La densidad crítica del universo son 8,53 × 10⁻²⁷ kg/m³, es
decir 5,10 protones por metro cúbico — el mejor vacío de
laboratorio es diez órdenes de magnitud más denso. El módulo I.5 dio esa cifra
y la fórmula de la que sale, ρc = 3H₀²/8πG, sin deducir ninguna de
las dos. Aquí se deducen las dos, y con ellas la ecuación entera que aquel
módulo usó como caja negra. El precio a pagar está declarado y es el mismo que
pagó el II.4: la ecuación de campo se toma como dada, porque
deducirla exige las identidades de Bianchi y es el módulo III.2. Lo que se hace
aquí es contraerla, y eso lo hace sympy a la vista.
Arriba, el factor de escala a(t) obtenido integrando la ecuación de Friedmann completa — una sola vez, con las tres componentes a la vez. Abajo, la pendiente logarítmica d ln a/d ln t medida sobre esa curva por diferencias, no calculada con ninguna fórmula. Las mesetas en 1/2 y 2/3 aparecen solas en los tramos donde mandan la radiación y la materia, y las bandas de color salen de igualar densidades, no están dibujadas a mano. Fíjate en el final: en la era de Λ la pendiente no se estabiliza en ningún valor y sigue subiendo — porque una exponencial no es una potencia, y ésa es la firma que distingue a la constante cosmológica de cualquier fluido con w constante. El panel se queda siempre en universos exactamente planos: ΩΛ = 1 − Ωm − Ωr. Ojo con la consecuencia, que es la que el artículo declara más abajo: con Ωm = 0,315 eso da ΩΛ = 0,684 908 y no el 0,685 redondeado de Planck, y por eso el preset «Planck 2018» imprime 13 791 Ma donde el texto publica 13 790. Los 0,3 Ma de diferencia son el 9,2 × 10⁻⁵ que le sobra a la suma de las tres Ω redondeadas.
Con Ωm = 0.315 y ΩΛ = 0.685, la pendiente medida vale 0.503 en el corazón de la era de radiación y 0.657 en la de materia — los 1/2 y 2/3 que el artículo dedujo con w = 1/3 y w = 0, apareciendo aquí como una medida sobre la curva. Hoy la pendiente ya va por 0.949: el universo lleva un tiempo saliéndose de la era de materia, y la igualdad materia-Λ está en z = 0.296.
Lo que se toma prestado, dicho antes de usarlo
Las ecuaciones de Einstein relacionan la geometría con el contenido:
Este módulo no las deduce. El II.3 llegó hasta el tensor de
Riemann por lo que mide, y declaró que las simetrías de Riemann, las
identidades de Bianchi y el tensor de Einstein eran Nivel III; el II.4 hizo lo
mismo con Schwarzschild, tomando Rμν = 0 como dado y
comprobando con sympy que la solución lo cumple. Aquí se
hace exactamente eso: se toma la ecuación, se le mete la métrica del artículo
01 y se mira qué sale. Todo lo demás —los trece Christoffel, el Ricci, el
escalar y las diez componentes de Gμν— se deriva de la definición en
el guion de verificación, sin copiar ningún resultado.
El contenido: un fluido perfecto y nada más
La misma simetría que fijó la métrica fija el tensor de energía-impulso. Un Tμν homogéneo e isótropo no puede tener flujos de energía (serían una dirección privilegiada) ni esfuerzos cortantes: sólo puede ser un fluido perfecto, con una densidad y una presión que dependen únicamente de t:
El fluido está en reposo comóvil, que es lo único compatible con la homogeneidad, y el guion comprueba que esa u cumple u·u = −c². Nótese que ρ es una densidad de masa —así el 8πG/c⁴ y el c⁴ρ de T00 se cancelan como deben— y que p es una presión en pascales.
La primera ecuación de Friedmann
Contrayendo, la componente 00 de la ecuación de campo da, sin ajustar nada y con el factor 3 saliendo solo:
Es la ecuación de Friedmann, y conviene leerla despacio porque cada pieza tiene un nombre. El lado izquierdo es H(t)², con H = ȧ/a el parámetro de Hubble — una función del tiempo, no una constante; H₀ es su valor hoy, y llamarla «constante de Hubble» es un accidente histórico que confunde a todo el mundo una vez. El primer término de la derecha es el contenido. El segundo es la curvatura, y su signo importa: con k = +1 resta, de modo que un universo cerrado puede llegar a H = 0 y recolapsar.
