La distancia a NGC 4258 se conoce mejor que la de ninguna otra galaxia: 7,58 megapársecs, medidos con los máseres de agua que orbitan su agujero negro central, sin suponer nada de cosmología. Su espectro dice que se aleja a 448 kilómetros por segundo. Divide y salen 59 kilómetros por segundo por cada megapársec de distancia. Haz lo mismo con M87 —16,8 megapársecs, 1284 km/s— y salen 76; con una gigante del cúmulo de Coma —99 megapársecs, 7176 km/s—, 72. Ese número que se repite es la constante de Hubble, y de él salen la edad del universo, su tamaño observable y la densidad media de todo lo que contiene.
Cada punto es una galaxia con su distancia medida sin usar la ley de Hubble —cefeidas, máseres, brillo superficial— y su velocidad radial leída en el espectro. La recta de color es el ajuste a las galaxias que caben en el rango que elijas; la de trazos, la referencia que pongas tú. Encoge el rango y mira lo que le pasa a la pendiente.
Ahora sí. Con 10 galaxias hasta 120 Mpc el ajuste da 72.5 km/s/Mpc y una dispersión de 209 km/s, ya sólo el 2 % de la velocidad del punto más lejano: manda la recta. De ella salen el tiempo de Hubble, 13.5 Ga, y una densidad crítica de 5.91 protones por metro cúbico. Ojo con la precisión: diez galaxias no distinguen 67,4 de 73,0 — mueve la recta de trazos entre las dos y verás que las dos pasan por la nube. Ésa es exactamente la dificultad de la tensión de Hubble, y por eso dirimirla necesita una escalera de distancias entera y no diez puntos.
Distancias independientes de la velocidad: cefeidas, punta de la rama de las gigantes rojas, máseres de agua —NGC 4258, la mejor medida del cielo, 7,58 Mpc— y fluctuaciones de brillo superficial. Velocidades radiales heliocéntricas, salvo la de NGC 4993, corregida al marco cosmológico (3017 km/s) como la publicó la colaboración LIGO-Virgo. Una muestra de diez galaxias no mide H₀ al 1 %: para eso hacen falta centenares de cefeidas y un millar de supernovas. La última que entra en el rango es NGC 4874: una de las dos gigantes del cúmulo de Coma; plano fundamental.
Dos columnas y nada más
Todo lo que sigue sale de una tabla con dos columnas: a qué distancia está una galaxia y a qué velocidad se acerca o se aleja. La segunda columna es fácil y se sabe medir desde 1912: el espectro de una galaxia trae las mismas rayas de hidrógeno y de calcio que un tubo de laboratorio, desplazadas en bloque, y de ese desplazamiento sale la velocidad radial con una precisión de kilómetros por segundo. La primera columna es la difícil, y es donde se juega todo.
La regla que hace honesto el ejercicio es que la distancia no puede salir de la velocidad. Si se usa la ley de Hubble para calcular la distancia y luego se usa la distancia para comprobar la ley de Hubble, no se ha comprobado nada. Las distancias de la tabla de abajo salen de otras cosas: de la cefeida, una estrella cuyo periodo de pulsación delata su brillo verdadero; de la punta de la rama de las gigantes rojas, que tiene un brillo tope conocido; de máseres de agua en órbita, que es geometría pura; y de las fluctuaciones de brillo superficial de una galaxia elíptica. Cómo se calibra esa escalera de distancias es asunto de la astrofísica observacional y no de este sitio; aquí se toma prestado el resultado y se dice de dónde viene.
