Una nave que acelere a 1 g durante media travesía y frene durante la otra media llega a Próxima Centauri, a 4,2465 años luz, en 3,54 años de reloj de a bordo. En la Tierra habrán pasado 5,87. Ninguna de las dos cifras sale de una fórmula memorizada: las dos son la longitud de una curva, medida con la métrica del artículo 01.
Los dos caminos salen del mismo suceso y llegan al mismo suceso: diez años después, en el mismo sitio. Uno se queda quieto; el otro se aleja y vuelve. Cada punto sobre una línea es un año marcado por ese reloj —el tiempo propio, que es la longitud de la línea de universo—, así que se pueden contar con el dedo. Dobla el camino todo lo que quieras: nunca conseguirás que el viajero acumule más tics que el quieto.
El viajero pierde 2.859 años por haberse movido a 0.700 c. Cuenta los tics: los dos caminos empiezan y acaban juntos, pero el azul tiene menos. Ésa es la desigualdad triangular del espacio-tiempo, y va al revés que en el plano — aquí el rodeo acorta.
De la métrica a la integral
Para dos sucesos separados por un intervalo de tipo temporal, el artículo 01 definió el tiempo propio como Δτ = √(−Δs²)/c. Eso vale para un par de sucesos y una línea recta entre ellos. Un objeto real, en cambio, recorre una línea de universo que puede curvarse, y hay que medirla a trozos: se toma un tramo infinitesimal, se le aplica la métrica y se suma. Con dx = v dt,
y el tiempo propio acumulado entre dos sucesos, a lo largo de un camino concreto, es
Conviene detenerse en lo que acaba de aparecer, porque es el concepto central del Nivel II y reaparecerá idéntico en el II.3 con una métrica distinta. Esto no es una fórmula: es una longitud de arco. τ no depende sólo de los extremos, depende del camino, exactamente igual que la longitud de una carretera entre dos ciudades. Un reloj no «mide el tiempo» en ningún sentido absoluto — mide cuánto ha recorrido por el espacio-tiempo, y por eso dos relojes que salen del mismo suceso y llegan al mismo suceso pueden marcar cosas distintas sin que ninguno esté estropeado.
Y hay una consecuencia inmediata que conviene dejar dicha: para un rayo de luz, ds² = 0 en todo tramo, así que la longitud de su línea de universo es cero. No es que el tiempo «se pare» para el fotón; es que la curva que recorre tiene longitud nula, y la palabra «reloj» no se le puede aplicar. Aquí está, ya cuantificado, el cero del gancho del artículo 01.
En el espacio-tiempo, la recta es la más larga
Toma dos sucesos con separación temporal y trabaja en el sistema inercial en el que ocurren en el mismo sitio —existe, precisamente porque el intervalo es temporal—. En ese sistema, la línea de universo recta que los une es la de un objeto quieto, con v = 0, y su tiempo propio es todo el tiempo coordenado: τ = Δt. Cualquier otro camino tiene v ≠ 0 en algún tramo, y en ese tramo el integrando √(1 − v²/c²) es estrictamente menor que 1. Por tanto
Como τ es invariante, la conclusión no depende del sistema en el que se ha demostrado: entre dos sucesos con separación temporal, la línea de universo recta es la de mayor tiempo propio. Es la desigualdad triangular del plano, con el signo cambiado: aquí el rodeo acorta. La demostración cabe en tres líneas y contiene toda la paradoja de los gemelos; el panel de arriba la enseña contando tics.
Esto es también la forma exacta del principio de envejecimiento máximo que el módulo I.2 enunció sin demostrar, y la definición de geodésica en el espacio-tiempo plano: la curva que extrema el tiempo propio. Merece un aviso, porque es una fuente inagotable de confusión: la geodésica del espacio-tiempo es un máximo del tiempo propio, no un mínimo, mientras que la geodésica de una superficie es un mínimo de longitud. La culpa la tiene el signo menos de la signatura, y no hay ninguna interpretación profunda detrás.