De aquí sale la densidad crítica en dos líneas. Si k = 0, la ecuación exige
La densidad crítica no es una propiedad del universo: es la densidad que haría plano un universo con el H₀ que se mide. Dividiendo la ecuación de Friedmann por H₀² y bautizando Ωi = ρi/ρc y Ωk = −kc²/(a₀²H₀²), queda la forma que el I.5 usó:
La última igualdad no es una hipótesis: es la ecuación de Friedmann evaluada hoy, dividida por H₀². Que las Ω sumen 1 es una identidad, no una medida — lo que se mide es Ωk, y decir «la suma da uno, luego el universo es plano» es circular. Lo correcto es al revés: se miden las componentes y lo que sobra o falta es Ωk.
Y conviene aplicarse la regla a uno mismo antes de seguir, porque este módulo la incumple aritméticamente. Los valores redondeados de Planck que se usan de aquí en adelante —Ωm = 0,315, ΩΛ = 0,685 y el Ωr = 9,21 × 10⁻⁵ que sale en el ejemplo resuelto 1— suman 1 + 9,2 × 10⁻⁵, no 1: la identidad de arriba les asignaría Ωk = −9,2 × 10⁻⁵. Lo que hacen todas las cuadraturas de este módulo es integrar con esos tres números tal cual y sin término de curvatura, que es lo mismo que declarar k = 0 y aceptar que la suma no cierre en la quinta cifra. El precio está medido y es pequeño: imponer la planitud exacta —bajar ΩΛ a 1 − Ωm − Ωr = 0,684 908— mueve la edad del universo 0,3 Ma de 13 790, y el horizonte, menos todavía. La Ωk = 0,0007 ± 0,0019 que Planck mide no entra en ninguna integral de aquí: se usa como dato observacional en el ejemplo resuelto 1 del artículo 01 y en dos problemas de la hoja, y en ningún otro sitio.
La segunda: la presión gravita
La componente rr, combinada con la anterior para eliminar ȧ², da la ecuación de aceleración:
Aquí está la física que no cabe en Newton. La fuente de la gravedad no es la densidad: es ρ + 3p/c². Un gas a presión pesa más de lo que pesa su masa, y no porque la presión aporte energía —eso ya estaría en ρ—, sino porque las componentes espaciales de Tμν curvan el espacio-tiempo por su cuenta. La consecuencia se ve mejor con la ecuación de estado p = wρc²:
| Componente | w | 1 + 3w | Qué hace |
|---|---|---|---|
| Radiación | +1/3 | +2 | frena el doble que su masa sola |
| Materia (polvo) | 0 | +1 | frena lo que dice Newton |
| Curvatura (no es materia) | −1/3 | 0 | ni frena ni acelera |
| Constante cosmológica | −1 | −2 | acelera, con el doble de intensidad |
La energía oscura entera cabe en esa columna. Que Λ acelere no exige ninguna fuerza nueva ni ninguna antigravedad: exige una presión negativa, y con w = −1 el paréntesis ρ + 3p/c² vale −2ρ. La gravedad sigue siendo atractiva y la fuente ha cambiado de signo. Y hay una consecuencia bonita: para acelerar hace falta w < −1/3, que es exactamente el umbral donde 1 + 3w cambia de signo. El valor w = −1/3 es el de la curvatura, y por eso la curvatura no contribuye a la aceleración — lo cual no es una coincidencia, es que su término en la ecuación de Friedmann va como a⁻², igual que un fluido con w = −1/3.
El atajo newtoniano acierta por dos errores que se cancelan. Se lee en todas partes, y es la deducción que muchos cursos dan como si fuera la buena: tómese una esfera de radio R y densidad ρ, aplíquese el teorema de Gauss newtoniano, y la energía de una partícula del borde, ½Ṙ² − GM/R = cte, da literalmente la primera ecuación de Friedmann con la constante haciendo de −kc². Es cierto, y es una trampa por dos motivos a la vez. Primero: en un universo infinito y homogéneo el argumento de la esfera no vale, porque la fuerza en un punto es una serie que no converge — hace falta el teorema de Birkhoff, que es relativista, para justificar que lo de fuera no cuenta. Segundo, y peor: el atajo da R̈ = −(4πG/3)ρR, que es la ecuación de aceleración sin el 3p/c². Coincide con la buena sólo para w = 0. Aplicado a la era de radiación se equivoca por un factor 2, y aplicado a Λ predice que frena cuando acelera. Que el resultado final parezca correcto se debe a que la primera ecuación es una integral primera y el error vive en la segunda; quien deduzca la cosmología por ahí obtendrá la edad del universo bien y el signo de la aceleración al revés.
