El corrimiento al rojo cosmológico se deduce de la métrica del artículo 01 sin usar ninguna ecuación de campo, sin saber qué contiene el universo y sin mencionar ninguna velocidad. Sale una relación de una limpieza desconcertante, 1 + z = 1/a, que el módulo I.5 publicó como dato y que aquí se demuestra por dos caminos independientes. Y sale, de paso, la razón por la que aplicarle la fórmula del Doppler es un error de categoría y no de precisión: «la velocidad relativa» de una galaxia lejana no es una cantidad mal medida, es una cantidad que no está definida. La herramienta que lo demuestra es el transporte paralelo del II.3.
Primer camino: contar crestas
Un fotón que nos llega desde una galaxia comóvil viaja radialmente, así que dθ = dφ = 0, y viaja por una geodésica nula, así que ds² = 0. Con la métrica del artículo 01 eso es una sola ecuación:
El lado derecho no depende del tiempo: es la coordenada comóvil, y para una galaxia dada es un número fijo. Ahí está todo. Si la galaxia emite una cresta en tem y la siguiente en tem + δtem, y las recibimos en tobs y tobs + δtobs, las dos crestas recorren la misma distancia comóvil:
Restando las dos integrales, los trozos comunes se cancelan y quedan sólo los extremos. Como δt es minúsculo comparado con la escala en que cambia a —el periodo de una onda óptica frente a mil millones de años—, cada trocito vale el integrando por su anchura:
Con el convenio a(t₀) = 1 eso es 1 + z = 1/a. La relación que el I.5 usó como definición operativa está demostrada, y conviene ver de qué no depende: no depende de k, no depende de la distancia, no depende de qué haya dentro del universo y no depende de la forma de a(t). Sólo depende de cuánto ha crecido el factor de escala entre la emisión y la recepción. Un fotón no lleva la cuenta del camino: lleva la cuenta del cociente entre dos valores de a.
Segundo camino: la geodésica del fotón
El conteo de crestas es correcto y deja una duda razonable —parece un argumento sobre relojes, no sobre el fotón—, así que conviene rehacerlo con la ecuación de las geodésicas y los Christoffel del artículo 01. Para un fotón que se mueve radialmente en un universo plano, con parámetro afín λ y cuadrimomento pμ = dxμ/dλ, la componente 0 de la ecuación es
Del artículo 01, Γ0rr = a a′ con a′ = da/d(ct), y la condición de nulidad p·p = 0 da a²(pr)² = (p⁰)². Sustituyendo:
Y p⁰ es la energía del fotón medida por un observador comóvil, dividida por c.
Luego E ∝ 1/a, que es lo mismo de antes:
Eobs/Eem = aem/aobs = 1/(1+z).
sympy comprueba en el guion de verificación que p⁰ = A/a resuelve
la ecuación idénticamente.
Los dos caminos coinciden, como tenían que hacerlo, pero el segundo dice algo que el primero no: el responsable es Γ0rr, y ése es un símbolo de Christoffel proporcional a ȧ. Sin expansión no hay efecto, y con expansión el efecto no depende de la velocidad de nadie: depende de un coeficiente de la conexión.
Y ahora, por qué no es un Doppler
La tentación es evidente. En el II.2 se dedujo el efecto Doppler relativista, que para un alejamiento radial da
Con z = 6 eso da β = 48/50 = 0,960. El número es finito, menor que 1 y de aspecto respetable. Y es irrelevante. La velocidad de recesión de esa galaxia, definida como la derivada de su distancia propia respecto al tiempo cósmico, valía 2,82 c cuando emitió esa luz y vale 1,89 c hoy — las dos cifras que publicó el I.5 y que el guion de verificación recalcula aquí.
Que un mismo suceso admita «0,960 c» y «2,82 c» sin contradicción sólo puede significar una cosa: no son la misma magnitud. Y el motivo es el del II.3.
La velocidad relativa de dos objetos lejanos no está definida. Para restar dos velocidades hay que comparar dos cuadrivectores, y en relatividad general dos cuadrivectores viven en espacios tangentes distintos: el de la galaxia y el nuestro. Compararlos exige transportarlos paralelamente uno hasta el otro, y el II.3 demostró que en un espacio curvo el resultado depende del camino — eso es la holonomía, y es lo que hace girar al péndulo de Foucault. De modo que «la velocidad de esa galaxia respecto a nosotros» no es un número: es un número por cada camino. Elige el camino que va por la hipersuperficie de tiempo cósmico constante y obtienes 2,82 c. Elige el que va por el propio rayo de luz —que es lo que hace implícitamente quien aplica la fórmula del Doppler— y obtienes 0,960 c. Las dos son respuestas correctas a preguntas distintas, y ninguna es «la» velocidad. Por eso 2,82 c no viola nada: no es la velocidad de nada que pase al lado de nada, que es lo único que la relatividad acota.
