Un rayo de luz que pasa rozando el Sol se desvía 1,751 segundos de arco: el ángulo bajo el que se ve una moneda de un euro a 2,7 kilómetros. El principio de equivalencia, por sí solo, predice exactamente la mitad — y Einstein publicó esa mitad en 1911 creyendo que era la respuesta. Lo que le faltaba es lo mismo que hace que un ascensor en caída libre no sea perfecto: la gravedad no es igual en todos los puntos, y esa desigualdad tiene un nombre cotidiano. Son las mareas.
El principio de equivalencia es local: vale en un laboratorio pequeño y durante poco tiempo. Fuera de ahí, la gravedad delata su origen porque no apunta igual en dos sitios distintos, y el laboratorio en caída libre se estira a lo alto y se estrecha a lo ancho. El panel calcula ese resto a partir de GM y de la distancia: elige dónde caes, cómo de grande es la cabina y cuánto dura la caída.
Tierra, en la superficie — a 6371 km del centro.
Cabeza y pies se separan 308 µm en 10.0 s de caída, y las paredes laterales se acercan 154 µm: exactamente la mitad, siempre. Un micrómetro de deriva —lo que ve un interferómetro de mesa— aparece en 570 ms. Dentro de esta cabina la gravedad y la aceleración se confunden con un error de 1 parte en 1.59 × 10⁶, que no es cero: es 2L/r, el tamaño del laboratorio medido en distancias al centro.
La luz también cae, y se puede calcular cuánto
Vuelve una última vez a la cabina acelerada del artículo 01. Un rayo de luz entra por un lado, perpendicular al movimiento, y sale por el otro. Como la cabina acelera mientras la luz la cruza, el punto de salida está más bajo que el de entrada: dentro, el rayo parece caer. Y por el principio de equivalencia, si cae en la cabina acelerada tiene que caer también en el campo gravitatorio de la Tierra.
Problema. Una habitación de 3,00 m de ancho, en la superficie de la Tierra. Un rayo láser entra horizontal por una pared. ¿Cuánto ha caído al llegar a la pared de enfrente?
Solución. El rayo tarda t = 3,00/c = 10,0 nanosegundos en cruzar, y en ese tiempo cae ½gt²:
Son 0,491 femtómetros.
Resultado. La luz cae, en tres metros, algo más de la mitad del radio de un protón — que mide 0,84 fm. Ésa es la respuesta a por qué nadie había notado nunca que la luz pesa: no es que el efecto sea débil, es que la luz cruza la habitación demasiado deprisa para que le dé tiempo a caer. La única forma de acumular una desviación visible es alargar muchísimo el camino y aumentar muchísimo la g, y eso obliga a salir del laboratorio e ir a rozar una estrella. Por eso el primer test de la relatividad general tuvo que esperar a un eclipse.
Al hacer esa cuenta a lo largo de toda la trayectoria que pasa rozando el Sol, el principio de equivalencia da un ángulo de 0,876 segundos de arco. Es exactamente el mismo número que sale de tratar la luz como un proyectil newtoniano que pasa a velocidad c —lo calculó Johann von Soldner en 1801— y es el que Einstein publicó en 1911. El valor correcto es el doble:
El factor 2 que falta es justo lo que anticipaba el artículo 02: para algo que se mueve a v = c, la curvatura del espacio pesa tanto como la del tiempo, y la cabina del principio de equivalencia sólo ve la del tiempo. Einstein tardó cuatro años en encontrar la otra mitad, y tuvo una suerte que rara vez se cuenta: la expedición alemana que iba a medir el eclipse de 1914 en Crimea —con la predicción de 0,87″ en la maleta— fue detenida al estallar la Primera Guerra Mundial. Si hubiera medido, habría refutado la teoría antes de que estuviera terminada.
1919, contado con las barras de error
El 29 de mayo de 1919 dos expediciones británicas fotografiaron un eclipse total: una en Sobral, en el nordeste de Brasil, y otra en la isla de Príncipe, frente a Guinea. Volvieron con tres juegos de placas y tres resultados. La versión popular dice que confirmaron a Einstein. La versión con números es más interesante, y bastante más instructiva.
| Instrumento | Resultado | σ | De Einstein (1,751″) | De Newton (0,876″) |
|---|---|---|---|---|
| Sobral, refractor de 4 pulgadas | 1,98″ | 0,18″ | 1,3 σ | 6,2 σ |
| Príncipe, astrográfico | 1,61″ | 0,45″ | 0,3 σ | 1,7 σ |
| Sobral, astrográfico | 0,93″ | descartado | — | — |
Las cifras publicadas en 1920 llevaban error probable, la costumbre de la época, que es 0,6745 veces la desviación típica; las σ de la tabla están convertidas. Y a la vista de ellas hay tres cosas que decir, ninguna de las cuales cabe en un titular.