La tercera ecuación, que no es independiente
La conservación ∇μTμν = 0 da una ecuación más. El guion la calcula componente a componente y el resultado tiene una elegancia que merece señalarse: las tres componentes espaciales se anulan idénticamente —lo obliga la homogeneidad, no hay ninguna dirección a la que fluya nada— y sólo sobrevive la temporal, que es la ecuación de fluido:
Se lee como una contabilidad: la densidad cae por dilución (el 3Hρ) y además porque el fluido hace trabajo al expandirse (el 3Hp/c²). Es la primera ley de la termodinámica con dU = −p dV, y por eso la radiación pierde densidad más deprisa que la materia: además de diluirse, empuja.
De las tres ecuaciones sólo dos son independientes: derivando la primera de Friedmann y usando la de aceleración sale la de fluido, sin información nueva. Eso no es un defecto, es la identidad de Bianchi asomando — la conservación está dentro de las ecuaciones de Einstein—, y en la práctica significa que se elige el par que más convenga. Lo habitual es Friedmann I + fluido, porque las dos son de primer orden.
Cómo se diluye cada cosa
Con w constante, la ecuación de fluido es separable y se integra de una vez:
Ahí están de golpe los tres exponentes que el I.5 tuvo que enunciar uno a uno: materia (w = 0) va como a⁻³, radiación (w = 1/3) como a⁻⁴ y Λ (w = −1) como a⁰, o sea constante. Que la constante cosmológica no se diluya no es su definición: es la consecuencia de que w = −1, y por eso se puede buscar experimentalmente si w es exactamente −1 o algo un poco distinto — que es la grieta abierta que el I.5 dejó anotada.
Metiendo eso en Friedmann I con k = 0 y una sola componente, la ecuación a−3(1+w)/2 ∝ da/dt se integra y da la ley de crecimiento:
Radiación: a ∝ t1/2. Materia: a ∝ t2/3. Λ: exponencial, que es el universo de de Sitter. El panel de arriba integra la ecuación completa —las tres componentes a la vez— y esas tres pendientes salen solas en los tramos donde manda cada una; no están dibujadas a mano.
Problema. El I.5 dio Ωr = 9,21 × 10⁻⁵ como dato. Dedúcelo de la temperatura del fondo, T₀ = 2,7255 K, sin usar ningún otro valor cosmológico salvo H₀. Después calcula el corrimiento al rojo en que la radiación y la materia tenían la misma densidad.
Solución. La densidad de energía de un cuerpo negro es u = aT⁴ con a = 4σ/c = 7,566 × 10⁻¹⁶ J/(m³K⁴), de modo que uγ = 4,17 × 10⁻¹⁴ J/m³, y la densidad de masa equivalente es uγ/c². Dividiendo por ρc:
Pero los fotones no son toda la radiación: hay neutrinos, que a estas alturas están fríos y se comportan como radiación. Su contribución añade un factor Neff·(7/8)·(4/11)4/3, donde el 7/8 es la estadística de Fermi, el (4/11)4/3 viene de que los neutrinos se desacoplaron antes de que los electrones y positrones se aniquilaran y calentaran a los fotones, y Neff = 3,046. Ese 3,046 es un dato importado, no deducido aquí: el 3 son las tres familias y el 0,046 sale de que el desacoplo no fue instantáneo, cuenta que pertenece al Nivel III. Ese factor vale 0,6918, y
La igualdad radiación-materia ocurre cuando Ωra⁻⁴ = Ωma⁻³, o sea aeq = Ωr/Ωm y por tanto 1 + zeq = Ωm/Ωr = 3420, es decir zeq = 3419.
Resultado. El dato del I.5 sale de una temperatura y dos constantes, y ésa es exactamente la clase de deuda que este nivel viene a pagar. La segunda lección está en el factor 0,6918, que es casi la mitad de Ωr y es enteramente neutrínico: el 41 % de la radiación del universo son partículas que nadie ha detectado nunca directamente en este fondo. Ese número no es cosmético — con fotones solos zeq saldría 5785, y los neutrinos lo bajan a 3419, un 41 % menos; y zeq es lo que fija la escala a la que se empiezan a formar estructuras. Por eso el fondo cósmico mide Neff con precisión y por eso una cuarta familia de neutrinos ligeros está descartada por la cosmología antes que por ningún acelerador.
