Sustituye el Sol por un agujero negro de exactamente 1 masa solar. La gravedad a 1 unidad astronómica valía 5,93 mm/s² antes del cambio y vale 5,93 mm/s² después. La Tierra sigue a 29,78 km/s, en la misma elipse, con el mismo año de 365 días y con las mismas estaciones. No pasa nada — nada gravitatorio, se entiende: en ocho minutos y veinte segundos se hace de noche para siempre, y ésa sí es una catástrofe. Pero la órbita no se entera, y saber por qué es entender de una vez qué hace y qué no hace un agujero negro.
Fuera, la gravedad sólo sabe la masa
El motivo de que no pase nada es más viejo que la relatividad. Newton demostró que una esfera de masa M atrae a los cuerpos exteriores exactamente igual que si toda su masa estuviera concentrada en su centro, sea cual sea el radio de la esfera y como esté repartida la masa por dentro. Comprimir el Sol de 695 700 kilómetros a 2953 metros no cambia ni un dígito de GM, y GM es lo único que aparece en g = GM/r².
La relatividad general no lo estropea, sino que lo endurece. El teorema de Birkhoff, de 1923, dice que la única solución de las ecuaciones de Einstein en el vacío alrededor de una distribución de masa esféricamente simétrica es la métrica de Schwarzschild, y que sólo depende de M. La consecuencia es fuerte y a menudo sorprende: si el Sol colapsara de forma perfectamente esférica, ni siquiera emitiría ondas gravitacionales. Desde fuera, el campo sería el de siempre durante todo el proceso. La única señal del cambio sería la que va a la velocidad de la luz: se apagaría.
Problema. Haz la lista honesta. Si el Sol se convirtiera en un agujero negro de la misma masa: ¿cambia la gravedad a 1 UA? ¿La velocidad orbital? ¿La precesión del perihelio? ¿La marea que el Sol levanta en los océanos? ¿Y la temperatura de la Tierra?
Solución. Las cuatro primeras dependen sólo de GM y de r, así que ninguna cambia. La gravedad, g = GM/r² = 1,327 × 10²⁰/(1,496 × 10¹¹)² = 5,93 × 10⁻³ m/s². La velocidad de la órbita circular, = 29,78 km/s, que reproduce el año hasta el 0,002 %. La precesión relativista del perihelio terrestre, 6πGM/(c²a(1 − e²)), sigue valiendo 3,84 segundos de arco por siglo — la misma fórmula que da los 42,98″/siglo de Mercurio. Y la marea solar, 2GM·R/r³, sigue en 5,05 × 10⁻⁷ m/s², como en I.2.
La quinta sí cambia, y del todo. La Tierra está hoy a = 254 K con la constante solar S₀ = 1361 W/m² y un albedo de 0,306. Sin Sol sólo queda el flujo geotérmico, 0,087 W/m², y el equilibrio cae a 35,2 K.
Resultado. −238 °C: por debajo del punto de ebullición del nitrógeno, que se licúa a −196 °C. La atmósfera entera caería al suelo en forma de nieve en cuestión de semanas. La lección es que el desastre es fotométrico, no gravitatorio, y que la intuición popular tiene invertidas las dos cosas: cree que un agujero negro tira más —no tira más— y no sospecha que lo verdaderamente letal de perder el Sol sea quedarse a oscuras. Aquí conviene además una nota de honestidad: el Sol no puede convertirse en agujero negro. Con sus 1,989 × 10³⁰ kg acabará como enana blanca; hace falta partir de unas veinte masas solares para llegar a horizonte.
Caer dentro es dificilísimo, y hay un número que lo dice
La imagen del desagüe falla por una razón geométrica, no retórica. Para caer en un agujero negro no basta con acercarse: hay que llegar apuntando. Un cuerpo que pasa cerca con algo de momento angular describe una órbita y sale por el otro lado, exactamente igual que un cometa que rodea el Sol y se marcha. Lo que decide el destino es el parámetro de impacto, la distancia a la que el cuerpo pasaría del centro si no hubiera gravedad.
Para un cuerpo lento —lento comparado con c— la captura exige
y para la luz, que no tiene ese lujo, el umbral es . Los dos números salen de la métrica de Schwarzschild y los dos son ridículamente pequeños.
Problema. El Sol acaba de convertirse en agujero negro. ¿A qué distancia del centro tendría que pasar la Tierra, a sus 29,78 km/s, para ser tragada? Compárala con el radio real de su órbita.
Solución. Con rs = 2953 m y v = 2,978 × 10⁴ m/s:
Son 59 460 kilómetros: 9,33 radios terrestres, la sexta parte de la distancia a la Luna. Y la Tierra está a 1 UA = 1,496 × 10¹¹ m, que son 2516 veces más lejos — o, en las unidades naturales del problema, 5,07 × 10⁷ radios de Schwarzschild.
