Enciende una linterna dentro de un tren que va a 300 km/h. La luz sale del faro a 299 792 458 m/s medida desde el vagón — y también a 299 792 458 m/s medida desde el andén. No a 299 792 541,3, que es lo que da la suma de toda la vida. El mismo número hasta la última cifra, y ese hecho, medido y remedido durante siglo y medio, obliga a tirar la regla de sumar velocidades que llevas usando desde el colegio y poner otra en su sitio.
Una nave se aleja de la Tierra a u y dispara hacia delante un proyectil que, medido desde la nave, sale a v. ¿A qué velocidad se aleja el proyectil de la Tierra? Galileo contesta u + v. Einstein divide ese resultado por 1 + uv/c², y ese denominador lo cambia todo. Con velocidades de andar por casa el término uv/c² vale 6,95 × 10⁻¹³ (dos aviones a 250 m/s), así que Galileo acierta en doce cifras; sube los mandos y mira cuándo deja de acertar.
Galileo predice 1.60 c, que no existe. El resultado real es 0.9756 c: rápido, pero se queda a un 2.44 % de c. Fíjate en que el error de Galileo ya es del 64 %, y en que por mucho que subas los mandos la barra de Einstein nunca cruza la marca.
Dos afirmaciones, y sólo dos
La relatividad especial no sale de una intuición filosófica sobre el tiempo. Sale de dos afirmaciones sobre el mundo, ambas comprobables. La primera es el principio de relatividad, que ya era de Galileo: las leyes de la física son las mismas en todos los sistema de referencia inercial, así que ningún experimento hecho dentro de un vagón cerrado puede decirte a qué velocidad va el tren. Si el tren no traquetea, el café cae en la taza igual que en el andén.
La segunda es la que rompe todo: la velocidad de la luz en el vacío vale lo mismo para todos los observadores, se muevan como se muevan. No «aproximadamente lo mismo»: lo mismo. Y esas dos afirmaciones juntas son incompatibles con sumar velocidades como siempre, porque si la luz sale del faro del tren a c medida desde el tren, y las leyes son las mismas para todos, entonces desde el andén tiene que salir también a c — y no a c más 83,33 m/s.
¿Por qué creerse la segunda? Porque en 1887 Albert Michelson y Edward Morley montaron el experimento de Michelson-Morley para medir precisamente la diferencia. La Tierra recorre su órbita a 29,78 km/s, una diezmilésima de c; comparando la luz que va en la dirección del movimiento con la que va perpendicular esperaban un desplazamiento de 0,4 franjas de interferencia, y midieron menos de la vigésima parte de eso. Lo importante no es que el resultado fuera cero: es que era medible y salió cero. El efecto que buscaban va con el cuadrado del cociente de velocidades, 9,87 × 10⁻⁹, y su aparato lo veía.
La regla nueva
Si una nave se aleja de la Tierra a velocidad u y desde ella se dispara hacia delante algo que, medido desde la nave, sale a v, la velocidad respecto a la Tierra no es u + v sino
Es la composición relativista de velocidades, y conviene mirarla dos veces antes de seguir. El numerador es la respuesta de siempre; toda la novedad está en el denominador, que es 1 más un término que casi siempre es despreciable. Para dos aviones que se cruzan de frente a 250 m/s cada uno, uv/c² vale 6,95 × 10⁻¹³: la corrección son 3,5 × 10⁻¹⁰ m/s sobre 500 m/s. Nadie iba a notar eso, y por eso la regla de Galileo sobrevivió doscientos años sin que nadie sospechara que estaba incompleta. No estaba mal: era una aproximación excelente cuyo dominio de validez nadie había explorado.
Problema. Una nave se aleja de la Tierra a 0,8c y dispara hacia delante una sonda que, medida desde la nave, sale a 0,8c. ¿A qué velocidad se aleja la sonda de la Tierra?
Solución. Galileo diría 1,6c, que no existe. Con la regla correcta, tomando c como unidad para no arrastrar ceros:
Resultado. 0,976c. Fíjate en lo que ha pasado: hemos duplicado la velocidad y hemos ganado un 22 %. El denominador se come el exceso justo cuando el numerador amenaza con pasarse, y lo hace con la precisión suficiente para que el resultado se quede siempre por debajo de c sin llegar nunca. No es un tope impuesto desde fuera: está dentro de la fórmula.
Por qué c es un techo y no un récord
Hay una segunda razón, independiente, por la que c no se alcanza, y ésta no es cinemática sino energética. Toda la relatividad se organiza alrededor de un solo número, el factor de Lorentz:
A las velocidades de cada día vale prácticamente 1 — para un avión a 250 m/s se separa de 1 en 3,5 × 10⁻¹³ — pero crece sin límite al acercarse a c: 1,155 a media velocidad de la luz, 2,294 a 0,9c, 7,089 a 0,99c. Y la energía que hay que darle a un cuerpo para llevarlo a velocidad v es la energía cinética relativista, K = (γ − 1)mc², que crece con γ. Como γ se dispara, empujar cuesta cada vez más y el rendimiento en velocidad cae en picado: llevar un protón de 0,99c a 0,999c cuesta tres veces y media más energía y compra un 0,91 % de velocidad.