Problema. Calcula el parámetro de deceleración q ≡ −äa/ȧ² en función de los Ω, evalúalo hoy y encuentra el z en que cambió de signo. Comprueba que la expresión general se reduce a la que usó el I.5.
Solución. Dividiendo la ecuación de aceleración por H² y sumando componente a componente, cada una con su w:
Evaluado hoy (a = 1), con 1+3w igual a +2, +1 y −2:
Que es la fórmula del I.5 —q₀ = Ωm/2 − ΩΛ— más el término de radiación, despreciable hoy. El cambio de signo ocurre cuando el numerador se anula, o sea Ωm(1+z)³ = 2ΩΛ, que da 1+z = 1,6323 y z = 0,632.
Resultado. El universo lleva acelerando desde z = 0,632, y antes frenaba. Conviene ver de dónde sale ese 2, porque es la ecuación de aceleración pillada en el acto: lo que decide el signo de ä no es quién tiene más densidad, sino quién tiene más ρ + 3p/c². Λ aporta −2ρΛ y la materia +ρm, así que Λ gana el pulso ya cuando tiene la mitad de densidad que la materia. Las dos densidades sólo se igualan en Ωm(1+z)³ = ΩΛ, o sea 1+z = (0,685/0,315)1/3 = 1,2956 y z = 0,296 — de modo que el universo empieza a acelerar a los 7690 Ma y Λ no es dominante hasta los 10 290 Ma, con casi 2600 millones de años en medio en los que acelera con la materia todavía mandando en densidad. El cociente de los dos (1+z) es exactamente 21/3 = 1,2599. Confundir las dos épocas es el error más común del tema, y sale de razonar con densidades cuando la ecuación pide presiones.
La segunda lección es un aviso sobre la fórmula, que se cita mal constantemente: q₀ = Ωm/2 − ΩΛ sólo vale si w = −1 exactamente y sólo hoy. La expresión general de arriba es la que hay que usar en cuanto se admite un w distinto de −1, y la diferencia no es académica — es precisamente la que se está intentando medir para saber si la energía oscura es una constante. El guion comprueba este q₀ por un segundo camino: derivando dos veces la a(t) que sale de integrar la ecuación completa, sin usar la fórmula.
Ejercicios
Integra la ecuación de fluido para una componente con w constante y obtén ρ ∝ a−3(1+w). Después úsala al revés: si se midiera que una componente se diluye como a−2,4, ¿qué w tiene? ¿Acelera o frena? ¿Y si se diluyera como a+0,5?
Solución
Con p = wρc², la ecuación ρ̇ + 3H(1+w)ρ = 0 se separa en dρ/ρ = −3(1+w) da/a, y se integra a ln ρ = −3(1+w)ln a + cte, o sea ρ = ρ₀a−3(1+w).
Al revés: −3(1+w) = −2,4 da w = −0,2. Como 1 + 3w = +0,4 > 0, esa componente frena: no llega al umbral de −1/3. Y si se diluyera como a+0,5 —o sea, si su densidad creciera con la expansión— entonces −3(1+w) = +0,5 y w = −7/6 ≈ −1,17, que es menor que −1.
La segunda lección es qué significa ese w < −1, que tiene nombre: energía fantasma. Una componente así no sólo acelera, sino que su densidad aumenta sin límite, H diverge en un tiempo finito y todo sistema ligado acaba desgarrado — el Gran Desgarro que el I.5 mencionó de pasada. La frontera w = −1 es por tanto una raya con consecuencias cualitativas, no un número más, y por eso las medidas se presentan siempre como «w = −1,03 ± 0,03» con el énfasis puesto en si la barra cruza el −1. Con w ≥ −1 el universo se expande para siempre suavemente; con w < −1 tiene fecha de caducidad.
Comprueba, sustituyendo directamente, que a(t) ∝ t1/2 resuelve la primera ecuación de Friedmann para un universo plano de radiación pura, y que a(t) ∝ t2/3 la resuelve para materia. Deduce H(t) en cada caso y da la edad del universo en función de H en los dos modelos.
Solución
Con a = Ctn se tiene H = ȧ/a = n/t, y Friedmann I plano pide H² = (8πG/3)ρ con ρ = ρ₀a−3(1+w). El lado izquierdo va como t−2 y el derecho como t−3n(1+w); igualando exponentes, 3n(1+w) = 2, o sea n = 2/(3(1+w)). Con w = 1/3 sale n = 1/2 y con w = 0, n = 2/3, como se pedía. La constante C queda fijada por ρ₀, que es lo único que la sustitución no determina.
