Cada minuto, aproximadamente un muón por centímetro cuadrado atraviesa la palma de tu mano. Ninguno debería estar ahí. Nacen a unos 15 km de altura, viven de media 2,197 microsegundos y, aunque fueran exactamente a la velocidad de la luz, en ese tiempo sólo recorrerían 659 metros. Les faltan catorce kilómetros y medio. Y sin embargo llegan, en cantidades que se cuentan con un detector de bolsillo.
El reloj que se mueve va más despacio
Del par de postulados del artículo 01 sale una consecuencia que no se puede esquivar: si dos observadores tienen que medir la misma velocidad para la luz, y uno se mueve respecto al otro, sus relojes no pueden marchar al mismo ritmo. La relación es la dilatación del tiempo:
Aquí Δτ es el tiempo propio, el que mide el reloj que viaja pegado al objeto, y Δt el que mide el observador que lo ve pasar. Como γ es siempre mayor o igual que 1, el observador mide más tiempo que el viajero: para él, el reloj de a bordo va lento. Conviene decirlo sin adornos: no es que el reloj se estropee ni que la percepción engañe. El intervalo entre dos sucesos es una cantidad que depende de quién la mide, igual que la longitud de la sombra de un poste depende de dónde esté el Sol.
Problema. Los rayos cósmicos producen muones a unos 15 km de altura. Toma uno que baja a 0,995c, con una vida media propia de 2,197 µs. ¿Qué fracción llega al suelo según la cuenta clásica y según la relativista?
Solución. Primero, el tiempo de vuelo medido desde el suelo: 15 000 m dividido por 0,995 × c da 50,29 µs, que son 22,9 vidas medias. Si el muón envejeciera a ese ritmo, la fracción superviviente sería e−22,9 = 1,15 × 10⁻¹⁰: uno de cada 8 700 millones. No llegaría ninguno a un detector normal.
Pero el muón no envejece según el reloj del suelo, sino según el suyo. Con γ = 10,01 a 0,995c, su tiempo propio es 50,29/10,01 = 5,02 µs, que son sólo 2,29 vidas medias, y la fracción superviviente es e−2,29 = 0,102.
Resultado. Llega el 10,2 % en vez de uno de cada 8 700 millones: un factor 8,9 × 10⁸ de diferencia. Lo que hace de esto una prueba y no una ilustración es la magnitud del desacuerdo. Un efecto del 5 % se discute; un factor de novecientos millones no admite «bueno, quizá haya alguna corrección». O se cuenta el tiempo del muón con su propio reloj, o los muones de la mano de arriba no existen — y existen.
Y desde el muón, ¿qué se ve?
Aquí llega la pregunta que separa haber entendido de haber memorizado. En el sistema del muón, el muón está quieto y su reloj marcha normal: vive sus 2,197 µs de media y ni uno más. Entonces, ¿cómo llega al suelo?
Porque en su sistema la atmósfera no mide 15 km. Es la contracción de longitudes, la cara gemela de la dilatación del tiempo:
Con γ = 10,01, los 15 km se le quedan en 1 498 m, y a 0,995c los recorre en 5,02 µs — exactamente el tiempo propio que habíamos calculado por el otro camino. Los dos observadores discrepan en todo (uno dice 15 km y 50,3 µs; el otro, 1 498 m y 5,02 µs) y coinciden en lo único que se puede comprobar: cuántos muones llegan abajo. Esa es la estructura de la teoría en miniatura. Las coordenadas se negocian; los sucesos, no.
No es un efecto óptico: los relojes se quedan desfasados
Existe una lectura tranquilizadora de todo esto: «los relojes no cambian de verdad, es que la luz tarda en llegar y los vemos raros». Es falsa, y hay un experimento que la liquida sin discusión posible. En octubre de 1971 Joseph Hafele y Richard Keating metieron cuatro relojes de cesio —cuatro reloj atómico de laboratorio— en vuelos comerciales de línea, dieron dos vueltas al mundo —una hacia el este y otra hacia el oeste— y al aterrizar los compararon con los relojes gemelos que se habían quedado en el Observatorio Naval de Washington, sobre la misma mesa.
El resultado, publicado en Science: los relojes que volaron hacia el este llegaron 59 ± 10 ns atrasados y los que volaron hacia el oeste, 273 ± 7 ns adelantados. Lo predicho de antemano era −40 ± 23 ns y +275 ± 21 ns: los dos casos cuadran dentro de sus barras de error, y el del oeste con una puntería que todavía impresiona. Lo decisivo no es el número: es que la comparación se hizo con los relojes parados, uno junto a otro, en la misma habitación. No había ninguna señal luminosa en camino que pudiera explicar la diferencia. El desfase se acumuló durante el viaje y se quedó.
Y hay una segunda lección escondida en que los dos signos sean distintos. El reloj que va hacia el este suma su velocidad a la de rotación de la Tierra y el que va hacia el oeste la resta, de modo que el efecto cinemático los separa; a la vez, los dos vuelan a diez kilómetros de altura, y estar más arriba en el campo gravitatorio los adelanta a ambos. En el vuelo al oeste el efecto gravitatorio gana con holgura y el reloj adelanta. Ese segundo efecto no es relatividad especial: es el corrimiento al rojo gravitatorio, y es el protagonista del módulo I.2. Aquí basta con retener que existe y que en 1971 ya se medía en un vuelo regular.