La primera: el tercer juego de placas, el astrográfico de Sobral, dio 0,93″, muy cerca del valor newtoniano, y fue descartado. La razón declarada era instrumental: el espejo celóstato de ese telescopio se deformó con el calor durante el eclipse y las imágenes salieron desenfocadas. Los astrónomos discutieron durante décadas si el descarte fue honesto o fue un caso de elegir los datos que confirman lo que uno espera; la reevaluación moderna de las placas —remedidas en 1979 con máquinas de las que Eddington no disponía— apoya el descarte por motivos técnicos. Pero el descarte se decidió antes de esa reevaluación, y la distinción importa.
La segunda: el juego de Príncipe, solo, no distinguía nada. Está a 0,3 σ de Einstein, sí, pero a sólo 1,7 σ de Newton, y con 1,7 σ no se descarta una hipótesis en ninguna disciplina seria. El resultado fuerte era el refractor de 4 pulgadas de Sobral, con 6,2 σ de separación del valor newtoniano.
Y la tercera: combinando los dos juegos aceptados, la media ponderada por sus errores es 1,93 ± 0,17 segundos de arco. Eso son 1,1 σ por encima de Einstein —compatible— y 6,4 σ por encima de Newton —incompatible—. La conclusión de 1919 era, por tanto, correcta y robusta una vez aceptado el descarte. Lo que no era es lo que se contó: una medida limpia y decisiva. Fue una medida difícil, en el límite de lo que permitía la instrumentación, con una decisión de análisis defendible pero discutible en el centro.
«Eddington demostró a Einstein en 1919». Demostrarlo lo demostró el siglo siguiente, y por un margen que no admite conversación. En 2003 la sonda Cassini midió el retardo de sus señales de radio al pasar cerca del Sol y acotó el parámetro γ —el que controla cuánta curvatura espacial produce una masa, y que vale exactamente 1 en relatividad general— a . Traducido a la deflexión: los 1,751″ del limbo solar están medidos con una incertidumbre de 40 microsegundos de arco, unas 4 100 veces mejor que la media de 1919. La interferometría de muy larga base hace lo mismo con cuásares cada vez que el Sol pasa cerca de ellos, y de paso mide la deflexión de Júpiter, que es de 16,3 milisegundos de arco. Nada de esto quita mérito a 1919 — lo pone en su sitio: fue el primer indicio, y fue suficiente para cambiar de teoría, que es todo lo que se le puede pedir a un primer indicio. Convertirlo en «la prueba definitiva» es lo que hace que un lector se sorprenda al descubrir que había tres juegos de placas y uno se tiró.
La grieta: el ascensor sólo vale de puertas adentro
Queda por explicar de dónde salía el factor 2, y la respuesta es la misma que la del panel de arriba. El principio de equivalencia es local: vale en una región lo bastante pequeña. Fuera de ella, la gravedad no apunta en la misma dirección ni tiene el mismo valor en dos puntos distintos, y esa diferencia no se puede eliminar cambiando de sistema de referencia. Es lo único que sobrevive a la caída libre.
Suelta dos bolas separadas horizontalmente dentro de un ascensor en caída libre. Las dos caen hacia el centro de la Tierra, que no está infinitamente lejos, así que sus trayectorias convergen: en el sistema del ascensor las dos bolas se acercan. Suéltalas una encima de otra y ocurre lo contrario: la de abajo está más cerca de la Tierra, cae con más aceleración y las dos se separan. El laboratorio se estira a lo largo y se estrecha a lo ancho, y a eso se le llama fuerza de marea. Las cuentas son las que calcula el panel:
la segunda exactamente la mitad de la primera y de signo contrario. Fíjate en el exponente: la gravedad va con 1/r² y la marea con 1/r³. Ésa es la diferencia entre las dos y la fuente de casi todos los malentendidos sobre el asunto.
Problema. Un ascensor de 2,00 m de altura cae libremente cerca de la superficie de la Tierra. ¿Cuánto se separan el techo y el suelo en 10 segundos? ¿Con qué precisión relativa vale ahí dentro el principio de equivalencia?