Resultado. Habría que reducir el parámetro de impacto de la Tierra por un factor 2516 para que cayera, y como la sección eficaz va con el cuadrado, la probabilidad de acertar por azar es del orden de 1,6 × 10⁻⁷. La segunda lección está en la fórmula: el umbral crece con c/v∞, es decir, cuanto más despacio va un cuerpo, más fácil le resulta caer. A 550 km/s —la velocidad de escape de la Galaxia— el umbral baja a 3219 km. Es exactamente al revés de lo que sugiere la palabra «aspiradora»: lo que se traga un agujero negro no es lo que pasa cerca y deprisa, sino lo que llega despacio y sin momento angular, y en el universo real eso sólo ocurre cuando algo le ha robado antes ese momento angular.
Ese ladrón tiene nombre: el disco de acrecimiento. El gas que rodea a un agujero negro no cae en línea recta, sino que se aplana en un disco donde la fricción y las inestabilidades magnéticas transportan momento angular hacia afuera, permitiendo que una fracción del material se hunda hacia dentro. Es un proceso lento, y lo dice el brillo: el límite de Eddington de Sagitario A* —el máximo que puede radiar sin que la presión de la radiación expulse el material que lo alimenta— vale 5,4 × 10³⁷ W, y lo que se mide de verdad son unos 10²⁹ W. Está funcionando al 1,9 × 10⁻⁹ de su capacidad: 261 luminosidades solares para un objeto de cuatro millones de masas solares. El agujero negro del centro de nuestra galaxia es, en términos de apetito, uno de los objetos más apáticos del cielo.
Dónde sí cambian las cosas
Todo lo anterior no significa que la relatividad no haga nada; significa que lo hace donde r es comparable a rs, y no antes. Hay dos radios que conviene tener en la cabeza porque marcan la frontera:
| Radio | Valor | Qué ocurre ahí | Para el Sol |
|---|---|---|---|
| Horizonte | rs = 2GM/c² | Ninguna señal vuelve al exterior | 2953 m |
| esfera de fotones | 1,5 rs | La luz puede orbitar en círculo, inestablemente | 4,43 km |
| Captura de la luz | 2,598 rs | Parámetro de impacto crítico: define la sombra | 7,67 km |
| última órbita circular estable | 3 rs | Por dentro no hay órbitas circulares estables | 8,86 km |
| Órbita de la Tierra | 5,07 × 10⁷ rs | Newton, con correcciones de 10⁻⁸ | 1 UA |
La última fila es la que zanja el asunto. Todos los radios interesantes del Sol-agujero negro caben dentro de los primeros nueve kilómetros, y hoy están enterrados a 236 000 radios de profundidad dentro del Sol de verdad. Convertir el Sol en agujero negro no acerca el peligro: lo deja donde estaba, y encima le quita la luz.
La Galaxia tampoco se está cayendo en Sagitario A*
El mismo malentendido, un factor 10⁸ más grande, produce la idea de que la Vía Láctea «gira alrededor» de su agujero negro central como el agua alrededor de un desagüe. Pon los números. Sagitario A* tiene 4,297 × 10⁶ masas solares y está a 8277 pársecs del Sol, de modo que la aceleración con la que tira de nosotros es GM/R₀² = 8,74 × 10⁻¹⁵ m/s². La aceleración centrípeta real del Sol en su órbita galáctica, con 234 km/s, es v²/R₀ = 2,14 × 10⁻¹⁰ m/s².
Sagitario A* aporta el 0,0041 %. El 99,996 % restante lo ponen los 1,05 × 10¹¹ masas solares de estrellas, gas y materia oscura encerrados dentro de la órbita solar. El agujero negro central manda sólo dentro de su radio de influencia, GM/σ² con σ ≈ 100 km/s de dispersión de velocidades, que son 1,85 pársecs: seis años luz, apenas más que la distancia de aquí a Barnard. Fuera de esa burbuja, la Galaxia no sabe que existe.
