Dificultad ●○○–●●●, con pistas pero sin soluciones cerradas. La brújula del módulo, y es el error que más veces se comete aquí: hay cuatro superficies distintas y no se pueden confundir — el horizonte r₊, el horizonte interior r₋, el límite estático rE(θ) y el ISCO; cinco, si se cuenta la esfera de fotones que sale en el problema 4. Antes de escribir nada, di de qué superficie estás hablando y qué la define, porque casi todas las paradojas de este tema son alguien usando el radio de una para razonar sobre otra. El segundo hábito, heredado del II.4 y reforzado aquí hasta el escándalo: r no es una distancia, y en el límite extremo dos superficies con el mismo r están infinitamente lejos. Y el tercero, que es nuevo y es el enemigo numérico de este módulo: el límite a → M degenera, y hay que mirar cómo en cada caso. Dos son indeterminaciones 0/0 —la e del ISCO extremo y el b del fotón prógrado extremo del problema 4—, y en ésas acercarse con la calculadora no vale: hay que hacer el álgebra. Las demás no lo son y engañan de otra manera: κ y TH tienden a cero limpiamente, r₊ − r₋ = 2√(M²−a²) es una resta inestable y la distancia propia hasta el horizonte diverge.
El espín de un agujero negro estelar se mide ajustando el continuo de rayos X de su disco para localizar el borde interior, que se supone en el ISCO. Dos casos reales y opuestos: A0620−00, con 6,61 masas solares y a* = 0,12, y LMC X-1, con 10,91 masas solares y a* = 0,92. (a) Calcula para cada uno M en metros, r₊ y rISCO en kilómetros, y la eficiencia radiativa de su disco. (b) Da la frecuencia orbital en el ISCO de cada uno, que es la cota superior de cualquier oscilación cuasiperiódica que se les pueda observar. (c) Fíjate en un cruce incómodo: el más masivo de los dos tiene el ISCO más pequeño en kilómetros. ¿Por cuánto, y por qué? (d) Para la misma tasa de acrecimiento, ¿cuántas veces más brillante es uno que otro? (e) Un tercer objeto da un ajuste de eficiencia del 15 %. Obtén su a* invirtiendo la relación, y di qué precisión en la eficiencia haría falta para dar el espín con dos cifras.
Pista
En (a), la tabla del artículo 03 sirve de control pero no de atajo: los dos espines de aquí no están en ella. En (c), escribe las dos cifras en kilómetros y compara. En (e) la inversión no es analítica; y antes de dar un solo número para la precisión, mira cuánto cambia la pendiente de la curva entre a* = 0,1 y 0,9.
El artículo 04 vio que alimentar un agujero negro con material prógrado del ISCO le sube el espín. Aquí se hace al revés. (a) Partiendo de da*/d(ln M) = ℓ/e − 2a*, calcula ℓ/e en el ISCO retrógrado para a* = 0,1, 0,5, 0,9 y 0,998, y compáralo con el caso prógrado. (b) ¿Qué fracción de masa hay que acretar en sentido contrario para llevar un agujero de a* = 0,998 a a* = 0? Repítelo desde 0,9 y desde 0,5, y di si el coste es proporcional al espín que se quita. (c) Comparado con el √6 prógrado que el artículo 04 integra de 0 a 1, esto es muy asimétrico: explica de dónde sale la asimetría mirando los dos términos de la ecuación. (d) Integra la energía radiada por el disco al frenar desde 0,998 y al acelerar de 0 a 1 en sentido prógrado, en unidades de la masa inicial, y di cuál de los dos brilla más y por qué. (e) ¿Qué implica esto para un agujero negro supermasivo alimentado por gas que le llega de direcciones aleatorias?
Pista
En (a), el signo de ℓ es el de la órbita, no el del agujero. En (b) la ecuación es de una variable y se integra en cuatro líneas. En (c), mira el signo de cada término por separado. En (d), cuidado con no confundir dm y dM: dM = e dm.
La estrella S2 orbita Sagitario A* con semieje 1035 ua, excentricidad 0,885 y periodo 16,05 años, a 8277 pc de nosotros. GRAVITY midió en 2020 su precesión de Schwarzschild, 12,1 minutos de arco por órbita, y su resolución astrométrica es de unos 30 microsegundos de arco por época. El espín de Sagitario A* no está medido: entra como parámetro. Se toma como dato la precesión nodal de Lense-Thirring, dΩnodo/dt = 2GJ/[c²a³(1 − e²)3/2], que sale del campo lejano del artículo 02. (a) Recupera los 12,1′ con la fórmula del II.4 y comprueba el dato. (b) Escribe la precesión nodal por órbita en función de a*, M y los elementos orbitales, y evalúala para a* = 0,5 y 0,9 en segundos de arco. (c) Demuestra que el cociente entre las dos precesiones no depende de la masa del agujero y da su forma cerrada; evalúalo. (d) Traduce la precesión nodal a un desplazamiento astrométrico en microsegundos de arco y compáralo con los 30 de GRAVITY. (e) Una estrella con el mismo e pero con el semieje cuatro veces menor: ¿cuánto gana el desplazamiento? Cuidado, porque no es lo que gana la precesión.