Hay una lectura del Doppler que sí es legítima, y conviene darla para no sustituir un dogma por otro. Se puede descomponer el trayecto del fotón en tramos infinitesimales, y en cada uno la separación entre dos observadores comóviles vecinos es pequeña, la geometría es plana y el corrimiento sí es un Doppler ordinario de velocidad H·dℓ. Multiplicando todos los factores (1 + H dℓ/c) a lo largo del camino se recupera exactamente aobs/aem. Así que «es una suma de Dopplers infinitesimales» es correcto; lo que es falso es aplicar la fórmula global con una sola velocidad, porque esa fórmula presupone un espacio-tiempo plano en el que emisor y receptor comparten un sistema inercial, y aquí no lo comparten. El error no está en la palabra «Doppler»: está en usar una fórmula finita donde sólo vale la infinitesimal.
Problema. Compara, para z = 0,09 (el de GW150914, del módulo I.4), z = 1 y z = 1090, la β que devuelve la fórmula del Doppler relativista con la velocidad de recesión H₀·DC que da el modelo. Di a partir de qué z deja de ser tolerable confundirlas.
Solución. Con la fórmula del Doppler y con el modelo ΛCDM de Planck:
| z | β del Doppler | Recesión hoy | Recesión al emitir |
|---|---|---|---|
| 0,09 | 0,0860 | 0,0881 c | 0,0845 c |
| 1 | 0,600 | 0,765 c | 0,685 c |
| 6 | 0,960 | 1,89 c | 2,82 c |
| 1090 | 0,999998 | 3,12 c | 66,4 c |
A z = 0,09 las tres columnas coinciden dentro del 4 %; a z = 1 ya discrepan un 28 %; a z = 6, un factor dos; y a z = 1090 no tienen nada que ver.
Resultado. Para el universo cercano la confusión es inofensiva, y por eso sobrevive: a z pequeño todas las fórmulas —Doppler, cz, H₀d— coinciden en el primer orden, y ahí es donde se hicieron las medidas durante setenta años. La segunda lección es cuál es el uso correcto de la β del Doppler, que no es ninguno de los de la tabla: sirve para el movimiento peculiar. Una galaxia tiene, además de su corrimiento cosmológico, un movimiento propio de unos 300 km/s respecto al flujo, y ése sí es un Doppler de libro que hay que restar. Los dos corrimientos se combinan multiplicando: (1+ztotal) = (1+zcosm)(1+zpec), no sumándose. Quien los sume se equivoca en el término cruzado, que a z = 1 vale el 0,1 % — pequeño, pero es exactamente la precisión con la que hoy se miden las oscilaciones acústicas de bariones.
La temperatura también se corre, y eso no era obvio
El fondo cósmico es un cuerpo negro. Que siga siéndolo después de expandirse no es evidente: la expansión podría, en principio, deformar el espectro y dejarlo sin temperatura definida. No lo hace, y la razón es una coincidencia de exponentes que merece la pena ver.
Cada fotón pierde energía como 1/a, luego cada frecuencia se corre como ν → ν/a. Y la densidad numérica cae como 1/a³, porque el número de fotones se conserva y el volumen crece. La distribución de Planck depende de ν y de T sólo a través de hν/kBT, de modo que si todas las frecuencias se dividen por a y además las densidades caen como a⁻³, la forma de la curva se conserva exactamente con
Segundo camino, el que confirma que no hay truco: la densidad de energía de un cuerpo negro es u = aT⁴ (la constante de radiación, no el factor de escala) y la de un fluido con w = 1/3 cae como a⁻⁴, que es lo que el artículo 03 deducirá de la ecuación de fluido. Igualando, T ∝ 1/a. Los dos argumentos son independientes y el guion comprueba que dan la misma cifra: 2973,5 K en la recombinación, z = 1090 — los 2973 K que el I.5 publicó, aquí con una cifra más.
Problema. Una hipótesis alternativa, propuesta por Zwicky en 1929 y reaparecida cada década desde entonces, dice que los fotones «se cansan»: pierden energía por el camino en un universo estático, y de ahí el corrimiento al rojo. Diseña la observación que la distingue de la expansión y da el número.