| Galaxia | Distancia (Mpc) | Velocidad radial (km/s) | v/d |
|---|---|---|---|
| M31 (Andrómeda) | 0,78 | −301 | −386 |
| M33 (el Triángulo) | 0,85 | −179 | −211 |
| NGC 300 | 1,99 | +144 | 72 |
| M81 | 3,63 | −34 | −9 |
| NGC 5128 (Centaurus A) | 3,80 | +547 | 144 |
| M101 | 6,95 | +241 | 35 |
| NGC 4258 | 7,58 | +448 | 59 |
| M87 (Virgo) | 16,8 | +1284 | 76 |
| NGC 4993 | 40,7 | +3017 | 74 |
| NGC 4874 (Coma) | 99,0 | +7176 | 72 |
Mira la última columna de arriba abajo y verás la física entera del artículo: abajo el cociente se estabiliza y arriba es un desastre. Las cuatro galaxias más lejanas dan 59, 76, 74 y 72 —todas positivas, del mismo orden, y el par peor avenido separado un 29 %—; las cuatro más cercanas dan −386, −211, 72 y −9 — dos negativas, una que acierta de casualidad y otra que es prácticamente cero. La ley de Hubble-Lemaître —que la velocidad de recesión crece en proporción a la distancia—
no es una ley que cumpla cada galaxia por separado. Es una ley que cumple el promedio, y sólo se ve cuando la distancia es bastante grande.
H₀ no es una velocidad
«Sesenta y siete kilómetros por segundo y megapársec» suena a velocidad y no lo es. Un kilómetro por segundo dividido por un megapársec deja dos longitudes que se cancelan: lo que queda es un inverso de tiempo. Ésta es la primera cosa importante del módulo, y conviene hacer la cuenta en lugar de creérsela.
Problema. Con H₀ = 67,4 km/s/Mpc, calcula: (a) el valor de H₀ en segundos a la menos uno; (b) el tiempo de Hubble 1/H₀ en años; (c) la densidad crítica 3H₀²/(8πG), y exprésala en protones por metro cúbico.
Solución. Un pársec son 3,0857 × 10¹⁶ metros, de modo que un megapársec son 3,0857 × 10¹⁹ kilómetros. Dividir 67,4 km/s entre esa distancia da
y su inverso, 4,578 × 10¹⁷ segundos, son 14 510 millones de años. La densidad crítica sale de meter ese H₀ y G = 6,674 × 10⁻¹¹ en 3H₀²/(8πG): 8,53 × 10⁻²⁷ kg/m³, que dividido por la masa del protón son 5,10 protones por metro cúbico.
Resultado. Los tres números dicen tres cosas distintas y ninguna es «lo deprisa que se expande el universo». El primero es un ritmo fraccionario: cada distancia libre crece 2,18 × 10⁻¹⁸ de sí misma por segundo, o sea 6,89 × 10⁻¹¹ por año — una parte en catorce mil quinientos millones. El segundo es lo que duraría la expansión hacia atrás si el ritmo nunca hubiera cambiado, y por eso no es la edad del universo: la edad real, con la historia completa, sale 13 790 millones de años, un 5 % menos, y el artículo 03 la calcula. El tercero es la densidad que tendría que tener el universo para que su geometría fuera exactamente plana, y es asombrosamente pequeña: cinco protones por metro cúbico, unas 200 000 veces menos que el medio interestelar de la Vía Láctea, que ya se considera un vacío excelente. Y sin embargo el universo tiene, dentro de un 1 %, exactamente esa densidad. Por qué es una de las preguntas abiertas que cierran este módulo.
El ruido de debajo: las velocidades peculiares
Ahora la galaxia que estropea la tabla, que es también la más cercana y la más fotografiada. Andrómeda no se aleja: viene. Su espectro está desplazado al azul, y el desplazamiento corresponde a 301 kilómetros por segundo de acercamiento.
Problema. M31 está a 0,78 megapársecs. ¿Qué velocidad le asigna la ley de Hubble? ¿Cuánto se aparta de lo medido, y a partir de qué distancia deja de importar esa diferencia?