Solución. El estiramiento es Δa = 2GM·L/r³ = 2 × 3,986 × 10¹⁴ × 2,00/(6,371 × 10⁶)³ = 6,17 × 10⁻⁶ m/s². En 10 s eso acumula ½Δa·t² = 0,31 milímetros; un micrómetro —lo que ve un interferómetro de mesa— aparece en 0,57 s. Y la precisión relativa sale de dividir por g:
Una parte en 1,59 millones.
Resultado. La cancelación es lo que hay que mirar: GM se va, y con él la masa del planeta y la constante de la gravitación. La calidad del ascensor de Einstein no depende de dónde estés sino sólo de 2L/r, el tamaño del laboratorio medido en distancias al centro que atrae. Eso convierte una idea filosófica en una especificación de ingeniería: si necesitas que el principio de equivalencia valga a una parte en mil millones, tu laboratorio no puede medir más de 3,2 milímetros. Y a la inversa: cualquier experimento en caída libre más grande que eso está midiendo curvatura, quiera o no.
Las mareas del mar son este mismo número
No es una analogía: es literalmente lo mismo. El agua de los océanos está en caída libre alrededor de la Luna igual que tú lo estarías en el ascensor, y lo que la deforma es el resto que la caída libre no cancela. La marea que la Luna produce sobre la superficie de la Tierra vale 1,10 × 10⁻⁶ m/s², y la del Sol, 5,05 × 10⁻⁷ m/s²: la Luna gana por un factor 2,18.
Y ahí está el mito que más veces se repite. El Sol tiene 27 millones de veces la masa de la Luna, así que su atracción sobre la Tierra es muchísimo mayor — unas 179 veces mayor. Pero está 389 veces más lejos, y la marea va con 1/r³: (1/389)³ = 1,7 × 10⁻⁸. Multiplicando, 27 × 10⁶ × 1,7 × 10⁻⁸ = 0,46, que es el inverso del 2,18 de arriba. La Luna manda en las mareas no porque tire más, sino porque su tirón es más desigual entre un lado y otro de la Tierra.
El mismo argumento desmonta la otra media verdad: «la Luna te levanta». Su atracción directa sobre ti vale 3,32 × 10⁻⁵ m/s², treinta veces más que la marea que produce — pero esa atracción directa no hace nada, porque la Tierra entera y tú caéis hacia la Luna con la misma aceleración. Sólo la diferencia mueve agua. Es el principio de equivalencia aplicado al Atlántico.
Lo que la marea es de verdad: curvatura
Reúne las tres piezas. La gravedad se puede apagar entera en un punto eligiendo bien el sistema de referencia (artículo 01). Lo que queda cuando la apagas es una deformación relativa entre partículas vecinas, que crece con el tamaño del laboratorio (este artículo). Y esa deformación no se puede eliminar de ninguna manera, porque no depende del observador. En relatividad general eso tiene un nombre: es la curvatura del espacio-tiempo, y la separación progresiva de dos objetos en caída libre se llama desviación geodésica. La marea no es un efecto secundario de la gravedad: es la gravedad, en la única forma que sobrevive al principio de equivalencia.
Se puede incluso ponerle una escala. Midiendo la marea a la altura de tus pies se obtiene un radio de curvatura del espacio-tiempo de 1,71 × 10¹¹ metros, es decir, 1,14 veces la distancia de la Tierra al Sol. Ése es el tamaño sobre el que el espacio-tiempo a tu alrededor se aparta de ser plano — y por eso una habitación, o una ciudad, o el planeta entero parecen euclídeos.
Ejercicios
Calcula la deflexión de la luz que pasa rozando Júpiter, con GM = 1,267 × 10¹⁷ m³/s² y R = 71 492 km. ¿Es medible? ¿Y qué comparación con el Sol explica el resultado sin hacer la cuenta entera?
Solución
Δθ = 4GM/(Rc²) = 7,89 × 10⁻⁸ rad = 16,3 milisegundos de arco, 107 veces menos que el Sol. Es perfectamente medible: la interferometría de muy larga base tiene resolución de microsegundos de arco, y en 2002 se usó exactamente esta deflexión —midiendo un cuásar mientras Júpiter pasaba por delante— para acotar de nuevo la teoría.
El atajo es que la deflexión depende sólo de GM/R, así que basta con comparar ese cociente: el Sol tiene 1 000 veces la masa de Júpiter pero 10 veces su radio, luego 1 000/10 = 100 veces más deflexión, y el 107 exacto sale de afinar los dos cocientes. La segunda lección es estructural: lo que curva la luz no es la masa sino la compacidad, GM/Rc². Por eso una enana blanca del tamaño de la Tierra desvía la luz mucho más que el Sol pese a tener su misma masa, y por eso los objetos interesantes de este dominio no son los pesados sino los densos.
