Dos rayos caen a la vez en los extremos de un andén, separados 160 metros. Para el maquinista de un tren que pasa a 0,6c no caen a la vez: entre uno y otro transcurren 400 nanosegundos. Ninguno de los dos se equivoca, ninguno tiene un reloj mal ajustado y no hay forma de decidir quién «tiene razón». La palabra simultáneo, sin más, ha dejado de significar algo.
Un suceso no es una cosa
Para hablar de esto sin enredarse hace falta una palabra precisa. Un suceso es un punto del espacio-tiempo: un sitio y un instante, sin extensión ni duración. «El rayo cae en el extremo este del andén a las 12:00:00,000» es un suceso. «El tren» no lo es: el tren es una cosa que dura. La relatividad se escribe entera con sucesos porque son lo único sobre cuya existencia todos los observadores coinciden, aunque discrepen de las coordenadas que le ponen.
Y las coordenadas se traducen de un observador a otro con la transformación de Lorentz. Para un sistema que se mueve a velocidad v respecto a otro:
Todo el artículo está en el segundo término del paréntesis de la primera fórmula. Ese −vx/c² dice que el tiempo del otro depende de dónde ocurra el suceso. Galileo tenía t′ = t y punto; la novedad no es el factor γ, que sólo escala, sino ese término cruzado. Es el que rompe la simultaneidad.
Problema. Un tren de 200 m de longitud propia pasa por la estación a 0,6c. En el instante en que sus dos extremos coinciden con los dos extremos del andén, caen sendos rayos, simultáneos para el jefe de estación. ¿Qué mide el maquinista?
Solución. Con γ = 1,25 a 0,6c, el tren mide en el andén 200/1,25 = 160 m: los dos rayos caen separados Δx = 160 m y con Δt = 0. Aplicando la primera transformación a la diferencia entre los dos sucesos:
El resultado es −4,00 × 10⁻⁷ s, es decir, 400 ns, y el signo negativo dice cuál va primero: el rayo que cae en el extremo delantero, el que el tren tiene por delante, ocurre antes para el maquinista.
Resultado. 400 nanosegundos de desfase donde el jefe de estación mide cero. Fíjate en dónde está el número grande: 400 ns es el tiempo que la luz tarda en recorrer 120 metros, o sea, una fracción apreciable del propio tren. Éste no es un efecto escondido en la decimosexta cifra, como los del artículo 02, sino un desacuerdo del mismo tamaño que el sistema. Lo que lo hace invisible en la vida diaria no es que sea pequeño, sino que a 100 km/h el factor v/c² lo aplasta: los mismos 160 metros darían 4,9 × 10⁻¹⁴ s.
Lo que sí es absoluto
Si el tiempo entre dos sucesos depende del observador, y la distancia también, ¿queda algo firme? Sí, y es la respuesta cuantitativa al «todo es relativo» del artículo 01. La combinación
vale lo mismo para todos. Es el intervalo espacio-temporal, y hace en el espacio-tiempo el papel que hace el teorema de Pitágoras en el plano: dos personas que usen ejes girados discrepan sobre las componentes de un vector, pero coinciden en su longitud. Aquí igual, con un signo menos que lo cambia todo.
Para los dos rayos del ejemplo: en el andén, Δt = 0 y Δx = 160 m, así que s² = −25 600 m². En el tren, Δt′ = 400 ns y Δx′ = 200 m, y sale c²(4,00 × 10⁻⁷)² − 200² = 14 400 − 40 000 = −25 600 m². El mismo número, hasta la última cifra, calculado con datos completamente distintos. Eso es un invariante.
El signo del intervalo tiene además un significado físico brutal. Si s² es negativo, como aquí, los dos sucesos están tan separados en el espacio que ni un rayo de luz llega de uno a otro: la luz tardaría 534 ns en cruzar los 160 metros del andén y el desfase máximo entre observadores es de 400 ns. Están fuera del cono de luz el uno del otro, no pueden influirse, y por eso el universo puede permitirse que unos observadores vean antes uno y otros vean antes el otro sin que nada se rompa. Si s² fuera positivo —si una señal pudiera ir de un suceso al otro— el orden sería el mismo para todos, sin excepción. La relatividad relativiza la simultaneidad, no la causalidad.
El coche y el garaje, resuelto. Del ejercicio 3 del artículo 02: un coche de 4,40 m a 0,9c cabe en un garaje de 2,50 m visto desde el garaje (mide 1,92 m) y no cabe visto desde el coche (el garaje mide 1,09 m). La contradicción se disuelve en cuanto se traduce «cabe» a sucesos. «Cabe» significa que a la vez ocurren dos cosas: el morro aún no ha salido por la puerta del fondo y la cola ya ha entrado por la de delante. Son dos sucesos separados en el espacio, y ese «a la vez» es justamente lo que los dos observadores no comparten. Para el garaje son simultáneos; para el coche, el morro sale por el fondo bastante antes de que la cola entre por delante. Ninguno miente, y ninguna puerta se rompe: se ha usado una palabra —«a la vez»— sin darse cuenta de que ya no era absoluta.
