo, o no habría compromiso— y su diferencia se puede calcular.
Problema. Lanzas una pelota verticalmente a 5,00 m/s. ¿Cuánto tiempo propio gana por haber estado arriba, cuánto pierde por haberse movido, y cuál es el saldo frente a una pelota gemela que se queda quieta en tu mano durante el mismo intervalo?
Solución. El vuelo dura T = 2v₀/g = 1,02 s y la altura máxima es v₀²/2g = 1,27 m. Sumando gh/c² a lo largo de toda la trayectoria, la ganancia por altura es
y sumando −v²/2c², la pérdida por velocidad es exactamente la mitad:
El saldo es +47,3 attosegundos. (Un attosegundo es 10⁻¹⁸ s; en un attosegundo la luz recorre tres angstroms.)
Resultado. La pelota lanzada envejece más que la que se queda quieta — pero no por goleada: las dos contribuciones son del mismo orden, 94,6 contra 47,3 attosegundos, y esa competencia es lo que fija la forma de la trayectoria. Para subir más alto habría que salir más deprisa, y la pérdida por velocidad crecería más que la ganancia por altura; para subir menos, se desaprovecharía altura. La parábola de Galileo es el punto en que el saldo es máximo, y sale de una condición sobre relojes, no de una fuerza. Fíjate además en la escala: 47 attosegundos sobre 1,02 segundos es una parte en 2 × 10¹⁶ — y aun así basta para levantar la pelota metro y cuarto. Toda la mecánica celeste es este número.
La sábana elástica enseña la mitad que no importa. La bola de bolos sobre la cama elástica, con las canicas girando alrededor, es la imagen más repetida de la relatividad general y tiene dos defectos graves. El primero es circular: las canicas caen hacia el hoyo porque hay una gravedad real tirando hacia abajo, así que la ilustración usa lo que pretende explicar. El segundo es cuantitativo y es el que importa. La sábana representa la curvatura del espacio, y para todo lo que se mueve despacio el espacio no pinta casi nada: su contribución a la trayectoria pesa en proporción v²/c² frente a la del tiempo. Para un peatón a 1,4 m/s eso son 2 × 10⁻¹⁷; para un avión, 7 × 10⁻¹³; para la ISS, 6,5 × 10⁻¹⁰. Es decir: prácticamente toda la gravedad que has sentido en tu vida es curvatura del tiempo, que es justo lo que la sábana no dibuja. El único caso en que las dos mitades pesan igual es v = c — y ahí el término espacial vale 1, lo que duplica exactamente la desviación de la luz. Ese factor 2 es el asunto del artículo 04, y es también la razón por la que Einstein publicó en 1911 un número que resultó ser la mitad del correcto.
Ejercicios
Repite la cuenta de los attosegundos para una pelota lanzada a 10,0 m/s en lugar de 5,00. ¿Cuánto crece el efecto? ¿Y qué relación tiene con el tiempo de vuelo?
Solución
El saldo es v₀³/(3gc²) = 378 attosegundos, exactamente ocho veces más, porque va con el cubo de la velocidad inicial: 2³ = 8. El vuelo, en cambio, sólo dura el doble (2,04 s), y la altura máxima es cuatro veces mayor (5,10 m).
La segunda lección está en el cociente. Divide el efecto por el tiempo de vuelo: 378 as / 2,04 s = 1,85 × 10⁻¹⁶, y eso es exactamente g·h/c² con h = v₀²/6g = 1,70 m, es decir, un tercio de la altura máxima. El «ritmo extra de envejecimiento» de una trayectoria no depende de con qué fuerza lances: depende sólo de a qué altura efectiva pasas el rato, y esa altura efectiva es siempre el tercio del vértice. Que el número coincida con el 1,85 × 10⁻¹⁶ del ejemplo resuelto 1 es casualidad —allí el 1,70 m era la distancia de tus pies a tu cabeza—, pero es una casualidad útil: enseña que la única variable del asunto es la altura.
Un divulgador escribe: «según Einstein, la Tierra no atrae a la Luna: la curvatura del espacio la obliga a girar». Hay dos cosas mal en esa frase, una de vocabulario y otra de física. Encuéntralas.
Solución
La de vocabulario: no es «la curvatura del espacio» sino la del espacio-tiempo, y en el caso de la Luna la parte que manda es abrumadoramente la del tiempo. La Luna orbita a 1,02 km/s, así que el peso del término espacial es (v/c)² = 1,2 × 10⁻¹¹: once órdenes de magnitud por debajo. Quien lea «espacio» se llevará a casa la sábana elástica.
La de física es más sutil: nada «obliga». La curvatura no ejerce una acción sobre la Luna; la Luna sigue su geodésica, que es el movimiento libre por antonomasia. Decir que la curvatura la obliga a girar reintroduce por la puerta de atrás la fuerza que la teoría acaba de eliminar. La segunda lección es que el lenguaje aquí no es un adorno: cada vez que se dice «obliga», «tira» o «atrae», se está enseñando Newton con vocabulario de Einstein — y el lector tendrá que desaprenderlo entero cuando llegue a las ecuaciones.
Si estar quieto en una silla equivale a acelerar hacia arriba a 9,8 m/s² para siempre, ¿por qué no acabas viajando a la velocidad de la luz? Llevas ahí sentado varias horas.
Solución
Porque aceleras respecto a la caída libre local, y la caída libre local no es la misma en dos instantes distintos: el sistema inercial respecto al cual aceleras va cayendo contigo. Tu acelerómetro marca 9,8 m/s² sin parar y tu velocidad respecto a la silla sigue siendo cero, porque la silla acelera exactamente igual. Con una hora de aceleración a 9,8 m/s² una nave en el vacío alcanzaría 35 300 m/s; tú no te has movido, y ninguna de las dos afirmaciones es falsa.
La segunda lección es la que hace falta para no marearse con el resto de la teoría: en relatividad general, «acelerado» y «en movimiento» dejan de ser lo mismo. Acelerado es una propiedad local y absoluta —la mide un instrumento a bordo, y todo el mundo está de acuerdo con su lectura—, mientras que la velocidad sigue siendo relativa a alguien y, además, sólo tiene sentido comparar velocidades de cosas que estén en el mismo sitio. En cuanto se acepta eso, la pregunta del enunciado deja de ser una paradoja y pasa a ser una confusión entre dos palabras.