Solución. Hay que buscar algo que la expansión predice y la pérdida de energía no. Y lo hay, porque el argumento de las crestas de este artículo no habla de energía: habla de intervalos de tiempo. La relación δtobs = (1+z)δtem se aplica a cualquier duración, no sólo al periodo de una onda. Luego un suceso que dure Δt en su galaxia tiene que durar (1+z)Δt en el cielo.
Una supernova de tipo Ia tarda unos 20 días en subir y bajar de brillo. A z = 0,5 tiene que durar 20 × 1,5 = 30 días; a z = 1, 40 días. Y eso es exactamente lo que se mide: las curvas de luz de las supernovas lejanas están estiradas por el factor (1+z), comprobado desde los años noventa y hoy con centenares de objetos. La luz cansada no predice nada de eso — un fotón que pierde energía por el camino no obliga al siguiente fotón a salir más tarde.
Resultado. La hipótesis está muerta por una medida de cronómetro, no de espectrógrafo, y conviene subrayarlo porque es un buen ejemplo de cómo se cierra una alternativa: no discutiendo el mecanismo, sino encontrando la predicción que no comparte. La segunda lección es que hay un segundo golpe, independiente y aún más fuerte: el brillo superficial. En un universo en expansión, el brillo por unidad de ángulo sólido de un objeto extenso cae como (1+z)⁴ —un factor (1+z) por la energía de cada fotón, otro por el ritmo de llegada y dos más porque el objeto se ve mayor de lo que correspondería—, mientras que en un universo estático con luz cansada caería sólo como (1+z). A z = 1 la diferencia es un factor 8, y se observa la caída fuerte. Ése es el test de Tolman, propuesto en 1930 y hecho de verdad sesenta años después. El (1+z)⁴ y el factor 16 en brillo entre DL y DA del I.5 son la misma aritmética vista dos veces —el factor entre las dos distancias es (1+z)², que a z = 1 vale 4, y el 16 es su cuadrado—; el artículo 04 la ordena.
Ejercicios
Demuestra que el corrimiento al rojo entre dos galaxias comóviles cualesquiera —no necesariamente nosotros— sólo depende de los valores de a en la emisión y en la recepción. Después usa ese resultado para calcular qué z le asignaría a nuestra galaxia un observador de una galaxia con z = 2 vista desde aquí, situada en la dirección opuesta a la nuestra respecto a él.
Solución
La deducción del apartado «primer camino» no usa en ningún momento que el receptor sea nosotros: sólo usa que emisor y receptor son comóviles, de modo que su separación comóvil no cambia, y que el fotón sigue una geodésica nula radial entre ellos dos. Luego 1 + z = a(recepción)/a(emisión) sin más.
La consecuencia es que el corrimiento es simétrico: si nosotros la vemos con z = 2, ella nos ve con z = 2. Su a de emisión es el nuestro de recepción y viceversa, y el cociente es el mismo. La segunda lección es que esto es la versión cuantitativa de la demostración del I.5 de que no hay centro, y es más fuerte que aquélla: allí se restaban velocidades de una ley lineal, aquí no aparece ninguna velocidad. Y ojo con el enunciado, que tiene una trampa: la galaxia «en la dirección opuesta respecto a él» está a z = 2 de él, no a z = 4 de nosotros. Los corrimientos no se suman, y tampoco se multiplican los (1+z) salvo que las tres galaxias estén alineadas y los tramos sean consecutivos en el tiempo, cosa que aquí no ocurre porque los dos fotones salen de sitios distintos en momentos distintos.
Deriva, a partir de 1 + z = 1/a, la relación entre la velocidad de deriva del corrimiento al rojo de una fuente —cuánto cambia z en un año de observación— y el parámetro de Hubble. Estima el efecto para una fuente a z = 4 y di qué haría falta para medirlo. (Se conoce como test de Sandage-Loeb.)
Solución
Sea t0 el instante de observación y te el de emisión. Derivando 1 + z = a(t₀)/a(te) respecto a t₀, y usando que dte/dt₀ = a(te)/a(t₀) = 1/(1+z) —que es la dilatación del ejemplo resuelto 2—, sale
Con los parámetros de Planck y z = 4: H(z) = H₀√(Ωm(1+z)³ + ΩΛ) = H₀ × 6,3293, y (1+z) = 5, de modo que dz/dt₀ = H₀(5 − 6,3293) = −1,329 H₀. En un año eso es −1,329 × 6,893 × 10⁻¹¹ = −9,16 × 10⁻¹¹ por año, que traducido a velocidad con Δv = cΔz/(1+z) son −0,549 cm/s por año.