«Un agujero negro es una aspiradora cósmica». No aspira nada. Su campo exterior es el mismo que el de cualquier masa igual —el teorema de Birkhoff lo garantiza— y su horizonte es un blanco absurdamente pequeño: la Tierra tendría que afinar la puntería por un factor 2516 para caer en el Sol convertido en agujero negro. Los tres agujeros negros estelares mejor medidos que tenemos cerca lo ilustran sin discusión. Gaia BH1, a 1566 años luz, tira de la Tierra con 9,8 × 10⁻¹⁶ de la fuerza con que lo hace el Sol; Gaia BH3, con 32,7 masas solares a 1924 años luz, con 2,2 × 10⁻¹⁵; Cygnus X-1, a 7241 años luz, con 1,0 × 10⁻¹⁶. Para calibrarlo: Próxima Centauri, que es una enana roja de 0,122 masas solares y no da miedo a nadie, tira 1700 veces más que Gaia BH1. Un agujero negro es peligroso exactamente en la misma medida en que lo sería una estrella de su misma masa puesta en el mismo sitio — es decir, sólo si te acercas —, y con una diferencia a favor: no te achicharra antes de llegar.
Ejercicios
Si el Sol se convirtiera en agujero negro, la mancha oscura que dejaría en el cielo tendría un diámetro angular de 2 × 2,598 rs/d. Calcúlalo y compáralo con el medio grado que ocupa el Sol de verdad. ¿Qué dice esa comparación sobre la palabra «negro»?
Solución
El diámetro de la sombra es 2 × 2,598 × 2953 = 15 346 m, y a 1,496 × 10¹¹ m eso da un ángulo de 1,03 × 10⁻⁷ rad = 21,2 milisegundos de arco. El Sol de verdad ocupa 0,533 grados, o sea 1919 segundos de arco: la sombra es 90 700 veces más pequeña en diámetro, y 8 × 10⁹ veces más pequeña en área.
La segunda lección es sobre qué se ve y qué no. Veintiún milisegundos de arco están muy por debajo de la resolución del ojo (unos 60 segundos de arco) y también de la del Hubble (0,058″), así que el Sol-agujero negro no sería «una mancha negra en el cielo»: sería absolutamente invisible, un punto sin luz entre las estrellas. La palabra «negro» sugiere algo que se ve y es oscuro. Lo correcto es que no se ve nada en absoluto — y de ahí que todo lo que sabemos de estos objetos lo sepamos por lo que hacen a lo que tienen alrededor, que es el asunto del artículo 03.
Un asteroide llega desde muy lejos hacia un agujero negro de 10 masas solares con una velocidad de 30 km/s. ¿Cuál es su parámetro de impacto de captura? ¿Y si llegara a 3000 km/s? Explica por qué el resultado justifica que los agujeros negros crezcan sobre todo por fusión con otros agujeros negros y no engullendo estrellas sueltas.
Solución
Con rs = 29,5 km, bcap = 2rs·c/v = 2 × 2,953 × 10⁴ × (2,998 × 10⁸/3,0 × 10⁴) = 5,90 × 10⁵ km, casi 600 000 km. A 3000 km/s baja cien veces, a 5900 km. Suena grande comparado con los 29,5 km del horizonte, pero es minúsculo comparado con las distancias entre estrellas: el vecino más cercano al Sol está a 4 × 10¹³ km.
La segunda lección es de estadística, no de gravedad. La sección eficaz de captura es π·b²cap ≈ 10¹² km², frente a la sección de un volumen típico entre estrellas, del orden de 10²⁷ km²: un factor 4 × 10⁻¹⁶ por encuentro. Un agujero negro estelar suelto puede vagar por la Galaxia durante toda su historia sin tragarse absolutamente nada. Por eso los agujeros negros de masa estelar crecen poco, por eso los supermasivos necesitan gas ya desprovisto de momento angular —un disco— para engordar, y por eso los más de doscientos eventos del catálogo de LIGO-Virgo-KAGRA son fusiones de parejas ya ligadas, no capturas al vuelo.
Sagitario A* pesa 4,297 × 10⁶ masas solares y la masa galáctica encerrada dentro de la órbita del Sol es de 1,05 × 10¹¹ masas solares. Sin usar la aceleración, comprueba con esos dos números el 0,0041 % del texto. ¿Qué tiene de bueno hacerlo por este camino?
Solución
Como las dos aceleraciones se miden a la misma distancia R₀, el cociente GMSgr/R₀² dividido por GMenc/R₀² es simplemente MSgr/Menc = 4,297 × 10⁶/1,05 × 10¹¹ = 4,1 × 10⁻⁵, o sea el 0,0041 %. La misma cifra, sin tocar G, ni R₀, ni la velocidad de 234 km/s.
La segunda lección es metodológica y vale para todo el sitio: cuando dos cantidades se comparan en el mismo punto, todos los factores comunes se cancelan y el cociente sale con menos datos y menos incertidumbre. Aquí, además, el resultado deja de depender de R₀ —que se conoce con un 0,4 % de error— y pasa a depender sólo de un cociente de masas. Cuando un cálculo se puede plantear como un cociente, se plantea como un cociente: sale más limpio y falla menos.