Pista
En (b), la tercera de Kepler en tiempo coordenado —exacta, según el II.4— elimina el periodo. En (d), el observable no es el ángulo de precesión. En (e), escribe las dos dependencias en el semieje por separado antes de multiplicarlas.
Para un fotón ecuatorial en Kerr, la ecuación radial del artículo 03 con la masa quitada queda
(a) Impón ℛph = ℛ′ph = 0 y demuestra que (r² + a²) − ba = 2rΔ/(r − M); despeja de ahí b(r) y obtén la ecuación que localiza las órbitas circulares de fotones. (b) Comprueba que con a = 0 sale la esfera de fotones en 3M y bcrít = 3√3 M del II.4. (c) Resuelve para a* = 0,5, 0,9 y para el caso extremo a* = 1, prógrado y retrógrado; el extremo prógrado es otra vez una indeterminación y hay que factorizar el polinomio. (d) La sombra vista de perfil se extiende, en el eje ecuatorial, entre los dos b críticos. Da su anchura para los cuatro espines y el desplazamiento de su centro. (e) Calcula el diámetro angular de la sombra de M87* —6,5 × 10⁹ masas solares a 16,8 Mpc— con a* = 0, 0,9 y 1, y compáralo con los 42 ± 3 µas que midió el EHT. ¿Sirve la sombra para medir el espín? (f) La sombra es asimétrica pero su anchura apenas cambia. Explica por qué las dos cosas son compatibles y qué le hace eso a la estrategia observacional.
Pista
En (a), llama X = (r²+a²) − ba y Y = (b−a)²: las dos ecuaciones quedan en X² = ΔY y 4rX = 2(r−M)Y, y X sale sin resolver nada de segundo grado. En (c), el extremo prógrado anula numerador y denominador de b(r) a la vez: divide el polinomio por (r − M) antes de evaluar. En (f), compara cuánto se mueve el centro con cuánto cambia la anchura.
En 1982 Andrzej Sołtan encontró una manera de medir el espín medio de los agujeros negros supermasivos del universo sin observar ninguno en detalle: la luz que emitieron al crecer tiene que cuadrar con la masa que tienen hoy. Los dos datos, cada uno con una barra de error de aproximadamente un factor 1,5: la densidad de masa en agujeros negros supermasivos del universo local es 4,2 × 10⁵ masas solares por Mpc³, y la densidad de energía comóvil de toda la luz de cuásares emitida en la historia del universo es 2,8 × 10⁻¹⁶ J/m³. (a) Convierte la primera cifra a kg/m³ y a J/m³. (b) Deduce la eficiencia radiativa media η con la que esa masa se acretó. Cuidado con el denominador, porque el cociente directo de las dos cifras no es η. (c) Con la tabla del artículo 03, obtén el espín medio que exige ese resultado. (d) Hazlo al revés: si todos los agujeros negros fueran de Schwarzschild, ¿cuánta masa tendría que haber hoy en agujeros negros supermasivos? Compáralo con lo observado. (e) Propaga las barras de error: mueve la luz de cuásares un factor 1,5 arriba y abajo y da el intervalo de a*. ¿Sobrevive la conclusión? (f) Nombra tres suposiciones del argumento que podrían romperlo, y di en qué dirección movería cada una el resultado.
Pista
En (b), lo que se observa hoy no es lo que se acretó: escribe las dos ecuaciones del balance antes de dividir. En (e), la curva η(a*) es plana por debajo de 0,5 y empinada por encima de 0,9. En (f), piensa en la luz que no se ve y en los agujeros que crecen sin radiar.
Éste es el argumento con el que Bekenstein defendió en 1972 que la entropía de un agujero negro es real, y produce de paso una cota universal. Una caja de energía en reposo E y altura ℓ se baja despacio con una cuerda desde el infinito hasta un radio r sobre un agujero negro de Schwarzschild, y allí se suelta. (a) Con el corrimiento al rojo del II.4, escribe la energía que llega al agujero y el trabajo que se ha podido extraer arriba; evalúalos en r = 10M, 4M, 2,5M y 2,01M. (b) Demuestra que bajando hasta el horizonte se extrae toda la energía y no le llega nada al agujero. ¿Qué le pasaría entonces al área, y qué problema hay con el segundo principio? (c) Cerca del horizonte, √(−gtt) ≈ κρ/c² con ρ la distancia propia al horizonte: compruébalo. Una caja de altura ℓ no puede bajar su centro por debajo de ρ = ℓ/2, así que la energía que entrega no es cero. Calcula δA. (d) Con δS = kBδA/4ℓP² y exigiendo que el agujero gane al menos la entropía que se ha tragado, deduce la cota de Bekenstein S ≤ 2πkBER/(ħc), con R = ℓ/2. (e) Evalúala para una caja de 1 kg y 10 cm de lado y compárala con la entropía de un kilo de agua a 300 K, unos 3,9 × 10³ J/K. (f) La cota no contiene G, ni M, ni κ. Explica por qué eso es lo notable del resultado, y nombra una objeción conocida al argumento.