El mismo truco, con la energía
Hay un segundo invariante de la misma familia, y de él sale la ecuación más citada de la física. Igual que el intervalo combina tiempo y espacio en algo que no depende del observador, la energía y el momento de un cuerpo se combinan en
donde m es la masa en reposo. Cada observador mide una energía E y un momento p distintos, y todos obtienen el mismo m. Y basta poner p = 0 —el cuerpo quieto— para leer el caso particular famoso: la energía en reposo, E₀ = mc². No es una fórmula sobre bombas: es la afirmación de que la masa es una forma de energía, y de que el factor de cambio entre las dos unidades es enorme.
Problema. El Sol radia 3,828 × 10²⁶ W. ¿Cuánta masa pierde por segundo? ¿Y cuánta ha perdido en sus 4 600 millones de años?
Solución. De E = mc² se despeja la masa que corresponde a esa energía cada segundo:
Son 4,26 millones de toneladas por segundo. En 4 600 millones de años (1,45 × 10¹⁷ s) eso da 6,18 × 10²⁶ kg.
Resultado. El Sol se aligera en 4,26 millones de toneladas cada segundo — y en toda su vida ha gastado así el 0,031 % de su masa, unas 103 veces la masa de la Tierra. Las dos cifras juntas son la lección: un ritmo que suena catastrófico y un balance que es calderilla. Cuando alguien te dé un caudal impresionante, pregúntale siempre por el depósito. Y ojo con la interpretación: la masa que desaparece no es materia que se aniquila, sino energía de enlace nuclear que se libera al fusionar hidrógeno en helio, un proceso que convierte el 0,712 % de la masa que interviene.
Ejercicios
La bomba de Hiroshima liberó unos 63 TJ. ¿Cuánta masa se convirtió en energía? Compara el resultado con la masa total del dispositivo, unos 4 400 kg.
Solución
m = E/c² = 6,3 × 10¹³/8,988 × 10¹⁶ = 0,70 gramos: menos que una moneda de euro, frente a las 4,4 toneladas del artefacto. La segunda lección es la que hace falta para leer bien cualquier titular energético: el rendimiento de conversión fue del 0,000 016 %. No es que la fisión sea ineficiente en términos químicos —libera un veinte millones de veces más energía por kilo de uranio-235 que el TNT—, es que E = mc² marca un techo altísimo que ninguna tecnología conocida se acerca a tocar. La única reacción que convierte el 100 % es la aniquilación materia-antimateria.
Vuelve al ejemplo resuelto 1 y calcula el intervalo entre el nacimiento y la muerte de un muón que vive 2,197 µs de tiempo propio y recorre 15 km vistos desde el suelo, en 50,29 µs. ¿Qué signo tiene? ¿Qué significa?
Solución
Desde el suelo: s² = c²(50,29 µs)² − (15 000 m)² = 2,273 × 10⁸ − 2,250 × 10⁸ = +2,3 × 10⁶ m², positivo. Es un intervalo de tipo temporal, y su raíz cuadrada dividida por c da 5,02 µs, que es exactamente el tiempo propio del muón calculado en el artículo 02 por otro camino. Ahí está la segunda lección, y es la que reorganiza todo el módulo: el tiempo propio no es más que el intervalo, medido en segundos. La dilatación del tiempo, la contracción de longitudes y el tiempo propio no son tres fenómenos: son tres lecturas de un mismo invariante.
Un vecino afirma: «como la simultaneidad es relativa, con la nave adecuada yo podría ver el efecto antes que la causa». Desmóntalo con el criterio del intervalo, usando un ejemplo concreto: aprietas un interruptor y una bombilla se enciende a tres metros, 20 nanosegundos después.
Solución
La luz recorre 3 m en 10,0 ns, así que con 20 ns de retraso la señal llega con margen de sobra: s² = c²(20 ns)² − (3 m)² = 36,0 − 9,0 = +27 m², positivo. Y ése es siempre el caso cuando hay relación causal, porque ninguna causa puede actuar más deprisa que la luz: el intervalo entre causa y efecto nunca es negativo. Para intervalos no negativos, las transformaciones de Lorentz conservan el orden temporal sea cual sea la velocidad del observador: no existe la nave que invierta ese orden. La segunda lección es dónde está de verdad el candado: no en la simultaneidad, que sí es relativa, sino en el límite de velocidad. Si algo pudiera propagarse más deprisa que la luz, entonces sí habría observadores que verían el efecto antes que la causa — y por eso los físicos se toman tan en serio cualquier medida que parezca superar c.