La segunda lección está en el signo, que es lo interesante y lo que casi nadie espera: a z = 4 el corrimiento al rojo disminuye con el tiempo. No es un error — es que la expresión cambia de signo en z = 1,919, donde (1+z)H₀ = H(z). Medir el signo de dz/dt es, por tanto, una medida directa de la aceleración de la expansión, sin candelas estándar, sin escaleras de distancias y sin suponer ningún modelo: se apunta al mismo cuásar dos veces separadas por décadas. Hacen falta décadas y un espectrógrafo estabilizado a centímetros por segundo, que es justo lo que se está construyendo. Ninguna otra prueba de la cosmología es tan limpia conceptualmente ni tan brutal experimentalmente.
Una raya de emisión sale del laboratorio a 656,3 nm (Hα). Se observa en una galaxia a 1312,6 nm. (a) Da su z y el factor de escala de entonces. (b) ¿A qué temperatura estaba el fondo cósmico? (c) ¿Cuánto valía la densidad de energía del fondo comparada con la de hoy? (d) La galaxia tiene además una velocidad peculiar de 400 km/s hacia nosotros: corrige el z cosmológico.
Solución
(a) 1 + z = 1312,6/656,3 = 2, luego z = 1 y a = 0,5: el universo tenía la mitad de su tamaño actual. (b) T = 2,7255 × 2 = 5,451 K. (c) La densidad de energía de la radiación va como a⁻⁴, o sea (1+z)⁴ = 16 veces la de hoy: 6,68 × 10⁻¹³ J/m³.
(d) Los corrimientos se componen multiplicando. El peculiar hacia nosotros es un corrimiento al azul, 1 + zpec = √((1−β)/(1+β)) con β = 400/299 792,458 = 1,334 × 10⁻³, o sea 1 + zpec = 0,998 667. Entonces 1 + zcosm = 2/0,998 667 = 2,002 67 y zcosm = 1,002 67.
La segunda lección es el tamaño de esa corrección: 0,267 % en z, que a z = 1 se traduce en un 0,195 % de error en la distancia comóvil — 6,63 Mpc sobre 3401. Para una galaxia suelta eso es ruido y se promedia con muchas; pero si lo que se busca es la escala acústica de 150 Mpc con precisión del uno por ciento, un sesgo sistemático de este tamaño en una muestra entera se convierte en el error dominante. Por eso los cartografiados modernos modelan el campo de velocidades peculiares en vez de suponer que se cancela — es el efecto que se llama, con poca elegancia, «dedos de Dios».
Vuelve a recorrer el segundo camino tú. El artículo dedujo E ∝ 1/a resolviendo la componente 0 de la geodésica para un fotón radial, con Γ0rr. Hazlo ahora para un fotón que se mueve en la dirección θ, cuyo único Christoffel relevante es Γ0θθ = r²aa′ (el del ejercicio 2 del artículo 01, en la carta x⁰ = ct). Escribe la condición de nulidad para ese fotón, sustitúyela en la ecuación de la geodésica y comprueba que sale la misma ley. Y después contesta lo que importa: ¿por qué tenía que salir la misma, y qué habría significado que no?
Solución
El cuadrimomento es ahora pμ = (p⁰, 0, pθ, 0) y la nulidad p·p = 0 con gθθ = a²r² da a²r²(pθ)² = (p⁰)². La componente 0 de la geodésica es
que es letra por letra la ecuación del artículo, con los r² cancelándose contra los de la condición de nulidad. Luego p⁰ ∝ 1/a otra vez. El guion lo comprueba sustituyendo p⁰ = A/a y viendo que el residuo es idénticamente cero, igual que en el caso radial.
Por qué tenía que salir igual: la métrica FLRW es isótropa, y una ley que dependiera de la dirección del fotón sería una dirección privilegiada — exactamente lo que el artículo 01 excluyó al construir la métrica. La cancelación de los r² no es suerte aritmética: es la isotropía cobrándose su factura en la conexión. La segunda lección es qué habría significado el resultado contrario: si el corrimiento al rojo dependiera de la dirección, el fondo cósmico no podría tener una sola temperatura, y la parte en cien mil que se mide sería una parte en dos. Que 1 + z = 1/a valga para todas las direcciones no es un detalle técnico — es la misma medida con la que arrancó el artículo 01, vista desde dentro.