Solución. La ley predice 67,4 × 0,78 = 52,6 km/s de alejamiento. Lo medido son 301 km/s de acercamiento respecto al Sol; una vez restado el movimiento del propio Sol alrededor del centro de la Galaxia —unos 230 km/s— lo que queda es un acercamiento de unos 110 km/s entre las dos galaxias. La discrepancia con la ley es, por tanto, de unos 163 km/s. Ese sobrante tiene nombre: es la velocidad peculiar, el movimiento propio de una galaxia respecto al flujo general, y ronda los 300 km/s en cualquier dirección. Para que la ley de Hubble aporte diez veces eso hace falta
Resultado. La ley de Hubble no es una ley del vecindario, y ésa es la razón de que hicieran falta diecisiete años entre las primeras medidas de velocidad y la primera gráfica convincente. Por debajo de unos diez megapársecs el revoloteo local es mayor que la señal; hacia los cuarenta y cinco la señal es diez veces el ruido; y sólo a centenares de megapársecs se puede pretender medir H₀ al uno por ciento. Hay una segunda lección escondida en el signo: si Andrómeda se acerca es porque la gravedad del Grupo Local lleva miles de millones de años ganando la partida, y eso ya adelanta el resultado del artículo 02 — la expansión no arrastra lo que está ligado. Ninguna de las dos galaxias participa del flujo de Hubble, y por eso chocarán dentro de unos cuatro mil millones de años.
Setecientos millones de años menos que la Tierra
La historia de este número es la mejor lección de humildad que hay en cosmología, y merece contarse con las cifras delante.
En 1912 Vesto Slipher, en el observatorio Lowell, midió el espectro de Andrómeda y encontró los 300 km/s de acercamiento. Hacia 1917 tenía dos docenas de «nebulosas espirales» medidas, y casi todas se alejaban, algunas a más de mil kilómetros por segundo. En 1927 Georges Lemaître dedujo de la relatividad general que un universo homogéneo no puede estar quieto, combinó los datos de Slipher con las distancias que había, y publicó una relación lineal con una pendiente de unos 625 km/s/Mpc. En 1929 Edwin Hubble publicó la gráfica que le dio el nombre, con unas dos docenas de galaxias y una pendiente de 500 km/s/Mpc.
Ese 500 es siete veces y media el valor actual, y no era un error de medida: era un error de calibración de la escalera de distancias. Todas las galaxias estaban demasiado cerca por un factor siete. Y la consecuencia era demoledora: con 500 km/s/Mpc, el tiempo de Hubble vale 1960 millones de años, mientras la datación radiactiva de las rocas terrestres ya daba entonces más de mil quinientos millones —hoy, 4540—. El universo salía más joven que su propio planeta.
El arreglo tardó treinta años y vino en dos mordiscos. En 1952 Walter Baade descubrió que hay dos clases de cefeidas con relaciones periodo-luminosidad distintas, y que Hubble había usado la calibración equivocada: las distancias se duplicaban de golpe. Poco después Allan Sandage descubrió que los «objetos más brillantes» que Hubble tomaba por estrellas en las galaxias lejanas eran, muchos de ellos, regiones de hidrógeno ionizado mucho más luminosas: otro factor. Hacia 1958 la constante había bajado a unos 75, y ahí se ha quedado, discutiéndose el último 10 %, hasta hoy.
«La constante de Hubble». No es constante. H no es un número fijo del universo sino el valor actual de una magnitud que cambia con el tiempo, y por eso se escribe con un cero de subíndice: H₀ es H(hoy). Durante casi toda la historia del universo H ha sido mucho mayor —en el momento en que se emitió el fondo cósmico valía veintitrés mil veces más— y sigue bajando ahora mismo. Lo que sí tiende es a un valor constante: si la energía oscura es lo que parece, H se estabilizará en 55,8 km/s/Mpc, y a partir de entonces cada distancia se duplicará cada 12 200 millones de años, para siempre. La confusión tiene una consecuencia práctica que conviene fijar: que H baje no significa que la expansión se frene. La velocidad de una galaxia concreta es H(t) por su distancia, y la distancia crece más deprisa de lo que H baja — por eso la expansión se está acelerando mientras H disminuye. Son dos cosas distintas y confundirlas es el error más común de todo el tema.
Ejercicios
Un observador mide 67,4 km/s/Mpc y otro 73,04. Calcula el tiempo de Hubble de cada uno y la diferencia en millones de años. Después calcula qué valor de H₀ haría que el tiempo de Hubble coincidiera exactamente con la edad aceptada del universo, 13 797 millones de años, y explica por qué ese valor no es el correcto.
Solución
El tiempo de Hubble es inversamente proporcional a H₀, así que basta una regla de tres a partir de los 14 510 millones de años del ejemplo resuelto 1: con 73,04 salen 14 510 × 67,4/73,04 = 13 390 millones de años. La diferencia es de 1120 millones de años. Y el H₀ que daría exactamente 13 797 sería 67,4 × 14 510/13 797 = 70,9 km/s/Mpc.