Problema. Una nave acelera con aceleración propia constante de 1 g = 9,80665 m/s² durante la mitad del trayecto a Próxima Centauri (4,2465 ly) y frena con la misma durante la otra mitad. ¿Cuánto dura el viaje a bordo y cuánto en la Tierra? ¿A qué velocidad máxima llega?
Solución. La solución de aceleración propia constante —el movimiento hiperbólico, que se deduce en la sección siguiente— es, con η = gτ/c:
La escala natural es c/g = 3,057 × 10⁷ s = 0,9687 años, y c²/g = 0,9687 años luz. Para media travesía, x = 2,1233 ly, hay que resolver cosh η = 1 + gx/c² = 3,1918, de donde η = 1,8282. Ese η, medido en unidades de c/g, es directamente el tiempo propio: τ = 1,771 años por tramo, 3,542 años el viaje entero. El tiempo coordenado es t = (c/g) senh η = 2,936 años por tramo, 5,873 años en total.
Resultado. 3,54 años a bordo frente a 5,87 en la Tierra, con una velocidad máxima de 0,9497c en el punto medio, donde γ = 3,19. Las dos cifras hay que mirarlas juntas. La de la Tierra tiene que ser mayor que los 4,2465 años que tarda la luz, y lo es con holgura: nada ha viajado más rápido que la luz. La de a bordo puede ser todo lo pequeña que se quiera si se acelera más tiempo — a 1 g y con dos años más de motor, la nave llega a Andrómeda, como pide el ejercicio 3. Lo que la relatividad prohíbe no es llegar lejos en poco tiempo propio, sino llegar antes que la luz medido en cualquier sistema inercial. Son dos afirmaciones distintas y confundirlas es el origen de casi toda la mala divulgación sobre viajes interestelares.
Movimiento hiperbólico: qué es acelerar de verdad
«Acelerar a 1 g» no puede significar dv/dt = g en el sistema de la Tierra, porque eso llevaría a v = c en un año y a v > c después. Lo que se mantiene constante es la aceleración propia: lo que marca un acelerómetro de a bordo, o lo que pesa el astronauta contra el asiento. La condición correcta es que en cada instante, en el sistema inercial que acompaña a la nave, la aceleración valga g.
Traducida con el artículo 02, esa condición se escribe de una forma muy limpia: la rapidez crece linealmente con el tiempo propio,
porque cada intervalo dτ de reloj de a bordo añade la misma rapidez dφ = g dτ/c — y las rapideces se suman, que era el resultado del artículo 02. De ahí sale todo lo demás sin más que integrar: β = tanh φ, γ = cosh φ, dt = γ dτ da t = (c/g) senh(gτ/c), y dx = v dt da x = (c²/g)(cosh(gτ/c) − 1). Eliminando τ entre las dos últimas queda
que es una hipérbola en el diagrama de espacio-tiempo — de ahí el nombre. Sus asíntotas son rectas a 45°, es decir, líneas de luz: por mucho que dure el motor, la nave se acerca al cono sin alcanzarlo nunca.
Esa asíntota tiene una consecuencia que conviene decir ahora aunque su casa esté en el II.5: hay sucesos del universo cuya luz nunca alcanzará a la nave mientras siga acelerando. La asíntota es un horizonte de Rindler, un horizonte de sucesos producido por pura aceleración, sin ninguna masa cerca. Para 1 g está a c²/g = 0,9687 años luz por detrás de la nave. Que un observador acelerado tenga horizonte, y que ese horizonte se parezca tanto al de un agujero negro, es la grieta por la que se cuela el efecto Unruh — el módulo III.4, todavía pendiente. Aquí basta con retener que el horizonte no necesita masa: lo produce el propio movimiento.