Las edades son inmediatas de H = n/t: t = 1/(2H) en radiación y t = 2/(3H) en materia. Ese 2/(3H₀) es la edad exacta de Einstein-de Sitter, 9672 Ma, que el I.5 dio sin deducir y a tres cifras, 9670.
La segunda lección es el contraste con el tiempo de Hubble: 1/H₀ vale 14 510 Ma y ninguno de los dos modelos da eso. Un universo que sólo frena es siempre más joven que 1/H, porque en el pasado se expandía más deprisa y tardó menos en llegar aquí. Que el universo real salga en 13 790 Ma —es decir, 0,951/H₀, apenas un 5 % por debajo— es una pista fuerte de que algo ha estado acelerando: es el resultado que el artículo 04 integra de verdad. Quien use 1/H₀ como edad se equivoca un 5 % en el universo real y un 50 % en Einstein-de Sitter.
Haz tú la contracción que el texto resume en una línea. sympy obtiene, de la definición y para la métrica FLRW, la
componente rr del tensor de Einstein, y el fluido perfecto
del apartado anterior da la suya:
(a) Escribe con ellas la componente rr de Gμν = (8πG/c⁴)Tμν, quita el factor común y comprueba que queda 2ä/a + (ȧ/a)² + kc²/a² = −8πGp/c². (b) Réstale la primera ecuación de Friedmann y despeja ä/a: tiene que salir la ecuación de aceleración con su 3p/c². Di de dónde viene exactamente ese 3, y si lo pone la geometría o el contenido. (c) Comprueba de paso que las dos r desaparecen, y explica por qué tenían que hacerlo.
Solución
(a) Igualando y multiplicando los dos lados por (1−kr²)/a²: −(2aä + ȧ² + kc²)/(c²a²) = 8πGp/c⁴. Multiplicando por −c² y ordenando,
(b) La primera de Friedmann dice que (ȧ/a)² + kc²/a² = 8πGρ/3. Restando, 2ä/a = −8πGp/c² − 8πGρ/3, o sea ä/a = −4πGp/c² − 4πGρ/3 = −(4πG/3)(ρ + 3p/c²). El 3 lo pone el contenido, no la geometría: la presión aparece una vez en cada una de las tres componentes espaciales de Tμν —rr, θθ y φφ, que la isotropía obliga a ser iguales— mientras que la geometría sólo aporta el término en ä. Hacer la cuenta con la componente θθ en lugar de la rr da exactamente lo mismo, y esa redundancia es la isotropía.
(c) Tenían que desaparecer porque r es una coordenada y las ecuaciones de Friedmann relacionan funciones de t solamente: si sobreviviera una r, el universo tendría un centro. Las dos entran por grr ∝ 1/(1−kr²) y salen juntas en el factor común — la homogeneidad haciendo su trabajo a la vista.
La segunda lección es cuánto se juega en ese 3p/c², que es un término entero y no un detalle: aplicado a la radiación duplica la desaceleración, y aplicado a Λ le cambia el signo a la gravedad. Todo el argumento del callout de más arriba —que el atajo newtoniano acierta la primera ecuación y se equivoca de signo en la segunda— es exactamente la ausencia de este paso: Newton sólo tiene ρ porque sólo tiene T00, y las componentes espaciales de Tμν no existen en su teoría.
Con el panel de arriba, pon Ωm = 1 y Ωr = 0 para obtener Einstein-de Sitter, y después ve subiendo ΩΛ. Anota cómo cambia la pendiente logarítmica d ln a/d ln t en el tramo final y explica qué valor tiende a tomar y por qué el panel deja de poder mostrarlo.
Solución
Con Ωm = 1 la pendiente final es 2/3 en todo el tramo, que es el exponente de la era de materia. Al subir ΩΛ aparece un codo: la pendiente sube de 2/3 y sigue subiendo sin estabilizarse en ningún número.
La razón es que en la era de Λ no hay ninguna pendiente logarítmica: a ∝ eHt no es una potencia de t, y d ln a/d ln t = Ht, que crece sin tope. Ésa es precisamente la firma que distingue a Λ de cualquier fluido con w constante distinto de −1 — todos los demás dan una recta en log-log y Λ no. La segunda lección es sobre el propio instrumento: una gráfica log-log es la herramienta correcta para identificar leyes de potencia y la incorrecta para una exponencial, de modo que el panel es informativo justo hasta el punto en que el universo entra en la era en la que vivimos. Que una representación se rompa es a veces el resultado, no un fallo.