Problema. El LHC acelera protones hasta 6,8 TeV de energía, unas 7 250 veces su energía en reposo. ¿Cuánto les falta para llegar a c? Y si dos haces circulan en sentidos opuestos, ¿se acercan entre sí a más de c?
Solución. De γ = 7 247 se despeja v/c invirtiendo la definición: v/c = √(1 − 1/γ²) = 0,999 999 990 5. Falta, por tanto, c − v = 2,85 m/s, unos 10,3 km/h: la velocidad de un corredor aficionado.
La segunda pregunta esconde una trampa que merece la pena desmontar. Medido desde el anillo, la distancia entre los dos protones se acorta a un ritmo de 1,999 999 98 c. Eso es cierto y no viola nada, porque no es la velocidad de ningún objeto: es un ritmo de acercamiento entre dos cosas, y nadie viaja a él. La velocidad de un protón medida desde el otro es lo que da la fórmula de composición, y sale menor que c, con un factor γ relativo de 1,05 × 10⁸.
Resultado. A los protones les faltan 2,85 m/s — un dato que dice mejor que ninguna metáfora lo que cuesta el último tramo. Y el factor γ relativo de 1,05 × 10⁸ tiene consecuencia práctica: para conseguir la misma colisión disparando contra un blanco quieto haría falta un haz de 98,6 PeV, catorce mil veces el del LHC. Ésa es la razón de que los colisionadores choquen dos haces en vez de disparar contra una pared.
«La relatividad dice que todo es relativo». Es exactamente lo contrario, y el error tiene una fecha de nacimiento: el nombre. Einstein construyó la teoría alrededor de lo que no cambia. La velocidad de la luz es la misma para todos: 299 792 458 m/s, sin excepción ni margen. La masa en reposo de un protón es 0,938 GeV/c² lo mida quien lo mida. El tiempo propio de un muón entre su nacimiento y su muerte es el mismo número para cualquier observador del universo. Lo que resulta ser relativo —y es una lista corta y precisa— son las coordenadas con las que cada uno etiqueta los sucesos: el tiempo y la posición. La teoría no dice que todo valga: dice qué es invariante y qué no, con fórmulas que dan números. Un lector que salga de aquí pensando que la relatividad relativiza la verdad ha entendido justo al revés un edificio levantado sobre absolutos.
Ejercicios
Un coche circula a 120 km/h con los faros encendidos. Según un peatón parado en la acera, ¿a qué velocidad se aleja del coche la luz de los faros? ¿Y qué diferencia relativa habría predicho Galileo?
Solución
La luz se aleja del coche a c exactamente, y también avanza a c respecto al peatón: los dos miden el mismo número. Galileo habría predicho c + 33,33 m/s, una diferencia relativa de 1,11 × 10⁻⁷. La segunda lección está en ese exponente: parece ridículamente pequeño, pero un interferómetro moderno mide diferencias de camino óptico mil veces menores. El hecho de que esta discrepancia no aparezca nunca, por fino que sea el instrumento, es lo que convierte el postulado en un resultado experimental y no en una hipótesis cómoda.
Imagina una cadena de naves: la primera sale de la Tierra a 0,5c; desde ella se lanza una segunda a 0,5c; desde la segunda, una tercera a 0,5c, y así sucesivamente. ¿Cuántos lanzamientos hacen falta para superar 0,99c respecto a la Tierra? ¿Y para llegar a c?
Solución
Aplicando la fórmula una y otra vez se obtienen 0,500 · 0,800 · 0,929 · 0,976 · 0,992: bastan cinco. Para llegar a c no basta ningún número de lanzamientos, y ése es el punto del ejercicio: cada paso deja la distancia que falta hasta c en un tercio de la anterior —0,992, 0,997, 0,999…— pero nunca la anula. Es la aritmética de Zenón, sólo que aquí es la física real. Compruébalo con el panel de arriba poniendo el resultado anterior en el mando de la izquierda.
Comprueba con la fórmula de composición que si el proyectil es un rayo de luz (v = c), el resultado es c para cualquier velocidad u de la nave. ¿Qué tiene de notable que salga así?
Solución
Sustituyendo v = c queda w = (u + c)/(1 + u/c). Multiplicando arriba y abajo por c: w = c(u + c)/(c + u) = c, para cualquier u. Lo notable es de dónde sale ese resultado. El segundo postulado —que la luz va a c para todos— no está añadido a la fórmula como una excepción: está dentro de ella. La fórmula se construyó exigiendo que c fuese invariante, y por eso lo reproduce sola. Cuando una expresión devuelve el postulado que la engendró, es señal de que está bien planteada; cuando hay que parchearla con casos especiales, no lo está.