Un caso medido: 340 días en la ISS
Problema. Scott Kelly pasó 340 días en la Estación Espacial Internacional, en órbita a 420 km de altura. Aplica la integral de tiempo propio a su línea de universo y calcula cuánto perdió frente a su hermano gemelo Mark, que se quedó en tierra. Éste es el caso más sencillo que puede tener la integral —el de integrando constante—; el problema 5 de la hoja hace el mismo cálculo cuando el integrando varía.
Solución. La órbita es prácticamente circular, así que el módulo de la velocidad es constante y la integral se hace sola: v = √(GM/r) = 7661 m/s con r = 6791 km. El integrando no depende de t:
Multiplicado por los 2,938 × 10⁷ s de la misión: 9,59 ms menos de tiempo propio por el movimiento. Hay un segundo término, éste de relatividad general y por tanto prestado del módulo I.2: estar 420 km más arriba en el potencial adelanta el reloj en GM/c²(1/R − 1/r) = 4,31 × 10⁻¹¹, o sea +1,26 ms. Los dos términos comparan la ISS con un Mark en reposo en el sistema geocéntrico inercial; si se le añade su rotación con la Tierra, el saldo se mueve en menos de 0,04 ms —el máximo, en el ecuador, son 0,035—, así que la tercera cifra de abajo es el único dígito que depende de esa elección.
Resultado. El saldo es −8,33 ms: Scott volvió unas ocho milésimas de segundo más joven que Mark. Y el interés no está en la cifra sino en su estructura. Primero, los dos hermanos son un caso real de la desigualdad de arriba, con las dos líneas de universo partiendo y volviendo a juntarse. Segundo, y ésta es la lección que se lleva el módulo II.4: los dos efectos tienen signos opuestos y el cociente entre ellos depende sólo del radio de la órbita. Para la ISS gana la velocidad; para el GPS, a 26 561 km, gana la altura y el saldo cambia de signo — son los +38,5 µs/día del módulo I.1. El problema 5 de la hoja hace esta misma integral sobre una órbita que no es circular, y descubre de qué depende y de qué no.
«El que acelera envejece menos porque la aceleración lo frena». No. La aceleración no aparece en ninguna de las fórmulas de este artículo: el integrando es √(1 − v²/c²) y sólo depende de la velocidad instantánea. Un viaje con dos tirones violentos y otro con un empuje suave de meses pueden dar el mismo tiempo propio si su perfil de velocidad coincide. Lo que la aceleración hace es doblar la línea de universo, y lo que cuesta tiempo propio es estar doblada, no doblarse. La formulación correcta de la asimetría de los gemelos es puramente geométrica: una de las dos líneas es recta y la otra no, y sólo una de las dos puede serlo, porque entre dos sucesos hay exactamente una recta. Quien se quede con la versión causal —«la aceleración es la culpable»— no sabrá qué hacer cuando el espacio-tiempo sea curvo y las dos líneas puedan ser geodésicas, que es justo lo que ocurre en el II.3 y lo que hace del gemelo un problema interesante otra vez.
Ejercicios
Dos sucesos ocurren en el mismo lugar, separados por un tiempo T. Un viajero se aparta de la recta con velocidad v constante durante la mitad del trayecto y vuelve con −v. (a) Da su tiempo propio exacto. (b) Desarrolla el resultado para v mucho menor que c y di a qué orden en v/c empieza la pérdida. (c) ¿Cuánto pierde en diez años un viajero a 0,5c, y cuánto uno a 0,99c?
Solución
(a) Los dos tramos tienen el mismo módulo de velocidad, así que τ = T√(1 − v²/c²) = T/γ, sin más. (b) El desarrollo es τ ≈ T(1 − v²/2c² − v⁴/8c⁴ − …): la pérdida arranca en segundo orden en v/c, con T v²/2c². Ése es el motivo de que el efecto se resista tanto a la intuición — a velocidades pequeñas no es pequeño, es cuadráticamente pequeño. (c) A 0,5c, γ = 1,1547 y τ = 8,66 años: pierde 1,34. A 0,99c, γ = 7,0888 y τ = 1,41 años: pierde 8,59.