Pista
En (a), la energía que llega abajo es la de arriba por el factor de la métrica. En (c), usa la forma aproximada de la distancia propia del II.4. En (d), despeja δA de la primera ley y mira qué le pasa a κ. En (f), la objeción conocida tiene que ver con lo que hay alrededor de la caja cuando está a media longitud de Planck del horizonte.
Fin del módulo II.5. Este módulo tenía dos encargos escritos en el callout de cierre del II.4, y los dos están hechos. El primero era atravesar el horizonte con las coordenadas puestas: un cambio de una sola coordenada, t por v = ct + r*, deja la métrica con determinante −r⁴sen²θ y sin ninguna componente infinita en r = 2M, y con ella la caída que costaba un tiempo coordenado infinito cruza en v = 43,326 M/c. En esa carta el horizonte deja de ser un argumento y se convierte en una casilla de una tabla: la rama saliente del cono de luz tiene dr/dv = (1/2)(1 − 2M/r) —adimensional, porque v es una longitud— y en r = 2M vale cero. Eso es todo lo que hay que decir. El horizonte es una superficie nula generada por rayos que ni salen ni caen, y por dentro las dos ramas del cono apuntan a r menor, de modo que «no se puede volver» ha pasado de ser una frase a ser una desigualdad. Kruskal queda enunciada, con su factor conforme de 16M²/e = 5,886 M² en el horizonte —finito y no nulo, que es lo que hace regular la carta—, y la extensión maximal declarada del Nivel III, tanto por nivel como por honestidad: no describe ningún agujero negro real.
El segundo encargo era que ningún agujero negro real es de
Schwarzschild. La métrica de Kerr, comprobada Ricci-plana con
sympy, ha traído un parámetro más y con él un catálogo entero:
dos horizontes en r± = M(1 ± √(1 − a*²)), un área
A = 8πMr₊ que no es 4πr₊², un horizonte que gira rígidamente
con ΩH = ac/2Mr₊ —los 7,43 días por vuelta de
M87*, con noventa y dos unidades astronómicas de radio— y una
ergosfera en la que estar quieto es geométricamente
imposible y la energía medida en el infinito puede ser negativa. De ahí sale
el proceso de Penrose y su tope, 1 − 1/√2 = 29,3 % de la
masa-energía; y de la ecuación radial de Kerr sale la cifra que este módulo
tenía que verificar y no copiar: el ISCO extremo, cuya eficiencia es
1 − 1/√3 = 42,265 %, sesenta veces la fusión del hidrógeno.
Ese número hay que sacarlo del álgebra —de que ℛ″(M) = 6e² − 2
se anule—, porque el límite es una indeterminación 0/0 y acercarse con seis
nueves de espín todavía se equivoca el 2,1 %. Con él, tres deudas pagadas: el
arrastre de Gravity Probe B que el II.3 tomó como dato, el área de Kerr que el
I.4 usó sin deducir, y el 1/4 de la entropía que el I.3 publicó sin
explicación — y que aquí no se elige, se calcula, porque la
primera ley no deja otra opción.
Lo que falta tiene dueño, y son dos cosas de naturaleza distinta. Una es cuántica: la radiación de Hawking se ha usado como dato con su fecha y su condición de no observada, y deducirla exige cuantizar un campo en espacio-tiempo curvo. Eso es el III.4, con el efecto Unruh delante y la paradoja de la información detrás. La otra es que el Nivel II ha hablado hasta aquí de un cuerpo — una masa, un espín, un horizonte— y el universo no es eso. El módulo II.6, «Cosmología: Friedmann y ΛCDM», cambia de escala y de hipótesis: en vez de una masa aislada en un espacio-tiempo asintóticamente plano, un contenido homogéneo e isótropo que llena todo. Con esa hipótesis la métrica se reduce otra vez a una función de una variable —el factor de escala— y de la ecuación de Friedmann salen con cuentas los números que el I.5 dio como datos: los 13 790 millones de años de edad, los 46 100 millones de años luz de horizonte, la densidad crítica de 5,10 protones por metro cúbico y la geometría plana que mide el fondo cósmico. Es el último módulo del Nivel II, y el sitio donde la relatividad general deja de describir objetos y empieza a describir el universo entero.