La Estación Espacial mide más de cien metros. Calcula la marea que sufre un experimento situado a 50 m de su centro de masas, en la dirección radial. ¿Justifica el nombre «microgravedad»?
Solución
A r = 6 791 km el gradiente vale 2GM/r³ = 2,55 × 10⁻⁶ s⁻², y a 50 m del centro de masas eso da 2,55 × 10⁻⁶ × 50 = 1,27 × 10⁻⁴ m/s², o sea, 1,3 × 10⁻⁵ g. Trece microgravedades: el nombre está justificado, y esta contribución es además irreducible — no se puede apagar apuntando mejor la estación ni pidiendo a la tripulación que no se mueva.
La segunda lección es de diseño experimental. Como la marea crece linealmente con la distancia al centro de masas, los experimentos que más exigen —los de física de fluidos y cristalización— se colocan lo más cerca posible de él, y la NASA publica mapas de calidad de microgravedad módulo por módulo por esta razón. Un invariante de la relatividad general acaba convertido en una restricción de fontanería.
¿Por qué hay dos pleamares al día y no una? Si la Luna tira del agua hacia ella, debería haber una sola protuberancia, la del lado que mira a la Luna.
Solución
Porque lo que deforma el océano no es el tirón sino la diferencia de tirón, y esa diferencia apunta hacia afuera en los dos extremos. En el lado que mira a la Luna el agua está más cerca y es atraída con más fuerza que el centro de la Tierra, así que se adelanta; en el lado opuesto está más lejos y es atraída con menos fuerza que el centro, así que se queda atrás. Visto desde la Tierra, que cae con la aceleración del centro, las dos aguas se alejan. Con los números del artículo, el estiramiento a lo largo del eje Tierra-Luna vale 1,10 × 10⁻⁶ m/s² en cada extremo.
La segunda lección: si la explicación correcta fuera «la Luna tira del agua», la Tierra debería girar bajo una protuberancia y habría una pleamar cada 24 h 50 min. Hay dos, cada 12 h 25 min, y esa observación —que cualquiera puede hacer en un puerto— basta por sí sola para descartar la versión popular. Es un ejemplo poco común: un argumento de relatividad general comprobable con un horario de mareas.
Todo lo que este módulo deja utilizable, con dónde se dedujo cada cosa. Pensado para resolver un problema típico sin volver a leer nada.
| Qué | Fórmula o valor | Dónde |
|---|---|---|
| Principio de equivalencia | Ningún experimento local distingue gravedad de aceleración uniforme | art. 01 |
| Lo que mide un acelerómetro | La aceleración propia A del suelo, no g; en caída libre marca 0 | art. 01 |
| Constantes del módulo | GM⊕ = 3,986 × 10¹⁴ m³/s²; R⊕ = 6 371 km; g = 9,81 m/s²; c² = 8,988 × 10¹⁶ m²/s² | art. 01 |
| Gravedad a una altura h | g = GM/(R+h)²; 8,64 m/s² a 420 km, el 88,0 % de la de superficie | art. 01 |
| Órbita circular | v = √(GM/r); 7 661 m/s y 92,8 min a 420 km; 42 164 km de radio la geoestacionaria | art. 01 |
| Igualdad de las dos masas | η < 1,5 × 10⁻¹⁵ (MICROSCOPE 2022); 0,15 pm de separación en 100 m de caída | art. 01 |
| Ritmo de un reloj en altura | Δν/ν = gh/c²; 1,85 × 10⁻¹⁶ por cada 1,70 m; 468 ns en 80 años | art. 02 |
| Escala del efecto temporal | c²/g = 9,16 × 10¹⁵ m = 0,97 años luz | art. 02 |
| Trayectoria libre | La que hace máximo el tiempo propio; +47,3 as para una pelota a 5,00 m/s | art. 02 |
| Peso de la curvatura espacial | (v/c)²; 2 × 10⁻¹⁷ para un peatón, 6,5 × 10⁻¹⁰ para la ISS, 1 para la luz | art. 02 |