Problema. Un vuelo de diez horas a 900 km/h (250 m/s). ¿Cuánto tiempo has dejado de envejecer por el efecto de la velocidad?
Solución. A estas velocidades γ está tan cerca de 1 que restarle 1 en la calculadora da cero por redondeo; hay que usar la aproximación que vale para v mucho menor que c, γ − 1 ≈ v²/2c². Con v = 250 m/s:
Multiplicado por las 36 000 s del vuelo: 12,5 ns.
Resultado. 12,5 nanosegundos menos de vida vivida — y eso es lo que valen las promesas de viajar al futuro en un avión. Pero el número tiene un segundo uso, más interesante: 12,5 ns es medible con un reloj de cesio, y a ese efecto se le suma el gravitatorio de volar a diez kilómetros de altura, que en el mismo vuelo vale +39 ns. Juntos dan varias decenas de nanosegundos, justo por encima de la resolución de la época: por eso Hafele y Keating pudieron hacer el experimento con billetes comprados en ventanilla. La relatividad dejó de ser inaccesible el día en que los relojes fueron mejores que los efectos.
La paradoja que no lo es. Si el muón ve mi reloj lento y yo veo el suyo lento, ¿quién tiene razón? Los dos, y no hay contradicción mientras no se vuelvan a encontrar. La paradoja de los gemelos aparece cuando sí se encuentran: un gemelo va a Próxima Centauri a 0,99c y vuelve, y al reunirse han pasado 8,58 años en la Tierra frente a 14,5 meses a bordo. La asimetría no está en la velocidad —que es simétrica— sino en la vuelta: el viajero cambia de sistema de referencia al frenar y acelerar de nuevo, y el que se queda no cambia de ninguno. Quien salte esa frase se quedará con la sensación de paradoja para siempre. Y conviene añadir la parte incómoda: el gemelo que vuelve no ha «ganado» tiempo, ha vivido menos. Su corazón ha latido menos veces. No es un truco de relojes: es la duración de una vida.
Ejercicios
En 1941 Bruno Rossi y David Hall midieron el flujo de muones en la cima del monte Washington (1 910 m sobre el punto de medida al nivel del mar). Para muones a 0,995c, ¿qué fracción sobrevive al descenso según la cuenta clásica y según la relativista? ¿Por qué es un experimento mejor que contar muones sólo en el suelo?
Solución
El tiempo de vuelo desde el suelo es 1 910/(0,995c) = 6,40 µs, o sea 2,91 vidas medias: la cuenta clásica predice que sobrevive el 5,4 %. Con γ = 10,01 el tiempo propio es 0,640 µs, 0,291 vidas medias, y sobrevive el 74,8 %.
Lo que hace superior a este experimento es que compara dos medidas del mismo haz. Contando sólo en el suelo habría que saber cuántos muones se produjeron arriba, un dato difícil y lleno de supuestos; midiendo en la cima y abajo, ese número se cancela en el cociente. La lección es de método experimental y vale para cualquier campo: un cociente entre dos medidas propias siempre es más sólido que una medida absoluta apoyada en un modelo ajeno.
En 1977 el CERN guardó muones en un anillo de almacenamiento con γ = 29,3. ¿Cuánto duraba su vida media medida en el laboratorio? Y una pregunta incómoda: los muones daban vueltas, es decir, aceleraban continuamente hacia el centro. ¿No invalida eso la fórmula, que es para movimiento uniforme?
Solución
La vida media dilatada es 29,3 × 2,197 µs = 64,4 µs, y eso fue lo que se midió, con acuerdo mejor que el 0,1 %. La segunda pregunta es la buena: la aceleración centrípeta en aquel anillo era del orden de 10¹⁸ g, y aun así la dilatación dependía sólo de la velocidad instantánea, no de la aceleración. Ése es el resultado experimental que justifica lo que en los libros se llama «hipótesis del reloj», y que suele darse por supuesto sin decir que se comprobó. Si dependiera también de la aceleración, la paradoja de los gemelos tendría otra respuesta.
Un coche de 4,40 m pasa a 0,9c junto a un garaje de 2,50 m de fondo. Desde el garaje, ¿cabe el coche? ¿Y desde el coche? ¿Se puede cerrar la puerta?
Solución
Con γ = 2,294, desde el garaje el coche mide 4,40/2,294 = 1,92 m y cabe de sobra. Desde el coche, el que se contrae es el garaje: 2,50/2,294 = 1,09 m, y no cabe de ninguna manera. Los dos tienen razón, y la salida del aparente conflicto no está en la longitud sino en la simultaneidad, que es el asunto del artículo 03: «el coche está dentro» significa «el morro no ha salido a la vez que la cola ha entrado», y ese «a la vez» es justo lo que los dos no comparten. Guarda el ejercicio y vuelve a él al terminar el artículo siguiente.