La segunda lección está en el orden del desarrollo. Como la pérdida es cuadrática, la derivada de τ respecto a v es cero en v = 0: la recta no es un máximo cualquiera, es un máximo con tangente horizontal, que es exactamente lo que significa δτ = 0 en el principio de envejecimiento máximo. Cuando en el II.3 se escriba la ecuación de las geodésicas como una condición variacional, se estará derivando esta misma integral, sólo que con una métrica que depende del punto.
Una nave parte del reposo y su velocidad crece linealmente con el tiempo coordenado, β(t) = βmáx t/T, hasta βmáx = 0,9 al cabo de un tiempo T. Calcula analíticamente el tiempo propio transcurrido a bordo durante ese tramo y compáralo con el que marcaría si hubiera hecho todo el tramo a 0,9c.
Solución
La integral es τ = ∫₀T√(1 − βmáx²t²/T²) dt, que con el cambio u = βmáxt/T es la integral de √(1 − u²), es decir, un arco de circunferencia:
A bordo pasa el 84,00 % del tiempo coordenado, frente al 43,59 % (= 1/γ con γ = 2,294) que marcaría a 0,9c constante.
La segunda lección es cuánto pesa el final del tramo. La nave pasa la mayor parte del tiempo a velocidades bajas, donde el integrando vale casi 1, y sólo al final se hunde; por eso el promedio, 0,840, está mucho más cerca de 1 que de 0,436. Es la firma de todos los efectos cuadráticos: el resultado lo domina el último tramo. Y fíjate en que la integral ha salido un arco de circunferencia — un aviso de que «hiperbólico» describe la geometría del espacio-tiempo, no todas las integrales que aparecen en él: si el que crece linealmente es el tiempo coordenado y no el propio, la trigonometría que sale es la de siempre.
(a) Repite el ejemplo resuelto 1 para la galaxia de Andrómeda, a 2,50 millones de años luz, con el mismo perfil de 1 g acelerando y 1 g frenando. Da el tiempo propio y el coordenado. (b) Mientras la nave siga acelerando, ¿desde qué instante deja la Tierra de poder alcanzarla con un mensaje? (c) ¿Qué le impide a todo esto ser un plan de viaje?
Solución
Con x = 1,25 × 10⁶ ly por tramo, cosh η = 1 + gx/c² = 1,29 × 10⁶, de donde η = arcosh(1,29 × 10⁶) ≈ ln(2,58 × 10⁶) = 14,76 y τ = 14,76 × 0,9687 años = 14,30 por tramo: 28,6 años de reloj de a bordo. El tiempo coordenado es prácticamente el que tarda la luz más un pequeño añadido, D/c + 2c/g ≈ 2,5 millones de años.
(b) Un destello emitido desde la Tierra en t₀ alcanza a la nave sólo si sale antes de que ésta cruce la asíntota de su hipérbola. Como la asíntota es x = ct − c²/g, la condición es t₀ < c/g = 0,9687 años, es decir, 354 días. A partir del primer aniversario del despegue, nada de lo que emita la Tierra alcanzará a la nave mientras el motor siga encendido: el horizonte de Rindler no es una metáfora, tiene fecha. (Frenar a mitad de camino, como hace este perfil, deshace el horizonte y las señales acaban llegando — con dos millones y medio de años de retraso.)
La segunda lección es el precio, y es de energía, no de cinemática. El γ máximo del viaje es 1,29 × 10⁶, y el módulo II.2 mostrará que la energía cinética por unidad de masa va como (γ − 1)c². Acelerar un solo kilogramo hasta ese γ cuesta 1,16 × 10²³ J aunque el motor fuera perfecto, 184 años del consumo mundial de energía primaria — y eso sin contar el combustible, que también hay que acelerar. La relatividad permite el viaje; la contabilidad energética lo prohíbe, y conviene decir cuál de las dos es la barrera. También hay una consecuencia humana que no se suele decir: la nave llega, pero llega dos millones y medio de años después, así que volver no significa nada.