| Corrimiento al rojo, campo débil | Δν/ν = ΔΦ/c² = (GM/c²)(1/R − 1/r); usa gh/c² sólo dentro de la atmósfera | art. 03 |
| Pound-Rebka (1959-60) | 2,46 × 10⁻¹⁵ en 22,5 m; 4,92 × 10⁻¹⁵ ida y vuelta; cociente 1,05 ± 0,10 | art. 03 |
| Anchura natural del Fe-57 | 3,24 × 10⁻¹³ relativa; el corrimiento es 1/132 de ella | art. 03 |
| Relojes ópticos (NIST 2010) | 33 cm → 3,60 × 10⁻¹⁷ previsto, (4,1 ± 1,6) × 10⁻¹⁷ medido | art. 03 |
| El GPS, cerrado | +45,72 (gravedad) − 7,21 (velocidad) = +38,51 µs/día | art. 03 |
| Profundidad del pozo | GM/Rc²: 7 × 10⁻¹⁰ Tierra · 2,12 × 10⁻⁶ Sol · 2,69 × 10⁻⁴ Sirio B · 0,17 estrella de neutrones | art. 03 |
| Corrimiento al rojo solar | 2,12 × 10⁻⁶ = 636 m/s = 1,06 pm sobre una línea de 500 nm | art. 03 |
| Sirio B | z medido 80,65 ± 0,77 km/s → R = 5 582 km y 2,8 t/cm³ de densidad media | art. 03 |
| Corrimiento al rojo exacto | z = 1/√(1 − 2GM/Rc²) − 1; la fórmula lineal se queda un 27 % corta a GM/Rc² = 0,17 | art. 03, ej. 3 |
| Deflexión de la luz | Δθ = 4GM/(Rc²) = 1,751″ en el limbo solar; 16,3 mas en el de Júpiter | art. 04 |
| La mitad del principio de equivalencia | 0,876″; la otra mitad es curvatura espacial y sólo cuenta a v ≈ c | art. 04 |
| Eddington 1919 | Sobral 1,98 ± 0,18″ · Príncipe 1,61 ± 0,45″ · media 1,93 ± 0,17″ (6,4 σ de Newton) | art. 04 |
| Precisión moderna | Cassini 2003: γ − 1 = (2,1 ± 2,3) × 10⁻⁵, 4 100 veces mejor que 1919 | art. 04 |
| Marea: estiramiento | Δa∥ = 2GM·L/r³ = 6,17 × 10⁻⁶ m/s² sobre 2,00 m en la superficie terrestre | art. 04 |
| Marea: convergencia lateral | Δa⊥ = GM·L/r³, exactamente la mitad del estiramiento y de signo contrario | art. 04 |
| Calidad del ascensor | Δa/g = 2L/r; 1 parte en 1,59 × 10⁶ para 2,00 m; L = r·precisión/2 | art. 04 |
| Marea de la Luna y del Sol | 1,10 × 10⁻⁶ y 5,05 × 10⁻⁷ m/s²; cociente 2,18 porque la marea va con 1/r³ | art. 04 |
| Marea en la ISS | 2GM/r³ = 2,55 × 10⁻⁶ s⁻²; 1,3 × 10⁻⁵ g a 50 m del centro de masas | art. 04, ej. 2 |
| Radio de curvatura aquí | c/√(2GM/r³) = 1,71 × 10¹¹ m = 1,14 UA | art. 04 |
Fin del módulo I.2 · lo que ya tienes y lo que falta. Con esto sabes por qué en caída libre no se siente nada aunque haya el 88 % de la gravedad debajo, por qué eso obliga a dejar de tratar la gravedad como una fuerza, y qué la sustituye: unos relojes que corren a ritmos distintos según la altura, con una trayectoria libre que es la que maximiza el tiempo propio. Sabes calcular el corrimiento al rojo gravitatorio y has cerrado con él la cuenta de los 38,5 µs/día del GPS que el módulo I.1 dejó a medias. Y sabes dónde deja de valer el ascensor de Einstein: en 2L/r, la señal que no se puede borrar y que es la curvatura. Lo que falta es el otro extremo de la escala. Todas las fórmulas de este módulo llevan dentro el cociente GM/Rc² y todas son la primera aproximación de algo: valen 7 × 10⁻¹⁰ en la Tierra y 0,17 en una estrella de neutrones, y a 0,5 el corrimiento al rojo se hace infinito y las cuentas se rompen. El módulo I.3, «Agujeros negros: qué son y qué no son», va exactamente a ese valor: construye el radio de Schwarzschild —3 km para el Sol, 9 mm para la Tierra—, explica por qué el horizonte no es una pared y por qué un astronauta lo cruza sin notarlo si el agujero es lo bastante grande (a 10⁻⁴ g de marea en Sagitario A*, contra 10⁷ g en uno de diez masas solares), y desmonta de una vez la aspiradora cósmica: si el Sol colapsara ahora mismo, la Tierra seguiría en su órbita sin enterarse.