La segunda lección es que esa coincidencia sería una casualidad, no un resultado. El tiempo de Hubble sólo es la edad si la expansión ha ido siempre al mismo ritmo, y no ha sido así: primero se frenó, porque la materia tira hacia dentro, y desde hace seis mil millones de años se acelera. Los dos efectos se compensan casi —la edad real, 13 790 millones de años con H₀ = 67,4, se queda a un 5 % del tiempo de Hubble—, y esa compensación tan buena es una coincidencia de la época en que vivimos, no una ley. Quitar la energía oscura rebaja la edad en cualquiera de sus dos versiones: con la densidad de materia que se mide y nada más salen 11 660 millones de años; y si además se exige un universo plano —el Einstein-de Sitter con Ωm = 1 que calcula el artículo 03—, 9670, un 30 % menos que la real. Las dos quedan por debajo de los 12 500 millones de años de los cúmulos globulares más viejos, y eso es lo que mató el modelo. Fiarse del tiempo de Hubble como edad es acertar por el motivo equivocado.
En el interactivo, pon el rango en 10 megapársecs y anota la pendiente; pon 100 y anótala otra vez. Explica de dónde sale la diferencia y por qué la muestra corta da un valor menor y no simplemente ruidoso. ¿Qué tendría que pasar para que la muestra corta diera un valor mayor?
Solución
Con las siete galaxias de menos de diez megapársecs sale 49,9 km/s/Mpc; con las diez, 72,5. La diferencia no es aleatoria: en esa muestra corta pesan mucho tres galaxias que se acercan o casi —M31 con −301, M33 con −179 y M81 con −34—, y todas ellas tiran la pendiente hacia abajo.
La segunda lección es que esas tres no son casualidad, y ahí está el matiz que el ejercicio busca: M31, M33 y M81 forman parte del Grupo Local o de su vecindad inmediata, es decir, de sistemas ligados que no siguen el flujo. Una muestra local no sólo tiene ruido, tiene un sesgo, porque las galaxias más cercanas son precisamente las que están gravitatoriamente unidas a nosotros. Para que el sesgo fuera al revés bastaría con mirar en la dirección del cúmulo de Virgo y tomar galaxias que caen hacia él desde nuestro lado: se sumaría su caída a la expansión y saldría una pendiente inflada. Corregir esto tiene nombre —modelos de campo de velocidades peculiares— y es una de las mayores fuentes de discusión en la medida de H₀.
NGC 4993, la galaxia donde ocurrió GW170817, está a 40,7 megapársecs por fluctuaciones de brillo superficial y su velocidad, corregida al marco cosmológico, es 3017 km/s. Calcula el H₀ que da esa pareja de números. Después, sabiendo que la distancia que dio la propia onda gravitacional fue de 43,8 megapársecs, calcula el H₀ correspondiente y di cuál de los dos caminos es el que hace especial a una sirena estándar.
Solución
Con la distancia astronómica: 3017/40,7 = 74,1 km/s/Mpc. Con la distancia gravitatoria: 3017/43,8 = 68,9 km/s/Mpc. El valor publicado por la colaboración, 70,0 con +12 y −8 de margen, sale de tratar la señal entera con su incertidumbre y no de dividir dos números.
La segunda lección es cuál de los dos caminos importa. El primero no aporta nada nuevo: usa una distancia astronómica, calibrada con la misma escalera que todo lo demás, y hereda sus problemas. El segundo es el interesante, porque la amplitud de una onda gravitacional da la distancia sin escalera — sin cefeidas, sin supernovas, sin calibrar nada contra nada. Por eso una sirena estándar es un árbitro independiente en la disputa entre 67,4 y 73,0, y por eso su margen tan ancho, del orden del 14 %, es la parte que hay que mejorar. Como el margen baja con la raíz del número de sucesos, hacen falta unas 200 sirenas con galaxia identificada para bajar del 1 %. Eso no está fuera de alcance: es cuestión de la próxima década de observaciones.